Хязгааргүй жижиг ба том тоонуудын тооцоо

Хязгааргүй жижиг тооцоо- үүсмэл үр дүнг хязгааргүй жижиг тоонуудын төгсгөлгүй нийлбэр гэж үздэг хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнээр хийсэн тооцоолол. Хязгааргүй жижиг тооцоо нь ерөнхий ойлголторчин үеийн дээд математикийн үндэс болсон дифференциал ба интеграл тооцооллын хувьд. Хязгааргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь хязгаар гэсэн ойлголттой нягт холбоотой.

Хязгааргүй жижиг

Дараалал а nдуудсан хязгааргүй жижиг, Хэрэв . Жишээлбэл, тоонуудын дараалал нь хязгааргүй бага байдаг.

Функцийг дууддаг цэгийн ойролцоо хязгааргүй жижиг x 0 бол .

Функцийг дууддаг хязгааргүй жижиг, Хэрэв эсвэл .

Мөн хязгааргүй бага гэдэг нь функц ба түүний хязгаарын ялгаа, өөрөөр хэлбэл, хэрэв функц юм , Тэр е(x) − а = α( x) , .

Хязгааргүй их хэмжээ

Доорх бүх томъёонд тэгш эрхийн хязгааргүй байдал нь тодорхой тэмдэгтэй ("нэмэх" эсвэл "хасах") байна гэсэн үг юм. Энэ нь жишээлбэл, функц юм xнүгэл x, хоёр талдаа хязгааргүй, -д хязгааргүй том биш.

Дараалал а nдуудсан хязгааргүй том, Хэрэв .

Функцийг дууддаг цэгийн ойролцоо хязгааргүй том x 0 бол .

Функцийг дууддаг хязгааргүйд хязгааргүй том, Хэрэв эсвэл .

Хязгааргүй жижиг, хязгааргүй том шинж чанарууд

Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт

Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийг хэрхэн харьцуулах вэ?
Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа нь тодорхойгүй байдлыг үүсгэдэг.

Тодорхойлолт

Бидэнд хязгааргүй бага утгатай байна гэж бодъё α( x) ба β( x) (эсвэл тодорхойлолтод чухал биш, хязгааргүй жижиг дараалал).

Ийм хязгаарыг тооцоолохын тулд L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглахад тохиромжтой.

Харьцуулах жишээ

Ашиглаж байна ТУХАЙ-бэлгэдэл, олж авсан үр дүнг дараах хэлбэрээр бичиж болно x 5 = о(x 3). Энэ тохиолдолд дараах оруулгууд үнэн байна. 2x 2 + 6x = О(x) Тэгээд x = О(2x 2 + 6x).

Эквивалент утгууд

Тодорхойлолт

Хэрэв бол α ба β хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийг дуудна тэнцүү ().
Эквивалент хэмжигдэхүүнүүд нь ижил жижиг дарааллын хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн онцгой тохиолдол болох нь ойлгомжтой.

Дараахь тэгшитгэлийн харилцаа хүчинтэй байх үед (гайхалтай хязгаар гэж нэрлэгддэг үр дагавар).

Теорем

Хязгааргүй хоёр хэмжигдэхүүний хуваарийн (харьцаа) хязгаар нь тэдгээрийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) ижил хэмжигдэхүүнээр сольсон тохиолдолд өөрчлөгдөхгүй..

Энэ теорем нь хязгаарыг олоход практик ач холбогдолтой (жишээг үзнэ үү).

Хэрэглээний жишээ

Солих сбиn 2x эквивалент утга 2 x, бид авдаг

Түүхэн тойм зураг

"Хязгааргүй жижиг" гэсэн ойлголтыг эрт дээр үеэс хуваагдашгүй атомын тухай ойлголттой холбон авч хэлэлцсэн боловч сонгодог математикт оруулаагүй болно. 16-р зуунд судалж буй дүрсийг хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваах "хуваагдах арга" гарч ирснээр энэ нь дахин сэргэсэн.

17-р зуунд хязгааргүй жижиг тооцооллын алгебрчлал явагдсан. Тэдгээрийг ямар ч төгсгөлтэй (тэг бус) хэмжигдэхүүнээс бага боловч тэгтэй тэнцүү биш тоон хэмжигдэхүүн гэж тодорхойлж эхэлсэн. Шинжилгээний урлаг нь хязгааргүй жижиг тоо (дифференциал) агуулсан харилцааг зохиож, дараа нь нэгтгэх явдал байв.

