Энэ нийтлэлийг цуглуулсан синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгтүүд. Эхлээд бид үндсэн утгуудын хүснэгтийг өгнө тригонометрийн функцууд, өөрөөр хэлбэл 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градусын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). Үүний дараа бид синус ба котангентын хүснэгт, В.М.Брадисын шүргэгч ба котангентын хүснэгтийг өгч, тригонометрийн функцүүдийн утгыг олохдоо эдгээр хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.

Хуудасны навигаци.

0, 30, 45, 60, 90, ... градусын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт

Ном зүй.

• Алгебр:Прок. 9 эсийн хувьд. дундаж сургууль / Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. С.А.Теляковский.- М.: Гэгээрэл, 1990.- 272 х.: Өвч.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 эсийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Гэгээрэл, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorova.- 14-р хэвлэл.- М.: Гэгээрэл, 2004.- 384 х.: илл.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.
• Брэдис В.М.Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгт: Ерөнхий боловсролын хувьд. сурах бичиг байгууллагууд. - 2-р хэвлэл. - М .: Bustard, 1999.- 96 х.: өвчтэй. ISBN 5-7107-2667-2

Өгүүлэлд бид энэ нь ямар харагддагийг бүрэн ойлгох болно тригонометрийн утгын хүснэгт, синус, косинус, тангенс, котангенс. Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгыг 0,30,45,60,90,...,360 градусын өнцгөөс авч үзье. Тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолохдоо эдгээр хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг харцгаая.
Эхлээд бодож үзээрэй косинус, синус, тангенс, котангенсийн хүснэгт 0, 30, 45, 60, 90,.. градусын өнцгөөс. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхойлолт нь 0 ба 90 градусын өнцгийн функцүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог.

sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 0 0 \u003d 0, 0 0-ийн котангенс тодорхойгүй байх болно
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0-ийн тангенс тодорхойгүй болно

Хэрэв бид 30-аас 90 градусын өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авбал. Бид авах:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

Бид олж авсан бүх утгыг маягтаар илэрхийлдэг тригонометрийн хүснэгт:

Синус, косинус, тангенс, котангентын хүснэгт!

Хэрэв бид цутгамал томъёог ашиглавал хүснэгт маань нэмэгдэж, 360 градус хүртэлх өнцгийн утгууд нэмэгдэх болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Мөн үечилсэн байдлын шинж чанарт үндэслэн z нь бүхэл тоо болох 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z өнцгүүдийг сольж байвал хүснэгтийг нэмэгдүүлж болно. Энэ хүснэгтэд нэг тойрог дахь цэгүүдэд тохирох бүх өнцгийн утгыг тооцоолох боломжтой.

Шийдэл дэх хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг тодорхой харцгаая.
Бүх зүйл маш энгийн. Учир нь бидэнд хэрэгтэй үнэ цэнэ нь бидэнд хэрэгтэй нүднүүдийн огтлолцлын цэгт оршдог. Жишээлбэл, 60 градусын өнцгийн cos-ийг авч үзье, хүснэгтэд энэ нь дараах байдалтай байна.

Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын эцсийн хүснэгтэд бид ижил аргаар ажилладаг. Гэхдээ энэ хүснэгтээс 1020 градусын өнцгөөс шүргэгч хэр их болохыг олж мэдэх боломжтой, энэ нь = -√3 1020 0 = 300 0 +360 0 *2 гэдгийг шалгая. Хүснэгтийг олцгооё.

Тригонометрийн өнцгийн утгыг илүү их хайхын тулд минутын нарийвчлалтай утгыг ашигладаг. дэлгэрэнгүй заавархуудас дээр тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар

Брадисын ширээ. Синус, косинус, тангенс, котангенсийн хувьд.

