Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

$x$ ба $y$ хувьсагчид бие даасан байдаг тул ийм функцийн хувьд бид хэсэгчилсэн дериватив гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлж болно.

$f$ функцийн $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ цэг дэх $x$ хувьсагчийн хэсэгчилсэн дериватив нь хязгаар

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Дельта x;((y)_(0)) \баруун))(\Дельта x)\]

Үүнтэй адилаар та $y$ хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлж болно:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Дельта y \баруун))(\Дельта y)\]

Өөрөөр хэлбэл, хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд хүссэн хувьсагчаас бусад бүх хувьсагчдыг засах, дараа нь энэ хүссэн хувьсагчтай холбоотой энгийн деривативыг олох хэрэгтэй.

Энэ нь ийм деривативыг тооцоолох үндсэн аргад хүргэдэг: үүнээс бусад бүх хувьсагчийг тогтмол гэж төсөөлөөд дараа нь функцийг "энгийн" нэг хувьсагчаар ялгахтай адилаар ялга. Жишээ нь:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \баруун))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \баруун))^(\ анхны ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \баруун))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\төгсгөл(зохицуулах)$

Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативууд өөр өөр хариулт өгдөг - энэ бол хэвийн зүйл. Эхний тохиолдолд бид үүсмэл тэмдгийн доороос 10y долларыг тайвнаар арилгаж, хоёр дахь тохиолдолд эхний нэр томъёог бүрмөсөн тэглэсэн шалтгааныг ойлгох нь илүү чухал юм. Энэ бүхэн нь ялгах хувьсагчаас бусад бүх үсгийг тогтмол гэж үздэгтэй холбоотой юм: тэдгээрийг гаргаж авах, "шатаах" гэх мэт.

"Хэсэгчилсэн дериватив" гэж юу вэ?

Өнөөдөр бид хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд болон тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативуудын талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, хэд хэдэн хувьсагчийн функц гэж юу вэ? Өнөөг хүртэл бид функцийг $y\left(x \right)$ эсвэл $t\left(x \right)$ эсвэл ямар нэгэн хувьсагч, түүний нэг функц гэж үзэж дассан. Одоо бид нэг функцтэй, гэхдээ хэд хэдэн хувьсагчтай болно. $y$ болон $x$ өөрчлөгдөхөд функцийн утга өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, $x$ хоёр дахин нэмэгдвэл функцийн утга өөрчлөгдөх ба $x$ өөрчлөгдөх боловч $y$ өөрчлөгдөхгүй бол функцийн утга мөн адил өөрчлөгдөнө.

Мэдээжийн хэрэг, нэг хувьсагчийн функцтэй адил хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг ялгаж болно. Гэхдээ хэд хэдэн хувьсагч байдаг тул өөр өөр хувьсагчдаас хамааран ялгах боломжтой. Энэ тохиолдолд нэг хувьсагчийг ялгах үед байхгүй байсан тодорхой дүрмүүд гарч ирдэг.

Юуны өмнө бид аливаа хувьсагчаас функцийн деривативыг тооцоолохдоо ямар хувьсагчийн деривативыг тооцоолж байгаагаа зааж өгөх шаардлагатай - үүнийг хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, бид хоёр хувьсагчийн функцтэй бөгөөд бид үүнийг $x$ болон $y$-д хоёуланг нь тооцоолж болно - хувьсагч бүрийн хоёр хэсэгчилсэн дериватив.

Хоёрдугаарт, бид хувьсагчийн аль нэгийг тогтоож, түүнд хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолж эхэлмэгц энэ функцэд багтсан бусад бүх зүйлийг тогтмол гэж үзнэ. Жишээлбэл, $z\left(xy \right)$-д, хэрэв бид $x$-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг авч үзвэл $y$-тай хаана ч тааралдвал бид үүнийг тогтмол гэж үзэж, ийм байдлаар авч үздэг. Ялангуяа, бүтээгдэхүүний деривативыг тооцоолохдоо хаалтнаас $y$-г авч болно (бид тогтмол байдаг), нийлбэрийн деривативыг тооцоолохдоо, хэрэв хаа нэгтээ $y$ агуулсан илэрхийллийн дериватив болон $x$ агуулаагүй бол энэ илэрхийллийн дериватив нь тогтмолын дериватив болох "тэг"-тэй тэнцүү байх болно.

Өнгөц харахад би ээдрээтэй зүйл ярьж байгаа юм шиг санагдаж, олон оюутнууд эхэндээ эргэлздэг. Гэсэн хэдий ч хэсэгчилсэн деривативуудад ер бусын зүйл байдаггүй бөгөөд одоо бид тодорхой асуудлын жишээн дээр үүнийг харах болно.

Радикал ба олон гишүүнттэй холбоотой асуудлууд

Даалгавар №1

Цаг алдахгүйн тулд эхнээс нь ноцтой жишээнүүдээс эхэлье.

Эхлэхийн тулд энэ томъёог танд сануулъя:

Энэ бол бидний стандарт курсээс мэддэг стандарт хүснэгтийн утга юм.

Энэ тохиолдолд $z$ деривативыг дараах байдлаар тооцоолно.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)\]

Үүнийг дахин хийцгээе, учир нь үндэс нь $x$ биш, харин өөр ямар нэгэн илэрхийлэл, энэ тохиолдолд $\frac(y)(x)$, дараа нь бид эхлээд стандарт хүснэгтийн утгыг ашиглана, дараа нь үндэс нь $x $ биш, мөн өөр илэрхийлэл бол бид ижил хувьсагчийн хувьд деривативыг энэ илэрхийллийн өөр нэгээр үржүүлэх хэрэгтэй. Эхлээд дараахь тооцоог хийцгээе.

