Сэдвийг судлахдаа хялбар, ойлгомжтой болгох үүднээс бид хураангуй хүснэгтийг толилуулж байна.

Тогтмолy = C Эрчим хүчний функц y = x p (x p) " = p x p - 1	Экспоненциал функцу = сүх (a x) " = a x ln a Ялангуяа хэзээa = eбидэнд байгаа y = e x (e x) " = e x
Логарифм функц (log a x) " = 1 x ln a Ялангуяа хэзээa = eбидэнд байгаа y = log x (ln x) " = 1 x	Тригонометрийн функцууд (нүгэл х) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Урвуу тригонометрийн функцууд (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Гиперболын функцууд (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Тодорхойлсон хүснэгтийн томьёог хэрхэн олж авсан талаар дүн шинжилгээ хийцгээе, эсвэл өөрөөр хэлбэл функцын төрөл бүрийн дериватив томъёоны гарал үүслийг нотлох болно.

Тогтмол тооллын дериватив

Нотлох баримт 1

Энэ томьёог гаргаж авахын тулд бид цэг дээрх функцийн деривативын тодорхойлолтыг үндэс болгон авдаг. Бид x 0 = x, хаана ашигладаг xаливаа бодит тооны утгыг авдаг, эсвэл өөрөөр хэлбэл, x f (x) = C функцийн мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг ∆ x → 0 гэж бичье.

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

0 ∆ x илэрхийлэл нь хязгаарын тэмдгийн доор байгааг анхаарна уу. Энэ нь "тэг тэгээр хуваагдах" тодорхойгүй байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, харин яг тэг юм. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс f (x) = C тогтмол функцийн дериватив нь тодорхойлолтын бүх мужид тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1

Тогтмол функцуудыг өгөгдсөн:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Шийдэл

Өгөгдсөн нөхцөлүүдийг тайлбарлая. Эхний функцэд бид натурал 3-ын деривативыг харж байна. Дараах жишээнд та деривативыг авах хэрэгтэй А, Хаана А- дурын бодит тоо. Гурав дахь жишээ нь деривативыг бидэнд өгдөг иррационал тоо 4. 13 7 22, дөрөв дэх нь тэгийн дериватив (тэг нь бүхэл тоо). Эцэст нь, тав дахь тохиолдолд бид оновчтой бутархайн дериватив - 8 7 байна.

Хариулт:деривативууд заасан функцуудямар ч бодит хувьд тэг байна x(тодорхойлолтын бүх хэсэгт)

f 1 "(x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Хүчин чадлын функцийн дериватив

Дараа нь үргэлжлүүлье эрчим хүчний функцба түүний деривативын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна: (x p) " = p x p - 1, энд илтгэгч хямар ч бодит тоо байна.

Нотлох баримт 2

Экспонент нь натурал тоо байх томъёоны нотолгоо энд байна. p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтод дахин найдаж байна. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёог ашиглана:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆) x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Тиймээс:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 +.

Ийнхүү илтгэгч нь натурал тоо байх үед чадлын функцийн деривативын томъёог бид нотолсон.

Нотлох баримт 3

Хэргийн талаар нотлох баримт бүрдүүлэх p-тэгээс бусад бодит тоо бол бид логарифмын деривативыг ашигладаг (энд бид логарифмын үүсмэл функцийн ялгааг ойлгох ёстой). Илүү бүрэн ойлголттой болохын тулд логарифм функцийн деривативыг судалж, далд функцийн дериватив болон деривативын талаар цааш нь ойлгохыг зөвлөж байна. нарийн төвөгтэй функц.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье: хэзээ xэерэг ба хэзээ xсөрөг.

Тэгэхээр x > 0. Дараа нь: x p > 0 . y = x p тэгшитгэлийг e суурьтай логарифмчилж, логарифмын шинж чанарыг хэрэгжүүлье.

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Энэ үе шатанд бид далд хэлбэрээр тодорхойлогдсон функцийг олж авсан. Үүний деривативыг тодорхойлъё:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Одоо бид хэзээ тохиолдлыг авч үзье x -сөрөг тоо.

