Безутын теорем, хэдийгээр илт энгийн бөгөөд ойлгомжтой боловч олон гишүүнт онолын үндсэн теоремуудын нэг юм. Энэ теоремд олон гишүүнтийн алгебрийн шинж чанарууд (тэдгээр нь олон гишүүнттэй бүхэл тоогоор ажиллах боломжийг олгодог) тэдгээрийн функциональ шинж чанаруудтай холбоотой байдаг (энэ нь олон гишүүнтийг функц гэж үзэх боломжийг олгодог).

Безутын теоремолон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваахад үлдэгдэл нь .

Олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь нэгдмэл байдлаар солигдох цагирагт байрладаг (жишээлбэл, бодит эсвэл нийлмэл тоонуудын талбарт).

Безутын теорем - нотолгоо.

Олон гишүүнтийг үлдсэн хэсэгт хуваа P(x)олон гишүүнт рүү (х-а):

Үүний үндсэн дээр градус R(x)< deg (x-a) = 1 - тэгээс ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт. Авснаас хойш бид орлуулдаг .

Гэхдээ хамгийн чухал нь теорем биш, харин Безутын теоремын үр дагавар юм.

1. Тоо нь олон гишүүнтийн үндэс юм P(x)дараа нь, зөвхөн хэзээ P(x)үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагддаг х-а.

Үүний үндсэн дээр олон гишүүнтийн язгуурын багц P(x)харгалзах тэгшитгэлийн язгуурын олонлогтой ижил байна х-а.

2. Олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнийг бүхэл тоон коэффициенттэй олон гишүүнт аль ч бүхэл язгуурт хуваана (тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол бүх рационал язгуурууд бүхэл тоо болно).

3. Үүнийг багасгасан олон гишүүнт бүхэл язгуур гэж үзье P(x)бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Энэ нь аливаа бүхэл тоонд энэ тоо нь хуваагдана гэсэн үг юм.

Безоутын теорем нь олон гишүүнтийн нэг язгуурыг олсны дараа зэрэг нь аль хэдийн 1-ээс бага олон гишүүнтийн язгууруудыг хайх боломжийг олгодог: хэрэв , тэгвэл энэ олон гишүүнт P(x)иймэрхүү харагдах болно:

Безутын теоремын жишээнүүд:

Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдлийг ол.

Безоутын теоремын шийдлийн жишээ:

Безутын теорем дээр үндэслэн шаардлагатай үлдэгдэл нь цэг дээрх олон гишүүнтийн утгатай тохирч байна. Дараа нь бид олох болно, үүний тулд бид олон гишүүнтийн илэрхийлэлд -ийн оронд утгыг орлуулна. Бид авах:

Хариулах: Үлдэгдэл = 5.

Хорнерын схем.

Хорнерын схемнь олон гишүүнт хуваах (Хорнерийн схемээр хуваах) алгоритм бөгөөд хэрэв хоёр гишүүнтэй тэнцүү бол тусгай тохиолдлоор бичигдэнэ.

Энэ алгоритмыг бүтээцгээе:

Үүнийг ногдол ашиг гэж үзье

Хэмжээ (түүний зэрэг нь нэгээр бага байх магадлалтай), r- үлдэгдэл (хуваалтыг олон гишүүнтээр гүйцэтгэдэг тул 1-рзэрэг, дараа нь үлдэгдэл зэрэг нь нэгээр бага байх болно, өөрөөр хэлбэл. тэг, тэгэхээр үлдэгдэл нь тогтмол).

Үлдэгдэлтэй хуваах тодорхойлолтоор P(x) = Q(x) (x-a) + r. Олон гишүүнт илэрхийллүүдийг орлуулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Бид хаалтуудыг нээж, коэффициентүүдийг ижил зэрэглэлээр тэнцүүлж, дараа нь ногдол ашиг ба хуваагчийн коэффициентээр дамжуулан хуваах коэффициентийг илэрхийлнэ.

Тооцооллыг дараах хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэхэд тохиромжтой.

Энэ нь дараагийн алхам дахь тооцоололд агуулагдах нүднүүдийг онцолж өгдөг.

Хорнер схемийн жишээ:

Бид олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах хэрэгтэй гэж бодъё х-2.

Бид хоёр эгнээ бүхий хүснэгт үүсгэдэг. 1 мөрөнд бид олон гишүүнтийнхээ коэффициентийг бичнэ. Хоёрдахь мөрөнд бид бүрэн бус хэсгийн коэффициентийг дараах схемийн дагуу авна: юуны өмнө бид энэ олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициентийг дахин бичиж, дараа нь дараагийн коэффициентийг олж авахын тулд хамгийн сүүлд олдсон коэффициентийг үржүүлнэ. a=2олон гишүүнтийн харгалзах коэффициентээр нэмнэ F(x). Хамгийн сүүлийн коэффициент нь үлдэгдэл байх ба өмнөх бүх коэффициентүүд нь бүрэн бус коэффицентийн коэффициентүүд байх болно.

шинжлэх ухааны ажил

Теоремын хэрэглээ

Би Безутын теоремыг практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах зарим жишээн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Безоутын теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

· чөлөөт гишүүний бүх бүхэл хуваагчийг олох;

· эдгээр хуваагчдаас (a) тэгшитгэлийн ядаж нэг язгуурыг ол;

· тэгшитгэлийн зүүн талыг (x-a) -д хуваана;

· тэгшитгэлийн зүүн талд хуваагч ба хуваагчийн үржвэрийг бичих;

· үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

x 3 -3x 2 +6x-5 олон гишүүнтийн үлдэгдлийг ол

бином x-2.

Безутын теоремын дагуу:

R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.

Хариулт: R=3.

a-ийн ямар утгад x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 олон гишүүнт x-2 хоёр гишүүнд үлдэгдэлгүй хуваагдах вэ?

Безоутын теоремоор: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.

Харин нөхцөлийн дагуу R=0, энэ нь 8a+16=0 гэсэн үг, тэгэхээр a=-2.

