Нэг төрлийн ба нэгэн төрлийн бус олон дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэг үл мэдэгдэх функцэд зориулж нэг тэгшитгэл болгон бууруулж болно. Энэ аргыг жишээн дээр харуулъя.

Жишээ 3.1.Системийг шийд

Шийдэл. 1) ялгах тэхний тэгшитгэл болон орлуулахын тулд хоёр, гурав дахь тэгшитгэлийг ашиглана Тэгээд , бид олдог

Бид үүссэн тэгшитгэлийг дараахь байдлаар ялгадаг дахин

1) Бид системийг бий болгодог

Системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид хувьсагчдыг илэрхийлдэг Тэгээд дамжуулан
:

Олдсон илэрхийллүүдийг орлуулъя Тэгээд системийн гурав дахь тэгшитгэлд оруулна

Тиймээс функцийг олохын тулд
тогтмол коэффициент бүхий гурав дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан

.

2) Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг стандарт аргыг ашиглан нэгтгэдэг: бид шинж чанарын тэгшитгэлийг үүсгэдэг
, түүний үндсийг олох
ба язгууруудын аль нэгийн үржвэрийг харгалзан экспоненциалуудын шугаман хослол хэлбэрээр ерөнхий шийдийг байгуулна:.

3) Дараа нь үлдсэн хоёр функцийг олох
Тэгээд
, бид үүссэн функцийг хоёр удаа ялгадаг

Системийн функцүүдийн хоорондох холболтыг (3.1) ашиглан бид үл мэдэгдэх үлдэгдлийг сэргээдэг

.

Хариулах. ,
,.

Нэгээс бусад бүх мэдэгдэж буй функцууд нь нэг ялгавартай байсан ч гурав дахь эрэмбийн системээс хасагдсан байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийг олох дараалал нь анхны систем дэх үл мэдэгдэх функцүүдийн тооноос бага байх болно.

Жишээ 3.2.Системийг нэгтгэх

(3.2)

Шийдэл. 1) ялгах Эхний тэгшитгэлийг бид олно

Хувьсагчдыг оруулахгүй Тэгээд тэгшитгэлээс

бид хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлтэй болно

(3.3)

2) (3.2) системийн эхний тэгшитгэлээс бид байна

(3.4)

(3.2) системийн гурав дахь тэгшитгэлд (3.3) ба (3.4)-ын олсон илэрхийлэлүүдийг орлуулбал: Тэгээд , бид функцийг тодорхойлох эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авдаг

Энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийг тогтмол нэгдүгээр эрэмбийн коэффициентүүдтэй нэгтгэснээр бид олдог
(3.4) ашиглан бид функцийг олно

Хариулах.
,,
.

Даалгавар 3.1. Нэг төрлийн системийг нэг дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулж шийд.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдлийн үндсэн системийг олох замаар шийдвэрлэх

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг системийн үндсэн шийдлүүдийн шугаман хослолоор олж болно. Тогтмол коэффициент бүхий системийн хувьд шугаман алгебрийн аргыг ашиглан үндсэн шийдлийг олох боломжтой.

Жишээ 3.3.Системийг шийд

(3.5)

Шийдэл. 1) Системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье

. (3.6)

2) Бид системийн үндсэн шийдлийг вектор хэлбэрээр хайх болно
. Орлуулах функцууд
(3.6)-д ба бууруулж байна , бид авдаг

, (3.7)

энэ бол тоо матрицын хувийн утга байх ёстой
, ба вектор харгалзах хувийн вектор.

3) Шугаман алгебрийн хичээлээс (3.7) систем нь тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү бол чухал бус шийдэлтэй болохыг мэддэг.

,

Энэ нь . Эндээс бид хувийн утгуудыг олно
.

4) Харгалзах хувийн векторуудыг ол. Эхний утгыг (3.7)-д орлуулж байна.
, бид эхний хувийн векторыг олох системийг олж авдаг

Эндээс бид үл мэдэгдэх зүйлсийн хоорондын холбоог олж авдаг
. Бидэнд нэг л энгийн шийдлийг сонгоход л хангалттай. Итгэж байна
, Дараа нь
, өөрөөр хэлбэл вектор хувийн утгын өмч юм
, ба функцийн вектор
өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн системийн үндсэн шийдэл (3.5). Үүнтэй адилаар, хоёр дахь үндэсийг орлуулах үед
(3.7)-д бид хоёр дахь хувийн векторын матрицын тэгшитгэлтэй байна
. Бид түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хоорондын холболтыг хаанаас авах вэ?
. Тиймээс бид хоёр дахь үндсэн шийдэлтэй боллоо

.