Хэрэв индикатор хтэгш тоо бол х-д чадлын функц тодорхойлогдоно< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Дараа нь x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Хэрэв хнь сондгой тоо бол х-д чадлын функц тодорхойлогдоно< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Сүүлчийн шилжилт нь хэрэв байгаа тул боломжтой юм хтэгвэл сондгой тоо p - 1тэгш тоо эсвэл тэг (p = 1-ийн хувьд), тиймээс сөрөг байна xтэгш байдал (- x) p - 1 = x p - 1 үнэн.

Тиймээс бид аливаа бодит p-ийн чадлын функцийн деривативын томъёог баталсан.

Жишээ 2

Өгөгдсөн функцууд:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Тэдний деривативыг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Өгөгдсөн функцүүдийн заримыг зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн y = x p хүснэгт хэлбэрээр хувиргаж, дараа нь дараах томъёог ашиглана.

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Экспоненциал функцийн дериватив

Баталгаа 4

Тодорхойлолтыг үндэс болгон ашиглан дериватив томъёог гаргацгаая.

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Бид тодорхойгүй байдалд орсон. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд z = a ∆ x - 1 (z → 0-ийг ∆ x → 0 гэж) шинэ хувьсагч бичье. Энэ тохиолдолд a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Сүүлийн шилжилтийн хувьд шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг санаж, дараа нь деривативын томъёог олж авцгаая экспоненциал функц:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Жишээ 3

Экспоненциал функцууд өгөгдсөн:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Тэдний деривативыг олох шаардлагатай байна.

Шийдэл

Бид экспоненциал функцийн дериватив ба логарифмын шинж чанаруудын томъёог ашигладаг.

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Логарифм функцийн дериватив

Нотлох баримт 5

Аливаа логарифм функцийн деривативын томъёоны баталгааг өгье xТодорхойлолт болон логарифмын суурийн а-ийн зөвшөөрөгдөх утгууд. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид дараахь зүйлийг олж авна.

(лог a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Заасан тэгш байдлын гинжин хэлхээнээс харахад өөрчлөлтүүд нь логарифмын шинж чанарт үндэслэсэн нь тодорхой байна. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e тэгш байдлын хоёр дахь гайхалтай хязгаарын дагуу үнэн.

Жишээ 4

Логарифм функцууд өгөгдсөн:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Тэдний деривативыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Гарсан томъёог хэрэглэцгээе:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Тэгэхээр натурал логарифмын дериватив нь нэг хуваагдана x.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Баталгаа 6

Заримыг нь ашиглая тригонометрийн томъёомөн тригонометрийн функцийн деривативын томъёог гаргах анхны гайхалтай хязгаар.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Синусын зөрүүний томъёо нь дараахь үйлдлүүдийг хийх боломжийг бидэнд олгоно.

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Эцэст нь бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашигладаг:

нүгэл " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Тэгэхээр функцийн дериватив гэм хболно cos x.

Мөн бид косинусын деривативын томъёог батлах болно.

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тэдгээр. дериватив cos функцууд x байх болно – нүгэл х.

Бид ялгах дүрэмд үндэслэн тангенс ба котангенсийн деривативын томъёог гаргаж авдаг.

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x нүгэл 2 х = - нүгэл 2 х + cos 2 х нүгэл 2 х = - 1 нүгэл 2 х

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Урвуу функцүүдийн деривативын тухай хэсэгт арксин, арккосин, арктангенс, арккотангенсийн деривативуудын томъёоны баталгааны талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгсөн тул бид энд материалыг хуулбарлахгүй.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд

Нотлох баримт 7

Дифференциалын дүрэм болон экспоненциал функцийн деривативын томъёог ашиглан бид гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж болно.

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s ч x t h " x = с ч х х х х " = с ч " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хүснэгтийн хамгийн эхний томьёог гаргаж авахдаа бид тухайн цэгийн дериватив функцийн тодорхойлолтоос эхэлнэ. Хаашаа авцгаая x- дурын бодит тоо, өөрөөр хэлбэл, x– функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг дараах байдлаар бичье.

Хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийлэл гарч ирснийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тэгийг тэгээр хуваасан тодорхой бус байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, гэхдээ яг тэг байна. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс, тогтмол функцийн деривативтодорхойлолтын бүх домайн даяар тэгтэй тэнцүү байна.