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Бид илэрхийлэлдээ буцаж ирээд бичнэ:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)((x)^(2))) \баруун)\]

Үндсэндээ энэ л байна. Гэсэн хэдий ч үүнийг энэ хэлбэрээр үлдээх нь буруу юм: ийм бүтэц нь цаашдын тооцоололд ашиглахад тохиромжгүй тул үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \баруун)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Хариулт нь олдсон. Одоо $y$-тэй харьцъя:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\]

Үүнийг тусад нь бичье:

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Одоо бид бичнэ:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Бүх зүйл хийгдсэн.

Асуудал №2

Энэ жишээ нь өмнөхөөсөө илүү энгийн бөгөөд илүү төвөгтэй юм. Энэ нь илүү төвөгтэй, учир нь илүү олон үйлдлүүд байдаг, гэхдээ энэ нь илүү хялбар байдаг, учир нь үндэс байхгүй бөгөөд үүнээс гадна функц нь $ x $ ба $ y $ -тай харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв бид $x$ ба $y$-г солих юм бол томъёо өөрчлөгдөхгүй. Энэхүү тайлбар нь хэсэгчилсэн деривативын тооцоог илүү хялбарчлах болно, өөрөөр хэлбэл. тэдгээрийн аль нэгийг нь тоолоход хангалттай бөгөөд хоёр дахь нь зүгээр л $x$ болон $y$-г солино.

Ажилдаа орцгооё:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \баруун ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\]

Тоолж үзье:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Гэсэн хэдий ч олон оюутнууд энэ тэмдэглэгээг ойлгодоггүй тул дараах байдлаар бичье.

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Тиймээс бид хэсэгчилсэн дериватив алгоритмын бүх нийтийн шинж чанартай гэдэгт дахин нэг удаа итгэлтэй байна: бид тэдгээрийг хэрхэн тооцож байгаагаас үл хамааран бүх дүрмийг зөв хэрэглэвэл хариулт нь ижил байх болно.

Одоо том томьёосоо өөр нэг хэсэгчилсэн деривативыг харцгаая:

\[(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Үүссэн илэрхийлэлүүдийг томъёонд орлуулаад дараахийг авцгаая.

\[\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\үндсэн ))_(x))(((\зүүн) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \баруун))(((\) зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \баруун))(((\зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2 )))\]

Тооцоолсон $x$-д үндэслэсэн. Ижил илэрхийллээс $y$-г тооцоолохын тулд ижил дараалсан үйлдлүүдийг хийхгүй, харин анхны илэрхийлэлийнхээ тэгш хэмийн давуу талыг ашиглацгаая - бид зүгээр л анхны илэрхийлэл дэх бүх $y$-г $x$-ээр солих ба эсрэгээр:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \баруун))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\]

Тэгш хэмийн ачаар бид энэ илэрхийллийг илүү хурдан тооцоолсон.

Шийдлийн нюансууд

Хэсэгчилсэн деривативын хувьд энгийн томъёонд ашигладаг бүх стандарт томъёо, тухайлбал, хуваалтын дериватив нь ажилладаг. Үүний зэрэгцээ, зарим нь байдаг өвөрмөц онцлог: Хэрэв бид $x$-ийн хэсэгчилсэн деривативыг авч үзвэл $x$-аас олж авахдаа үүнийг тогтмол гэж үздэг тул дериватив нь "тэг"-тэй тэнцүү байх болно.

Энгийн деривативын нэгэн адил хэсэгчилсэн (ижил) хэд хэдэн тоогоор тооцоолж болно янз бүрийн аргаар. Жишээлбэл, бидний саяхан тооцоолсон барилгыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Үүний зэрэгцээ, нөгөө талаас та дериватив нийлбэрээс томъёог ашиглаж болно. Бидний мэдэж байгаагаар энэ нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү юм. Жишээлбэл, дараах зүйлийг бичье.

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Одоо энэ бүгдийг мэдэж байгаа тул бодит хэсэгчилсэн дериватив нь зөвхөн олон гишүүнт ба үндэсээр хязгаарлагдахгүй тул илүү ноцтой илэрхийллүүдтэй ажиллахыг хичээцгээе: тригонометр, логарифм, экспоненциал функцүүд бас байдаг. Одоо үүнийг хийцгээе.

Тригонометрийн функц ба логарифмын асуудал

Даалгавар №1

Дараах стандарт томъёог бичье.

\[((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Энэхүү мэдлэгээр зэвсэглээд дараахь зүйлийг шийдэхийг хичээцгээе.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\зүүн) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нэг хувьсагчийг тусад нь бичье:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Загвартаа буцаж орцгооё:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Ингээд л бид үүнийг $x$-оор олсон, одоо $y$-ийн тооцоог хийцгээе:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Дахин хэлэхэд нэг илэрхийлэлийг тооцоолъё:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \баруун)\]

Бид анхны илэрхийлэл рүү буцаж очоод шийдлийг үргэлжлүүлнэ:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Бүх зүйл хийгдсэн.

Асуудал №2

Бидэнд хэрэгтэй томъёогоо бичье.

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Одоо $x$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \баруун)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$-оор олдсон. Бид $y$-аар тоолно:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \баруун)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \баруун))\ ]

Асуудал шийдэгдсэн.