5) (3.5) системийн ерөнхий шийдлийг олж авсан хоёр үндсэн шийдлийн шугаман хослолоор байгуулна.

эсвэл координат хэлбэрээр

.

Хариулах.

.

Даалгавар 3.2. Шийдлийн үндсэн системийг олох замаар системийг шийдэх.

Үндсэн ойлголт ба тодорхойлолт Цэгийн динамикийн хамгийн энгийн асуудал нь дифференциал тэгшитгэлийн системд хүргэдэг: материаллаг цэг дээр үйлчлэх хүчийг өгсөн; хөдөлгөөний хуулийг олох, өөрөөр хэлбэл хөдөлж буй цэгийн координатуудын цаг хугацааны хамаарлыг илэрхийлэх x = x(t), y = y(t), z = z(t) функцуудыг ол. Энэ тохиолдолд олж авсан систем нь ерөнхий тохиолдолд хэлбэртэй байна Энд x, y, z нь хөдөлж буй цэгийн координатууд, t нь цаг хугацаа, f, g, h нь тэдгээрийн аргументуудын мэдэгдэж буй функцууд юм. (1) төрлийн системийг каноник гэж нэрлэдэг. t аргументийн m үл мэдэгдэх функц бүхий m дифференциал тэгшитгэлийн системийн ерөнхий тохиолдлыг авч үзвэл дээд деривативын хувьд шийдэгдсэн хэлбэрийн системийг каноник гэж нэрлэдэг. Хүссэн функцүүдийн деривативын дагуу шийдэгдсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн системийг хэвийн гэж нэрлэдэг. Хэрэв бид шинэ туслах функцүүдийг авбал ерөнхий каноник системийг (2) тэгшитгэлээс бүрдсэн эквивалент хэвийн системээр сольж болно. Тиймээс зөвхөн ердийн системийг авч үзэх нь хангалттай юм. Жишээлбэл, нэг тэгшитгэл нь каноник системийн онцгой тохиолдол юм. ^ = y-г тавьснаар анхны тэгшитгэлийн ачаар бид хэвийн тэгшитгэлийн системийг олж авах болно. Дифференциал тэгшитгэлийн системүүд Интегралчлах арга арилгах арга Интегралчлах хослолуудын арга Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системүүд Үндсэн матриц Хувиргах арга тогтмолууд Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системүүд Анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх матрицын арга. Тодорхойлолт 1. t аргументыг өөрчлөх (a, b) интервал дээрх (3) хэвийн системийн (3) шийдэл нь (3) системийн тэгшитгэлүүдийг t-тэй харьцуулан адилтгал болгон хувиргах интервал дээр дифференциалагдах n функцийн дурын систем юм. (a, b) интервал дээр (3) системийн Коши бодлого дараах байдлаар томьёологдсон: t = үед 1-р теоремийн анхны нөхцөлийг хангасан системийн шийдийг (4) ол. t, X\, x2, ..., хувьсагчдын өөрчлөлтийн зарим (n + 1) хэмжээст мужид функцийг тодорхойлъё. xn Хэрэв ft функцууд нь аргументуудын олонлогт тасралтгүй байх ба X\, x2, ..., xn хувьсагчидтай холбоотой хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативууд байгаа бол - A0 хүртэлх интервал байна. өөрчлөлт t, үүн дээр анхны нөхцлүүдийг хангасан хэвийн системийн (3) өвөрмөц шийдэл байдаг Тодорхойлолт 2. Дурын тогтмолуудын tun-аас хамаарах n функцтэй системийг зарим тохиолдолд хэвийн системийн (3) ерөнхий шийдэл гэнэ. Оршихуйн Π муж ба шийдлийн өвөрмөц байдал Кошийн асуудал бол 1) аливаа зөвшөөрөгдөх утгуудын хувьд функцын систем (6) нь тэгшитгэл (3)-ыг таних тэмдэг болгон хувиргах, 2) Π муж дахь функцууд (6) Кошигийн аливаа бодлогыг шийддэг. Тогтмолуудын тодорхой утгын ерөнхий утгуудаас олж авсан шийдлийг тусгай шийдэл гэж нэрлэдэг. Ойлгомжтой болгохын тулд бид t> X\, x2 утгын системийг Otx\x2 координатын системд хамаарах гурван хэмжээст орон зай дахь цэгийн тэгш өнцөгт декарт координат гэж авч үзэх болно. t - to утгуудыг авдаг системийн (7) шийдэл нь тухайн цэгээр дамжин өнгөрөх тодорхой шугамыг орон зайд тодорхойлдог) - Энэ шугамыг ердийн системийн салшгүй муруй (7) гэж нэрлэдэг. (7) системийн Коши бодлого нь дараах геометрийн томьёоллыг хүлээн авна: t> X\, x2 хувьсагчийн орон зайд өгөгдсөн Mo(to, x1, x2) цэгээр дамжин өнгөрөх интеграл муруйг ол (Зураг 1). Теорем 1 нь ийм муруй байгаа эсэх, өвөрмөц байдлыг тогтоодог. Ердийн систем (7) ба түүний шийдлийг мөн дараах тайлбарыг өгч болно: бие даасан хувьсагч t-ийг параметр болгон, системийн шийдийг x\Ox2 хавтгай дээрх муруйны параметрийн тэгшитгэл гэж үзнэ. Х\Х2 хувьсагчийн энэ хавтгайг фазын хавтгай гэж нэрлэдэг. Фазын хавтгайд шийдэл (t = t0 үед x°(, x2) анхны утгыг авдаг системийн (7) 0 нь тухайн цэгийг дайран өнгөрч буй AB муруйгаар дүрслэгдсэн) Энэ муруйг траектор гэж нэрлэдэг. системийн (фазын замнал) нь фазын хавтгайд чиглэсэн проекцийн интеграл муруй юм дифференциал тэгшитгэлүүд 2.1 Арилгах арга Интегралчлалын аргуудын нэг нь хамгийн өндөр деривативтай холбоотой шийдвэрлэх арга юм. Дараах n тэгшитгэлийн хэвийн систем бүхий шинэ функцийн тэгшитгэлийг танилцуулах: n-р эрэмбийн нэг тэгшитгэлийг орлуулна. нь хэвийн системтэй тэнцүү байна (1 х) Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэгтгэх аргын үндэс юм. Үүнийг ингэж хийсэн. Дифференциал тэгшитгэлийн хэвийн системтэй болцгооё. Бид Бүтээгдэхүүнийг баруун талд нь сольж байна, эсвэл товчхондоо (3) тэгшитгэл нь t-тэй холбоотой дахин ялгаатай байна. (2) системийг харгалзан бид олж авах эсвэл энэ процессыг үргэлжлүүлэхийн тулд бид тодорхойлогчийг (функцийн