§ 1 Координатын систем: барилгын тодорхойлолт ба арга

Энэ хичээлээр бид "координатын систем", "координатын хавтгай", "координатын тэнхлэгүүд" гэсэн ойлголттой танилцаж, координатыг ашиглан хавтгай дээр цэгүүдийг хэрхэн байгуулах талаар сурах болно.

О эх цэгтэй, эерэг чиглэлтэй, нэгж сегменттэй координатын х шулууныг авъя.

Координатын гарал үүсэл, х координатын шугамын О цэгээр бид х-тэй перпендикуляр өөр координатын шугамыг зурж, эерэг чиглэлийг дээшээ чиглүүлж, нэгж сегмент нь ижил байна. Тиймээс бид координатын системийг бий болгосон.

Тодорхойлолт өгье:

Нэг цэг дээр огтлолцсон хоёр харилцан перпендикуляр координатын шугам нь координатын эх үүсвэр болох нь координатын системийг бүрдүүлдэг.

§ 2 Координатын тэнхлэг ба координатын хавтгай

Координатын системийг бүрдүүлдэг шулуун шугамуудыг координатын тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг: координатын шугам x нь абсцисса тэнхлэг, у координатын шугам нь ордны тэнхлэг юм.

Координатын системийг сонгосон хавтгайг координатын хавтгай гэнэ.

Тодорхойлсон координатын системийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн Францын философич, математикч Рене Декартыг хүндэтгэн Декартын координатын систем гэж нэрлэгддэг.

Координатын хавтгай дээрх цэг бүр нь хоёр координаттай бөгөөд координатын тэнхлэг дээрх цэгээс перпендикуляруудыг буулгах замаар тодорхойлж болно. Хавтгай дээрх цэгийн координатууд нь хос тоо бөгөөд эхний тоо нь абсцисса, хоёр дахь тоо нь ординат юм. Абсцисса нь х тэнхлэгт перпендикуляр, ординат нь у тэнхлэгт перпендикуляр байна.

Координатын хавтгайд А цэгийг тэмдэглээд түүнээс координатын системийн тэнхлэгүүд рүү перпендикуляр зуръя.

Абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр (х тэнхлэг) дагуу бид А цэгийн абсциссыг тодорхойлно, энэ нь 4-тэй тэнцүү, А цэгийн ординат - ординатын тэнхлэгт перпендикуляр дагуу (y-тэнхлэг) 3. координатууд. бидний оноо 4 ба 3. A (4;3). Тиймээс координатын хавтгай дээрх аль ч цэгийн координатыг олж болно.

§ 3 Хавтгай дээр цэг байгуулах

Өгөгдсөн координат бүхий хавтгай дээр цэгийг хэрхэн яаж барих вэ, i.e. Хавтгай дээрх цэгийн координатыг ашиглан түүний байрлалыг тодорхойлно уу? Энэ тохиолдолд бид алхмуудыг урвуу дарааллаар гүйцэтгэдэг. Координатын тэнхлэгүүд дээр бид өгөгдсөн координатад тохирох цэгүүдийг олж, х, у тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамуудыг зурдаг. Перпендикуляруудын огтлолцох цэг нь хүссэн цэг байх болно, өөрөөр хэлбэл. өгөгдсөн координат бүхий цэг.

Даалгавраа гүйцээцгээе: координатын хавтгайд M (2;-3) цэгийг байгуул.

Үүнийг хийхийн тулд х тэнхлэг дээр 2 координаттай цэгийг олж, энэ цэгээр х тэнхлэгт перпендикуляр шулуун зурна. Ординатын тэнхлэг дээр бид -3 координаттай цэгийг олж, үүгээр дамжуулан y тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурна. Перпендикуляр шугамуудын огтлолцлын цэг нь өгөгдсөн М цэг болно.

Одоо хэд хэдэн онцгой тохиолдлыг авч үзье.

Координатын хавтгайд A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) цэгүүдийг тэмдэглэе.

Эдгээр цэгүүдийн абсцисс нь 0-тэй тэнцүү байна. Зураг дээр бүх цэгүүд ординатын тэнхлэг дээр байгааг харуулж байна.

Үүний үр дүнд абсцисс нь 0-тэй тэнцүү цэгүүд ординатын тэнхлэг дээр байрладаг.

Эдгээр цэгүүдийн координатыг сольж үзье.