Хүчин чадлын функцийн дериватив.

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо нь хэлбэртэй байна , илтгэгч хаана байна х- дурын бодит тоо.

Эхлээд натурал илтгэгчийн томъёог баталъя, өөрөөр хэлбэл for p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтыг ашиглах болно. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёо руу шилждэг.

Тиймээс,

Энэ нь натурал илтгэгчийн чадлын функцийн деривативын томъёог баталж байна.

Экспоненциал функцийн дериватив.

Бид дараах тодорхойлолт дээр үндэслэн дериватив томъёоны гарал үүслийг танилцуулж байна.

Бид тодорхойгүй байдалд ирлээ. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, . Дараа нь . Сүүлийн шилжилтийн үед бид шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

Хэрэв бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг эргэн санавал экспоненциал функцийн деривативын томъёонд хүрнэ.

Логарифм функцийн дериватив.

Бүгдэд зориулсан логарифм функцийн деривативын томъёог баталъя xтодорхойлолтын домэйн болон суурийн бүх хүчинтэй утгуудаас алогарифм Деривативын тодорхойлолтоор бид:

Таны анзаарсанчлан нотолгооны явцад логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргалтыг хийсэн. Тэгш байдал хоёр дахь гайхалтай хязгаарын улмаас үнэн юм.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативын томъёог гаргахын тулд бид тригонометрийн зарим томьёо, мөн эхний гайхалтай хязгаарыг эргэн санах хэрэгтэй болно.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтоор бид байна .

Синусын зөрүүний томъёог ашиглая:

Эхний гайхалтай хязгаарт шилжих хэвээр байна:

Тиймээс функцийн дериватив гэм хБайна cos x.

Косинусын деривативын томъёог яг ижил аргаар нотолсон.

Тиймээс функцийн дериватив cos xБайна – нүгэл х.

Бид шүргэгч ба котангенсийн деривативын хүснэгтийн томъёог ялгах батлагдсан дүрмийг (бутархайн дериватив) ашиглан гаргана.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд.

Ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгтээс экспоненциал функцийн деривативын томъёо нь гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж авах боломжийг олгодог.

Урвуу функцийн дериватив.

Илтгэлийн явцад төөрөгдөл гаргахгүйн тулд ялгах функцийн аргументыг, өөрөөр хэлбэл функцийн дериватив гэдгийг дэд тэмдэгтээр тэмдэглэе. f(x) By x.

Одоо томъёолъё урвуу функцийн деривативыг олох дүрэм.

Функцуудыг зөвшөөр у = f(x)Тэгээд x = g(y)харилцан урвуу, интервалууд болон тус тусад нь тодорхойлогддог. Хэрэв тухайн цэг дээр функцийн төгсгөлтэй тэгээс бус дериватив байвал f(x), тэгвэл тухайн цэг дээр урвуу функцийн төгсгөлөг дериватив байна g(y), ба . Өөр нэг бичлэгт .

Энэ дүрмийг хэнд ч өөрчилж болно xинтервалаас , дараа нь бид авна .

Эдгээр томъёоны үнэн зөвийг шалгацгаая.

Бид олох болно урвуу функцнатурал логарифмын хувьд (Энд yфункц мөн x- маргаан). Энэ тэгшитгэлийг шийдсэний дараа x, бид (энд xфункц мөн y- түүний аргумент). Энэ нь, ба харилцан урвуу функцууд.

Деривативын хүснэгтээс бид үүнийг харж байна Тэгээд .

Урвуу функцийн деривативыг олох томъёо нь ижил үр дүнд хүргэж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Таны харж байгаагаар бид деривативын хүснэгттэй ижил үр дүнг авсан.

Одоо бид урвуу тригонометрийн функцүүдийн деривативын томъёог батлах мэдлэгтэй болсон.

Арксинусын деривативаас эхэлье.

. Дараа нь урвуу функцийн деривативын томъёог ашиглан бид олж авна

Үлдсэн зүйл бол өөрчлөлтийг хийх явдал юм.

