Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, урвуу функцийг шууд авч үзье. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

-ийн дериватив байгалийн логарифмбас маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Экспоненциал болон натурал логарифм нь дериватив талаас нь авч үзвэл маш энгийн функцууд юм. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн дүрмийг ашиглах болно: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ нь ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгана уу:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгааг анхаарна уу, тиймээс бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогц функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол жишээ юм нарийн төвөгтэй функц: утгыг нь олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг хийнэ.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн чухал шинж чанар: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадаад: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадаад: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйлдлийн дарааллыг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Хүснэгтийн хамгийн эхний томьёог гаргаж авахдаа бид тухайн цэгийн дериватив функцийн тодорхойлолтоос эхэлнэ. Хаашаа авцгаая x- дурын бодит тоо, өөрөөр хэлбэл, x– функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг дараах байдлаар бичье.

Хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийлэл гарч ирснийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тэгийг тэгээр хуваасан тодорхой бус байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, харин яг тэг байдаг. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс, тогтмол функцийн деривативтодорхойлолтын бүх домайн даяар тэгтэй тэнцүү байна.

Хүчин чадлын функцийн дериватив.

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо нь хэлбэртэй байна , илтгэгч хаана байна х- дурын бодит тоо.

Эхлээд натурал илтгэгчийн томъёог баталъя, өөрөөр хэлбэл for p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтыг ашиглах болно. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёо руу шилждэг.

Тиймээс,

Энэ нь натурал илтгэгчийн чадлын функцийн деривативын томъёог баталж байна.

Экспоненциал функцийн дериватив.

Бид дараах тодорхойлолт дээр үндэслэн дериватив томъёоны гарал үүслийг танилцуулж байна.

Бид тодорхойгүй байдалд ирлээ. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, . Дараа нь . Сүүлийн шилжилтийн үед бид шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

Хэрэв бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг эргэн санавал экспоненциал функцийн деривативын томъёонд хүрнэ.

Логарифм функцийн дериватив.

Бүгдэд зориулсан логарифм функцийн деривативын томъёог баталъя xтодорхойлолтын домэйн болон суурийн бүх хүчинтэй утгуудаас алогарифм Деривативын тодорхойлолтоор бид:

Таны анзаарснаар нотлох явцад логарифмын шинж чанарыг ашиглан хувиргалтыг хийсэн. Тэгш байдал хоёр дахь гайхалтай хязгаарын улмаас үнэн юм.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативын томъёог гаргахын тулд бид тригонометрийн зарим томьёо, мөн эхний гайхалтай хязгаарыг эргэн санах хэрэгтэй болно.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтоор бид байна .

Синусын зөрүүний томъёог ашиглая:

Эхний гайхалтай хязгаарт шилжих хэвээр байна:

Тиймээс функцийн дериватив гэм хБайна cos x.

Косинусын деривативын томъёог яг ижил аргаар нотолсон.

Тиймээс функцийн дериватив cos xБайна – нүгэл х.

Бид шүргэгч ба котангенсийн деривативын хүснэгтийн томъёог ялгах батлагдсан дүрмийг (бутархайн дериватив) ашиглан гаргана.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд.

Ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгтээс экспоненциал функцийн деривативын томъёо нь гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж авах боломжийг олгодог.

Урвуу функцийн дериватив.

Илтгэлийн явцад төөрөгдөл гаргахгүйн тулд ялгах функцийн аргументыг, өөрөөр хэлбэл функцийн дериватив гэдгийг дэд тэмдэгтээр тэмдэглэе. f(x) By x.

Одоо томъёолъё урвуу функцийн деривативыг олох дүрэм.

Функцуудыг зөвшөөр у = f(x)Тэгээд x = g(y)харилцан урвуу, интервал дээр тодорхойлогддог ба тус тус. Хэрэв тухайн цэг дээр функцийн төгсгөлтэй тэгээс бус дериватив байвал f(x), тэгвэл тухайн цэг дээр урвуу функцийн төгсгөлөг дериватив байна g(y), ба . Өөр бичлэгт .

Энэ дүрмийг хэнд ч өөрчилж болно xинтервалаас , дараа нь бид авна .

Эдгээр томъёоны үнэн зөвийг шалгацгаая.