Хариулт: a=-2.

a ба b-ийн ямар утгуудад ax 3 +bx 2 -73x+102 олон гишүүнт x 2 -5x+6 гурвалжинд үлдэгдэлгүйгээр хуваагдах вэ?

Хуваагчийг үржвэр болгоё: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).

x-2 ба x-3 хоёр гишүүн нь хоёр гишүүнтэй байдаг тул энэ олон гишүүнт нь x-2 ба x-3-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь Безутын теоремоор:

R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0

R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0

Би тэгшитгэлийн системийг шийдэх болно:

8a+4b-44=0 2a+b=11

27a+9b-117=0 3a+b=13

Эндээс бид: a=2, b=7.

Хариулт: a=2, b=7.

a ба b-ийн аль утгуудын хувьд олон гишүүнт x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b байна

x 2 -2x+1 гурвалжинд үлдэгдэлгүй хуваагдах уу?

Хуваагчийг ингэж төсөөлье: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

Безоутын теоремын дагуу энэ олон гишүүнт үлдэгдэлгүйгээр x-1-д хуваагдана:

R 1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.

Энэ олон гишүүнтийг x-1-д хуваах коэффициентийг олъё:

X 4 +сүх 3 -9х 2 +11х-а-3 х-1

x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)

(a+1)x 3 -(a + 1)x 2

(a-8)x 2 -(a-8)x

x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) хэсгийг (x-1) үлдэгдэлгүйгээр хуваана.

R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.

Би тэгшитгэлийн системийг шийдэх болно:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a - 3 = 0 a = 1

Системээс: a=1, b=-4

Хариулт: a=1, b=-4.

f(x)=x 4 +4x 2 -5 олон гишүүнт хүчин зүйлс.

Чөлөөт гишүүний хуваагчдаас 1-ийн тоо нь өгөгдсөн олон гишүүнт f(x)-ын үндэс бөгөөд Безоутын теоремын 2-р үр дүнд f(x) нь (x-1)-д үлдэгдэлгүй хуваагдана гэсэн үг юм.

f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, энэ нь f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5) гэсэн үг.

x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүний хуваагчдын дунд түүний язгуур байдаг бөгөөд энэ нь Безоутын теоремын 2-р үр дүнд x 3 +x 2 +5x+5 нь (x) -д хуваагддаг гэсэн үг юм. +1) тэнцвэргүй:

X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1

x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5

X 3 +4x 2 _5x+5

(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, энэ нь x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5) гэсэн үг.

Эндээс f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

7-р үр дүнд (x 2 +5) хүчин зүйл ангилах боломжгүй, учир нь бодит язгуургүй тул f(x)-г цаашид үржвэрлэх боломжгүй.

Хариулт: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

f(x)=x 4 +324 олон гишүүнт хүчин зүйлс.

f(x) үндэсгүй, учир нь x 4 нь -324-тэй тэнцүү байж болохгүй, энэ нь 7-р үр дүнд f(x) хүчин зүйлчлэгдэх боломжгүй гэсэн үг.

Хариулт: олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ялгах боломжгүй.

2 олон тооны үндэс 4, язгуур -2-той куб олон гишүүнт байгуул.

3-р үр дүнд, хэрэв f(x) олон гишүүнт 2-ын 4-тэй язгуур, -2-ын үндэстэй бол энэ нь (x-4) 2 (x+2)-д үлдэгдэлгүй хуваагдана гэсэн үг бөгөөд энэ нь:

f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), i.e.

f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),

f(x)=(x 2 -8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),

f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).

(x 3 -6x 2 +32) нь куб олон гишүүнт боловч f(x) болзолоор мөн куб олон гишүүнт тул Q(x) нь зарим бодит тоо юм. Q(x)=1, тэгвэл f(x)=x 3 -6x 2 +32.

Хариулт: x 3 -6x 2 +32.

x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0 тэгшитгэлийг шийд.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x 2 -3)=0

X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2

x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15

Хариулт: x 1 =2, x 2 =-5, x 3.4 =.

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0 тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийг харахад бид 4-р үр дүнд тэгшитгэлийн 6-аас илүүгүй үндэстэй гэж шууд хэлж чадна.

12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1

x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12

10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2

10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6

6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2

6х 2 -6х -5х 3 -10х 2

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0

x 4 -5x 2 +6=0 - би квадрат тэгшитгэл, x 1.2 =, x 3.4 =.

Хариулт: x 1.2 =, x 3.4 =, x 5 =1, x 6 =-2.

x 3 -5x 2 +8x-6=0 тэгшитгэлийг шийд.

X 3 -5x 2 +8x-6 x-3

x 3 -3x 2 x 2 -2x+2

x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2)(x-3)=0

x 2 -2x+2=0 нь квадрат тэгшитгэл, үндэсгүй учир Д<0.

Хариулт: x=3.

6x 3 +11x 2 -3x-2=0 тэгшитгэлийг шийд.

6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2

6х 3 +12х 2 6х 2 -х-1

6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0

6x 2 -x-1=0 - квадрат тэгшитгэл, x 1 =S, x 2 =-?.

Хариулт: x 1 =S, x 2 =-?, x 3 =-2.

А.Н. Колмогоровын намтар, уран бүтээл

Колмогоровын теоремууд: 1. Норматив орон зайн тухай теорем (1934); 2. Их тооны хуулийг хэрэглэх тухай теорем (1928); 3. Хүчтэй хуулийн олон тооны хэрэглэх боломжийн тухай теорем (1930, 1933). 2.8...

Хоёр үндсэн бүлгүүд

Теорем худал, бүлэг нь хамгийн бага дарааллын эсрэг жишээ гэж үзье. --- циклт Sylow -дэд бүлэг, энд --- Sylow 2-дэд бүлэг, --- түүний инвариант нөхөж байна. Леммийн ачаар теоремын нөхцөл хангагдана...