Арксинусын муж нь интервал учраас , Тэр (үндсэн үндсэн функц, тэдгээрийн шинж чанар, графикийн хэсгийг үзнэ үү). Тиймээс бид үүнийг авч үзэхгүй байна.

Тиймээс, . Арксинусын деривативын тодорхойлолтын домэйн нь интервал юм (-1; 1) .

Нумын косинусын хувьд бүх зүйл яг ижил аргаар хийгддэг.

Арктангенсын деривативыг олъё.

Учир нь урвуу функц нь .

Үүссэн илэрхийллийг хялбарчлахын тулд арктангенсыг арккосиноор илэрхийлье.

Болъё arctgx = z, Дараа нь

Тиймээс,

Нуман котангенсын деривативыг ижил төстэй аргаар олно.

Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид авч үзсэн материалаа нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ арга техник, заль мэхтэй танилцах болно.

Мэддэг уншигчиддаа бага түвшинбэлтгэл, та нийтлэлийг үзэх хэрэгтэй Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ, энэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх Бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээллогикийн хувьд гурав дахь нь бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна? Тийм ээ, хангалттай! туршилтуудпрактикт байнга тулгардаг.

Дахин давтахаас эхэлцгээе. Ангидаа Нарийн төвөгтэй функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоо болон бусад хэсгүүдийг судлах явцад математик шинжилгээ- Та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээг нарийвчлан тайлбарлах нь үргэлж тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагагүй). Тиймээс бид үүсмэл хэлбэрийг амаар олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу :

Ирээдүйд бусад матан сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бүртгэл ихэвчлэн шаардлагагүй байдаг тул оюутан ийм деривативыг автомат жолоодлого дээр хэрхэн олохыг мэддэг гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт утас дуугарч, "Хоёр X-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?" гэж аятайхан хоолой асуув гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дараа бараг шуурхай бөгөөд эелдэг хариу өгөх ёстой: .

Эхний жишээ нь нэн даруй зориулагдсан болно бие даасан шийдвэр.

Жишээ 1

Дараах деривативуудыг нэг үйлдлээр амаар олоорой, жишээлбэл: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв та үүнийг хараахан санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Нарийн төвөгтэй деривативууд

Урьдчилан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүмүүст төвөгтэй мэт санагдаж болох ч хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) дифференциал тооцооллын бараг бүх зүйл хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд юуны түрүүнд шаардлагатай болно ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: жишээ нь бид "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь шатанд ялгаа:

6) Эцэст нь, хамгийн гадаад функц нь юм квадрат язгуур:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Ямар ч алдаа байхгүй юм шиг байна ...

(1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг

(3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

(4) Косинусын деривативыг ав.

(5) Логарифмын деривативыг ав.

(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. -ийн деривативыг хэрхэн олох вэ гурвын бүтээгдэхүүнүржүүлэгч?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой эсэхийг харцгаая? Жишээлбэл, хэрэв үржвэрт хоёр олон гишүүнт байвал хаалт нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцууд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: "ve" -ээр бид логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Үнэхээр тийм үү – энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд үүнийг эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн арга замаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд төслийг үргэлж шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу? Тоолуурын илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулъя Гурван давхар фракцаас салцгаая:

Нэмэлт хялбаршуулсан сул тал нь деривативыг олохдоо бус харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санах" гэж хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахын тулд санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна:

Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг шууд цөхрөлд автуулдаг - та тааламжгүй үүслийг авах хэрэгтэй. бутархай хүч, дараа нь мөн бутархай хэсгээс.

Тийм ч учраас өмнө"нарийн төвөгтэй" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг эхлээд сургуулийн алдартай шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.

! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томъёог шууд хуулж ав. Хэрэв танд дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр хуулж ав, учир нь хичээлийн үлдсэн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.

Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийг өөрчилье:

Деривативыг олох нь:

Функцийг урьдчилан хөрвүүлэх нь шийдлийг маш хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.

Одоо та өөрөө шийдэх хэд хэдэн энгийн жишээ байна:

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Бүх өөрчлөлтүүд болон хариултууд хичээлийн төгсгөлд байна.

Логарифмын дериватив

Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол асуулт гарч ирнэ: зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу? Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.