Шийдлийн нюансууд

Тиймээс бид ямар функцийн хэсэгчилсэн деривативыг авсан бай, бид тригонометр, үндэс эсвэл логарифмтай ажиллаж байгаа эсэхээс үл хамааран дүрэм хэвээр байна.

Өөрчлөлтгүй хэвээр байна сонгодог дүрэмстандарт дериватив, тухайлбал, нийлбэр ба зөрүүний дериватив, хуваалт ба комплекс функцтэй ажиллах.

Сүүлийн томъёог хэсэгчилсэн деривативтай асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн олдог. Бид тэдэнтэй бараг хаа сайгүй уулздаг. Бидэнд хийгээгүй ажил гэж хэзээ ч байгаагүй. Гэхдээ бид ямар томьёог ашиглаж байгаагаас үл хамааран бидэнд өөр нэг шаардлага, тухайлбал хэсэгчилсэн деривативтай ажиллах онцлог нэмэгдсээр байна. Нэг хувьсагчийг засахад бусад нь тогтмол болно. Ялангуяа $\cos \frac(x)(y)$ илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативыг $y$-д хамааруулж авч үзвэл $y$ нь хувьсагч бөгөөд $x$ хаана ч тогтмол хэвээр байна. Үүнтэй ижил зүйл эсрэгээрээ ажилладаг. Үүнийг дериватив тэмдгээс гаргаж авах боломжтой бөгөөд тогтмолын дериватив нь өөрөө "тэг"-тэй тэнцүү байх болно.

Энэ бүхэн нь ижил илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативууд өөр өөр хувьсагчийн хувьд огт өөр харагдахад хүргэдэг. Жишээлбэл, дараах илэрхийллийг харцгаая.

\[((\left(x+\ln y \баруун))^(\анхны ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Экспоненциал функц ба логарифмын асуудал

Даалгавар №1

Эхлэхийн тулд дараах томьёог бичье.

\[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Энэ баримтыг, мөн нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг мэдэж байгаа тул тооцоолохыг хичээцгээе. Би одоо үүнийг хоёр өөр аргаар шийдэх болно. Эхний бөгөөд хамгийн тод нь бүтээгдэхүүний дериватив юм:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

Дараах илэрхийллийг тусад нь шийдье.

\[((\зүүн(\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Бид анхны загвартаа буцаж ирээд шийдлийг үргэлжлүүлнэ:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1) +\frac(1)(y)\баруун)\]

Бүх зүйл, $ x $ тооцоолсон.

Гэсэн хэдий ч, миний амласанчлан, одоо бид энэ хэсэгчилсэн деривативыг өөр аргаар тооцоолохыг хичээх болно. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Үүнийг ингэж бичье.

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \баруун)\]

Үүний үр дүнд бид яг ижил хариултыг авсан боловч тооцооллын хэмжээ бага болсон. Үүнийг хийхийн тулд бүтээгдэхүүнийг гүйцэтгэхдээ үзүүлэлтүүдийг нэмж болно гэдгийг тэмдэглэхэд хангалттай байсан.

Одоо $y$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

Нэг илэрхийллийг тусад нь шийдье:

\[((\зүүн(\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Анхны бүтээн байгуулалтаа үргэлжлүүлье:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \баруун)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Мэдээжийн хэрэг, ижил деривативыг хоёр дахь аргаар тооцоолж болох бөгөөд хариулт нь ижил байх болно.

Асуудал №2

$x$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \баруун))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \баруун )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

Нэг илэрхийлэлийг тусад нь тооцоолъё:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Анхны бүтээн байгуулалтыг үргэлжлүүлэн шийдье: $$

Энэ бол хариулт юм.

Үүнийг $y$ ашиглан аналогиар олох хэвээр байна:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \баруун))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \баруун)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

Бид үргэлж нэг илэрхийлэлийг тусад нь тооцдог.

\[((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \баруун) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Бид үндсэн дизайныг үргэлжлүүлэн шийдэж байна:

Бүх зүйлийг тооцоолсон. Таны харж байгаагаар ямар хувьсагчийг ялгахдаа авахаас шалтгаалж хариултууд нь огт өөр байна.

Шийдлийн нюансууд

Энд тод жишээижил функцийн деривативыг хоёр өөр аргаар хэрхэн тооцоолох боломжтой. Эндээс харна уу:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)=( (\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ зүүн(1+\фрак(1)(y) \баруун)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\зүүн(x+\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \баруун)\ ]

Өөр өөр замыг сонгохдоо тооцооллын хэмжээ өөр байж болох ч хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол хариулт нь ижил байх болно. Энэ нь сонгодог болон хэсэгчилсэн деривативуудад хамаарна. Үүний зэрэгцээ би танд дахин нэг удаа сануулж байна: аль хувьсагчаас хамааран дериватив авсан, i.e. ялгах юм бол хариулт нь огт өөр болж магадгүй юм. Хараач:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Эцэст нь хэлэхэд, энэ бүх материалыг нэгтгэхийн тулд өөр хоёр жишээг тооцоолохыг хичээцгээе.

Тригонометрийн функц, гурван хувьсагчтай функцтэй холбоотой асуудлууд

Даалгавар №1

Дараах томьёог бичье.

\[((\left(((a)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Одоо илэрхийллээ шийдье:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Дараахь бүтээцийг тусад нь тооцоолъё.