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Безоутын теоремыг сурах n-р зэрэг n>2-ийн хувьд

Үүрэн зай

Дүгнэлт 1. Х нь эсийн орон зай, А нь эсийн дэд орон зай гэж үзье. Хэрэв А өөрөө цэг хүртэл агших чадвартай бол X/A ~ X. Баталгаа. X X/A проекцоор тэмдэглэе. А нь агших чадвартай тул гомотопи ft: AA, ийм...

Симплектик бүлгүүдийн хамгийн их хүчин зүйлчлэл

Теорем Аливаа тэгш тоо болон аль ч талбарын хувьд бүлгээс бусад бүлэг нь энгийн бөгөөд энэ нь энгийн биш юм. Баталгаа. 1) Бүлгийн онцгой зан байдал нь дараахь зүйлээс үүдэлтэй. Тиймээс бид ерөнхий тохиолдолд гэж таамаглах болно ...

Шинжлэх ухааны ололт амжилтПифагор

Бодлого No1 Шийдэл: D ABC нь AB гипотенузтай тэгш өнцөгт хэлбэртэй, Пифагорын теоремын дагуу: AB2 = AC2 + BC2, AB2 = 82 + 62, AB2 = 64 + 36, AB2 = 100, AB = 10. Хариулт: AB = 10 Бодлого No2 Шийдэл: D DCE - DE гипотенузтай тэгш өнцөгт, Пифагорын теоремоор: DE2 = DC2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд деривативыг ашиглах

Жишээ 1. Теоремыг батална уу: хэрэв (1) тэгшитгэл эерэг язгууртай бол (2) тэгшитгэл нь мөн эерэг язгууртай бөгөөд үүнээс бага...

Мэдэгдэж буй төрлийн амралтын цэгүүдтэй системүүдтэй тэнцэх системүүд

Ямар ч сондгой тасралтгүй функц хаана байгааг бид олж мэднэ. -тай хамт дифференциал систем(1) цочролд орсон системийг (2) авч үзье, энд ямар ч тасралтгүй байна сондгой функц. Мэдэгдэж байгаа...

Спектрийн график

Матрицын онолын тодорхой теоремуудын үндсэн дээр график спектрийн хэд хэдэн үндсэн шинж чанарыг (эсвэл ерөнхийдөө мультидиграф) тогтоож болно. Энэ хэсэгт зөвхөн хамгийн чухал матрицын теоремуудыг толилуулж байна...

Sylow-ийн теорем

G бүлэг, P өөр бүлэг байг. aG элемент бүрийг S-ийн аль нэг элементтэй холбож өгье, өөрөөр хэлбэл G ба S-ийн зураглалыг өгөв. μ-ийн зураглалыг гомоморф буюу G-ийн гомоморфизм гэж нэрлэнэ...

Зуйван интеграл ба эллипс функцийн онол

Теорем 1. Зууван функцийн дериватив нь мөн эллипс функц мөн. Үнэн хэрэгтээ дурын z-д тохирдог (1) хамаарлыг ялгаж авч үзвэл f(z) дериватив нь анхны функцтэй ижил 2 ба 2 үетэй байна...

Модультай тэгшитгэл ба тэгш бус байдал төвлөрсөн туршилт

Модулийн ялгаварын үржвэр буюу коорентуудын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой теоремыг томъёолъё: Теорем Хоёр илэрхийллийн модулийн зөрүүний тэмдэг нь эдгээр илэрхийллийн квадратуудын ялгаварын тэмдэгтэй давхцаж байна...

Хязгаарлагдмал тархалтын сүлжээнүүдийн функциональ дүрслэл

Лемма1. Конгрюцууд нь нээлттэй гэр бүлийг бүрдүүлдэг. Баталгаа. Аливаа элементийн хувьд багц нээлттэй байгааг харуулах шаардлагатай. Тэгвэл зарим хүмүүсийн хувьд ийм байг. Хэрэв нь дурын ерөнхий идеал бол, тэгэхээр, тиймээс...

Цилиндр функцууд

Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн интегралуудын тухай Кошигийн теоремыг ашигласнаар Пуассоны интегралаас дахин нэгийг гаргаж болно. салшгүй төлөөлөл, Бесселийн функцүүдийн онолд маш чухал...

Ангиудын индексжүүлэлтийн талаархи онцгой асуудал

Энэ тохиолдолд теоремын мэдэгдэл тодорхой байна. Байгаа. Лемма 3. Аливаа ХС ба дурын цэгийн хувьд тухайн цэгийн зарим хөршид v(t)(t) (v(t)(t)) байх ХС байна. Баталгаа. Хэрэв i байхгүй бол n-1 тэгш, Yi(0) байхаар 0in+2...

Олон гишүүнтийн хуваагдлын үлдэгдлийг олъё П(x) хэлбэрийн шугаман бином руу ( x ‑ а), Хаана а- тодорхой тоо. Хуваагч олон гишүүнт эхний зэрэгтэй тул үлдсэн хэсэг нь тэг зэрэгтэй байх ёстой, өөрөөр хэлбэл энэ нь тодорхой тоо байх ёстой. r. Дараа нь бол Q(x) нь категорит олон гишүүнт байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: П(x) = Q(x)·( x ‑ а) + r. Үүний оронд үүссэн тэгш байдлыг орлуулах xтоо а, бид авах: П(а) = Q(а)·( а ‑ а) + r = Q(а)·0 + r = r. Ийнхүү олон гишүүнт хуваагдсан хэсэг нь үлдэгдэл болж байна П(x) биномоор ( x ‑ а)-г ногдол ашгийн олон гишүүнт орлуулах замаар хуваахгүйгээр олж болно аоронд нь x. Олон асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилттай ашигласан батлагдсан мэдэгдэл стандарт бус даалгавар, нь Безутын теоремын мөн чанар юм (Этьен Безот, 1730 - 1783, Францын математикч, Парисын Шинжлэх ухааны академийн гишүүн).