Натурал логарифмын урвуу функцийг олъё (Энд yнь функц бөгөөд x- маргаан). Энэ тэгшитгэлийг шийдсэний дараа x, бид (энд xнь функц бөгөөд y- түүний аргумент). Энэ нь, ба харилцан урвуу функцууд.

Деривативын хүснэгтээс бид үүнийг харж байна Тэгээд .

Урвуу функцийн деривативыг олох томъёо нь ижил үр дүнд хүргэж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Таны харж байгаагаар бид деривативын хүснэгттэй ижил үр дүнг авсан.

Одоо бид урвуу дериватив томъёог батлах мэдлэгтэй болсон тригонометрийн функцууд.

Арксинусын деривативаас эхэлье.

. Дараа нь урвуу функцийн деривативын томъёог ашиглан бид олж авна

Үлдсэн зүйл бол өөрчлөлтийг хийх явдал юм.

Арксинусын муж нь интервал учраас , Тэр (үндсэн үндсэн функц, тэдгээрийн шинж чанар, графикийн хэсгийг үзнэ үү). Тиймээс бид үүнийг авч үзэхгүй байна.

Тиймээс, . Арксинусын деривативын тодорхойлолтын домэйн нь интервал юм (-1; 1) .

Нумын косинусын хувьд бүх зүйл яг ижил аргаар хийгддэг.

Арктангенсын деривативыг олъё.

Учир нь урвуу функц нь .

Үүссэн илэрхийллийг хялбарчлахын тулд арктангенсыг арккосиноор илэрхийлье.

Болъё arctgx = z, Дараа нь

Тиймээс,

Нумын котангенсийн деривативыг ижил төстэй аргаар олно.

Сэдвийг судлахдаа хялбар, ойлгомжтой болгох үүднээс бид хураангуй хүснэгтийг толилуулж байна.

Тогтмолy = C Эрчим хүчний функц y = x p (x p) " = p x p - 1	Экспоненциал функцу = сүх (a x) " = a x ln a Ялангуяа хэзээa = eбидэнд байгаа y = e x (e x) " = e x
Логарифм функц (log a x) " = 1 x ln a Ялангуяа хэзээa = eбидэнд байгаа y = log x (ln x) " = 1 x	Тригонометрийн функцууд (нүгэл х) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Урвуу тригонометрийн функцууд (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Гиперболын функцууд (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Тодорхойлсон хүснэгтийн томьёог хэрхэн олж авсан талаар дүн шинжилгээ хийцгээе, эсвэл өөрөөр хэлбэл функцын төрөл бүрийн дериватив томъёоны гарал үүслийг нотлох болно.

Тогтмол тооллын дериватив

Нотлох баримт 1

Энэ томьёог гаргаж авахын тулд бид цэг дээрх функцийн деривативын тодорхойлолтыг үндэс болгон авдаг. Бид x 0 = x, хаана ашигладаг xаливаа бодит тооны утгыг авдаг, эсвэл өөрөөр хэлбэл, x f (x) = C функцийн мужаас дурын тоо. Функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг ∆ x → 0 гэж бичье.

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

0 ∆ x илэрхийлэл нь хязгаарын тэмдгийн доор байгааг анхаарна уу. Энэ нь "тэг тэгээр хуваагдах" тодорхойгүй байдал биш, учир нь тоологч нь хязгааргүй жижиг утгыг агуулдаггүй, харин яг тэг юм. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол функцийн өсөлт үргэлж тэг байна.

Тиймээс f (x) = C тогтмол функцийн дериватив нь тодорхойлолтын бүх мужид тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1

Тогтмол функцуудыг өгөгдсөн:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Шийдэл

Өгөгдсөн нөхцөлүүдийг тайлбарлая. Эхний функцэд бид натурал 3-ын деривативыг харж байна. Дараах жишээнд та деривативыг авах хэрэгтэй А, Хаана А- дурын бодит тоо. Гурав дахь жишээ нь 4-ийн иррационал тооны деривативыг өгдөг. 13 7 22, дөрөв дэх нь тэгийн дериватив (тэг нь бүхэл тоо). Эцэст нь, тав дахь тохиолдолд бид оновчтой бутархайн дериватив - 8 7 байна.