системийн Якобиан нь авч үзэж буй утгуудын хувьд тэгээс ялгаатай) гэж үзье. Дараа нь системийн эхний тэгшитгэлээс бүрдэх тэгшитгэлийн систем ( 2) тэгшитгэлүүд нь үл мэдэгдэх хэсгүүдийн хувьд шийдэгдэх бөгөөд олсон илэрхийлэлүүдийг тэгшитгэлд оруулснаар бид n-р эрэмбийн нэг тэгшитгэлийг олж авах болно (2), тэгвэл X\(t) функц нь (5) тэгшитгэлийн шийдэл болно. Үүний эсрэгээр (5) тэгшитгэлийн шийдэл байг. Энэ шийдлийг t-ийн хувьд ялгаж, бид олсон утгыг мэдэгдэж буй функцээр тооцоолж, орлуулж, энэ системийг xn-ийн функцээр шийдэж болно. Ингэж байгуулсан функцүүдийн систем нь дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдлийг бүрдүүлдэг болохыг харуулж болно (2). Жишээ. Системийн эхний тэгшитгэлийг ялгахын тулд бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан нэг үл мэдэгдэх функцтэй тогтмол коэффициент бүхий хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай. Үүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна. Системийн эхний тэгшитгэлийн ачаар бид функцийг олдог. Олдсон x(t), y(t) функцийг C|-ийн аль ч утгыг хялбархан шалгаж болно ба C2 нь өгөгдсөн системийг хангана. Системийн интеграл муруй (6) нь x = y = 0 нийтлэг тэнхлэгтэй алхамтай мушгиа шугамууд бөгөөд энэ нь мөн интеграл муруй юм (Зураг 3) функцуудыг хэлбэрээр төлөөлж болно. ). Томъёо (7) дахь параметрийг хасч, бид тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд ингэснээр өгөгдсөн системийн фазын траекторууд нь координатын эхэнд төвтэй тойрог - хавтгай дээрх мушгиа шугамын проекцууд A = 0 үед фазын замнал бүрдэнэ системийн амралтын цэг гэж нэрлэгддэг нэг цэгийн . " Дараа нь бид анхны системтэй тэнцэх n-р эрэмбийн тэгшитгэлийг олж авахгүй. Энгийн жишээ энд байна. Тэгшитгэлийн системийг x\ эсвэл x2-ийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлээр сольж болохгүй. Энэ систем нь 1-р эрэмбийн хос тэгшитгэлээс бүрдэх бөгөөд тус бүр нь бие даан интегралчлагдсан, интегралчлах хослолын аргыг өгдөг. dXi дифференциал тэгшитгэлийн хэвийн системийг интегралчлах нь заримдаа интегралдах хослолын аргаар хийгддэг. Интегралдах хослол гэдэг нь (8) тэгшитгэлийн үр дагавар болох дифференциал тэгшитгэл юм, гэхдээ аль хэдийн амархан интегралдах боломжтой. Жишээ. Системийг интегралд оруулах ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИГЧИЙН СИСТЕМҮҮД Интегралчлах арга Арилгах арга Интегралчлах хослолын арга Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн систем Тогтмолуудын хувьсах арга Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн систем Матрицын арга 4 Өгөгдсөн гишүүнийг гишүүнээр нэмж, Нэг интегралдах хослолыг ол: Системийн эхний тэгшитгэлээс гишүүн гишүүнийг хасч, хоёрдугаарт, бид хоёр дахь интегралдах хослолыг олж авна: эндээс бид хоёр төгсгөлтэй тэгшитгэл олсон бөгөөд үүнээс системийн ерөнхий шийд амархан тодорхойлогддог: Нэг интегралдах хослол нь үүнийг боломжтой болгодог. бие даасан хувьсагч t болон үл мэдэгдэх функцийг холбосон нэг тэгшитгэлийг олж авах. Ийм хязгаарлагдмал тэгшитгэлийг (8) системийн эхний интеграл гэнэ. Үгүй бол: дифференциал тэгшитгэлийн системийн эхний интеграл (8) нь ижил тогтмол биш боловч энэ системийн аль ч интеграл муруй дээр тогтмол утгыг хадгалж байдаг дифференциал функц юм. Хэрэв (8) системийн эхний n интеграл олдвол тэдгээр нь бүгд бие даасан, өөрөөр хэлбэл функцын системийн Якобиан тэгээс өөр байна: Дифференциал тэгшитгэлийн системийг үл мэдэгдэх функц болон тэдгээрийн деривативын хувьд шугаман бол шугаман гэж нэрлэдэг. тэгшитгэлд оруулсан болно. Хэвийн хэлбэрээр бичигдсэн нэгдүгээр эрэмбийн n шугаман тэгшитгэлийн систем нь матриц хэлбэрээр буюу теорем 2 хэлбэртэй байна. Хэрэв бүх функц нь интервал дээр үргэлжилдэг бол цэг бүрийн хангалттай бага орчинд., xn) , энд), оршин тогтнох теоремын нөхцөл хангагдсан бөгөөд Кавскийн асуудлын шийдлийн өвөрмөц байдал нь ийм цэг бүрээр (1) системийн өвөрмөц интеграл муруй дамждаг. Тодорхойлолт. Матриц нь элементүүдтэй шугаман нэгэн төрлийн системтэй байцгаая. Интервалаас шугаман хамааралгүй шугаман нэгэн төрлийн системийн (6) n шийдлийн системийг суурь гэнэ. Теорем 6. a b интервал дээр үргэлжилсэн a-ij(t) коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн систем (6)-ийн интервал дээрх суурь шийдлүүдийн системийн Вронски тодорхойлогч W(t) нь интервалын бүх цэгт (a) тэгээс өөр байна. , 6). Теорем 7 (шугаман нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийн бүтцийн тухай). Интервалд тасралтгүй коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн системийн талбайн ерөнхий шийдэл нь a интервал дээр шугаман хамааралгүй (6) системийн n шийдлийн шугаман хослол юм: дурын тогтмол тоо). Сүүлчийн харилцааг нэгтгэж, бид олно Эдгээр утгыг орлуулснаар (2) системийн тодорхой шийдлийг олно: (энд тэмдэг нь §4 функцийн эсрэг деривативуудын нэг гэж ойлгогдоно. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн системүүд Шугаман гэж үзье. Бүх коэффициентүүд тогтмол байдаг дифференциал тэгшитгэлийн систем. Ерөнхийдөө ийм системийг илүү өндөр эрэмбийн нэг тэгшитгэл болгон бууруулах замаар нэгтгэдэг бөгөөд энэ тэгшитгэл нь тогтмол коэффициенттэй шугаман байх болно Тогтмол коэффициентүүд нь Лапласын хувиргах арга юм. Тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн Эйлерийн аргыг мөн авч үзэх болно: Эйлерийн арга (3) n үл мэдэгдэх шугаман нэгэн төрлийн алгебрийн тэгшитгэлийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай: (4) тэгшитгэлийг шинж чанар гэж нэрлэдэг. Түүний зүүн талд n зэрэгтэй олон гишүүнт байрлана. өөр өөр байвал тэдгээрийг системд (3) ээлжлэн орлуулснаар бид энэ системийн харгалзах ач холбогдолгүй шийдлүүдийг олдог бөгөөд иймээс бид дифференциал тэгшитгэлийн анхны системийн (1) n шийдлийг хоёр дахь индексийн хэлбэрээр олно. уусмалын дугаарыг зааж, эхнийх нь үл мэдэгдэх функцийн тоог заана. Ийм аргаар бүтээгдсэн шугаман нэгэн төрлийн системийн (1) n хэсэгчилсэн шийдлүүд нь энэ системийн шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг. Иймээс нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл (1) дурын тогтмолууд хэлбэртэй байна. Шинж чанар тэгшитгэл нь олон үндэстэй тохиолдолд бид авч үзэхгүй. M Бид 01.02-ыг тодорхойлох шинж чанарын тэгшитгэлийн систем (3) хэлбэрээр шийдлийг хайж байна: Орлуулснаар хаанаас гарна Тийм учраас бид олно гэж үзвэл энэ системийн ерөнхий шийдэл: ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕГИЖИГИЙН СИСТЕМҮҮД Интегралчлалын аргууд Арилгах арга Интегралчлах хослолын арга Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн систем Үндсэн матриц Вариацын тогтмолуудын арга Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн систем Матрицын арга Мөн нэгэн төрлийн системийг интегралдах матрицын аргыг танилцуулъя (1). (1) системийг a,j тогтмол бодит элементүүдтэй матриц хэлбэрээр бичье. Шугаман алгебрийн зарим ойлголтыг эргэн санацгаая. Хэрэв А тоог g хувийн векторт харгалзах А матрицын хувийн утга гэж нэрлэх ба I ижил матриц байх шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур бол g ФО векторыг А матрицын хувийн вектор гэнэ. Бид А матрицын бүх хувийн утгууд A" өөр байна гэж таамаглах болно. Энэ тохиолдолд хувийн векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулдаг n x n матриц байдаг, өөрөөр хэлбэл T матрицын баганууд нь хувийн векторуудын координатууд болно. B(ξ) нь n × n-матриц, элемент 6,;(0 нь олонлог дээр тодорхойлогдсон t аргументын функцууд. Хэрэв бүх элементүүд 6,j байвал B(f) матрицыг Π дээр тасралтгүй гэж нэрлэнэ. (f) Q дээр тасралтгүй байна. Хэрэв энэ матрицын бүх элементүүд Q дээр дифференциалагдах бол B(*) матрицыг Π дээр дифференциалагдах боломжтой гэнэ. Энэ тохиолдолд ^p-матриц B(*)-ийн дериватив нь Матрицын элементүүд нь B(*) матрицын харгалзах элементүүдийн дериватив юм. тэгвэл ^ нь тэг матриц тул теорем 9. Хэрэв А матрицын хувийн утгууд өөр бол (7) системийн ерөнхий шийдэл нь - матрицын хувийн вектор баганууд нь дурын тогтмол тоонууд болно T нь А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулдаг матриц болох томьёоны дагуу шинэ үл мэдэгдэх вектор-баганыг нэвтрүүлж, бид зүүн талын сүүлчийн харилцааны хоёр талыг T 1-ээр үржүүлж, системийг олж авна. T 1 AT = А, бид системд хүрнэ. Бид амархан интегралдах боломжтой n бие даасан тэгшитгэлийн системийг олж авлаа: (12) Энд дурын тогтмол тоонууд байна. Нэгж n хэмжээст баганын векторуудыг оруулснаар шийдлийг хэлбэрээр илэрхийлж болно T матрицын баганууд нь матрицын хувийн векторууд, А матрицын хувийн векторууд тул (11)-д (13)-ыг орлуулбал бид томъёог (10) авна: Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн систем (7) матриц өөр өөр хувийн утгатай бол энэ системийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд: 1) матрицын хувийн утгуудыг "алгебрийн тэгшитгэлийн үндэс болгон ол. 2) бүх хувийн векторуудыг олох 3) (10) томъёог ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн системийн (7) ерөнхий шийдийг бичнэ. Жишээ 2. Системийг шийд Матрицын арга 4 Системийн А матриц нь хэлбэртэй байна 1) Тэмдэгтийн тэгшитгэл зохиох Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс. 2) Хувийн векторуудыг олоорой A = 4-ийн хувьд бид = 0|2 гэсэн системийг олж авснаар A = 1-ийн хувьд I-г олно 3) (10) томъёог ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг олж авна. Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит бөгөөд төвөгтэй байж болно. Таамаглалаар (7) системийн ai коэффициентүүд бодит байх тул шинж чанарын тэгшитгэл нь бодит коэффициенттэй байна. Иймд нийлмэл язгуур А-тай зэрэгцээд \* язгуур, А-тай нийлмэл коньюгат байх болно. Хэрэв g нь А-ийн хувийн утгад харгалзах хувийн вектор бол A* нь мөн хувийн утга болохыг харуулахад хялбар. хувийн вектор g* тохирч, g-тэй нийлмэл коньюгат.