Безутын теорем: Үлдэгдэл rолон гишүүнт хуваагдахаас П(x) биномоор ( x ‑ а) цэг дээрх энэ олон гишүүнтийн утгатай тэнцүү байна а, өөрөөр хэлбэл r = П(а).

Тайлбар 1:Олон гишүүнтдуудсан өгсөн, хэрэв түүний тэргүүлэх коэффициент (өөрөөр хэлбэл, хамгийн дээд зэрэглэлийн гишүүний коэффициент) 1-тэй тэнцүү бол. Жишээ нь, олон гишүүнт , багассан, харин , үгүй.

Тайлбар 2: Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийг бүхэл тоон коэффициент бүхий бууруулсан олон гишүүнд хуваахад тухайн олон гишүүнтийн бүх коэффициент болон үлдсэн олон гишүүнт бүхэл тоо нь бүхэл тоо болж хувирдаг (энэ нь олон гишүүнт "булангийн" олон гишүүнт хуваагддагийг санахад хялбар байдаг. ). Ялангуяа бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах үед ( x ‑ а), Хаана а– бүхэл тоо, квентийн олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүд бүхэл тоо байна.

Тоо а дуудсан олон гишүүнтийн үндэс П(x), Хэрэв П(а) = 0 (өөрөөр хэлбэл хэрэв тоо а- тэгшитгэлийн үндэс П(x) = 0). Жишээлбэл, 1 ба -1 тоо нь олон гишүүнтийн язгуур, -2 ба 5 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс, олон гишүүнт үндэсгүй, учир нь тэгш байх боломжгүй. Безоутын теоремоос үзвэл хэрэв тоо аолон гишүүнтийн үндэс юм П(x), дараа нь олон гишүүнт хуваагдлын үлдэгдэл П(x) биномоор ( x ‑ а) тэнцүү байна П(а) = 0, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнт П(x)-д хуваагдана ( x ‑ а) үлдэгдэлгүй. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв а– олон гишүүнтийн үндэс П(x), Тэр П(x) дараах хэлбэрээр үзүүлнэ. П(x) = (x ‑ а)· Q(x). Энэ мэдэгдэл нь Безоутын теоремын үр дагаварын мөн чанар юм.

Безоутын теоремын үр дүн: Тоо аолон гишүүнтийн үндэс юм П(x) зөвхөн хэрэв байгаа бол П(x)-д хуваагдана ( x ‑ а) үлдэгдэлгүй.

Даалгаварууд:

1. Олон гишүүнтийг -д хуваахад үлдэгдлийг ол.

2. Гурав дахь зэрэгтэй олон гишүүнт хуваагдах үед ол xүлдэгдэл 1, дээр өгнө x- 2 – үлдэгдэл 3, үлдэгдэлгүй хуваагдана.

3. Олон гишүүнт хуваагддаг болохыг батал.

4. Ямар үнэ цэнээр аТэгээд болон гишүүнт Дараах олон гишүүнтэд үлдэгдэлгүй хуваагдана.

5. Олон гишүүнтийг хуваахдаа x- 1 нь 2-ын үлдэгдлийг үлдээж, хуваах үед x- 2 - 1. Энэ олон гишүүнтийг -д хуваахад хэдэн гишүүн үлдэх вэ?

6. Олон гишүүнтийг -д хуваахад үлдэгдлийг ол.

7. Олон гишүүнтийг хуваахад үлдэгдэл нь 2-той тэнцүү гэдгийг мэддэг x+ 1. Энэ олон гишүүнтийг дараах байдлаар хуваахад үлдэгдлийг ол.

A) x – 1;

б) 3 x + 2;

8. 4-р зэрэглэлийн бууруулсан олон гишүүнт нь -д хуваагддаг нь мэдэгдэж, хуваагдах үед -ийн үлдэгдлийг ол.

9. Олон гишүүнт хуваагдахад ямар үлдэгдэл гарах вэ? П(x) дээр x– 1 ба олон гишүүнт Q(x) - асаалттай xХэрэв хуваах бол + 1 x 2 – 1 олон гишүүнт -6-ийн үлдэгдэл үлдэх үү?

10. Энэ тоо 7-д хуваагддаг болохыг батал.

11. 100.000 ба 1.000.000.000 тоонуудын 11-д хуваагдсан үлдэгдэл тэнцүү болохыг батал.

12. Тоог 26-д хуваахад үлдэгдлийг ол.

13. Тэгшитгэлийн язгууруудын нэг тэнцүү 3. Параметрийн утгыг ол атэгшитгэлийг шийднэ.

Гал.: хуудас 111,дугаар 9.10 (б).

Гэрийн даалгавар:

14. Олон гишүүнтийг хуваахдаа хуваахгүйгээр үлдэгдлийг ол x + 2.

Хотын нээлттэй эрдэм шинжилгээний хурал

сургуулийн сурагчид, оюутнууд

Сэдэв: “БЭЗОУТЫН ТЕОРЕМЫ ТЭГШИГЧИЛГИЙГ ШИЙДЭХ НЬ СУДАЛАХ НЬnЗЭРЭГ, ATn>2"

Дууссан:

Эрдэм шинжилгээний удирдагч:

Танилцуулга

Этьен Безут

Безутын теорем

Теоремын баталгаа 6

Теоремоос гарах үр дүн:

Дүгнэлт 1

Дүгнэлт 2

Дүгнэлт 3

Дүгнэлт 4

Дүгнэлт 5

Дүгнэлт 6

Дүгнэлт 7

Теоремын хэрэглээ

Дүгнэлт

Эх сурвалжууд

Танилцуулга

Гурав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг. Баруун тал нь тэг байх үед тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцох нь олон төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга юм. Энд ерөнхий жор байдаггүй. Ур чадвар, оюун ухаан, ажиглалт, туршлагаас их зүйл шалтгаална.

Гэхдээ ийм тэгшитгэлийг үргэлж хүчин зүйлээр ангилж болохгүй. Өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалсан аргуудын нэг бол Безутын теорем юм.