Жишээ 11

Функцийн деривативыг ол

Саяхан бид ижил төстэй жишээнүүдийг харлаа. Юу хийх вэ? Та хуваалтыг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэж болно. Энэ аргын сул тал нь та гурван давхар том хэсэгтэй болж, үүнийг огтхон ч шийдвэрлэхийг хүсэхгүй байгаа явдал юм.

Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь Функц нь сөрөг утгыг авч болох тул ерөнхийдөө та модулиудыг ашиглах хэрэгтэй: , энэ нь ялгаатай байдлын үр дүнд алга болно. Гэсэн хэдий ч одоогийн загварыг хүлээн авах боломжтой бөгөөд үүнийг анхдагчаар харгалзан үздэг цогцолборутга. Гэхдээ хэрэв бүх зүйл хатуу байвал аль алинд нь захиалга өгөх хэрэгтэй.

Одоо та баруун талын логарифмыг аль болох "задлах" хэрэгтэй (нүдний өмнөх томъёонууд?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Ялгахаас эхэлцгээе.
Бид хоёр хэсгийг үндсэн хэсэгт дүгнэж байна:

Баруун талын дериватив нь маш энгийн бөгөөд би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах хэрэгтэй.

Зүүн тал нь яах вэ?

Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "Y" үсэг байгаа юм бэ?" Гэсэн асуултыг би таамаглаж байна.

Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг үсэгтэй тоглоом" - ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц, "y" нь дотоод функц юм. Мөн бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зүүн талд нь ид шидтэй мэт бид деривативтай. Дараа нь пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -ийг зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд талд шилжүүлнэ.

Одоо бид ялгах явцад ямар төрлийн "тоглогч" функцийн талаар ярилцсанаа санацгаая? Нөхцөл байдлыг харцгаая:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 12

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ төрлийн жишээний загвар дизайныг хичээлийн төгсгөлд оруулсан болно.

Логарифмын деривативыг ашиглан 4-7-р жишээнүүдийн аль нэгийг нь шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол функцууд нь илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.

Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид энэ функцийг хараахан авч үзээгүй байна. Чадлын экспоненциал функц нь түүнд зориулагдсан функц юм зэрэг ба суурь нь "x" -ээс хамаарна.. Аливаа сурах бичиг, лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:

Хүч-экпоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Саяхан хэлэлцсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.

Дүрмээр бол баруун талд градусыг логарифмын доороос авна.

Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн үржвэртэй байгаа бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. .

Бид үүнийг хийх деривативыг олж, бид хоёр хэсгийг цус харвах дор хавсаргана.

Цаашдын үйлдлүүд нь энгийн:

Эцэст нь:

Хэрэв ямар нэгэн хөрвүүлэлт бүрэн тодорхойгүй байвал Жишээ №11-ийн тайлбарыг анхааралтай уншина уу.

Практик даалгаврын хувьд чадлын экспоненциал функц нь авч үзсэн лекцийн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 13

Функцийн деривативыг ол

Бид логарифмын деривативыг ашигладаг.

Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "x" ба "логарифм x" (өөр логарифм логарифмын доор байрладаг). Ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар тогтмолыг үүсмэл тэмдгээс нэн даруй шилжүүлэх нь дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй; Мэдээжийн хэрэг, бид мэддэг дүрмийг хэрэгжүүлдэг :

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, урвуу функцийг шууд авч үзье. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн дүрмийг ашиглах болно: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ нь ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгана уу:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгааг анхаарна уу, тиймээс бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогц функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн чухал шинж чанар: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадаад: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадаад: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйлдлийн дарааллыг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл (х-ийг а-ын зэрэгт). x-ийн үндэсээс үүссэн деривативуудыг авч үзнэ. Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо илүү өндөр дараалал. Деривативыг тооцоолох жишээ.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Хүчин чадлын функц ба үндэс, томъёо, график
Эрчим хүчний функцийн графикууд

Үндсэн томъёо

X-ийн а-ын дериватив нь х-ийг хасах нэгийн хүчинтэй тэнцүү байна.
(1) .

x-ийн n-р язгуураас m-р зэрэглэлийн дериватив нь:
(2) .