Гадаа бүгчим цаг болж, улиасны хөвсгөр нисч, энэ цаг агаар амрахад тохиромжтой. Хичээлийн жилийн туршид хүн бүр ядаргаа хуримтлагдсан боловч зуны амралт/амралтын өдрүүдийн хүлээлт нь шалгалт, шалгалтыг амжилттай давахад урам зориг өгөх ёстой. Дашрамд хэлэхэд багш нар ч улирлын цагаар уйтгартай байдаг тул удахгүй би ч бас тархиа тайлах цаг гаргана. Одоо кофе, системийн нэгжийн хэмнэлтэй шуугиан, цонхны тавцан дээрх хэдэн үхсэн шумуул, бүрэн ажиллаж байгаа байдал ... ... өө, хараал ид ... новшийн яруу найрагч.

Үүн дээр. Хэнд хамаатай юм бэ, гэхдээ өнөөдөр миний хувьд 6-р сарын 1, бид нарийн төвөгтэй шинжилгээний өөр нэг ердийн асуудлыг авч үзэх болно. үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдлийг олох. Үүнийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та юу мэдэж, чадах ёстой вэ? Юуны өмнө, маш их зөвлөж байнахичээлээс үзнэ үү. Оршил хэсгийг уншиж, сэдвийн ерөнхий тайлбар, нэр томъёо, тэмдэглэгээ, дор хаяж хоёр, гурван жишээг ойлгоно уу. Баримт нь диффузорын системд бүх зүйл бараг ижил, бүр илүү хялбар байх болно!