Хуучин сургуулийн математикчид энэ ойлголтыг туршиж үзсэн хязгааргүй жижигхатуу шүүмжлэл. Мишель Ролле шинэ тооцоо бол " гайхалтай алдаануудын багц"; Тооцоолол гэдэг нь оршин тогтнох нь нотлогдох боломжгүй зүйлийг тооцоолох, үнэн зөв хэмжих урлаг гэж Вольтер цохон тэмдэглэжээ. Гюйгенс хүртэл дээд түвшний дифференциалын утгыг ойлгоогүй гэдгээ хүлээн зөвшөөрсөн.

Хувь заяаны инээдэм болгон зууны дунд үеэс стандарт бус дүн шинжилгээ гарч ирсэн нь анхны үзэл бодол - бодит хязгааргүй тоонууд нь нийцэж, дүн шинжилгээ хийх үндэс болгон ашиглаж болохыг нотолсон гэж үзэж болно.

Мөн үзнэ үү

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Хязгааргүй бага хэмжээ" гэж юу болохыг харна уу.ХЯЗГААРГҮЙ БАГА ХЭМЖЭЭ - тодорхой үйл явц дахь хувьсах хэмжигдэхүүн, хэрвээ энэ үйл явцад энэ нь тэг рүү хязгааргүй ойртож (тэнд байгаа) ...

Том Политехник нэвтэрхий толь бичигХязгааргүй жижиг - ■ Үл мэдэгдэх зүйл боловч гомеопатитай холбоотой...

Нийтлэг үнэний үгсийн сан

Нийлмэл тооны дарааллын хязгаар ба хязгаарын өвөрмөц байдал Тодорхойлолт 1

. Хэрэв энэ дарааллын гишүүдийн олонлог нь хязгаарлагдмал олонлогийг бүрдүүлж байвал тоон дарааллыг (1) хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд бид тоон дарааллыг дуудах болно (1).

хэмжээгээр хязгаарлагдмал Тодорхойлолт 2

Орос хэлийг түлхүү ашиглан энэ тодорхойлолтыг давтъя. Хэрэв тодорхой тооноос эхлэн дарааллын бүх гишүүд энэ хязгаарлагдмал тооноос урьдчилан тодорхойлсон дурын жижиг эерэг тооноос бага зайтай байвал тоон дарааллын хязгаар байдаг бөгөөд тодорхой тоотой тэнцүү байна. Үүнтэй ижил зүйлийг өөрөөр хэлж болно. Цэгийн хөрш бүрийн хувьд тодорхой тооноос эхлэн дарааллын бүх гишүүд энэ хөршид оршдог бол тоо нь тоон дарааллын хязгаар (1) болно. Интервалыг цэгийн хөрш гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

Теорем 1 . Хэрэв тооны дараалалд хязгаарлалт байгаа бол энэ нь өвөрмөц юм.

Баталгаа . Бид зөрчилдөөний аргыг ашиглан теоремыг батлах болно. Теорем нь худал бөгөөд 2-р тодорхойлолтын нөхцөл хангагдсан хамгийн багадаа 2 тоо байна гэж үзье. Дараа нь тооны дараа дарааллын гишүүд нь тооноос бага тоогоор, тооны дараа дарааллын гишүүд нь -ээс бага тоогоор ялгаатай байна. Ийм байж болохгүй гэдгийг харуулъя. Үнэндээ хэзээ харилцаа , , сэтгэл хангалуун байна, хаанаас эдгээрийн төлөө бид . Теорем нь батлагдсан.

Теорем 2 . Хэрэв тооны дараалал хязгаартай бол тухайн тооны дараалал хязгаарлагдмал байна.

Баталгаа . Нотолгоо нь бүтээлч байх болно. Үүнийг аваад тохирохыг нь олъё. Дарааллыг эхний гишүүд болон дарааллын үлдсэн гишүүд гэсэн 2 хэсэгт хуваацгаая. Эхний бүлэг нь хязгаарлагдмал тооны гишүүдээс бүрддэг тул хязгаарлагдмал байдаг. Хоёрдахь бүлэг нь хязгаарын утгаас 1-ээс ихгүй зайд байгаа тоонуудаас бүрддэг тул бас хязгаарлагдмал байдаг. Хоёр хязгаарлагдмал олонлогийн нэгдэл нь хязгаарлагдмал олонлог юм. Теорем нь батлагдсан.

Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Тодорхойлолт 3 . Тооны дарааллыг дуудна хязгааргүй жижиг, хэрэв энэ нь 0-тэй тэнцүү хязгаартай бол.

Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тэмдэглэгээг ашиглана б. м.

Тооны дарааллыг өгье. Нийтлэг гишүүнтэй тооны дарааллыг эдгээрийн нийлбэр гэнэ тооны дараалал. Нийтлэг гишүүнтэй тооны дарааллыг эдгээр тооны дарааллын нийлбэр гэнэ. Нийтлэг гишүүнтэй тооны дарааллыг эдгээр тооны дарааллын нийлбэр гэнэ.

Теорем 3 . Хязгааргүй тооны хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн юм.

Баталгаа . Хоёрын нийлбэрийг нотлоход хангалттай b. m. Тооны дарааллыг хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн гэж үзье, өөрөөр хэлбэл эдгээр дарааллын хязгаар нь 0-тэй тэнцүү байна. Энэ баримт нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ. Хэрэв дурын, гүйлгэх боломжтой, жижиг эерэг тоо өгөгдсөн бол тоо болон тооны дарааллын хувьд хамаарал хангагдах шинж чанартай тоо байна. Үүнтэй ижил шалтгаанаар, ижил тоо, тоон дарааллын хувьд хамаарлыг хангасан шинж чанартай тоо байдаг. Нэг тоо авъя , дараа нь харилцаа хүчинтэй байх үед . Тиймээс, дурын тоонд бид ийм тоог олсон. Тиймээс , дарааллын хязгаар нь 0 бөгөөд энэ нь хязгааргүй бага утга юм. Теорем нь батлагдсан.

Теорем 4 . Төгсгөлгүй жижиг хэмжигдэхүүн ба хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн юм.

Баталгаа . Тооны дарааллыг хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн, тооны дарааллыг хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн гэж үзье. Энэ нь нэг талаас нөгөө талаас нөхцөл бүрд хангагдсан тоо байдаг гэсэн үг юм. Одоо дурын, гүйлгэх боломжтой, жижиг эерэг тоо өгье. Тоон дараалалд хамаарал хангагдах шинж чанартай тоо байгаа тоонуудыг авч үзье. Энэ тохиолдолд нөхцөл байдал хангагдана , энэ нь эдгээр хоёр хэмжигдэхүүний үржвэр болох хязгааргүй бага ба хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.

Хязгаарлах шинж чанарууд

Хязгаар, энэ тохиолдолд тоон дарааллыг яг хэрхэн тооцдог вэ? Хязгаарыг нь олоход хялбар нийлбэр, зөрүү, үржвэр, энгийн хэмжигдэхүүнүүдийн хуваарь хэлбэрээр олох хэмжигдэхүүнийг бид харуулахыг хичээдэг. Энэ хандлагыг зөвтгөхийн тулд хязгаарын шинж чанарыг томъёолж, нотлох шаардлагатай.

Теорем 5 . , дараалал нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн байх тохиолдолд тооны дараалал нь хязгаартай тэнцүү байна.

Баталгаа . Let, i.e. at тус бүрийн хувьд тэгш бус байдал () хангагдсан байна. Гэхдээ энэ бол тэгш бус байдал тэнцүүтэр , өөрөөр хэлбэл дараалал нь 0-ийн хязгаартай, өөрөөр хэлбэл. хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн юм. Теорем нь батлагдсан. , хаана - b. m. Үүнийг дагаад. Сүүлийн хаалтанд хязгааргүй хоёр хэмжигдэхүүний нийлбэр нь b хэмжигдэхүүн байна. m. Иймээс энэ нь нийлбэр ба хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнээр илэрхийлэгдэнэ. 5-р теоремоор энэ нь гэсэн үг . Теоремын эхний мэдэгдэл батлагдсан. Томъёо яг адилхан нотлогддог. Одоо томъёог авч үзье мөн ижил тэмдэглэгээг ашиглан зүүн талыг хувиргана. Тийм ч учраас…

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй их хэмжигдэхүүнүүдийн тухай ойлголт нь математик шинжилгээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Хязгааргүй их, бага хэмжигдэхүүн гэсэн ойлголтуудыг ашиглан олон асуудлыг энгийн бөгөөд хялбараар шийддэг.