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Тохиолдол x > 0

a илтгэгчтэй x хувьсагчийн чадлын функцийг авч үзье.
(3) .
Энд a нь дурын бодит тоо юм. Эхлээд хэргийг авч үзье.

(3) функцийн деривативыг олохын тулд бид чадлын функцийн шинж чанарыг ашиглан дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
.

Одоо бид деривативыг дараах байдлаар олно.
;
.
Энд.

Формула (1) нь батлагдсан.

х-ийн n зэрэгтэй язгуурыг m зэрэгтэй болгох томъёоны гарал үүсэлтэй

Дараах хэлбэрийн үндэс болох функцийг авч үзье.
(4) .

Деривативыг олохын тулд язгуурыг чадлын функц болгон хувиргана.
.
Томъёо (3)-тай харьцуулбал бид үүнийг харж байна
.
Дараа нь
.

(1) томъёог ашиглан бид деривативыг олно:
(1) ;
;
(2) .

Практикт томьёо (2) цээжлэх шаардлагагүй. Эхлээд үндсийг хүч чадлын функц болгон хувиргаж, дараа нь (1) томъёог ашиглан тэдгээрийн деривативыг олох нь илүү тохиромжтой (хуудасны төгсгөлд байгаа жишээг үзнэ үү).

Тохиолдол x = 0

Хэрэв бол х = хувьсагчийн утгад чадлын функц тодорхойлогдоно 0 . 0 (3) функцийн деривативыг x = дээр олъё
.

. 0 :
.
Үүнийг хийхийн тулд бид деривативын тодорхойлолтыг ашигладаг.

x =-г орлуулъя
.
Энэ тохиолдолд дериватив гэж бид баруун талын хязгаарыг хэлнэ.
Тиймээс бид олсон:
Тиймээс бид олсон:
Эндээс харахад , .
(1) .
-д. 0 .

Энэ үр дүнг томъёо (1) -ээс олж авна.< 0

Иймд (1) томъёо нь x =-д мөн хүчинтэй байна
(3) .
Тохиолдол x (3) функцийг дахин авч үзье: a тогтмолын тодорхой утгуудын хувьд энэ нь мөн тодорхойлогддог сөрөг утгуудхувьсагч х.
,
Тухайлбал, байг

оновчтой тоо 3 . Дараа нь үүнийг бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно: 1 Энд m ба n нь нийтлэг хуваагчгүй бүхэл тоо юм.
.
Хэрэв n нь сондгой бол х хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд чадлын функцийг мөн тодорхойлно.

Жишээлбэл, n = үед ба m =Бид x-ийн шоо язгууртай:
.
Энэ нь мөн x хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.
.
(3)-ын төлөө ба төлөө чадлын функцийн деривативыг олъё

.
оновчтой үнэ цэнэ
.
тодорхойлогдсон тогтмол a. Үүнийг хийхийн тулд x-г дараах хэлбэрээр төсөөл.
.
Дараа нь
.
Дараа нь,
(1) .

Тогтмолыг деривативын тэмдгийн гадна байрлуулж, цогц функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг олно.

Энд. Гэхдээ
(3) .
Түүнээс хойш
.

Өөрөөр хэлбэл (1) томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.
.
Дээд зэрэглэлийн деривативууд
;

.

Одоо чадлын функцийн дээд эрэмбийн деривативуудыг олъё Бид эхний эрэмбийн деривативыг аль хэдийн олсон:Деривативын тэмдгийн гадна а тогтмолыг авбал бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.
.

Үүний нэгэн адил бид гурав, дөрөв дэх дарааллын деривативуудыг олдог. Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байнадурын n-р эрэмбийн дериватив
.
дараах хэлбэртэй байна:
,
Үүнийг анхаарна уу

хэрэв a нь натурал тоо юм

, тэгвэл n-р дериватив тогтмол байна:

Дараа нь бүх деривативууд тэгтэй тэнцүү байна:
.

Үндэсийг хүч болгон хөрвүүлье:
;
.
Дараа нь анхны функц нь дараах хэлбэрийг авна.
.

Хүчин чадлын деривативуудыг олох:
;
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байна:
.