Мэдээжийн хэрэг та энэ нь юу болохыг ойлгох ёстой дифференциал тэгшитгэлийн систем, энэ нь системийн ерөнхий шийдэл, системийн тодорхой шийдлийг олох гэсэн үг юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн системийг "уламжлалт" аргаар шийдэж болохыг танд сануулъя. арилгах замаарэсвэл шинж чанарын тэгшитгэлийг ашиглан. Даалгаврыг дараах байдлаар томъёолсон тохиолдолд алсын удирдлагын системд авч үзэх үйл ажиллагааны тооцооллын аргыг хэрэглэнэ.

Дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн тодорхой шийдийг ол , анхны нөхцөлтэй тохирч байна .

Өөрөөр хэлбэл, систем нь нэг төрлийн бус байж болно - функц хэлбэрээр "нэмэлт жин" -тэй, баруун талд:

Гэхдээ хоёр тохиолдолд та нөхцөл байдлын хоёр үндсэн зүйлд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

1) Энэ тухай юм зөвхөн хувийн шийдлийн тухай.
2) Анхны нөхцлийн хаалтанд байна хатуу тэг, өөр юу ч биш.

Ерөнхий курс, алгоритм нь маш төстэй байх болно үйл ажиллагааны аргыг ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Лавлах материалаас танд ижил зүйл хэрэгтэй болно эх болон зургийн хүснэгт.

Жишээ 1

, ,

Шийдэл:Эхлэл нь өчүүхэн юм: ашиглах Лаплас хувиргах хүснэгтүүдЭх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье. Алсын удирдлагын системтэй холбоотой асуудалд энэ шилжилт нь ихэвчлэн энгийн байдаг:

Эхний нөхцөлийг харгалзан хүснэгтийн томьёо №1, 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

"Тоглоом" -той юу хийх вэ? Хүснэгт дэх "X"-ийг "Би" болгож өөрчил. Эхний нөхцөлийг харгалзан №1, 2-ын ижил хувиргалтыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Олдсон зургуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулъя :

Одоо зүүн хэсгүүдэдтэгшитгэлүүдийг цуглуулах шаардлагатай Бүгдбайгаа эсвэл байгаа нөхцөл. Баруун хэсгүүдэдтэгшитгэлийг "албан ёсны болгох" хэрэгтэй бусад бүх хүмүүснөхцөл:

Дараа нь тэгшитгэл бүрийн зүүн талд бид хаалт хийдэг.

Энэ тохиолдолд дараахь зүйлийг эхний байрлалд, хоёр дахь байрлалд байрлуулна.

Үр дүнд нь хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг ихэвчлэн шийддэг Крамерын томъёоны дагуу. Системийн гол тодорхойлогчийг тооцоолъё.