Миний ажлын зорилго: Безоутын теоремыг судлах.

Энэхүү зорилгодоо хүрэхийн тулд дараахь ажлуудыг хийхээр төлөвлөжээ.

· Этьен Безутын намтартай танилцах;

· теоремын тодорхойлолт, нотолгоонд дүн шинжилгээ хийх;

· Безутын теоремын үр дагаварыг олж тогтоох, нотлох;

· теоремыг хэрэглэх тодорхой жишээг үзүүлнэ.

Этьен Безут

Этьен Безут - Францын математикч, Парисын Шинжлэх Ухааны Академийн гишүүн (1758 оноос хойш).

1763 оноос хойш Безу ахлагчийн сургуульд, 1768 оноос Хааны артиллерийн корпуст математикийн хичээл заажээ.

Этьен Безутын гол бүтээлүүд нь дээд алгебртай холбоотой бөгөөд шийдлийн онолыг бий болгоход зориулагдсан болно. алгебрийн тэгшитгэл. Системийг шийдвэрлэх онолын хувьд шугаман тэгшитгэлТэрээр тодорхойлогчдын онолыг бий болгоход хувь нэмэр оруулж, тэгшитгэлийн системээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах онолыг боловсруулсан. илүү өндөр зэрэгтэй, m ба n эрэмбийн хоёр муруй хамгийн их mn цэгээр огтлолцдог теоремыг (анх К. Маклаурин томъёолсон) нотолсон.

Францад болон гадаадад 1848 он хүртэл Безоугийн 1764-1769 он хүртэл таван жилийн турш бичсэн зургаан боть "Математикийн курс" маш их алдартай байв. Тэрээр мөн тодорхойгүй үржүүлэгчийн аргыг боловсруулсан: анхан шатны алгебрт энэ аргад суурилсан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг түүний нэрээр нэрлэсэн. Безоутын бүтээлүүдийн нэг хэсэг нь гадаад баллистикт зориулагдсан байдаг.

Доор авч үзэх алгебрийн үндсэн теоремуудын нэг нь эрдэмтний нэрээр нэрлэгдсэн байдаг.

Безутын теорем

n-р зэрэгтэй олон гишүүнтийг х-тэй харьцуулахад хоёр гишүүнд хуваах үед х-үлдэгдэл x=a дахь ногдол ашгийн утгатай тэнцүү байна. (А үсэг нь ямар ч бодит эсвэл төсөөллийн тоо, өөрөөр хэлбэл ямар ч нийлмэл тоо.)

Теоремыг батлахын өмнө би хоёр тодруулга хийх болно.

1. Түүнд орсон үсгүүдийн тодорхой бие даасан утгын хувьд утгаа алддаг алгебр хэллэг байдгийг бид мэднэ. Жишээлбэл, x=0 үед 1/x утгаа алддаг; 1/(x 2 -25) илэрхийлэл x=5, x=-5 үед утгаа алддаг.

Аливаа эерэг бүхэл тооны олон гишүүнт утгаа хэзээ ч алддаггүй гэдгийг анхаарна уу. Хувьсагчийн аливаа утгын хувьд энэ нь тодорхой утгыг авдаг.

2. Нэг нь тэг болж нөгөө нь тодорхой утгыг авдаг хоёр хүчин зүйлийн үржвэр үргэлж тэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв нэг хүчин зүйл тэг болж, нөгөө хүчин зүйл нь утгаа алдвал ийм үржвэрийг тэгтэй тэнцүү гэж хэлж болохгүй. Ийм ажлын талаар тодорхой юу ч хэлж чадахгүй. Тухайн тохиолдол бүрт тусгай судалгаа хийх шаардлагатай.

Би бүтээгдэхүүнийг авч үзэх болно (1-x) *

. x=1 үед эхний хүчин зүйл тэг болж, хоёр дахь хүчин зүйл нь утгагүй болно. Энэ үржвэр нь x=1 үед тэгтэй тэнцүү гэж хэлж болохгүй. ] = Лим =1/2.

Тэгэхээр x=1-ийн хувьд бүтээгдэхүүн өөрөө (1-x) *

утгагүй. Гэхдээ түүний хязгаар нь утга учиртай, тухайлбал энэ нь ½-тэй тэнцүү, тэг биш, буруугаар таамаглаж магадгүй юм.

Безутын теоремын баталгаа

f(x) нь дурын тоог тэмдэглэе n-р олон гишүүнт x хувьсагчтай харьцуулахад градус байх ба түүнийг хоёр гишүүнд (x-a) хуваахад үр дүн нь q(x) хэсэгт, R үлдсэн хэсэгт нь q(x) нь (n-) олон гишүүнт байх нь ойлгомжтой. 1)х-р зэрэг, үлдсэн R нь тогтмол утга байх болно, өөрөөр хэлбэл. х-ээс хамааралгүй.

Хэрэв үлдсэн R нь х-тэй харьцуулахад хамгийн багадаа эхний зэрэгтэй олон гишүүнт байсан бол энэ нь хуваагдал бүтэлгүйтсэн гэсэн үг юм. Тэгэхээр R нь x-ээс хамаарахгүй.

Хуваалтын тодорхойлолтоор (ногдол ашиг нь хуваагч ба хуваагчийн үржвэртэй тэнцүү, үлдэгдэлтэй тэнцүү) би таних тэмдгийг олж авдаг.

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Энэ тэгшитгэл нь x-ийн аль ч утгын хувьд үнэн бөгөөд энэ нь x=a-д мөн адил байна гэсэн үг.

Тэгш байдлын зүүн ба баруун талд x хувьсагчийн оронд a тоог орлуулснаар би дараахийг олж авна.

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Энд f(a) тэмдэг нь f(x)-г илэрхийлэхээ больсон, i.e. x-ийн олон гишүүнт биш харин энэ олон гишүүнтийн x=a дахь утга. q(a) нь x=a үед q(x)-ийн утгыг илэрхийлнэ.