Хязгааргүй жижиг.

Хувьсагчийг дагах утга бүр үнэмлэхүй утгаараа бага байх тийм утгатай байвал түүнийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг.

Хэрэв - хязгааргүй жижигтэгвэл тэг рүү тэмүүлдэг гэж хэлээд бичээд:.

Хязгааргүй том.

Хувьсагч xдуудсан хязгааргүй том, хэрэв эерэг тоо байвал вхүн бүр түүнийг дагадаг тийм утгатай xүнэмлэхүй утгаараа илүү их байх болно. Тэд бичдэг:

-ийн харилцан үйлчлэл хязгааргүй том, тоо хэмжээ байна хязгааргүй жижиг, болон буцах.

10. Функцийн хязгаарын шинж чанарууд

1) Тогтмол утгын хязгаар

Тогтмол утгын хязгаар нь тогтмол утгатай тэнцүү байна:

2) Хэмжээний хязгаар

Хоёр функцийн нийлбэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил хоёр функцийн ялгааны хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Нарийвчилсан дүнгийн хязгаарын өмч:

Хэд хэдэн функцийн нийлбэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үүний нэгэн адил хэд хэдэн функцийн ялгааны хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын зөрүүтэй тэнцүү байна.

3) Тогтмол утгаар функцийн үржвэрийн хязгаар

Тогтмол коэффициентийг хязгаарын тэмдэгээс хэтрүүлэн авч болно.

4) Бүтээгдэхүүний хязгаар

Хоёр функцийн үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.

Өргөтгөсөн бүтээгдэхүүний хязгаарын өмч

Хэд хэдэн функцийн үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.

5) Хэмжилтийн хязгаар

Хоёр функцийн хуваарийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын харьцаатай тэнцүү бөгөөд хуваарийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү биш байна.

11. Эхний гайхалтай хязгаар

Баталгаа

Нэг талт хязгаарыг харж, 1-тэй тэнцүү гэдгийг баталъя.

Let . Энэ өнцгийг нэгж тойрог () дээр зуръя.

Цэг К- цацрагийн тойрогтой огтлолцох цэг, цэг Л- цэг дээрх нэгж тойрогт шүргэгчтэй . Цэг Х- цэгийн төсөөлөл Ктэнхлэг бүрт ҮХЭР.

Энэ нь тодорхой байна:

(салбарын талбай хаана байна)

(1)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Хэзээнээс хойш:

Үржүүлэх:

Хязгаар руу шилжье:

Зүүн талын нэг талын хязгаарыг олъё:

Баруун болон зүүн талын нэг талын хязгаарууд байдаг бөгөөд энэ нь 1-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь хязгаар нь өөрөө 1-тэй тэнцүү гэсэн үг юм.

12-13. Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

эсвэл

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын нотолгоо:

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь x-ийн байгалийн утгуудын хувьд үнэн гэдгийг мэдэж байгаа тул бид бодит x-ийн хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг батлах болно, өөрөөр хэлбэл бид үүнийг батлах болно. . Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1. Let . х-ийн утга бүр нь хоёр эерэг бүхэл тооны хооронд байна: , энд x-ийн бүхэл хэсэг байна.

Энэ нь дараах байдалтай байна: тиймээс

Хэрэв, тэгвэл. Тиймээс хязгаарын дагуу , бидэнд байна:

Хязгаарын оршин тогтнох шалгуур (завсрын функцийн хязгаарын тухай) дээр үндэслэнэ .

2. Байг. Тэгвэл орлуулалт хийцгээе

Энэ хоёр тохиолдлоос харахад ийм байна жинхэнэ X-ийн хувьд

14. Хэсэгчилсэн дериватив.

Болъё z=f(x,y) . Нэг цэгийг засъя (x,y), дараа нь аргументийн тогтмол утгыг өөрчлөхгүйгээр y, аргументаа өгье xөсөлт. Дараа нь zнэмэгдэл авах бөгөөд үүнийг хэсэгчилсэн нэмэгдэл гэж нэрлэдэг z By x томъёогоор тэмдэглэж тодорхойлогддог.

Үүний нэгэн адил, хэрэв xтогтмол хэвээр ба yдараа нь нэмэгдэл авдаг zхэсэгчилсэн нэмэгдэл авдаг z By y,.