Хариулт:деривативууд заасан функцуудямар ч бодит хувьд тэг байна x(тодорхойлолтын бүх хэсэгт)

f 1 "(x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Хүчин чадлын функцийн дериватив

(x p) " = p x p - 1, илтгэгч нь дараах хэлбэртэй байна чадлын функц болон түүний деривативын томъёо руу шилжье. хямар ч юм бодит тоо.

Нотлох баримт 2

Экспонент нь натурал тоо байх томъёоны нотолгоо энд байна. p = 1, 2, 3, …

Бид деривативын тодорхойлолтод дахин найдаж байна. Хүчин чадлын функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг бичье.

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Тоолуур дахь илэрхийллийг хялбарчлахын тулд бид Ньютоны бином томъёог ашиглана:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆) x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Тиймээс:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

Ийнхүү илтгэгч нь натурал тоо байх үед чадлын функцийн деривативын томъёог бид нотолсон.

Нотлох баримт 3

Хэргийн талаар нотлох баримт бүрдүүлэх p-тэгээс бусад бодит тоо бол бид логарифмын деривативыг ашигладаг (энд бид логарифмын үүсмэл функцийн ялгааг ойлгох ёстой). Илүү бүрэн ойлголттой болохын тулд логарифм функцийн деривативыг судалж, далд функцын дериватив ба нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг ойлгох нь зүйтэй.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье: хэзээ xэерэг ба хэзээ xсөрөг.

Тэгэхээр x > 0. Дараа нь: x p > 0 . y = x p тэгшитгэлийг e суурьтай логарифм болгож, логарифмын шинж чанарыг хэрэгжүүлье.

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Энэ үе шатанд бид далд заасан функцийг олж авсан. Үүний деривативыг тодорхойлъё:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Одоо бид хэзээ тохиолдлыг авч үзье x -сөрөг тоо.

Хэрэв индикатор хтэгш тоо бол х-д чадлын функц тодорхойлогдоно< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Дараа нь x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Хэрэв хнь сондгой тоо бол х-д чадлын функц тодорхойлогдоно< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Сүүлчийн шилжилт нь хэрэв байгаа тул боломжтой юм хтэгвэл сондгой тоо p - 1тэгш тоо эсвэл тэг (p = 1-ийн хувьд), тиймээс сөрөг байна xтэгш байдал (- x) p - 1 = x p - 1 үнэн.

Тиймээс бид аливаа бодит p-ийн чадлын функцийн деривативын томъёог баталсан.

Жишээ 2

Өгөгдсөн функцууд:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Тэдний деривативыг тодорхойлно уу.

Шийдэл

Өгөгдсөн функцүүдийн заримыг зэрэглэлийн шинж чанарт үндэслэн y = x p хүснэгт хэлбэрээр хувиргаж, дараа нь дараах томъёог ашиглана.

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Экспоненциал функцийн дериватив

Баталгаа 4

Тодорхойлолтыг үндэс болгон ашиглан дериватив томъёог гаргацгаая.

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Бид тодорхойгүй байдалд орсон. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд z = a ∆ x - 1 (z → 0-ийг ∆ x → 0 гэж) шинэ хувьсагч бичье. Энэ тохиолдолд a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Сүүлийн шилжилтийн хувьд шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёог ашигласан.

Анхны хязгаарыг орлуулъя:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг санаж, дараа нь экспоненциал функцийн деривативын томъёог олж авцгаая.

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Жишээ 3

Экспоненциал функцууд өгөгдсөн:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Тэдний деривативыг олох шаардлагатай байна.

Шийдэл

Бид экспоненциал функцийн дериватив ба логарифмын шинж чанаруудын томъёог ашигладаг.

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Логарифм функцийн дериватив

Нотлох баримт 5

Аливаа логарифм функцийн деривативын томьёоны баталгааг өгье xТодорхойлолт болон логарифмын суурийн а-ийн зөвшөөрөгдөх утгууд. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид дараахь зүйлийг олж авна.

(лог a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Заасан тэгш байдлын гинжин хэлхээнээс харахад өөрчлөлтүүд нь логарифмын шинж чанарт үндэслэсэн нь тодорхой байна. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e тэгш байдлын хоёр дахь гайхалтай хязгаарын дагуу үнэн.