R нь х-ээс хамаарахгүй тул R-ийн үлдсэн хэсэг нь өмнөхтэй ижил хэвээр байна.

(a-a) хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү, q(a) хүчин зүйл нь тодорхой тоо тул (a-a)q(a) үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. (q(x) олон гишүүнт нь x-ийн тодорхой утгын хувьд утгаа алддаггүй.)

Тиймээс (1) тэгш байдлаас бид дараахь зүйлийг олж авна.

Q.E.D.

Теоремоос гарсан үр дүн

Дүгнэлт 1.

Олон гишүүнт f(x)-ыг хоёр гишүүнд (ax+b) хуваахад үлдэгдэл нь утгатай тэнцүү байна.

энэ олон гишүүнтийн x=-b/a, i.e. R=f(-b/a).

Нотолгоо:

Олон гишүүнт хуваах дүрмийн дагуу:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Тэгэхээр, R=f(-b/a),

Q.E.D.

Үр дүн 2:

Хэрэв a тоо нь f(x) олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт (х-а) -д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Нотолгоо:

Безоутын теоремоор, олон гишүүнт f(x)-ийг (x-a)-д хуваахад үлдэгдэл нь f(a)-тай тэнцүү, а нөхцөлөөр бол f(x)-ийн үндэс нь f(a) = 0 гэсэн үг. нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Безоутын теоремын энэхүү үр дүнд f(x)=0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодлого нь f олон гишүүнтийн нэгдүгээр зэрэгтэй хуваагчийг (шугаман хуваагч) тодорхойлох асуудалтай дүйцэх нь тодорхой байна.

Үр дүн 3:

Хэрэв f(x) олон гишүүнт a 1 , a 2 ,… ,a n гэсэн хос язгууртай бол түүнийг үлдэгдэлгүй (x-a 1)...(x-a n) үржвэрт хуваана.

Нотолгоо:

Үндэсийн тоон дээр математик индукц ашиглан нотолгоо хийцгээе. n=1-ийн хувьд уг мэдэгдлийг 2-р дүгнэлтээр нотолсон. Үндэсний тоо k-тэй тэнцүү байх тохиолдолд аль хэдийн нотлогдсон байя, энэ нь f(x) нь үлдэгдэлгүй хуваагдана гэсэн үг юм.

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), a 1, a 2,..., a k нь түүний үндэс юм.

f(x) нь (k+1) хос ялгаатай язгууртай байг. Индукцийн таамаглалаар a 1, a 2, a k,…, (a k +1) нь олон гишүүнтийн үндэс бөгөөд энэ нь олон гишүүнт (x-a 1)...(x-a k) үржвэрт хуваагдана гэсэн үг юм.

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

Энэ тохиолдолд (a k +1) нь f(x) олон гишүүнтийн үндэс, өөрөөр хэлбэл.

Энэ нь x-г (a k +1) орлуулснаар бид зөв тэгш байдлыг олж авна гэсэн үг юм.

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Гэхдээ (a k +1) нь a 1,..., a k тоонуудаас ялгаатай тул (a k +1 -a 1),..., (a k +1 -a k) тоонуудын аль нь ч 0-тэй тэнцүү биш юм. Тиймээс q( a k +1), i.e. (a k +1) нь q(x) олон гишүүнтийн үндэс юм. 2-р дүгнэлтээс харахад q(x) нь (x-a k + 1) -д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг.

q(x)=(x-a k +1)q 1 (x), тиймээс

f(x)=(x-a 1)...(x-a k)q(x)=(x-a 1)...(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Энэ нь f(x) нь (x-a 1)...(x-a k +1)-д үлдэгдэлгүй хуваагдана гэсэн үг.

Тэгэхээр k=1-д теорем үнэн болох нь батлагдсан ба n=k-ийн хувьд үнэн зөв болохоос n=k+1-д ч мөн адил үнэн болох нь батлагдсан. Тиймээс энэ теорем нь ямар ч тооны язгуурын хувьд үнэн бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.

Үр дүн 4:

n зэрэгтэй олон гишүүнт хамгийн ихдээ n өөр үндэстэй байна.

Нотолгоо:

Зөрчилдөөний аргыг хэрэглэцгээе: хэрвээ n зэрэгтэй олон гишүүнт f(x) нь n-ээс олон үндэстэй бол - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k нь түүний үндэс), дараа нь Өмнө нь батлагдсан үр дүн 3 үүнийг (x-a 1)...(x-a n+k) зэрэгтэй (n+k) бүтээгдэхүүнд хуваах нь боломжгүй юм.

Бид зөрчилдөөнд хүрсэн бөгөөд энэ нь бидний таамаглал буруу, n зэрэгтэй олон гишүүнт нь n-ээс олон үндэстэй байж болохгүй гэсэн үг бөгөөд үүнийг нотлох шаардлагатай болсон.

Үр дүн 5:

Аливаа олон гишүүнт f(x) болон a тооны хувьд ялгаа (f(x)-f(a)) нь хоёр гишүүн (x-a)-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.

Нотолгоо:

f(x) нь n зэрэгтэй өгөгдсөн олон гишүүнт, а нь дурын тоо байг.

f(x) олон гишүүнтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: f(x)=(x-a)q(x)+R, энд f(x)-г (x-a) хуваах үед q(x) нь олон гишүүнтийн коэффициент, R нь үлдэгдэл болно. f(x)-ээс (x-a) хуваах.

Түүнчлэн Безутын теоремын дагуу:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

Энэ нь үлдэгдэлгүй хуваагдах боломжтой гэсэн үг (f(x)-f(a))

дээр (x-a), энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Үр дүн 6:

f(x) нь (x-a)-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдах тохиолдолд л a тоо нь хамгийн багадаа эхлээд f(x) зэрэгтэй олон гишүүнт үндэс юм.

Нотолгоо:

Энэ теоремыг батлахын тулд томъёолсон нөхцлийн хэрэгцээ ба хангалттай байдлыг авч үзэх шаардлагатай.