Үр дүн нь A (2;0), B (-3;0) C (4; 0) болно. Энэ тохиолдолд бүх ординатууд нь 0-тэй тэнцүү байх ба цэгүүд нь x тэнхлэг дээр байна.

Энэ нь ординат нь тэгтэй тэнцүү цэгүүд абсцисса тэнхлэг дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Өөр хоёр тохиолдлыг авч үзье.

Координатын хавтгайд M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

Цэгүүдийн бүх абсцисс ижил байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Хэрэв эдгээр цэгүүд холбогдсон бол та ординатын тэнхлэгтэй параллель, абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг авна.

Дүгнэлт нь өөрийгөө харуулж байна: ижил абсциссатай цэгүүд нь ординатын тэнхлэгтэй параллель, абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байдаг нэг шулуун дээр байрладаг.

Хэрэв та M, N, P цэгүүдийн координатыг сольж байвал M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) болно. Цэгүүдийн ординатууд ижил байх болно. Энэ тохиолдолд хэрэв та эдгээр цэгүүдийг холбовол абсцисса тэнхлэгтэй параллель, ордны тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг авна.

Ийнхүү ординаттай ижил цэгүүд абсцисса тэнхлэгтэй параллель ба ординат тэнхлэгт перпендикуляр нэг шулуун дээр байрладаг.

Энэ хичээлээр та "координатын систем", "координатын хавтгай", "координатын тэнхлэгүүд - абсцисса тэнхлэг ба ординатын тэнхлэг" гэсэн ойлголттой танилцсан. Бид координатын хавтгай дээрх цэгийн координатыг хэрхэн олохыг сурч, түүний координатыг ашиглан хавтгай дээр цэгүүдийг хэрхэн байгуулах талаар сурсан.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Математик. 6-р анги: I.I.-ийн сурах бичгийн хичээлийн төлөвлөгөө. Зубарева, А.Г. Мордкович // Зохиогч эмхэтгэгч Л.А. Топилина. - Mnemosyne, 2009.
2. Математик. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович - Мнемосина, 2013.
3. Математик. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворов болон бусад/Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Оросын Шинжлэх Ухааны Академи, Оросын Боловсролын Академи. - М.: "Гэгээрэл", 2010 он
4. Математикийн гарын авлага - http://lyudmilanik.com.ua
5. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан гарын авлага http://shkolo.ru

Шулуун шугам нь түүнд хамаарах хоёр цэг мэдэгдэж байвал бүрэн тодорхойлогддог. Түүний тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барихын тулд энэ тэгшитгэлийг ашиглан түүний хоёр цэгийн координатыг олох шаардлагатай. Хэрэв цэг нь шулуунд хамаарах бол энэ цэгийн координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангана гэдгийг хатуу санах хэрэгтэй.

Шугамыг тэгшитгэлийг нь ашиглан практикт барихдаа түүнийг байгуулахад авсан хоёр цэгийн координат бүхэл тоо байх үед хамгийн зөв график гарна.

1. Хэрэв шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлсон бол Сүх + By + C= 0 ба , тэгвэл түүнийг байгуулах хамгийн хялбар арга бол шулуун шугамын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлох явдал юм.

Шулуун шугамын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийн координатыг хэрхэн тодорхойлохыг зааж өгье. Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатууд Үхэртэнхлэгт байрлах бүх цэгийн ординатуудыг дараах бодолтоос олж болно Үхэр, тэгтэй тэнцүү байна. Шулуун шугамын тэгшитгэлд гэж үздэг y 0-тэй тэнцүү бөгөөд үүссэн тэгшитгэлээс нэг нь олно x. Үнэ цэнэ олсон xба шулууны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм Үхэр. Хэрэв энэ нь тогтоогдвол x = а, дараа нь шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатууд Үхэрбайх болно ( а, 0).

Тэнхлэгтэй шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлох Өө, тэд ингэж тайлбарлаж байна: тэнхлэгт байрлах бүх цэгүүдийн абсцисса Өө, тэгтэй тэнцүү байна. Тэгшитгэл дэх шулуун шугамыг авах xтэгтэй тэнцүү бол бид үүссэн тэгшитгэлээс тодорхойлно y. Үнэ цэнэ олсон yба шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох ординат болно Өө. Хэрэв энэ нь гарч ирвэл, жишээлбэл, тэр y = б, дараа нь шулуун шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Өөкоординаттай (0, б).