Жишээ 4

Логарифм функцууд өгөгдсөн:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Тэдний деривативыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Гарсан томъёог хэрэглэцгээе:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Тэгэхээр натурал логарифмын дериватив нь нэг хуваагдана x.

Тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Баталгаа 6

Заримыг нь ашиглая тригонометрийн томъёомөн тригонометрийн функцийн деривативын томъёог гаргах анхны гайхалтай хязгаар.

Синусын функцийн деривативын тодорхойлолтын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Синусын зөрүүний томъёо нь дараахь үйлдлүүдийг хийх боломжийг бидэнд олгоно.

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Эцэст нь бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашигладаг:

нүгэл " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Тэгэхээр функцийн дериватив гэм хболно cos x.

Мөн бид косинусын деривативын томъёог батлах болно.

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тэдгээр. дериватив cos функцууд x байх болно – нүгэл х.

Бид ялгах дүрэмд үндэслэн тангенс ба котангенсийн деривативын томъёог гаргаж авдаг.

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x нүгэл 2 х = - нүгэл 2 х + cos 2 х нүгэл 2 х = - 1 нүгэл 2 х

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн деривативууд

Дериватив хэсэг урвуу функцуудАрксин, арккосин, арктангенс, арккотангенсийн деривативуудын томъёоны баталгааны талаар дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгдөг тул бид энд материалыг хуулбарлахгүй.

Гиперболын функцүүдийн деривативууд

Нотлох баримт 7

Дифференциалын дүрэм болон экспоненциал функцийн деривативын томъёог ашиглан бид гиперболын синус, косинус, тангенс, котангенсийн деривативуудын томъёог гаргаж болно.

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s ч x t h " x = с ч х х х х " = с ч " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хүчин чадлын экспоненциал функц нь чадлын функц хэлбэртэй функц юм
y = u v,
Үүнд u суурь ба илтгэгч v нь x хувьсагчийн зарим функц юм:
u = u (x); (x).
v = v Энэ функцийг бас нэрлэдэгэкспоненциал

эсвэл .
.
Хүчин чадлын экспоненциал функцийг экспоненциал хэлбэрээр илэрхийлж болохыг анхаарна уу: Тиймээс үүнийг бас нэрлэдэг.

нийлмэл экспоненциал функц

Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Логарифмын дериватив ашиглан тооцоо хийх
(2) ,
Хүч-экпоненциал функцийн деривативыг олъё
Энд ба хувьсагчийн функцууд.
.
Үүнийг хийхийн тулд бид логарифмын шинж чанарыг ашиглан логарифмын тэгшитгэл (2)-г бичнэ.
(3) .
x хувьсагчаар ялгах: Бид өргөдөл гаргананарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрэм
;
.

ба ажил:
.
Бид (3)-д орлоно:
.

Эндээс
(1) .
Тиймээс бид чадлын экспоненциал функцийн деривативыг олсон:
.
Хэрэв илтгэгч тогтмол бол .
.
Дараа нь дериватив нь нийлмэл чадлын функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Хэрэв зэрэглэлийн суурь тогтмол байвал .

Дараа нь дериватив нь комплекс экспоненциал функцийн деривативтай тэнцүү байна.
(2) ,
Х-ийн функцууд ба байх үед чадлын экспоненциал функцийн дериватив нь нийлмэл хүч ба экспоненциал функцийн деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
(4) .

Комплекс экспоненциал функц болгон бууруулж деривативыг тооцоолох
.
Одоо чадлын экспоненциал функцийн деривативыг олъё

.
Үүнийг нийлмэл экспоненциал функц болгон үзүүлэв:

Бүтээгдэхүүнийг ялгаж үзье:

Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох дүрмийг хэрэгжүүлдэг.
.

Бид логарифмын дериватив ашиглан тооцоолно. Анхны функцийг логарифм болгоё:
(A1.1) .

Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.
Бүтээгдэхүүний дериватив томъёог ашиглан бид:
.
Бид ялгадаг (A1.1):
.
Түүнээс хойш
,
Тэр
.

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл (х-ийг а-ын зэрэгт). x-ийн үндэсээс үүссэн деривативуудыг авч үзнэ. Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёо илүү өндөр дараалал. Деривативыг тооцоолох жишээ.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Хүчин чадлын функц ба үндэс, томъёо, график
Эрчим хүчний функцийн графикууд

Үндсэн томъёо

x-ийн а-ын хүчинтэй үржвэр нь x-ийг хасах нэгийн хүчинтэй тэнцүү байна.
(1) .

x-ийн n-р язгуураас m-р зэрэглэлийн дериватив нь:
(2) .