1. Шаардлагатай байдал.

a нь олон гишүүнт f(x) язгуур байя, үр дүнд нь 2 f(x) нь (x-a) -д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Тиймээс f(x)-ийн (x-a) хуваагдах чадвар зайлшгүй нөхцөл a нь f(x)-ийн үндэс байхын тулд, учир нь үүний үр дагавар юм.

2. Хангалттай байдал.

Олон гишүүнт f(x)-ийг үлдэгдэлгүйгээр (x-a) хуваая.

дараа нь R=0, энд R нь f(x)-ийг (x-a) хуваасны үлдэгдэл, харин Безоутын теорем R=f(a) бөгөөд энэ нь f(a)=0 гэсэн үг бөгөөд энэ нь a нь f язгуур гэсэн үг юм. (x).

Этьен Безут–

Францын математикч, Парисын Шинжлэх ухааны академийн гишүүн (1758 оноос хойш) 1730 оны 3-р сарын 31-нд Немурс хотод төрж, 1783 оны 9-р сарын 27-нд таалал төгсөв.

1763 оноос хойш Безу ахлагчийн сургуульд, 1768 оноос Хааны артиллерийн корпуст математикийн хичээл заажээ.

Этьен Безоутын гол бүтээлүүд нь алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх онолыг бий болгоход зориулагдсан байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх онолд тэрээр тодорхойлогчийн онол үүсэхэд хувь нэмрээ оруулж, өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийн системээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах онолыг боловсруулж, хоёр муруй гэсэн теоремыг (анх К. Маклаурин томъёолсон) нотолсон. m ба n дарааллын хамгийн ихдээ mn цэгээр огтлолцоно. Францад болон гадаадад 1848 он хүртэл түүний 1764-69 онд бичсэн зургаан боть "Математикийн курс" маш их алдартай байв. Безоу анхан шатны алгебр дахь тодорхойгүй үржүүлэгчийн аргыг боловсруулсан бөгөөд энэ аргад суурилсан тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргыг түүний нэрээр нэрлэжээ. Безоутын бүтээлүүдийн нэг хэсэг нь гадаад баллистикт зориулагдсан байдаг. Алгебрийн үндсэн теоремуудын нэг нь эрдэмтний нэрээр нэрлэгдсэн байдаг.

Безутын теорем.

Олон гишүүнт хуваагдлын үлдэгдэл П n ( x )

биномоор ( x - а ) нь утгатай тэнцүү байна

энэ олон гишүүнт x = а .

Пn(x) – зэрэгтэй олон гишүүнт өгөгдсөн n ,

бином (x- а) - түүний хуваагч,

Qn-1 (x) - хуваалтын коэффициент Пn(x) дээр x- а(n-1 зэрэглэлийн олон гишүүнт) ,

Р- хуваалтын үлдэгдэл ( Рхувьсагч агуулаагүй байна xхувьд нэгдүгээр зэрэглэлийн хуваагч гэж x).

Нотолгоо:

Олон гишүүнтийг үлдэгдэлтэй хуваах дүрмийн дагуу бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Пn(x) = (x-a)Qn-1(x)+R .

Тиймээс, at x = а :

Пn(a) = (a-a)Qn-1(a) + R =0*Qn-1(a)+R=

=0+ Р= Р .

гэсэн үг, Р = Пn(а) , өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтийг хуваах үед үлдэгдэл (x- а) үүнтэй тэнцүү байна

олон гишүүнт x= а, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Теоремоос гарсан үр дүн .

ХАМТ үр дагавар 1 :

Олон гишүүнт хуваагдлын үлдэгдэл П n ( x )

биномоор сүх + б утгатай тэнцүү байна

энэ олон гишүүнт x = - б / а ,

Т . д . R=P n (-б/а) .

Нотолгоо:

Олон гишүүнт хуваах дүрмийн дагуу:

Пn(x)= (ax + b)* Qn-1(x)+R.

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Энэ нь R = Pn (-b/a) гэсэн үг бөгөөд энэ нь шаардлагатай зүйл юм. нотлогдох.

Дүгнэлт 2 :

Хэрэв тоо а үндэс юм

олон гишүүнт П ( x ), Тэр энэ

олон гишүүнт хуваагддаг ( x - а )гүйгээр

үлдэгдэл.

Нотолгоо:

Безоутын теоремоор олон гишүүнтийн үлдэгдэл нь байна П (x) дээр x- атэнцүү байна П (а) , мөн нөхцөлөөр аүндэс юм П (x) , энэ нь гэсэн үг юм П (а) = 0 , энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм .

Безутын теоремын энэхүү үр дүнд тэгшитгэлийг шийдэх асуудал тодорхой байна П (x) = 0 нь олон гишүүнт хуваагчийг тодорхойлох бодлоготой тэнцэнэ Пнэгдүгээр зэрэгтэй (шугаман хуваагч).

Дүгнэлт 3 :

Хэрэв олон гишүүнт бол П ( x ) байна

хосоороо ялгаатай үндэс

а 1 , а 2 , … , а n , дараа нь энэ нь хуваагдана

ажил ( x - а 1 ) … ( x - а n )

ул мөргүй .

Нотолгоо:

Үндэсийн тоон дээр математик индукц ашиглан нотолгоо хийцгээе. At n=1 Энэхүү мэдэгдлийг 2-р дүгнэлтээр нотолсон болно. Үндэсний тоо тэнцүү байх тохиолдолд аль хэдийн нотлогдсон гэж бодъё к, энэ нь гэсэн үг P(x)үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг (x- а1 )(x- а2 ) … (x- ак) , Хаана

а1 , a2 , … , aк- түүний үндэс.

Болъё П(x) байна к+1 индукцийн таамаглалаар хос ялгаатай үндэс а1 , а2 , ак , … , ак+1 нь олон гишүүнтийн үндэс бөгөөд энэ нь олон гишүүнт үржвэрт хуваагддаг гэсэн үг юм (x- а1 ) … (x- ак) , энэ нь хаанаас гардаг вэ

P(x) = (x-a1 ) … (х-ак)Q(x).