Брэдисийн хүснэгтүүд нь хэд хэдэн хэсэгт хуваагддаг бөгөөд тэдгээр нь косинус ба синус, тангенс ба котангенсийн хүснэгтүүдээс бүрддэг - энэ нь хоёр хэсэгт хуваагддаг (90 градус хүртэлх өнцгийн tg ба жижиг өнцгийн ctg).

Синус ба косинус

tg өнцөг 0 0 төгсгөлөөс эхлэн 76 0 , ctg өнцөг 14 0-ээс эхлэн 90 0 төгсгөл байна.

tg хүртэл 90 0 ба ctg жижиг өнцөгтэй.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ Bradis хүснэгтийг хэрхэн ашиглахыг олж мэдье.

Гэмийн тэмдэглэгээг (зүүн ирмэгээс баганад байгаа тэмдэглэгээ) 42 минутын дотор олцгооё (тэмдэглэгээ нь дээд мөрөнд байна). Гэмтсэнээр бид тэмдэглэгээг хайж байна, энэ нь = 0.3040 байна.

Минутын утгыг зургаан минутын завсарлагатайгаар зааж өгсөн бөгөөд хэрэв бидэнд хэрэгтэй утга энэ интервалд багтаж байвал яах вэ. 44 минутыг авч үзье, хүснэгтэд ердөө 42 байна. Бид 42-ыг үндэс болгон баруун талд байгаа нэмэлт баганыг ашиглаад 2-р засварыг аваад 0.3040 + 0.0006 дээр нэмээд 0.3046 болно.

Нүгэл 47 минутын хувьд бид 48 минутыг үндэс болгон авч, үүнээс 1 залруулга хасна, өөрөөр хэлбэл 0.3057 - 0.0003 = 0.3054.

Cos-ийг тооцоолохдоо бид нүгэлтэй адил ажилладаг бөгөөд зөвхөн хүснэгтийн доод эгнээг үндэс болгон авдаг. Жишээ нь cos 20 0 = 0.9397

90 0 хүртэлх өнцгийн tg утгууд ба жижиг өнцгийн ор нь зөв бөгөөд тэдгээрт засвар байхгүй. Жишээлбэл, tg 78 0 37мин = 4.967-г ол


ба ctg 20 0 13 мин = 25.83

За, энд бид үндсэн тригонометрийн хүснэгтүүдийг авч үзсэн. Энэ мэдээлэл танд маш хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна. Хүснэгт дээрх асуултууд, хэрэв байгаа бол сэтгэгдэл дээр бичихээ мартуузай!

Тайлбар: Ханын бампер - ханыг хамгаалах бампер хавтан (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)

0, 30, 45, 60, 90, ... градусын өнцгийн үндсэн тригонометрийн функцуудын хүснэгт

$\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$ функцүүдийн тригонометрийн тодорхойлолтоос $0$ ба $90$ градусын өнцгийн утгыг олж болно.

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ тодорхойлогдоогүй;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ тодорхойлогдоогүй байна.

IN сургуулийн курссурч байхдаа геометр зөв гурвалжин$0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$ өнцгүүдийн тригонометрийн функцийг ол.

Заасан өнцгүүдийн тригонометрийн функцүүдийн олсон утгууд нь градус ба радианаар тус тус ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\) Цээжлэх, хэрэглэхэд хялбар болгох үүднээс pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) гэсэн хүснэгтэд оруулсан болно. тригонометрийн хүснэгт, тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудын хүснэгтгэх мэт.

Бууруулах томьёог ашиглах үед тригонометрийн хүснэгтийг $360°$ болон $2\pi$ радиануудын өнцгөөр өргөжүүлж болно.

Тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанарыг ашигласнаар аль хэдийн мэдэгдэж байсан өнцөгөөс $360°$-оор ялгаатай өнцөг бүрийг тооцоолж, хүснэгтэд бичиж болно. Жишээлбэл, $0°$ өнцгийн тригонометрийн функц нь $0°+360°$, $0°+2 \cdot 360°$, $0°+3 өнцгийн хувьд ижил утгатай байх болно. cdot 360°$ гэх мэт.

