Суурийн тодорхойлолт.Векторын систем нь дараахь тохиолдолд үндэс болно.

1) шугаман бие даасан,

2) орон зайн дурын векторыг түүгээр шугаман байдлаар илэрхийлж болно.

Жишээ 1.Сансрын суурь: .

2. Вектор системд суурь нь векторууд: , учир нь вектороор шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

Сэтгэгдэл.Өгөгдсөн векторын системийн үндсийг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1) векторуудын координатыг матрицад бичих,

2) энгийн хувиргалтыг ашиглан матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах,

3) матрицын тэг биш мөрүүд нь системийн үндэс болно,

4) суурь дахь векторын тоо нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Кронекер-Капелли теорем

Кронекер-Капелли теорем нь тодорхойгүй шугаман тэгшитгэлийн дурын системийн нийцтэй байдлын талаархи асуултад иж бүрэн хариулт өгдөг.

Кронекер-Капелли теорем. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь тухайн системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь үндсэн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л нийцтэй байна, .

Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системийн бүх шийдлийг олох алгоритм нь Кронекер-Капелли теорем болон дараах теоремуудаас бүрдэнэ.

Теорем.Хэрэв хамтарсан системийн зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болно.

Теорем.Хэрэв хамтарсан системийн зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага бол систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдэх алгоритм:

1. Системийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлийг ол. Хэрэв тэдгээр нь тэнцүү биш бол () систем нь нийцэхгүй байна (шийдэл байхгүй). Хэрэв зэрэглэлүүд тэнцүү бол ( , систем тогтвортой байна.

2. Хамтарсан системийн хувьд бид зарим минорыг олдог бөгөөд тэдгээрийн дараалал нь матрицын зэрэглэлийг тодорхойлдог (ийм минорыг үндсэн гэж нэрлэдэг). Үл мэдэгдэхийн коэффициентийг үндсэн минорд (эдгээр үл мэдэгдэхийг үндсэн үл мэдэгдэхүүд гэж нэрлэдэг) багтаасан тэгшитгэлийн шинэ системийг зохиоё. Бид зүүн талд коэффициент бүхий үндсэн үл мэдэгдэх зүйлсийг орхиж, үлдсэн үл мэдэгдэх үлдэгдлийг (тэдгээрийг чөлөөт үл мэдэгдэхүүд гэж нэрлэдэг) тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ.

3. Гол үл мэдэгдэх илэрхийллүүдийг чөлөөт утгаараа олъё. Бид системийн ерөнхий шийдлийг олж авдаг.

4. Чөлөөт үл мэдэгдэхэд дурын утгыг өгснөөр бид үндсэн үл мэдэгдэх утгуудын харгалзах утгыг олж авдаг. Ийм байдлаар бид анхны тэгшитгэлийн системийн хэсэгчилсэн шийдлийг олдог.

Шугаман програмчлал. Үндсэн ойлголтууд

Шугаман програмчлалхувьсагч ба шугаман шалгуурын хоорондын шугаман хамаарлаар тодорхойлогддог экстремаль асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг судалдаг математик програмчлалын салбар юм.

Шугаман програмчлалын асуудал үүсгэх зайлшгүй нөхцөл бол нөөцийн хүртээмж, эрэлтийн хэмжээ, аж ахуйн нэгжийн үйлдвэрлэлийн хүчин чадал болон бусад үйлдвэрлэлийн хүчин зүйлсийг хязгаарлах явдал юм.

Шугаман програмчлалын мөн чанар нь аргумент ба генераторуудад тавигдсан тодорхой хязгаарлалтын дор тодорхой функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгын цэгүүдийг олох явдал юм. хязгаарлалтын систем , энэ нь дүрмээр бол хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг. Хувьсагчийн утгуудын багц бүр (функцийн аргументууд Ф ) хязгаарлалтын системийг хангадаг гэж нэрлэдэг хүчинтэй төлөвлөгөө шугаман програмчлалын асуудлууд. Чиг үүрэг Ф , хамгийн их буюу хамгийн бага нь тодорхойлогдсон гэж нэрлэдэг зорилтот функц даалгавар. Функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага хэмжээнд хүрэх боломжтой төлөвлөгөө Ф , дуудсан оновчтой төлөвлөгөө даалгавар.

Олон төлөвлөгөөг тодорхойлсон хязгаарлалтын тогтолцоо нь үйлдвэрлэлийн нөхцлөөр тодорхойлогддог. Шугаман програмчлалын асуудал ( ZLP ) нь хэрэгжих боломжтой багц төлөвлөгөөнөөс хамгийн ашигтай (оновчтой) нэгийг сонгох явдал юм.

Ерөнхий томъёололд шугаман програмчлалын бодлого дараах байдалтай байна.