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Бид анхны илэрхийлэлийг үргэлжлүүлэн шийдэж байна:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Энэ бол $x$ дээрх хувийн хувьсагчийн эцсийн хариулт юм. Одоо $y$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нэг илэрхийллийг тусад нь шийдье:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Бүтээн байгуулалтаа эцэс хүртэл шийдье:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Асуудал №2

Өнгөц харахад энэ жишээ нь гурван хувьсагчтай учир нэлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Үнэндээ энэ бол өнөөдрийн видео хичээлийн хамгийн хялбар ажлуудын нэг юм.

$x$-р олох:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \баруун))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \баруун))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Одоо $y$-тэй харьцъя:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \баруун))^ (\үндсэн ))_(y)=((\зүүн(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)+((\зүүн(y\cdot) ((e)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\зүүн) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Бид хариултаа олсон.

Одоо $z$-оор олох л үлдлээ:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \баруун))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Бид гурав дахь деривативыг тооцоолсон бөгөөд энэ нь хоёр дахь асуудлын шийдлийг дуусгасан болно.

Шийдлийн нюансууд

Таны харж байгаагаар эдгээр хоёр жишээнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Бидний итгэлтэй байгаа цорын ганц зүйл бол нийлмэл функцийн деривативыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд аль хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохоос хамааран бид өөр өөр хариулт авдаг.

Сүүлийн даалгаварт бид гурван хувьсагчийн функцийг нэг дор ойлгохыг хүссэн. Үүнд буруу зүйл байхгүй, гэхдээ эцэст нь тэд бүгд бие биенээсээ эрс ялгаатай гэдэгт бид итгэлтэй байсан.

Гол цэгүүд

Өнөөдрийн видео хичээлийн эцсийн дүгнэлтүүд дараах байдалтай байна.

1. Хэсэгчилсэн деривативыг ердийнхтэй ижил аргаар тооцдог боловч нэг хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохын тулд бид энэ функцэд багтсан бусад бүх хувьсагчдыг тогтмол гэж авдаг.
2. Хэсэгчилсэн деривативтай ажиллахдаа бид ердийн деривативтай адил стандарт томьёог ашигладаг: нийлбэр, зөрүү, үржвэрийн дериватив ба хуваалт, мэдээжийн хэрэг нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Мэдээжийн хэрэг, энэ видео хичээлийг дангаар нь үзэх нь энэ сэдвийг бүрэн ойлгоход хангалтгүй тул яг одоо миний вэбсайт дээр өнөөдрийн сэдэвт тусгайлан зориулсан энэ видеонд зориулсан багц асуудлууд байгаа - нэвтэрч, татаж аваад эдгээр асуудлыг шийдэж, хариултыг шалгана уу. . Үүний дараа, шалгалт эсвэл шалгалтанд хэсэгчилсэн деривативтай холбоотой асуудал гарахгүй бие даасан ажилчамд байхгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол дээд математикийн сүүлийн хичээл биш тул манай вэбсайтад зочилж, ВКонтакте-г нэмж, YouTube-д бүртгүүлж, лайк дарж, бидэнтэй хамт байгаарай!

Функцийг өгье. x ба y нь бие даасан хувьсагч тул тэдгээрийн нэг нь өөрчлөгдөж байхад нөгөө нь үнэ цэнээ хадгалж үлддэг. y-ийн утгыг хэвээр үлдээж, x бие даасан хувьсагчийг нэмэгдүүлье. Дараа нь z нь нэмэгдлийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг x-тэй харьцуулсан z-ийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэдэг ба . Тиймээс, .

Үүний нэгэн адил бид z-ээс y-ийн хэсэгчилсэн өсөлтийг олж авна: .

z функцийн нийт өсөлтийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Хэрэв хязгаар байгаа бол үүнийг х хувьсагчтай харьцах цэг дээрх функцийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэх ба тэмдэгтүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

.

Нэг цэг дэх x-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативуудыг ихэвчлэн тэмдэгтээр тэмдэглэдэг .

y хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэнэ.

Ийнхүү хэд хэдэн (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь үлдсэн бие даасан хувьсагчийн утгууд тогтмол байх тохиолдолд эдгээр хувьсагчийн аль нэгийн функцийн дериватив гэж тодорхойлогддог. Тиймээс нэг хувьсагчийн функцийн деривативыг тооцоолох томъёо, дүрмийг ашиглан функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог (энэ тохиолдолд x эсвэл y нь тогтмол утга гэж тооцогддог).

Хэсэгчилсэн деривативыг нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг функц гэж үзэж болно. Эдгээр функцууд нь хэсэгчилсэн деривативтай байж болох бөгөөд тэдгээрийг хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэв.

; ;

; .

Хоёр хувьсагчийн функцийн 1 ба 2-р зэрэглэлийн дифференциалууд.

Функцийн нийт дифференциалыг (томьёо 2.5) нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал гэнэ.

Нийт дифференциалыг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна.

(2.5) эсвэл , Хаана,

функцийн хэсэгчилсэн дифференциалууд.

Функц нь хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциалыг томъёогоор тодорхойлно. Үүнийг олцгооё:

Эндээс: . Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

.

ТОДОРХОЙГҮЙ ИНТЕГРАЛ.

Функцийн эсрэг дериватив, тодорхойгүй интеграл, шинж чанарууд.

F(x) функцийг дуудна эсрэг деривативӨгөгдсөн функцийн хувьд f(x), хэрэв F"(x)=f(x) бол, эсвэл, аль нь ижил, хэрэв dF(x)=f(x)dx бол.

Теорем. Хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй урттай зарим интервалд (X) тодорхойлогдсон f(x) функц нь нэг эсрэг дериватив, F(x) байвал энэ нь мөн төгсгөлгүй олон эсрэг деривативтэй байна; Эдгээр нь бүгд F(x) + C илэрхийлэлд агуулагдаж байгаа бөгөөд C нь дурын тогтмол юм.

Тодорхой интервалаар эсвэл төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй урттай сегмент дээр тодорхойлсон өгөгдсөн f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын багцыг гэнэ. тодорхойгүй интеграл f(x) функцээс [эсвэл f(x)dx илэрхийллээс ] ба тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Хэрэв F(x) нь f(x)-ийн эсрэг деривативуудын нэг бол эсрэг дериватив теоремын дагуу

, энд C нь дурын тогтмол юм.

Эсрэг деривативын тодорхойлолтоор F"(x)=f(x) ба иймд dF(x)=f(x) dx. (7.1) томъёонд f(x)-ийг интеграл функц гэж нэрлэдэг ба f( x) dx-ийг интеграл илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг хамарсан бодлогод хэсэгчилсэн деривативыг ашигладаг. Олдох дүрэм нь нэг хувьсагчийн функцтэй яг адилхан бөгөөд ялгаа нь ялгах үед хувьсагчийн аль нэгийг тогтмол (тогтмол тоо) гэж үзэх ёстой гэсэн цорын ганц ялгаа юм.

Томъёо

$ z(x,y) $ гэсэн хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг $ z"_x, z"_y $ хэлбэрээр дараах томъёогоор бичдэг бөгөөд томъёог ашиглан олно.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

$$ z"_x = \frac(\хэсэг z)(\хэсэг х) $$

$$ z"_y = \frac(\хэсэг z)(\хэсэг y) $$

Хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

$$ z""_(xx) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х \хэсэг x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y \хэсэг y) $$

Холимог дериватив

$$ z""_(xy) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х \хэсэг y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y \хэсэг x) $$

Нарийн төвөгтэй функцийн хэсэгчилсэн дериватив

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ гэж бодвол нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

б) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ байвал функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах томъёогоор олно.

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Далд функцийн хэсэгчилсэн деривативууд

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, дараа нь $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ байг.

б) $ F(x,y,z)=0 $, тэгвэл $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1

$ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл

$ x $-ийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд $ y $ -ийг тогтмол утга (тоо) гэж үзнэ. $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$-д хамаарах функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд $y$-ийг тогтмолоор тодорхойлно. $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулах

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Жишээ 2

$ z = e^(xy) $ 2-р эрэмбийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл

Эхлээд та эхний деривативуудыг олох хэрэгтэй, дараа нь тэдгээрийг мэдсэнээр хоёр дахь эрэмбийн деривативуудыг олох боломжтой. $y$ тогтмол байг: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Одоо $ x $-г тогтмол утга болгон тохируулцгаая. $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Эхний деривативуудыг мэдсэнээр бид хоёр дахь нь адилхан олдог. $y$-г тогтмол болгох: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Бид $ x $-г тогтмол болгож тохируулсан: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Одоо зөвхөн холимог деривативыг олох л үлдлээ. Та $ z"_x $-г $ y $-оор ялгаж болно, мөн $ z"_y $-г $ x $-оор ялгаж болно, учир нь теоремоор $ z""_(xy) = z""_(yx) $ байна. $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = та^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Хариулах

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Жишээ 4

$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ багц болгоё далд функц$ F(x,y, z) = 0 $. Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл

Бид функцийг дараах форматаар бичнэ: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ ба деривативуудыг олно. $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Хариулах

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд.
Үзэл баримтлал ба шийдлийн жишээ

Асаалттай энэ хичээлБид хоёр хувьсагчийн функцтэй танилцаж, магадгүй хамгийн нийтлэг сэдэвчилсэн даалгавар болох олохыг авч үзэх болно. эхний болон хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд, түүнчлэн функцийн нийт дифференциал. Хагас цагийн оюутнууд дүрмээр бол 2-р семестрт 1-р курст хэсэгчилсэн деривативтай тулгардаг. Түүгээр ч барахгүй, миний ажигласнаар хэсэгчилсэн дериватив олох даалгавар шалгалтанд бараг үргэлж гарч ирдэг.

Учир нь үр дүнтэй суралцахдараах материалыг танд зориулав шаардлагатайнэг хувьсагчийн функцүүдийн "ердийн" деривативыг бага ба бага итгэлтэйгээр олох боломжтой байх. Та хичээл дээр деривативыг хэрхэн зөв зохицуулах талаар сурах боломжтой Деривативыг хэрхэн олох вэ?Тэгээд Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Бидэнд мөн деривативын хүснэгт хэрэгтэй үндсэн функцуудболон ялгах дүрэм, энэ нь хэвлэмэл хэлбэрээр гарт байгаа бол энэ нь хамгийн тохиромжтой юм. Та хуудаснаас лавлах материалыг авах боломжтой Математикийн томъёо, хүснэгт.

Хоёр хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтыг хурдан давтъя, би өөрийгөө хамгийн багадаа хязгаарлахыг хичээх болно. Хоёр хувьсагчийн функцийг ихэвчлэн гэж бичдэг бөгөөд хувьсагчдыг дууддаг бие даасан хувьсагчидэсвэл аргументууд.

Жишээ: – хоёр хувьсагчийн функц.

Заримдаа тэмдэглэгээг ашигладаг. Мөн үсгийн оронд үсэг хэрэглэдэг даалгавар байдаг.

ХАМТ геометрийн цэгАлсын харааны хувьд хоёр хувьсагчийн функц нь ихэвчлэн гурван хэмжээст орон зайн гадаргууг (хавтгай, цилиндр, бөмбөрцөг, параболоид, гиперболоид гэх мэт) илэрхийлдэг. Гэхдээ үнэн хэрэгтээ энэ нь илүү их юм аналитик геометр, мөн бидний хэлэлцэх асуудал математик шинжилгээ, намайг хуурч мэхлэхийг хэзээ ч зөвшөөрдөггүй, миний их сургуулийн багш бол миний хүчтэй тал.

Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох асуулт руу шилжье. Хэдхэн аяга кофе ууж, гайхалтай хэцүү материалыг тааруулж байгаа хүмүүст дуулгах сайхан мэдээ байна: хэсэгчилсэн дериватив нь нэг хувьсагчийн функцийн "ердийн" деривативтай бараг ижил байна.

Хэсэгчилсэн деривативын хувьд бүх ялгах дүрэм, элементар функцийн деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Хэд хэдэн жижиг ялгаа байгаа бөгөөд бид яг одоо мэдэх болно:

...тийм ээ, дашрамд хэлэхэд, би энэ сэдвийн төлөө бүтээсэн жижиг pdf ном, энэ нь танд хэдхэн цагийн дотор "шүдээ оруулах" боломжийг олгоно. Гэхдээ сайтыг ашигласнаар та ижил үр дүнд хүрэх нь гарцаагүй - магадгүй арай удаан:

Жишээ 1

Функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё. Тэдний хоёр нь бий.

Тэмдэглэлүүд:
эсвэл – "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив
эсвэл – “y”-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив

-ээс эхэлье. "x"-ийн хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагчийг тогтмол (тогтмол тоо) гэж үзнэ..

Гүйцэтгэсэн үйлдлийн талаархи тайлбар:

(1) Хэсэгчилсэн деривативыг олохдоо бидний хийх хамгийн эхний зүйл бол дүгнэлт хийх явдал юм бүгдүндсэн тоон дор хаалтанд байгаа функц дэд тэмдэгтэй.

Анхаар, чухал!БИД шийдлийн явцад дэд тэмдэгтүүдийг АЛДАХГҮЙ. Энэ тохиолдолд, хэрэв та "цус харвалт" -гүйгээр хаа нэгтээ зурсан бол багш үүнийг дор хаяж даалгаврын хажууд байрлуулж болно (анхаарал хандуулахгүйн тулд цэгийн хэсгийг нэн даруй хазаж ав).

(2) Бид ялгах дүрмийг ашигладаг , . Учир нь энгийн жишээҮүнтэй адил хоёр дүрмийг нэг алхамаар хялбархан хэрэглэж болно. Эхний нэр томъёонд анхаарлаа хандуулаарай: оноос хойш тогтмол гэж үздэг ба аливаа тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасаж болно, дараа нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авдаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцөлд энэ нь энгийн тооноос илүү дээр биш юм. Одоо гурав дахь нэр томъёог авч үзье: энд, эсрэгээр, гаргах зүйл алга. Энэ нь тогтмол байдаг тул энэ нь бас тогтмол бөгөөд энэ утгаараа энэ нь сүүлчийн "долоо" гэсэн нэр томъёоноос хамаагүй дээр юм.

(3) Бид хүснэгтийн дериватив ба .

(4) Хариултыг хялбарчлах юм уу, эсвэл миний хэлмээр байгаагаар "засвар" болгоё.

Одоо . Бид "y"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагч болнотогтмол (тогтмол тоо) гэж үздэг.

(1) Бид ижил ялгах дүрмийг ашигладаг , . Эхний гишүүнд бид тогтмолыг деривативын тэмдгээс гаргаж авдаг бол хоёр дахь гишүүнд энэ нь аль хэдийн тогтмол болсон тул юуг ч хасаж чадахгүй.

(2) Бид үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг ашигладаг. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Би" болгож өөрчилье. Өөрөөр хэлбэл, энэ хүснэгт нь (бараг бүх үсгийн хувьд) адил хүчинтэй байна. Ялангуяа бидний ашигладаг томьёо дараах байдалтай байна: ба .

Хэсэгчилсэн дериватив гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?

Үндсэндээ 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь төстэй юм "ердийн" дериватив:

- Энэ функцууд, ямар шинж чанартай өөрчлөлтийн хурдболон тэнхлэгийн чиглэлд тус тус ажилладаг. Жишээлбэл, функц "өндөр" ба "налуу" эгц байдлыг тодорхойлдог гадаргууабсцисса тэнхлэгийн чиглэлд, функц нь ординат тэнхлэгийн чиглэлд ижил гадаргуугийн "хөнгөвчлөх" тухай өгүүлдэг.

! Анхаарна уу : энд бид чиглэлийг хэлж байна зэрэгцээкоординатын тэнхлэгүүд.

Илүү сайн ойлгохын тулд хавтгай дээрх тодорхой цэгийг авч үзээд түүний функцийн утгыг ("өндөр") тооцоолъё.
- тэгээд одоо өөрийгөө энд байна гэж төсөөлөөд үз дээ (гадаргуу дээр).

Өгөгдсөн цэг дээр "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолъё.

"X" деривативын сөрөг тэмдэг нь бидэнд хэлдэг буурч байнаабсцисса тэнхлэгийн чиглэлийн цэг дээр ажилладаг. Өөрөөр хэлбэл, бид жижиг, жижиг болговол (хязгааргүй жижиг)тэнхлэгийн үзүүр рүү алх (энэ тэнхлэгтэй зэрэгцээ), дараа нь бид гадаргуугийн налуугаар бууна.

Одоо бид ордны тэнхлэгийн чиглэлд "газар" -ын мөн чанарыг олж мэдэв.

"y"-ийн дериватив нь эерэг тул тэнхлэгийн чиглэлийн цэг дээр функц байна. нэмэгддэг. Энгийнээр хэлэхэд бид энд өгсөх авиралтыг хүлээж байна.

Нэмж дурдахад нэг цэг дэх хэсэгчилсэн дериватив нь тодорхойлогддог өөрчлөлтийн хурдхолбогдох чиглэлд үйл ажиллагаа явуулдаг. Үр дүнгийн утга нь их байх болно модуль– гадаргуу нь эгц байх тусмаа, тэг рүү ойртох тусам гадаргуу тэгш болно. Тиймээс бидний жишээн дээр абсцисса тэнхлэгийн чиглэл дэх "налуу" нь ордны тэнхлэгийн чиглэлд "уул"-аас илүү эгц байна.

Гэхдээ эдгээр нь хоёр хувийн зам байсан. Бидний байгаа цэгээс энэ нь тодорхой байна. (мөн ерөнхийдөө тухайн гадаргуугийн аль ч цэгээс)Бид өөр чиглэлд шилжиж болно. Тиймээс гадаргуугийн "ландшафт" -ын талаар бидэнд мэдээлэх ерөнхий "навигацийн газрын зураг" бий болгох сонирхол бий. боломжтой болцэг бүрт Энэ функцийг тодорхойлох домэйнболомжтой бүх зам дагуу. Энэ болон бусад зүйлийн талаар сонирхолтой зүйлсБи дараагийн хичээлүүдийн аль нэгэнд хэлэх болно, гэхдээ одоо асуудлын техникийн тал руугаа буцъя.

Хэрэглэсэн энгийн дүрмийг системчилье.

1) -ийг харгалзан ялгах үед хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ.

2) дагуу ялгах үед, дараа нь тогтмол гэж үзнэ.

3) Анхан шатны функцүүдийн деривативын дүрэм, хүснэгт нь ялгах үйл ажиллагаа явуулж буй аливаа хувьсагч (эсвэл бусад) хувьд хүчинтэй бөгөөд хамаарна.

Хоёрдугаар алхам. Бид хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог. Тэдгээрийн дөрөв нь байдаг.

Тэмдэглэлүүд:
эсвэл – “x”-ийн хоёр дахь дериватив
эсвэл – “Y”-тэй холбоотой хоёр дахь дериватив
эсвэл - холимог“x by igr”-ийн дериватив
эсвэл - холимог"Y"-ийн дериватив

Хоёр дахь деривативын хувьд ямар ч асуудал байхгүй. Ярьж байна энгийн хэлээр, хоёр дахь дериватив нь эхний деривативын дериватив юм.

Тохиромжтой болгохын тулд би аль хэдийн олдсон эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дахин бичих болно.

Эхлээд холимог деривативуудыг олъё:

Таны харж байгаагаар бүх зүйл энгийн: бид хэсэгчилсэн деривативыг аваад дахин ялгадаг, гэхдээ энэ тохиолдолд "Y" үсгийн дагуу.

Үүний нэгэн адил:

Практик жишээн дээр та дараах тэгш байдалд анхаарлаа хандуулж болно:

Тиймээс хоёрдугаар эрэмбийн холимог деривативаар дамжуулан нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг зөв олсон эсэхийг шалгах нь маш тохиромжтой.

"x"-тэй холбоотой хоёр дахь деривативыг ол.
Шинэ бүтээл байхгүй, үүнийг авч үзье дахин "x"-ээр ялгана уу:

Үүний нэгэн адил:

Олж байхдаа та харуулах хэрэгтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй анхаарал нэмэгдсэн, учир нь тэдгээрийг шалгах гайхамшигт тэгш байдал байхгүй.

Хоёрдахь деривативууд нь өргөн практик хэрэглээг олдог, ялангуяа тэдгээрийг олох асуудалд ашигладаг хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум. Гэхдээ бүх зүйл өөрийн цаг хугацаатай байдаг:

Жишээ 2

Тухайн цэг дээрх функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоол. Хоёрдахь эрэмбийн деривативуудыг ол.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр(хичээлийн төгсгөлд хариултууд). Хэрэв та үндсийг ялгахад хэцүү байвал хичээл рүүгээ буцна уу Деривативыг хэрхэн олох вэ?Ерөнхийдөө тун удахгүй та ийм деривативуудыг "ямарч" олж сурах болно.

Илүү ихийг гартаа авцгаая нарийн төвөгтэй жишээнүүд:

Жишээ 3

Үүнийг шалгана уу. Бичнэ үү бүрэн дифференциаланхны захиалга.

Шийдэл: Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол:

"Х" үсгийн хажууд тогтмол гэж хаалтанд бичихийг хориглоно. Энэхүү тэмдэглэл нь шийдлийг удирдахад хялбар болгох үүднээс эхлэгчдэд маш хэрэгтэй байж болох юм.

Нэмэлт сэтгэгдэл:

(1) Бид бүх тогтмолуудыг деривативын тэмдгээс цааш шилжүүлдэг. Энэ тохиолдолд, ба, ба, тиймийн тул, тэдгээрийн бүтээгдэхүүнийг тогтмол тоо гэж үзнэ.