Тригонометрийн хүснэгтийг ашиглан нэгж тойргийн бүх өнцгийн утгыг тодорхойлж болно.

Сургуулийн геометрийн хичээл дээр тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгох үүднээс тригонометрийн хүснэгтэд цуглуулсан тригонометрийн функцүүдийн үндсэн утгуудыг цээжлэх ёстой.

Хүснэгт ашиглах

Хүснэгтээс шаардлагатай тригонометрийн функц, энэ функцийг тооцоолох шаардлагатай өнцөг эсвэл радианы утгыг олоход хангалттай. Функц бүхий мөр ба утга бүхий баганын огтлолцол дээр бид өгөгдсөн аргументийн тригонометрийн функцийн хүссэн утгыг авна.

Зураг дээр та $\frac(1)(2)$-тай тэнцэх $\cos⁡60°$ утгыг хэрхэн олохыг харж болно.

Өргөтгөсөн тригонометрийн хүснэгтийг мөн адил ашигладаг. Үүнийг ашиглах давуу тал нь аль хэдийн дурьдсанчлан бараг бүх өнцгийн тригонометрийн функцийг тооцоолох явдал юм. Жишээлбэл, та $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\ tan(1 020°-360°)=\ tan(660°-360°)=\tan300 утгыг хялбархан олох боломжтой. °$:

Тригонометрийн үндсэн функцуудын Брадисийн хүснэгтүүд

Бүхэл тоо градус ба минутын бүхэл утгын хувьд туйлын дурын өнцгийн утгын тригонометрийн функцийг тооцоолох чадвар нь Брадисын хүснэгтийг ашиглах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, $\cos⁡34°7"$ утгыг олоорой. Хүснэгтүүд нь 2 хэсэгт хуваагдана: $\sin$ ба $\cos$ утгын хүснэгт, $\tan$ ба $\ хүснэгт. cot$ утгууд.

Брадисын хүснэгтүүд нь аравтын бутархайн 4 хүртэлх нарийвчлалтай тригонометрийн функцүүдийн ойролцоо утгыг авах боломжийг олгодог.

Bradis хүснэгтүүдийг ашиглах

Брэдисийн синусуудын хүснэгтүүдийг ашиглан бид $\sin⁡17°42"$-ийг олно. Үүнийг хийхийн тулд синус ба косинусын хүснэгтийн зүүн талд байгаа баганад градусын утгыг олно - $17°$, мөн дээд мөрөнд бид минутын үнэ цэнийг олдог - $42"$. Тэдний уулзвар дээр бид хүссэн утгыг авна.

$\sin17°42"=0.304$.

$\sin17°44"$-ийн утгыг олохын тулд та хүснэгтийн баруун талд байгаа залруулгыг ашиглах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хүснэгтэд байгаа $42"$-ын утга дээр нэмэх шаардлагатай. $2"$-н залруулга, энэ нь $0.0006$-тай тэнцэнэ. Бид дараахыг авна:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

$\sin17°47"$-ийн утгыг олохын тулд бид хүснэгтийн баруун талд байгаа засварыг ашигладаг бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд бид $\sin17°48"$-ийн утгыг үндэс болгон авч, засварыг хасна. $1"$:

$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$.

Косинусыг тооцоолохдоо бид ижил төстэй үйлдлүүдийг хийдэг боловч баруун баганад байгаа градусыг, хүснэгтийн доод баганын минутыг хардаг. Жишээлбэл, $\cos20°=0.9397$.

$90°$ хүртэлх тангенсийн утгууд ба жижиг өнцгийн котангенсийн хувьд засвар байхгүй. Жишээлбэл, $\tan 78°37"$-ийг олъё, энэ нь хүснэгтээс харахад $4,967$ байна.