Үүний зэрэгцээ ак+1 – олон гишүүнтийн үндэс П(x) , өөрөөр хэлбэл . П(ак+1 ) = 0 .

Тиймээс оронд нь орлуулж байна xак+1 , бид зөв тэгш байдлыг олж авна:

П(аk+1) = (аk+1-а1 ) ... (аk+1-ак)Q(аk+1) =

Гэхдээ ак+1 тооноос ялгаатай а1 , … , ак, тиймээс тоонуудын аль нь ч биш ак+1 - а1 , … , ак+1 - ак 0-тэй тэнцүү биш. Тиймээс тэг нь тэнцүү байна Q(ак+1 ) , өөрөөр хэлбэл ак+1 – олон гишүүнтийн үндэс Q(x) . 2-р дүгнэлтээс ийм зүйл гарч ирнэ Q(x) хуваасан x- ак+ 1 үлдэгдэлгүй.

Q(x) = (x- ак+1 ) Q1 (x) , тиймээс

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x- а1 ) … (x- ак)(x- ак+1 ) Q1 (x) .

Энэ нь гэсэн үг П(x) хуваасан (x- а1 ) … (x- ак+1 ) ул мөргүй.

Тэгэхээр энэ теорем үнэн болох нь батлагдсан к =1 , мөн хүчинтэй хугацаанаас нь эхлэн n = кэнэ нь хэзээ ч үнэн гэсэн үг n = к+1 . Тиймээс, теорем нь ямар ч тооны язгуурын хувьд үнэн юм. юу болоннотлох шаардлагатай байв .

Дүгнэлт 4 :

Зэрэглэлийн олон гишүүнт n өөр байхгүй

n өөр өөр үндэс.

Нотолгоо:

Зөрчилдөөний аргыг хэрэглэцгээе: олон гишүүнт бол Пn(x) градус nилүү байх байсан nүндэс - n+ к (а1 , а2 , … , аn+ к- түүний үндэс), дараа нь өмнө нь батлагдсан Үр дүн 3-ын дагуу энэ нь

бүтээгдэхүүнд хуваагдана (x- а1 ) … (x- аn+ к) , зэрэгтэй байх n+ к, энэ нь боломжгүй юм.

Бид зөрчилдөөнтэй тулгарсан нь бидний таамаглал буруу бөгөөд n зэрэгтэй олон гишүүнтээс илүү байж болохгүй гэсэн үг. nүндэс, Q.E.D.

Дүгнэлт 5 :

Аливаа олон гишүүнтийн хувьд П ( x )

болон тоонууд а ялгаа

( П ( x )- П ( а )) -гүйгээр хуваагдана

хоёр гишүүнээр үлдэгдэл ( x - а ) .

Нотолгоо:

Болъё П(x) – зэрэгтэй олон гишүүнт өгөгдсөн n , а- дурын тоо.

Олон гишүүнт Пn(x) дараах байдлаар төлөөлж болно. Пn(x)=(x- а) Qn-1 (x)+ Р ,

Хаана Qn-1 (x) – олон гишүүнт, хуваах үед хуваах Пn(x) дээр (x- а) ,

Р- хуваалтын үлдэгдэл Пn(x) дээр (x- а) .

Түүнчлэн Безутын теоремын дагуу:

R = Pn(а), өөрөөр хэлбэл

Пn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(а) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

Энэ нь үлдэгдэлгүй хуваагдах гэсэн үг (Пn(x) – Пn(а))

дээр (x- а) , энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм .

Дүгнэлт 6 :

Тоо а үндэс юм

олон гишүүнт П ( x ) градус

эхнийхээс доогуур биш, дараа нь

зөвхөн хэзээ

П ( x )-д хуваагдана ( x - а )

ул мөргүй .

Нотолгоо:

Энэ теоремыг батлахын тулд томъёолсон нөхцлийн хэрэгцээ ба хангалттай байдлыг авч үзэх шаардлагатай.

1. Хэрэгцээ .

Болъё а– олон гишүүнтийн үндэс П(x) , дараа нь Үр дүн 2 П(x) хуваасан (x- а) ул мөргүй.

Тиймээс хуваагдах байдал П(x) дээр (x- а) зайлшгүй нөхцөл юм аүндэс байсан П(x) , учир нь үүний үр дагавар юм.

2. Хангалттай байдал .

Олон гишүүнтийг үзье П(x) үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг (x- а) ,

Дараа нь Р = 0 , Хаана Р- хуваалтын үлдэгдэл П(x) дээр (x- а) , гэхдээ Безутын теоремын дагуу Р = П(а) , энэ нь хаанаас гардаг вэ П(а) = 0 , энэ нь гэсэн үг юм аүндэс юм П(x) .

Тиймээс хуваагдах байдал П(x) дээр (x- а) нь бас хангалттай нөхцөл юм аүндэс байсан П(x) .

Хуваагдах чадвар П(x) дээр (x- а) байна шаардлагатай бөгөөд хангалттайнөхцөл аүндэс байсан П(x) , Q.E.D.

Бодитгүй олон гишүүнт

хатуу үндэс, задралд орсон

шугаман хүчин зүйлийн хүчин зүйлүүд

агуулаагүй.

Нотолгоо:

Зөрчилдөөний аргыг ашиглая: үндэсгүй олон гишүүнт гэж бодъё П(x) хүчин зүйлээр тооцохдоо шугаман хүчин зүйлийг агуулна (x – а) :

P(x) = (x – a)Q(x),

дараа нь хуваах болно (x – а) , гэхдээ үр дүн 6 аүндэс байх болно П(x) , гэхдээ нөхцөлөөр энэ нь үндэс агуулаагүй болно. Бид зөрчилдөж байгаа бөгөөд энэ нь бидний таамаглал буруу, олон гишүүнт гэсэн үг юм.