Тодорхойлогчийг тооцоолсны үр дүнд олон гишүүнтийг олж авав.

Чухал техник!Энэ олон гишүүнт илүү дээр юм тэр даруйүүнийг хүчин зүйлээр тооцохыг хичээ. Эдгээр зорилгын үүднээс квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээх хэрэгтэй , гэхдээ хоёр дахь жилдээ бэлтгэгдсэн нүдтэй олон уншигч үүнийг анзаарах болно .

Тиймээс бидний системийн гол тодорхойлогч нь:

Системийг цаашид задлах нь Крамерт баярлалаа, стандарт юм:

Үүний үр дүнд бид авдаг системийн операторын шийдэл:

Энэ даалгаврын давуу тал нь бутархай нь ихэвчлэн энгийн байдаг бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх нь асуудалд бутархайтай харьцуулахад хамаагүй хялбар байдаг. үйл ажиллагааны аргыг ашиглан DE-ийн тодорхой шийдлийг олох. Таны урьдчилан таамаглал таныг хуурсангүй - сайн хөгшин тодорхойгүй коэффициентийн арга, үүний тусламжтайгаар бид бутархай бүрийг энгийн бутархай болгон задалдаг.

1) Эхний бутархайг авч үзье:

Тиймээс:

2) Бид хоёр дахь бутархайг ижил төстэй схемийн дагуу задалдаг боловч бусад тогтмол (тодорхойгүй коэффициент) ашиглах нь илүү зөв юм.

Тиймээс:

Би дамми нарт задарсан операторын шийдлийг дараах хэлбэрээр бичихийг зөвлөж байна.
- энэ нь эцсийн шатыг илүү тодорхой болгох болно - урвуу Лаплас хувиргалт.

Хүснэгтийн баруун баганыг ашиглан зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжье.

Математикийн сайн дүрмийн дагуу бид үр дүнг бага зэрэг цэгцлэх болно.

Хариулт:

Хариултыг хичээл дээр нарийвчлан авч үзсэн стандарт схемийн дагуу шалгана. Дифференциал тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Даалгаварт том нэмүү нэмэхийн тулд үүнийг үргэлж дуусгахыг хичээ.

Жишээ 2

Үйлдлийн тооцоог ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдийг ол.
, ,

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудлын эцсийн хэлбэр, хичээлийн төгсгөлд хариултын ойролцоо жишээ.

Дифференциал тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг шийдвэрлэх нь алгоритмын хувьд ялгаатай биш бөгөөд техникийн хувьд энэ нь арай илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 3

Үйлдлийн тооцоог ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдийг ол.
, ,

Шийдэл:Анхны нөхцөлийг харгалзан Лапласын хувиргах хүснэгтийг ашиглана , эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье:

Гэхдээ энэ нь бүгд биш, тэгшитгэлийн баруун гар талд ганцаардсан тогтмолууд байдаг. Тогтмол нь дангаараа бүрэн ганцаараа байгаа тохиолдолд яах вэ? Энэ талаар аль хэдийн анги дээр ярилцсан. Үйл ажиллагааны аргыг ашиглан DE-ийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Дахин хэлье: нэг тогтмолыг оюун ухаанаар нэгээр үржүүлж, дараах Лапласын хувиргалтыг нэгжүүдэд хэрэглэнэ.

Олдсон зургуудыг анхны систем рүү орлуулъя:

-ийг агуулсан нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, үлдсэн нөхцлүүдийг баруун талд байрлуулцгаая.

Зүүн талд бид хаалт хийх бөгөөд үүнээс гадна хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талыг нийтлэг хуваагч руу авчрах болно.

Үр дүнг нэн даруй хүчин зүйлээр тооцохыг зөвлөж байна гэдгийг мартаж болохгүй, системийн гол тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Үргэлжлүүлье:



Тиймээс системийн операторын шийдэл нь:

Заримдаа нэг эсвэл бүр хоёр бутархайг багасгаж болох бөгөөд заримдаа маш амжилттай байдаг тул та юу ч өргөжүүлэх шаардлагагүй болно! Мөн зарим тохиолдолд та тэр даруй үнэгүй авах боломжтой, дашрамд хэлэхэд, дараах хичээлийн жишээ нь заагч жишээ байх болно.

Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид энгийн бутархайн нийлбэрийг олж авдаг.

Эхний бутархайг задалъя:

Тэгээд бид хоёр дахь нь:

Үүний үр дүнд операторын шийдэл нь бидэнд хэрэгтэй хэлбэрийг авдаг.

Баруун баганыг ашиглах эх болон зургийн хүснэгтүүдБид урвуу Лаплас хувиргалтыг хийдэг.

Үүссэн зургуудыг системийн операторын шийдэлд орлуулъя.