Жишээ.Шууд 2 x + y- 6 = 0 нь тэнхлэгийг гаталж байна Үхэрцэг дээр (3, 0). Үнэхээр энэ тэгшитгэлийг авч үзвэл y= 0, бид тодорхойлох болно xтэгшитгэл 2 x- 6 = 0, хаанаас x = 3.

Энэ шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тодорхойлох Өө, шулуун шугамын тэгшитгэлд оруулна x= 0. Бид тэгшитгэлийг олж авна y- 6 = 0, үүнээс үүдэн гарч байна y= 6. Ийнхүү шулуун шугам нь координатын тэнхлэгүүдийг (3, 0) ба (0, 6) цэгүүдээр огтолж байна.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд C= 0 бол энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө. Тиймээс түүний нэг цэг нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа бөгөөд шулуун шугам барихын тулд түүний өөр нэг цэгийг олоход л үлддэг. Абсцисса xэнэ цэгийг дур зоргоороо тогтоож, ординат yшулуун шугамын тэгшитгэлээс олно.

Жишээ.Шууд 2 x - 4y= 0 нь эх үүсвэрээр дамждаг. Бид шугамын хоёр дахь цэгийг жишээлбэл, дараах байдлаар тодорхойлно. x= 2. Дараа нь тодорхойлох yБид 2*2 - 4 тэгшитгэлийг авна y = 0; 4y = 4; y= 1. Тэгэхээр 2-р мөр x - 4y= 0 нь (0, 0) ба (2, 1) цэгүүдээр дамждаг.

Хэрэв шугамыг тэгшитгэлээр өгсөн бол y = kx + бөнцгийн коэффициенттэй бол сегментийн утга энэ тэгшитгэлээс аль хэдийн мэдэгдэж байна б, ординатын тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдах ба шулуун шугам барихын тулд энэ шулуунд хамаарах өөр нэг цэгийн координатыг тодорхойлоход л үлддэг. Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. y = kx + б, дараа нь шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойлоход хамгийн хялбар байдаг. Үхэр. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг дээр дурдсан.

Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол y = kx + б б= 0, дараа нь шулуун шугам нь координатын эхийг дайран өнгөрөх бөгөөд ингэснээр түүнд хамаарах нэг цэг аль хэдийн мэдэгдэж байна. Өөр цэг олохын тулд та өгөх хэрэгтэй xдурын утгыг авч тэгшитгэлээс шууд утгыг тодорхойлно y, энэ утгатай тохирч байна x.

Жишээ.Шулуун шугам нь эхлэл ба цэгийг (2, 1) дайран өнгөрдөг xТүүний тэгшитгэлээс = 2.

Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичсэн:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцох цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шулууныг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 x + Б 1 ,

y = к 2 x + Б 2 , (4)

Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

Бутархайн дугаарт эхний мөрийн налууг хоёр дахь шугамын налуугаас хасдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хэрэв шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өгвөл

А 1 x + Б 1 y + C 1 = 0,

А 2 x + Б 2 y + C 2 = 0, (6)

тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

4. Хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл:

a) Хэрэв шугамуудыг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр (4) өгсөн бол тэдгээрийн зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь өнцгийн коэффициентүүдийн тэгш байдал юм.

к 1 = к 2 . (8)

б) Шулууныг ерөнхий хэлбэрээр (6) тэгшитгэлээр өгсөн тохиолдолд тэдгээрийн параллелизмд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл бол тэдгээрийн тэгшитгэл дэх харгалзах гүйдлийн координатын коэффициентүүд нь пропорциональ байх явдал юм.

5. Хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл:

a) Шулууныг өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр (4) өгөгдсөн тохиолдолд тэдгээрийн перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд нь урвуу утгатай, тэмдгээр нь эсрэг байх явдал юм.

• О цэг дээр огтлолцсон хоёр харилцан перпендикуляр координатын шугам - лавлагааны гарал үүсэл, хэлбэр тэгш өнцөгт координатын систем, мөн декартын координатын систем гэж нэрлэдэг.
• Координатын системийг сонгосон хавтгайг дуудна координатын хавтгай.Координатын шугамууд гэж нэрлэгддэг координатын тэнхлэгүүд. Хэвтээ тэнхлэг нь абсцисса тэнхлэг (Ox), босоо тэнхлэг нь ордны тэнхлэг (Oy) юм.
• Координатын тэнхлэгүүд нь координатын хавтгайг дөрвөн хэсэгт хуваадаг - дөрөвний нэг. Улирлын серийн дугаарыг ихэвчлэн цагийн зүүний эсрэг тоолдог.
• Координатын хавтгай дахь аливаа цэгийг түүний координатаар тодорхойлно - абсцисса ба ординат. Жишээ нь, A(3; 4). Унш: 3 ба 4 координаттай А цэг. Энд 3 нь абсцисса, 4 нь ординат юм.