ТРИГОНОМЕТРИЙН ФУНКЦИЙН УТГЫН ХҮСНЭГТ

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270, 360 градусын өнцгүүдийн радиан дахь харгалзах өнцгийн хувьд эмхэтгэсэн болно. Тригонометрийн функцуудаас синус, косинус, тангенс, котангенс, секант, косекантыг хүснэгтэд үзүүлэв. Сургуулийн жишээг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд хүснэгтэд байгаа тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооноос квадрат язгуур гаргаж авах шинж тэмдгийг хадгалан бутархай хэлбэрээр бичсэн бөгөөд энэ нь ихэвчлэн цогцолборыг багасгахад тусалдаг. математик илэрхийллүүд. Тангенс ба котангенсийн хувьд зарим өнцгийн утгыг тодорхойлох боломжгүй. Ийм өнцгийн тангенс ба котангенсын утгуудын хувьд тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд зураас байна. Ийм өнцгийн тангенс ба котангенс нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Тусдаа хуудсан дээр тригонометрийн функцийг багасгах томъёо байдаг.

Синусын тригонометрийн функцийн утгын хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгыг харуулав: нүгэл 0, нүгэл 30, нүгэл 45, нүгэл 60, нүгэл 90, нүгэл 180, нүгэл 270, нүгэл 360 градусын хэмжүүр, энэ нь өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн дэх sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi хэмжээтэй тохирч байна. Сургуулийн синусын хүснэгт.

Тригонометрийн косинусын функцийн хувьд хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгуудыг харуулав: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360, хэмжигдэхүүнтэй тохирч байна. Өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр cos 0 pi, cos pi нь 6, cos pi нь 4, cos pi нь 3, cos pi нь 2, cos pi, cos 3 pi нь 2, cos 2 pi байна. Сургуулийн косинусын хүснэгт.

Тригонометрийн функцын тангенсийн тригонометрийн хүснэгт нь дараах өнцгүүдийн утгыг өгдөг: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360, энэ нь tg 0 pi, tg pi / -тай тохирч байна. 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Шүргэгчийн тригонометрийн функцүүдийн дараах утгуудыг tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 гэж тодорхойлоогүй бөгөөд хязгааргүйтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Тригонометрийн хүснэгт дэх тригонометрийн функцийн котангентын хувьд дараах өнцгүүдийг өгөв: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 градус, энэ нь ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3-тай тохирч байна. , tg pi / 2, tg 3 pi/2 өнцгийн радиан хэмжигдэхүүнээр. Тригонометрийн котангентын функцүүдийн дараах утгуудыг ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi гэж тодорхойлоогүй бөгөөд хязгааргүйтэй тэнцүү гэж үзнэ.

Секант ба косекантын тригонометрийн функцүүдийн утгыг синус, косинус, тангенс, котангенс зэрэг градус ба радианаар ижил өнцгөөр өгсөн болно.

Стандарт бус өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 градус, радианаар pi/12-аар харуулав. , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 радиан. Сургуулийн жишээн дэх бутархайг багасгах ажлыг хялбарчлахын тулд тригонометрийн функцүүдийн утгыг бутархай ба квадрат язгуураар илэрхийлдэг.

Тригонометрийн өөр гурван мангас. Эхнийх нь тангенс 1.5 градус хагас буюу pi-г 120-д хуваасан. Хоёр дахь нь pi-ийн косинусыг 240-д хуваасан пи/240. Хамгийн урт нь pi-ийн косинусыг 17, pi/17-д хуваасан байна.

Синус ба косинусын функцүүдийн утгуудын тригонометрийн тойрог нь өнцгийн хэмжээнээс хамааран синус ба косинусын тэмдгүүдийг нүдээр илэрхийлдэг. Ялангуяа шаргал үстэй хүмүүсийн хувьд будлиантай байхын тулд косинусын утгыг ногоон зураасаар зурсан байдаг. Радианыг pi-ээр илэрхийлэх үед градусыг радиан болгон хувиргах нь мөн маш тодорхой харагдаж байна.