Хариулт:хувийн шийдэл:

Таны харж байгаагаар гетероген системд нэгэн төрлийн системтэй харьцуулахад илүү их хөдөлмөр шаарддаг тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг. Синус ба косинустай хэд хэдэн жишээг авч үзье, энэ нь хангалттай, учир нь бараг бүх төрлийн асуудал, шийдлийн ихэнх нюансуудыг авч үзэх болно.

Жишээ 4

Үйлдлийн тооцооллын аргыг ашиглан өгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдийг олох,

Шийдэл:Би өөрөө энэ жишээнд дүн шинжилгээ хийх болно, гэхдээ сэтгэгдэл нь зөвхөн онцгой мөчүүдэд хамаарна. Та шийдлийн алгоритмыг аль хэдийн сайн мэддэг болсон гэж би бодож байна.

Эх хувилбараас харгалзах зургууд руу шилжье:

Олдсон зургуудыг анхны алсын удирдлагын системд орлуулж үзье.

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдье.
, энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Үр дүнд нь олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах боломжгүй. Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Юу ч биш. Энэ нь бас хийх болно.

Үүний үр дүнд системийн операторын шийдэл нь:

Энд азын тасалбар байна! Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг огт хэрэглэх шаардлагагүй! Цорын ганц зүйл бол хүснэгтийн хувиргалтыг хэрэгжүүлэхийн тулд бид шийдлийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.

Зургуудаас харгалзах эх хувь руу шилжье:

Үүссэн зургуудыг системийн операторын шийдэлд орлуулъя.

Бид энэ хэсгийг d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 гэсэн хамгийн энгийн хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулахаар шийдсэн бөгөөд үүнд a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 - зарим бодит тоо. Ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хамгийн үр дүнтэй арга бол интеграцийн арга юм. Бид мөн сэдэв дээрх жишээний шийдлийг авч үзэх болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь x (t) ба y (t) хос функц байх бөгөөд энэ нь системийн тэгшитгэлийг хоёуланг нь адилтгал болгон хувиргаж чадна.

DE системийг d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 нэгтгэх аргыг авч үзье. 1-р тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х(t) функцийг арилгахын тулд системийн 2-р тэгшитгэлээс x-г илэрхийлье.

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

2-р тэгшитгэлийг ялгаж үзье т d x d t-ийн тэгшитгэлийг шийд:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Одоо өмнөх тооцооллын үр дүнг системийн 1-р тэгшитгэлд орлъё.

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Тиймээс бид үл мэдэгдэх функц x (t) -ийг арилгаж, тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг олж авав. Энэ y (t) тэгшитгэлийн шийдийг олоод системийн 2-р тэгшитгэлд орлъё. Бид олох болно x(t). Энэ нь тэгшитгэлийн системийн шийдлийг дуусгана гэж бид таамаглах болно.

Жишээ 1

d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3 дифференциал тэгшитгэлийн системийн шийдийг ол.

Шийдэл

Системийн эхний тэгшитгэлээс эхэлье. Үүнийг x-тэй харьцуулахад шийдье:

x = d y d t - 2 y + 3

Одоо системийн 2-р тэгшитгэлийг ялгаж үзээд дараа нь d x d t-д хамааруулан шийдье: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t.

Тооцооллын явцад олж авсан үр дүнг бид алсын удирдлагын системийн 1-р тэгшитгэлд орлуулж болно.

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Өөрчлөлтийн үр дүнд бид d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг олж авлаа. Хэрэв бид түүний ерөнхий шийдлийг олвол функцийг авна y(t).

Харгалзах LOD y 0-ийн ерөнхий шийдийг k 2 - 3 k + 2 = 0 шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолж болно.

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Бидний олж авсан үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой юм. Үүнтэй холбогдуулан LODE-ийн ерөнхий шийдэл нь y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t хэлбэртэй байна.

Одоо y ~ шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олцгооё.

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Тэгшитгэлийн баруун тал нь тэг градусын олон гишүүнт юм. Энэ нь бид тодорхой шийдлийг y ~ = A хэлбэрээр хайх болно гэсэн үг бөгөөд A нь тодорхойгүй коэффициент юм.

Бид тодорхой бус коэффициентийг d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 тэгшитгэлээс тодорхойлж болно:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Тиймээс y ~ = 1 ба y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 байна. Бид нэг үл мэдэгдэх функцийг олсон.

Одоо олдсон функцийг DE системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулж, шинэ тэгшитгэлийг шийдье. x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Тиймээс бид хоёр дахь үл мэдэгдэх функцийг тооцоолсон x (t) = - C 1 · e t + 1.

Хариулт: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу