Энэ хичээлээр хүн бүр "Тэгш өнцөгт параллелепипед" сэдвийг судлах боломжтой болно. Хичээлийн эхэнд бид дурын ба шулуун параллелепипед гэж юу болохыг давтаж, тэдгээрийн эсрэг талын нүүр ба параллелепипедийн диагональуудын шинж чанарыг санах болно. Дараа нь кубоид гэж юу болохыг судалж, түүний үндсэн шинж чанаруудын талаар ярилцах болно.

Сэдэв: Шугаман ба хавтгайн перпендикуляр байдал

Хичээл: Кубоид

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 хоёр тэнцүү параллелограмм ба ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 дөрвөн параллелограммаас бүрдэх гадаргууг гэнэ. параллелепипед(Зураг 1).

Цагаан будаа. 1 Параллелепипед

Энэ нь: бидэнд ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 (суурь) хоёр тэнцүү параллелограммууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг тул хажуугийн ирмэгүүд AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 параллель байна. Тиймээс параллелограммуудаас бүрдэх гадаргууг гэж нэрлэдэг параллелепипед.

Тиймээс параллелепипедийн гадаргуу нь параллелепипедийг бүрдүүлдэг бүх параллелограммын нийлбэр юм.

1. Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.

(дүрсүүд нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг давхцуулж нэгтгэж болно)

Жишээ нь:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (тодорхойлолтоор тэнцүү параллелограммууд),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ба DD 1 C 1 C нь параллелепипедийн эсрэг талын нүүр тул),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (AA 1 D 1 D ба BB 1 C 1 C нь параллелепипедийн эсрэг талын нүүр тул).

2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцдог ба энэ цэгээр хуваагдана.

Параллелепипедийн диагональ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B нь нэг O цэгт огтлолцох ба диагональ бүрийг энэ цэгээр хагасаар хуваана (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2 Параллелепипедийн диагональууд огтлолцох ба огтлолцлын цэгээр хагасаар хуваагдана.

3. Параллелепипедийн гурван дөрвөлжин тэнцүү ба зэрэгцээ ирмэгүүд байдаг: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Тодорхойлолт. Хажуу ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал параллелепипедийг шулуун гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн ирмэг AA 1 нь сууринд перпендикуляр байх ёстой (Зураг 3). Энэ нь AA 1 шулуун нь суурийн хавтгайд байрлах AD ба AB шулуун шугамуудад перпендикуляр байна гэсэн үг юм. Энэ нь хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгтийг агуулдаг гэсэн үг юм. Мөн суурь нь дурын параллелограммуудыг агуулдаг. ∠BAD = φ гэж тэмдэглэе, φ өнцөг нь дурын байж болно.

Цагаан будаа. 3 Баруун параллелепипед

Тиймээс баруун параллелепипед нь хажуугийн ирмэгүүд нь параллелепипедийн суурьтай перпендикуляр байрладаг параллелепипед юм.

Тодорхойлолт. Параллелепипедийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал. Суурь нь тэгш өнцөгт юм.

Параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 тэгш өнцөгт хэлбэртэй (Зураг 4), хэрэв:

1. AA 1 ⊥ ABCD (суурийн хавтгайд перпендикуляр хажуугийн ирмэг, өөрөөр хэлбэл шулуун параллелепипед).

2. ∠BAD = 90°, өөрөөр хэлбэл суурь нь тэгш өнцөгт байна.

Цагаан будаа. 4 Тэгш өнцөгт параллелепипед

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь дурын параллелепипедийн бүх шинж чанартай байдаг.Гэхдээ тодорхойлолтоос үүдэлтэй нэмэлт шинж чанарууд байдаг тэгш өнцөгт параллелепипед.

Тэгэхээр, куб хэлбэртэйхажуу ирмэг нь сууринд перпендикуляр байрладаг параллелепипед юм. Кубоидын суурь нь тэгш өнцөгт юм.

1. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн зургаан нүүр бүгд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 нь тодорхойлолтоор тэгш өнцөгт юм.

2. Хажуугийн хавирга нь суурьтай перпендикуляр байдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

3. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх хоёр өнцөгт өнцөг зөв байна.

Жишээлбэл, AB ирмэгтэй тэгш өнцөгт параллелепипедийн хоёр талт өнцгийг, өөрөөр хэлбэл ABC 1 ба ABC хавтгайн хоорондох хоёр талт өнцгийг авч үзье.

AB нь ирмэг бөгөөд A 1 цэг нь нэг хавтгайд - ABB 1 хавтгайд, нөгөө нь D цэг нь A 1 B 1 C 1 D 1 хавтгайд байрладаг. Дараа нь авч үзэж буй хоёр өнцөгт өнцгийг мөн дараах байдлаар тэмдэглэж болно: ∠A 1 ABD.

AB ирмэг дээрх А цэгийг авъя. АА 1 нь АВВ-1 хавтгайд AB ирмэгтэй перпендикуляр, AD нь ABC хавтгайд АВ ирмэгтэй перпендикуляр байна. Энэ нь ∠A 1 AD нь өгөгдсөн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг гэсэн үг. ∠A 1 AD = 90°, энэ нь AB ирмэг дээрх хоёр талт өнцөг 90° байна гэсэн үг.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгт параллелепипедийн аль ч хоёр талт өнцөг нь зөв болох нь батлагдсан.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу. Кубоидын нэг оройноос гарах гурван ирмэгийн урт нь куб хэлбэрийн хэмжүүр юм. Тэдгээрийг заримдаа урт, өргөн, өндөр гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - тэгш өнцөгт параллелепипед (Зураг 5).

нотлох: .

Цагаан будаа. 5 Тэгш өнцөгт параллелепипед

Нотолгоо:

CC 1 шулуун шугам нь ABC хавтгайд перпендикуляр, тиймээс AC шулуун шугамтай. Энэ нь CC 1 A гурвалжин тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм. Пифагорын теоремын дагуу:

Ингээд авч үзье зөв гурвалжин ABC. Пифагорын теоремын дагуу:

Гэхдээ МЭӨ ба МЭ - эсрэг талуудтэгш өнцөгт. Тэгэхээр BC = AD. Дараа нь:

Учир нь , А , Тэр. CC 1 = AA 1 тул үүнийг батлах шаардлагатай.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональууд тэнцүү байна.

ABC параллелепипедийн хэмжээсийг a, b, c (6-р зургийг үз), дараа нь AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 = гэж тэмдэглэе.

Үүнийг параллелепипед гэж нэрлэдэг дөрвөлжин призм, суурь нь параллелограмм. Параллелепипедийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай юм. Зураг дээр өндрийг сегментээр харуулав . Хоёр төрлийн параллелепипед байдаг: шулуун ба налуу. Дүрмээр бол математикийн багш эхлээд призмийн тохирох тодорхойлолтыг өгч, дараа нь параллелепипед рүү шилжүүлдэг. Бид ч мөн адил хийх болно.

Хажуу ирмэгүүд нь сууриудтай перпендикуляр байвал призмийг налуу гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Энэ нэр томъёо нь параллелепипедээр бас өвлөгддөг. Зөв параллелепипед нь хажуугийн ирмэг нь өндөртэй давхцдаг шулуун призмийн нэг хэлбэрээс өөр зүйл биш юм. Олон талт гэр бүлд нийтлэг байдаг нүүр, ирмэг, орой гэх мэт ойлголтуудын тодорхойлолтууд хадгалагдан үлджээ. Эсрэг нүүр царай гэсэн ойлголт гарч ирдэг. Параллелепипед нь 3 хос эсрэг талын нүүр, 8 орой, 12 ирмэгтэй.

Параллелепипедийн диагональ (призмын диагональ) нь олон өнцөгтийн хоёр оройг холбосон сегмент бөгөөд түүний аль ч нүүрэн дээр хэвтдэггүй.

Диагональ хэсэг - параллелепипедийн диагональ ба суурийн диагональ дундуур өнгөрөх хэсэг.

Налуу параллелепипедийн шинж чанарууд:
1) Түүний бүх нүүр нь параллелограмм, эсрэг тал нь параллелограмм юм.
2)Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцдог ба энэ цэг дээр хоёр хуваагддаг.
3)Параллелепипед бүр ижил хэмжээтэй зургаан гурвалжин пирамидаас бүрдэнэ. Тэдгээрийг сурагчдад үзүүлэхийн тулд математикийн багш параллелепедийн талыг диагональ хэсэгтэй нь таслан авч, тусад нь 3 пирамид болгон хуваах ёстой. Тэдний суурь нь анхны параллелепипедийн өөр өөр нүүрэн дээр хэвтэж байх ёстой. Математикийн багш энэ өмчийн хэрэглээг эндээс олох болно аналитик геометр. Энэ нь векторуудын холимог үржвэрээр пирамидын эзэлхүүнийг гаргахад хэрэглэгддэг.

Параллелепипедийн эзэлхүүний томъёо:
1) , суурийн талбай хаана байна, h нь өндөр.
2) Параллелепипедийн эзэлхүүн нь талбайн үржвэртэй тэнцүү байна хөндлөн огтлолхажуугийн ирмэг дээр.
Математикийн багш: Таны мэдэж байгаагаар томъёо нь бүх призмүүдэд нийтлэг байдаг бөгөөд хэрэв багш үүнийг аль хэдийн нотолсон бол параллелепипедийн хувьд ижил зүйлийг давтах нь утгагүй юм. Гэсэн хэдий ч дундаж түвшний сурагчтай ажиллахдаа (томьёо нь сул сурагчдад ашиггүй) багш яг эсрэгээр ажиллахыг зөвлөж байна. Призмийг зүгээр орхиж, параллелепипедийг сайтар нотлох хэрэгтэй.
3) , параллелепипедийг бүрдүүлдэг зургаан гурвалжин пирамидын аль нэгний эзэлхүүн хаана байна.
4) Хэрэв , тэгвэл

Параллелепипедийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Параллелепипедийн нийт гадаргуу нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл талбай + суурийн хоёр талбай: .

Налуу параллелепипедтэй багшийн ажлын тухай:
Математикийн багш налуу параллелепипедтэй холбоотой бодлого дээр тэр бүр ажилладаггүй. Тэдний улсын нэгдсэн шалгалтанд орох магадлал маш бага бөгөөд дидактик нь зохисгүй муу байна. Налуу параллелепипед дуудлагын эзлэхүүнтэй холбоотой асуудал ноцтой асуудлууд, H цэгийн байршлыг тодорхойлохтой холбоотой - түүний өндрийн суурь. Энэ тохиолдолд математикийн багшид параллелепипедийг зургаан пирамидын аль нэгэнд нь огтолж өгөхийг зөвлөж болно. бид ярьж байна 3-р үл хөдлөх хөрөнгөд), эзэлхүүнийг нь олоод 6-аар үржүүлнэ.

Хэрэв параллелепипедийн хажуугийн ирмэг нь суурийн талуудтай тэнцүү өнцөгтэй байвал H нь ABCD суурийн А өнцгийн биссектрист дээр байрлана. Жишээлбэл, ABCD нь ромб юм бол

Математикийн багшийн даалгавар:
1) Параллелепипедийн нүүр нь 2 см-ийн талтай бие биетэйгээ тэнцүү байна хурц өнцөг. Параллелепипедийн эзэлхүүнийг ол.
2) Налуу параллелепипедийн хажуугийн ирмэг нь 5 см байна. Түүнд перпендикуляр зүсэлт нь 6 см ба 8 см урттай харилцан перпендикуляр диагональтай дөрвөлжин хэлбэртэй байна.
3) Налуу параллелепипедийн хувьд , ABCD-д суурь нь 2 см талтай, өнцөгтэй ромб байдаг гэдгийг мэддэг. Параллелепипедийн эзэлхүүнийг тодорхойл.

Математикийн багш Александр Колпаков

эсвэл (тэнцүү) параллелограмм хэлбэртэй зургаан нүүртэй олон өнцөгт. Зургаан өнцөгт.

Параллелепипедийг бүрдүүлдэг параллелограммууд нь ирмэгүүдЭнэ параллелограммын талууд нь параллелограммууд юм параллелепипедийн ирмэгүүд, мөн параллелограммын оройнууд байна оргилууд параллелепипед. Параллелепипедийн хувьд нүүр бүр нь байдаг параллелограмм.

Дүрмээр бол эсрэг талын 2 нүүр царайг тодорхойлж, дууддаг параллелепипедийн суурь, үлдсэн царайнууд - параллелепипедийн хажуугийн нүүр. Сууринд хамаарахгүй параллелепипедийн ирмэгүүд нь хажуугийн хавирга.

Нийтлэг ирмэгтэй параллелепипедийн 2 нүүр байна зэргэлдээ, мөн нийтлэг ирмэггүй хүмүүс - эсрэг.

1-р нүүрэнд хамаарахгүй 2 оройг холбосон сегмент параллелепипед диагональ.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн параллель биш ирмэгүүдийн урт нь шугаман хэмжээсүүд (хэмжилт) параллелепипед. Тэгш өнцөгт параллелепипед нь 3 шугаман хэмжээстэй.

Параллелепипедийн төрлүүд.

Хэд хэдэн төрлийн параллелепипедүүд байдаг:

Шуудирмэгтэй параллелепипед, хавтгайд перпендикулярүндэслэл.

Гурван хэмжээс нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед юм шоо. Кубын нүүр тус бүр тэнцүү байна квадратууд .

Аливаа параллелепипед.Налуу параллелепипед дэх эзлэхүүн ба харьцааг голчлон вектор алгебр ашиглан тодорхойлно. Параллелепипедийн эзэлхүүн нь параллелепипедийн 3 талаас (ижил оройноос үүссэн) тодорхойлогддог 3 векторын холимог үржвэрийн үнэмлэхүй утгатай тэнцүү байна. Параллелепипедийн талуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн хоорондын хамаарал нь өгөгдсөн 3 векторын Грам тодорхойлогч нь тэдгээрийн холимог үржвэрийн квадраттай тэнцүү гэсэн мэдэгдлийг харуулж байна.

Параллелепипедийн шинж чанарууд.

• Параллелепипед нь диагональынхаа дунд тэгш хэмтэй байна.
• Параллелепипедийн гадаргууд хамаарах төгсгөлтэй, түүний диагональ дундуур дамждаг аливаа сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Параллелепипедийн бүх диагональууд 1-р цэгт огтлолцдог бөгөөд түүгээр тэнцүү хоёр хэсэгт хуваагдана.
• Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд нь зэрэгцээ бөгөөд ижил хэмжээтэй байна.
• Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ уртын квадрат нь тэнцүү байна