Энэхүү тригонометрийн хүснэгтэд 0 тэгээс 90 ерэн градус хүртэлх өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг нэг градусын интервалаар харуулав. Эхний дөчин таван градусын хувьд тригонометрийн функцүүдийн нэрийг хүснэгтийн дээд талд харах ёстой. Эхний баганад градус, синус, косинус, тангенс, котангентын утгыг дараагийн дөрвөн баганад бичнэ.

Дөчин таван градусаас ерэн градус хүртэлх өнцгийн хувьд тригонометрийн функцуудын нэрийг хүснэгтийн доод талд бичнэ. Сүүлийн баганад градус, косинус, синус, котангенс, тангенсийн утгыг өмнөх дөрвөн баганад бичнэ. Тригонометрийн хүснэгтийн доод хэсэгт байгаа тригонометрийн функцуудын нэр нь хүснэгтийн дээд хэсэгт байгаа нэрсээс ялгаатай тул та болгоомжтой байх хэрэгтэй. Синус болон косинусууд нь шүргэгч ба котангенс шиг солигддог. Энэ нь тригонометрийн функцүүдийн утгуудын тэгш хэмтэй холбоотой юм.

Тригонометрийн функцүүдийн тэмдгүүдийг дээрх зурагт үзүүлэв. Синус нь 0-ээс 180 градус эсвэл 0-ээс pi хүртэл эерэг утгатай байна. Сөрөг утгуудсинус нь 180-аас 360 градус буюу pi-ээс 2 pi байна. Косинусын утгууд нь 0-ээс 90 ба 270-аас 360 градус хүртэл эерэг, эсвэл 0-ээс 1/2 пи, 3/2-оос 2 пи хүртэл байна. Тангенс ба котангенс нь 0-ээс 1/2 пи, пи-ээс 3/2 пи хүртэлх утгатай тохирч, 0-ээс 90 градус, 180-аас 270 градусын эерэг утгатай байна. Сөрөг шүргэгч ба котангенс нь 90-180 градус, 270-360 градус буюу 1/2 пи-ээс pi, 3/2 пи-ээс 2 pi байна. 360 градус буюу 2 пи-ээс дээш өнцгийн хувьд тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгийг тодорхойлохдоо эдгээр функцүүдийн үечилсэн шинж чанарыг ашиглана.

Синус, тангенс, котангенс гэсэн тригонометрийн функцууд нь сондгой функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн сөрөг өнцгийн утга нь сөрөг байх болно. Косинус нь тэгш тригонометрийн функц юм - сөрөг өнцгийн косинусын утга эерэг байх болно. Тригонометрийн функцийг үржүүлэх, хуваахдаа тэмдгийн дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой.

1. Синусын тригонометрийн функцийн утгуудын хүснэгтэд дараах өнцгүүдийн утгыг харуулав.

   Баримт бичиг

   Тусдаа хуудас нь цутгах томъёог агуулдаг тригонометрфункцууд. IN ширээүнэт зүйлстөлөөтригонометрфункцуудсинусөгсөнүнэт зүйлстөлөөдараачийнбулангууд: гэм 0, гэм 30, гэм 45 ...

2. Санал болгож буй математикийн төхөөрөмж нь дурын тооны чөлөөт n зэрэгтэй n хэмжээст гиперкомплекс тоонуудын цогц тооцооллын бүрэн аналог бөгөөд шугаман бус утгыг математик загварчлахад зориулагдсан болно.

   Баримт бичиг

   ... функцуудтэнцүү байна функцуудЗураг. Энэ теоремоос ёстой, юу төлөө U, V координатыг олоход тооцоолоход хангалттай функц... геометр; полинар функцууд(хоёр хэмжээстийн олон хэмжээст аналогууд тригонометрфункцууд), тэдгээрийн шинж чанар, хүснэгтүүдболон өргөдөл; ...