I. А(3; 4) цэгийг барих.

Абсцисса 3 Энэ нь тооллогын эхнээс O цэгийг баруун тийш шилжүүлэх шаардлагатайг харуулж байна 3 нэгж сегмент, дараа нь тавих 4 нэгж сегмент болон цэг тавих.

Гол нь энэ A(3; 4).

B(-2; 5) цэгийг барих.

Тэгээс бид зүүн тийш шилжинэ 2 нэг сегмент, дараа нь дээш 5 ганц сегментүүд.

Үүнд цэг тавья IN.

Ихэвчлэн нэгж сегментийг авдаг 1 нүд.

II. xOy координатын хавтгайд цэгүүдийг байгуул:

A (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Баригдсан цэгүүдийн координатыг тодорхойл: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);B(-2; 0);

C(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).

Хэрэв шугамыг тодорхойлох тэгшитгэлд модулийн тэмдгийг оруулбал шугамууд хэрхэн хувирдагийг харуулъя.

F(x;y)=0(*) тэгшитгэлтэй байя.

· F(|x|;y)=0 тэгшитгэл нь ординаттай харьцангуй тэгш хэмтэй шугамыг заана. Хэрэв (*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ шугамыг аль хэдийн барьсан бол бид шугамын нэг хэсгийг ординатын тэнхлэгийн баруун талд үлдээж, дараа нь зүүн тийш тэгш хэмтэй байдлаар гүйцээнэ.

· F(x;|y|)=0 тэгшитгэл нь абсцисса тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шулууныг тодорхойлно. Хэрэв (*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ шугамыг аль хэдийн барьсан бол бид шугамын нэг хэсгийг x тэнхлэгээс дээш үлдээж, доороос нь тэгш хэмтэйгээр гүйцээнэ.

· F(|x|;|y|)=0 тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй шугамыг зааж өгдөг. Хэрэв (*) тэгшитгэлд заасан шугамыг аль хэдийн барьсан бол эхний улиралд шугамын нэг хэсгийг орхиж, дараа нь тэгш хэмтэй байдлаар гүйцээнэ.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье

Жишээ 1.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамтай болцгооё.

(1), энд a>0, b>0.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамуудыг байгуул:

Шийдэл:

Эхлээд бид анхны шугамыг барьж, дараа нь зөвлөмжийг ашиглан үлдсэн шугамуудыг барих болно.

X

цагт

А

б

(1)

(2)

б

-а

а

y

x

x

y

а

(3)

-б

б

x

y

-а

X

-а

б

(5)

а

-б

Жишээ 5

Координатын хавтгай дээр тэгш бусаар тодорхойлогдсон талбайг зур.

Шийдэл:

Эхлээд бид тэгшитгэлээр өгөгдсөн бүсийн хилийг байгуулна.

| (5)

Өмнөх жишээнд бид координатын хавтгайг хоёр хэсэгт хуваах хоёр зэрэгцээ шугамыг авсан.

Шугамын хоорондох талбай

Шугамын гаднах талбай.

Өөрийнхөө бүсийг сонгохын тулд хяналтын цэгийг жишээ нь (0;0) авч, энэ тэгш бус байдалд орлъё: 0≤1 (зөв)® шугамын хоорондох талбай, түүний дотор хил.

Хэрэв тэгш бус байдал хатуу байвал хил хязгаар нь тухайн бүсэд хамаарахгүй гэдгийг анхаарна уу.

Энэ тойргийг хадгалаад ординатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй нэгийг байгуулъя. Энэ тойргийг хадгалаад абсцисса тэнхлэгт тэгш хэмтэй нэгийг байгуулъя. Энэ тойргийг хадгалаад абсцисса тэнхлэгт тэгш хэмтэй нэгийг байгуулъя. ба ординатын тэнхлэгүүд. Үүний үр дүнд бид 4 тойрог авдаг. Тойргийн төв нь эхний улиралд (3;3), радиус нь R=3 гэдгийг анхаарна уу.

цагт

-3

X