Тодорхойлолт. талаар хэсэгчилсэн дериватив xфункцээс z=f(x,y) -ээр хэсэгчилсэн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг xтэг рүү орох хандлагатай байгаа өсөлт рүү, i.e.

Хэсэгчилсэн деривативыг тэмдэгтүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ .

-д хамаарах хэсэгчилсэн дериватив y:

.

Ийнхүү хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг нэг хувьсагчийн функцийн деривативтай ижил дүрмийн дагуу тооцдог.

Жишээ. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол z=x 2 д x-2y .

Ямар ч тооны хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.

Төгсгөлгүй жижиг функц, эквивалент функцүүдийн харьцуулалт

Хязгааргүй жижиг, хязгааргүй их хэмжээ.

O.1.Дараалал гэж нэрлэдэг хязгааргүй томхэрэв ямар нэгэн эерэг тооны хувьд (бид үүнийг хичнээн томоор авсан ч) N тоо байгаа бол n›N хувьд тэгш бус байдал | x p | › A, өөрөөр хэлбэл. юу ч байсан их тооГэхдээ бид үүнийг аваагүй, дарааллын бүх гишүүн А-аас их байх тоо байна.

Тодорхойлолт 6. Дарааллыг (α n) гэж нэрлэдэг хязгааргүй жижиг,хэрэв ямар нэгэн эерэг тооны ε (бид үүнийг хичнээн бага авсан ч) N тоо байгаа бол n›N хувьд тэгш бус байдал | α p | ‹ε.

1. (n) дараалал нь хязгааргүй том байна.

2. () дараалал нь хязгааргүй жижиг.

Теорем 1.Хэрэв (x p ) нь хязгааргүй том дараалал бөгөөд түүний бүх гишүүн тэгээс ялгаатай бол x p ≠0 бол (α p ) = дараалал нь хязгааргүй бага, харин эсрэгээр (α p ) хязгааргүй жижиг дараалал бол α p ≠ байна. 0 , дараалал (x n) = хязгааргүй том байна.

Хязгааргүй жижиг дарааллын үндсэн шинж чанарыг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Теорем 2.Хязгааргүй хоёр дарааллын нийлбэр ба зөрүү нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Жишээ 2.Нийтлэг гишүүнтэй дараалал нь хязгааргүй жижиг, учир нь өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн дараалал нь хязгааргүй жижиг дарааллын нийлбэр тул хязгааргүй бага байна.

Үр дагавар.Аливаа төгсгөлтэй тооны хязгааргүй жижиг дарааллын алгебрийн нийлбэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Теорем 3.Хязгааргүй хоёр дарааллын үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Үр дагавар.Аливаа төгсгөлтэй тооны хязгааргүй жижиг дарааллын үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Сэтгэгдэл. Хязгааргүй хоёр дарааллын категори нь ямар ч дараалал байж болох ба утгагүй байж болно.

Жишээлбэл, хэрэв , дарааллын бүх элементүүд 1-тэй тэнцүү бөгөөд энэ дараалал нь хязгаарлагдмал байна. Хэрэв , , дараалал нь хязгааргүй том ба эсрэгээр, хэрэв , a бол энэ нь хязгааргүй жижиг дараалал болно. Хэрэв тодорхой тооноос эхлэн дарааллын элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал дараалал нь утгагүй болно.

Теорем 4.Хязгаарлагдмал дараалал ба хязгааргүй жижиг дарааллын үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Жишээ 3.Дараалал нь хязгааргүй жижиг, учир нь ба дараалал () нь хязгааргүй жижиг, дараалал нь хязгаарлагдмал, учир нь ‹ 1. Иймд хязгааргүй жижиг дараалал байна.

Үр дагавар.Хязгааргүй жижиг дараалал ба тооны үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Тодорхойлолт. f(x) функцийг дуудна хязгааргүй том-ийн хувьд, хэрэв байгаа бол, бүр дур зоргоороо том эерэг тооны хувьд эерэг тоо (M, δ=δ(M)-ээс хамаарч) байгаа тул x 0-тэй тэнцүү биш, нөхцөлийг хангасан бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал нь биелнэ.

Бичнэ үү: эсвэл .

Жишээлбэл, функц нь хязгааргүй том функц юм; функц дээр.