(2) Үндэсийг хэрхэн зөв ялгахаа бүү мартаарай.

(1) Бид деривативын тэмдгээс бүх тогтмолыг авдаг, тогтмол нь .

(2) Үндсэн үед бид хоёр функцийн үржвэр үлдсэн тул бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглах хэрэгтэй. .

(3) Энэ бол нарийн төвөгтэй функц гэдгийг бүү мартаарай (хамгийн энгийн нь ч гэсэн). Бид холбогдох дүрмийг ашигладаг: .

Одоо бид хоёр дахь эрэмбийн холимог деривативуудыг оллоо:

Энэ нь бүх тооцоолол зөв хийгдсэн гэсэн үг юм.

Нийт дифференциалыг бичье. Харж буй ажлын хүрээнд хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциал гэж юу болохыг хэлэх нь утгагүй юм. Энэ ижил дифференциалыг практик асуудалд байнга бичиж байх нь чухал юм.

Эхний эрэмбийн нийт дифференциалХоёр хувьсагчийн функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Энэ тохиолдолд:

Өөрөөр хэлбэл, та аль хэдийн олдсон нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг томъёонд тэнэгээр солих хэрэгтэй. Энэ болон үүнтэй төстэй нөхцөлд дифференциал тэмдгийг тоологчоор бичих нь хамгийн сайн арга юм.

Уншигчдын удаа дараагийн хүсэлтийн дагуу Хоёр дахь эрэмбийн нийт дифференциал.

Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

2-р эрэмбийн "нэг үсэгтэй" деривативуудыг АНХААРУУЛГА олцгооё.

мөн "мангас" гэж бичээд, квадратууд, бүтээгдэхүүнийг анхааралтай "хавсруулж", холимог деривативыг хоёр дахин оруулахаа бүү мартаарай:

Хэрэв ямар нэг зүйл хэцүү мэт санагдаж байвал та ялгах аргыг эзэмшсэний дараа дериватив руу буцаж очих боломжтой.

Жишээ 4

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол . Үүнийг шалгана уу. Эхний эрэмбийн нийт дифференциалыг бич.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье нарийн төвөгтэй функцууд:

Жишээ 5

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл:

Жишээ 6

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол .
Нийт дифференциалыг бичнэ үү.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах). Бүрэн шийдэлЭнэ нь маш энгийн учраас би өгөхгүй

Ихэнх тохиолдолд дээрх бүх дүрмийг хослуулан хэрэглэдэг.

Жишээ 7

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол .

(1) Бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг ашигладаг

(2) Энэ тохиолдолд эхний гишүүнийг тогтмол гэж үзнэ, учир нь илэрхийлэлд "x" -ээс хамаарах зүйл байхгүй - зөвхөн "y". Бутархайг тэг болгон хувиргах нь үргэлж сайхан байдаг гэдгийг та мэднэ). Хоёрдахь хугацааны хувьд бид бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигладаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ утгаараа оронд нь функц өгөгдсөн бол юу ч өөрчлөгдөхгүй байсан - хамгийн чухал зүйл бол энд байна хоёр функцийн бүтээгдэхүүн, Эдгээр нь тус бүрээс хамаарна "X", тиймээс та бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглах хэрэгтэй. Гурав дахь гишүүний хувьд бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.

(1) Тоолуур ба хуваарийн аль алиных нь эхний гишүүн "Y"-г агуулж байгаа тул та хуваагчийг ялгах дүрмийг ашиглах хэрэгтэй: . Хоёрдахь гишүүн нь ЗӨВХӨН "x"-ээс хамаардаг бөгөөд энэ нь тогтмол гэж тооцогддог бөгөөд тэг болж хувирдаг. Гурав дахь нэр томъёоны хувьд бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг.

Хичээлийн төгсгөлийг бараг л зоригтойгоор хийсэн уншигчдад зориулж би Мехматовын хуучин анекдотыг амраахын тулд танд хэлье.

Нэгэн өдөр функцүүдийн орон зайд муу ёрын дериватив гарч ирэн хүн бүрийг ялгаж эхлэв. Бүх функцууд бүх чиглэлд тархсан тул хэн ч өөрчлөгдөхийг хүсэхгүй байна! Зөвхөн нэг функц нь зугтдаггүй. Дериватив түүн рүү ойртон асуув:

- Чи яагаад надаас зугтдаггүй юм бэ?

- Ха. Гэхдээ би хамаагүй, учир нь би "X-ийн хүч"-тэй тул та надад юу ч хийхгүй!

Муу инээмсэглэлтэй муу ёрын үүсмэл хариуд нь:

- Эндээс та эндүүрч байна, би чамайг "Y"-ээр ялгах болно, тэгвэл та тэг байх ёстой.

Энэ онигоог ойлгосон хүн деривативыг ядаж "С" түвшинд эзэмшсэн байна).

Жишээ 8

Функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол .

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Асуудлын бүрэн шийдэл, жишээ нь хичээлийн төгсгөлд байна.

За, бараг бүх зүйл ийм байна. Эцэст нь би математик сонирхогчдод өөр нэг жишээ хэлүүлэхээс өөр аргагүй. Энэ нь сонирхогчдын тухай ч биш, хүн бүр өөр өөр математикийн бэлтгэлтэй байдаг - илүү хэцүү даалгавартай өрсөлдөх дуртай хүмүүс (мөн тийм ч ховор биш) байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ хичээлийн сүүлчийн жишээ нь тооцооллын үүднээс харахад төвөгтэй тул тийм ч төвөгтэй биш юм.