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Тохиолдол x > 0

Ингээд авч үзье эрчим хүчний функц a илтгэгчтэй x хувьсагчаас:
(3) .
Энд a нь дурын бодит тоо юм. Эхлээд хэргийг авч үзье.

(3) функцийн деривативыг олохын тулд бид чадлын функцийн шинж чанарыг ашиглан дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
.

Одоо бид деривативыг дараах байдлаар олно.
;
.
Энд.

Формула (1) нь батлагдсан.

х-ийн n зэрэгтэй язгуурыг m зэрэгтэй болгох томъёоны гарал үүсэлтэй

Дараах хэлбэрийн үндэс болох функцийг авч үзье.
(4) .

Деривативыг олохын тулд язгуурыг чадлын функц болгон хувиргана.
.
Томъёо (3)-тай харьцуулбал бид үүнийг харж байна
.
Дараа нь
.

(1) томъёог ашиглан бид деривативыг олно:
(1) ;
;
(2) .

Практикт томьёо (2) цээжлэх шаардлагагүй. Эхлээд үндсийг хүч чадлын функц болгон хувиргаж, дараа нь (1) томъёог ашиглан тэдгээрийн деривативыг олох нь илүү тохиромжтой (хуудасны төгсгөлд байгаа жишээг үзнэ үү).

Тохиолдол x = 0

Хэрэв бол х = хувьсагчийн утгад чадлын функц тодорхойлогдоно 0 . 0 (3) функцийн деривативыг x = дээр олъё
.

. 0 :
.
Үүнийг хийхийн тулд бид деривативын тодорхойлолтыг ашигладаг.

x =-г орлуулъя
.
Энэ тохиолдолд дериватив гэж бид баруун талын хязгаарыг хэлнэ.
Тиймээс бид олсон:
Тиймээс бид олсон:
Эндээс харахад , .
(1) .
-д. 0 .

Энэ үр дүнг томъёо (1) -ээс олж авна.< 0

Иймд (1) томъёо нь x =-д мөн хүчинтэй байна
(3) .
Тохиолдол x (3) функцийг дахин авч үзье: a тогтмолын тодорхой утгуудын хувьд энэ нь мөн тодорхойлогддог
,
сөрөг утгууд

хувьсагч х. 3 Тухайлбал, a нь рационал тоо байг. Дараа нь үүнийг бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно: 1 Энд m ба n нь нийтлэг хуваагчгүй бүхэл тоо юм.
.
Хэрэв n нь сондгой бол х хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд чадлын функцийг мөн тодорхойлно.

Жишээлбэл, n = үед ба m =тодорхойлогдсон тогтмол a. Үүнийг хийхийн тулд x-г дараах хэлбэрээр төсөөл.
.
Дараа нь,
.
Тогтмолыг деривативын тэмдгийн гадна байрлуулж, цогц функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг олно.

.
Энд. Гэхдээ
.
Түүнээс хойш
.
Дараа нь
.
Өөрөөр хэлбэл (1) томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.
(1) .

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Одоо чадлын функцийн дээд эрэмбийн деривативуудыг олцгооё
(3) .
Бид эхний эрэмбийн деривативыг аль хэдийн олсон:
.

Деривативын тэмдгийн гадна а тогтмолыг авбал бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.
.
Үүний нэгэн адил бид гурав, дөрөв дэх дарааллын деривативуудыг олдог.
;

.

Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна дурын n-р эрэмбийн деривативдараах хэлбэртэй байна:
.

Үүнийг анхаарна уу хэрэв а бол натурал тоо , тэгвэл n-р дериватив тогтмол байна:
.
Дараа нь бүх деривативууд тэгтэй тэнцүү байна:
,
цагт.

Деривативыг тооцоолох жишээ

Жишээ

Функцийн деривативыг ол:
.

Үндэсийг хүч болгон хөрвүүлье:
;
.
Дараа нь анхны функц нь дараах хэлбэрийг авна.
.

Хүчин чадлын деривативуудыг олох:
;
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байна:
.