Хэрэв f(x) нь хязгааргүй байх хандлагатай бөгөөд зөвхөн эерэг утгыг авдаг бол зөвхөн гэж бичнэ сөрөг утгууд, Тэр .

Тодорхойлолт.Бүхэл тооны мөрөнд тодорхойлогдсон f(x) функцийг дуудна хязгааргүй том-ийн хувьд, хэрэв ямар нэгэн эерэг тооны хувьд эерэг тоо (M-ээс хамаарч, N=N(M)) байгаа тул нөхцөлийг хангаж байгаа бүх x-ийн хувьд тэгш бус байдал нь биелнэ.

Жишээлбэл, y = 2 x функц нь хязгааргүй том функц юм; функц нь хязгааргүй том функц юм.

Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд:

1. Бүтээгдэхүүн b.b.f. Хязгаар нь тэгээс өөр функцийн хувьд b.b.f.

2. Дүн b.b.f. мөн хязгаарлагдмал функц байдаг b.b.f.

3. b.b.f-ийн коэффициент. хязгаартай функцийн хувьд b.b.f байна.

Жишээлбэл, f(x)=tgx функц нь b.b.f. үед, φ(х)=4х-3 at функц нь тэгээс ялгаатай хязгаартай (2π-3) ба ψ(х)=sinx функц нь хязгаарлагдмал функц байна.

f(x) φ(x)=(4x-3) tgx; f(x) + ψ(x)= tanx + sinx; -д зориулсан хязгааргүй том функцууд байдаг.

Тодорхойлолт. f(x) функцийг дуудна хязгааргүй жижигүед, хэрэв

Функцийн хязгаарын тодорхойлолтоор тэгш байдал (1) нь: дурын эерэг тооны хувьд, дур мэдэн бага ч гэсэн эерэг тоо (ε, δ=δ(ε)-ээс хамаарч) байгаа бөгөөд бүх x-ийн хувьд x-тэй тэнцүү биш байна. 0 ба нөхцөлийг хангавал тэгш бус байдал явагдана

Теорем. Тэгш байдлыг хангахын тулд функц нь -д хязгааргүй бага байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. Энэ тохиолдолд функцийг хэлбэрээр илэрхийлж болно.

B.m.f. ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. хувьд ,- 0, , бүх тохиолдолд f(x)0.

Хязгааргүй жижиг функцийг ихэвчлэн хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн эсвэл хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг; ихэвчлэн тэмдэглэдэг Грек үсэгα, β гэх мэт.

Жишээлбэл, x→0 үед y=x 2; y=x-2 үед x→2; x→πк-ийн хувьд y=sinx нь хязгааргүй жижиг функц юм.

Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд:

1. Төгсгөлгүй тооны хязгааргүй жижиг функцүүдийн нийлбэр нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн;

2. Хязгаарлагдмал тооны хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр, түүнчлэн хязгааргүй жижиг функцийн үржвэр. хязгаарлагдмал функц, нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн;

3. Хязгаар нь биш функцэд хязгааргүй жижиг функцийг хуваах коэффициент тэгтэй тэнцүү, хэрэв тоо хэмжээ нь хязгааргүй бага бол.

Хэрэв функцууд нь хязгааргүй жижиг бол сүүлчийн шинж чанарыг авч үзье (Хязгааргүй жижиг функцүүдийн харьцуулалт):

1). Хэрэв , тэгвэл үүнийг хязгааргүй жижиг, илүү гэж нэрлэдэг өндөр захиалга-аас арай илүү.

Жишээ. x→2-ын хувьд (x - 2) 3 функц нь (x -2) -ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг, учир нь .

2). Хэрэв , тэгвэл тэдгээрийг ижил эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо гэж нэрлэдэг (тэг рүү ойртох хурд нь ижил);

Жишээ. x→0-ийн хувьд 5x 2 ба x 2 функцууд нь ижил дарааллын хязгааргүй жижиг тоонууд болно.

3). Хэрэв , тэгвэл болон тэнцүү хязгаарлагдмал тоо гэж нэрлэгдэх бол ~., тэгвэл

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцүүдийн хоорондын хамаарал: хязгааргүй жижиг функцийн урвуу нь хязгааргүй том (мөн эсрэгээр), өөрөөр хэлбэл. хэрэв - хязгааргүй жижиг функц, тэгвэл энэ нь хязгааргүй том байна.

Хязгааргүй жижиг дарааллын тодорхойлолтыг өгсөн болно. Энэ нь нэгдэх дарааллын шинж чанартай байдаг. Зөвхөн тэгтэй тэнцүү хязгаартай дарааллын шинж чанарууд бас байдаг. Ийм өмчийг нотлох баримтаар хангадаг. Дараалал нь хязгааргүй жижиг гэдгийг батлах шаардлагатай жишээг авч үзье.

Агуулга

Тодорхойлолт

Хязгааргүй жижиг дараалал (αn)нь хязгаар нь тэгтэй нийлэх дараалал юм:
.

Дараах шинж чанарууд нь хязгаар нь тэг байх дараалалд хамаарах арифметик шинж чанаруудын шууд үр дагавар юм.

Хязгааргүй жижиг дарааллын нийлбэр ба зөрүүний шинж чанар

Нийлбэр ба ялгаахязгаарлагдмал тооны хязгааргүй жижиг дараалал нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.
Мөн хязгаарлагдмал тооны хязгааргүй жижиг дарааллын шугаман хослол нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.
Тооны дарааллын нийлбэр ба зөрүүний хязгаарын баталгаа.

Хязгааргүй жижиг дарааллын үржвэрийн шинж чанар

Хязгаарлагдмал тооны бүтээгдэхүүнхязгааргүй жижиг дараалал бол хязгааргүй жижиг дараалал юм.
Тооны дарааллын үржвэрийн хязгаарын баталгаа.

Дараах шинж чанарууд нь зөвхөн хязгааргүй жижиг дараалалд хамаарах ба нийлэх дарааллын шинж чанарын шууд үр дагавар биш юм.

(xn)
x n = b + α n ,
Хаана (αn)

Үл хөдлөх хөрөнгийн баталгаа

Хязгаарлагдмал дараалал ба хязгааргүй жижиг тооны үржвэрийн шинж чанар

Хязгаарлагдмал дарааллын бүтээгдэхүүн infinitesimal хүртэл нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Баталгаа

Дарааллыг тодорхой тоогоор хязгаарлъя:
(3.1) .

Дараалал нь хязгааргүй бага байг. Өөрөөр хэлбэл, хувьсагчийн аль ч эерэг утгын хувьд тэгш бус байдлыг хангадаг хувьсагчаас хамааралтай функц байдаг.
(3.2) цагт.

Дарааллыг ба дарааллын үржвэр гэж үзье.
.
Түүний ерөнхий нэр томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
(3.3) цагт.

Бид тэгш бус байдлыг хангах функцийг олох хэрэгтэй
.
Бид (3.1) ба (3.2)-ыг хэрэглэнэ.
.
Энэ нь дээр хийгддэг.
.

Тэгэхээр,
(3.3) цагт.

тавьцгаая:

Өөрөөр хэлбэл, ямар ч эерэг тооны хувьд тэгш бус байдал нь дараахь функцийг олсон.

Эд хөрөнгө нь батлагдсан. (xn)Төгсгөлгүй жижиг тоогоор нийлэх дарааллыг илэрхийлэх шинж чанар
x n = b + α n ,
Хаана (αn)Дарааллын дагуу

Баталгаа

b хязгаартай байсан, энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм- хязгааргүй жижиг дараалал.
.
Хэрэгцээ

. Let .Нийтлэг нэр томъёо бүхий дарааллыг авч үзье.
.

тавьцгаая:

Бид хязгаарын арифметик шинж чанарыг ашигладаг:

Энэ нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Хангалттай байдал

. Let .
.
Хязгаарын арифметик шинж чанарууд дээр үндэслэн бид дараах байдалтай байна. 1, 2, 3, ... Жишээ
,
,
.
Тиймээс дарааллын нөхцлүүд нь эерэг тоонууд юм. Дараа нь
.

Тиймээс бид дараах тооцоог авсан.
.
Оруулна уу эерэг тоонуудМөн:
.
Тэгш бус байдлын шинж чанарын дагуу хэрэв ба, тэгвэл
.

Үүнээс үзэхэд ямар ч эерэг хүнийг олж болно натурал тоо, тэгээд хэзээ,
.
Энэ нь анхны дарааллын хязгаар нь тэг, тиймээс энэ нь хязгааргүй жижиг гэсэн үг юм.