Хувьсагч байгаа юу? x = (x 1, x 2, ... x n) ба эдгээр хувьсагчийн функц f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) гэж нэрлэдэг зорилтот функцууд. Даалгавар тавигдсан: зорилгын функцийн экстремумыг (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) олох f(x) хувьсагч байгаа тохиолдолд x зарим газар нутагт харьяалагддаг Г :

Функцийн төрлөөс хамаарна f(x) болон бүс нутаг Г Математик програмчлалын хэсгүүдийг ялгах: квадрат програмчлал, гүдгэр програмчлал, бүхэл тооны програмчлал гэх мэт. Шугаман програмчлалын онцлог нь
а) функц f(x) хувьсагчдын шугаман функц юм x 1, x 2, … x n
б) бүс нутаг Г системээр тодорхойлогддог шугаман тэгш байдал эсвэл тэгш бус байдал.

Суурьт ороогүй вектор ба векторуудын системийн үндсийг олж, тэдгээрийг суурийн дагуу өргөжүүл.

А 1 = {5, 2, -3, 1}, А 2 = {4, 1, -2, 3}, А 3 = {1, 1, -1, -2}, А 4 = {3, 4, -1, 2}, А 5 = {13, 8, -7, 4}.

Шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг авч үзье

А 1 X 1 + А 2 X 2 + А 3 X 3 + А 4 X 4 + А 5 X 5 = 0

эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр.

Бид энэ системийг мөр, баганыг солихгүйгээр Гауссын аргаар шийдэх бөгөөд үүнээс гадна үндсэн элементийг зүүн дээд буланд биш, харин бүхэл бүтэн эгнээний дагуу сонгоно. Сорилт нь хийх явдал юм хувиргасан векторын системийн диагональ хэсгийг сонгоно.

~ ~

~ ~ ~ .

Зөвшөөрөгдсөн векторын систем нь анхныхтай тэнцэх хэлбэртэй байна

А 1 1 X 1 + А 2 1 X 2 + А 3 1 X 3 + А 4 1 X 4 + А 5 1 X 5 = 0 ,

Хаана А 1 1 = , А 2 1 = , А 3 1 = , А 4 1 = , А 5 1 = . (1)

Векторууд А 1 1 , А 3 1 , А 4 1 нь диагональ систем үүсгэдэг. Тиймээс векторууд А 1 , А 3 , А 4 нь вектор системийн үндэс суурийг бүрдүүлдэг А 1 , А 2 , А 3 , А 4 , А 5 .

Одоо векторуудыг өргөжүүлье А 2 Тэгээд А 5 үндсэн дээр А 1 , А 3 , А 4. Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд харгалзах векторуудыг өргөжүүлнэ А 2 1 Тэгээд А 5 1 диагональ систем А 1 1 , А 3 1 , А 4 1, диагональ системийн дагуу векторын тэлэлтийн коэффициент нь түүний координат гэдгийг санаарай. x i.

(1)-ээс бидэнд:

А 2 1 = А 3 1 · (-1) + А 4 1 0 + А 1 1 ·1 => А 2 1 = А 1 1 – А 3 1 .

А 5 1 = А 3 1 0 + А 4 1 1 + А 1 1 ·2 => А 5 1 = 2А 1 1 + А 4 1 .

Векторууд А 2 Тэгээд А 5 нь үндсэндээ өргөжсөн А 1 , А 3 , А 4 вектортой ижил коэффициенттэй А 2 1 Тэгээд А 5 1 диагональ систем А 1 1 , А 3 1 , А 4 1 (эдгээр коэффициентүүд x i). Тиймээс,

А 2 = А 1 – А 3 , А 5 = 2А 1 + А 4 .

Даалгавар. 1.Сууринд ороогүй вектор ба векторын системийн үндсийг олж, суурьт хамааруулан өргөжүүл.

1. а 1 = { 1, 2, 1 }, а 2 = { 2, 1, 3 }, а 3 = { 1, 5, 0 }, а 4 = { 2, -2, 4 }.

2. а 1 = { 1, 1, 2 }, а 2 = { 0, 1, 2 }, а 3 = { 2, 1, -4 }, а 4 = { 1, 1, 0 }.

3. а 1 = { 1, -2, 3 }, а 2 = { 0, 1, -1 }, а 3 = { 1, 3, 0 }, а 4 = { 0, -7, 3 }, а 5 = { 1, 1, 1 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Вектор системийн бүх суурийг ол:

1. а 1 = { 1, 1, 2 }, а 2 = { 3, 1, 2 }, а 3 = { 1, 2, 1 }, а 4 = { 2, 1, 2 }.

2. а 1 = { 1, 1, 1 }, а 2 = { -3, -5, 5 }, а 3 = { 3, 4, -1 }, а 4 = { 1, -1, 4 }.

Векторуудын шугаман хослол нь вектор юм
, энд λ 1, ..., λ m нь дурын коэффициент юм.

Вектор систем
-тэй тэнцүү шугаман хослол байвал шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг , хамгийн багадаа нэг тэгээс бусад коэффициенттэй.

Вектор систем
Хэрэв шугаман хослолуудын аль нэгэнд нь тэнцүү байвал шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг , бүх коэффициентүүд нь тэг байна.

Вектор системийн үндэс
түүний хоосон бус шугаман бие даасан дэд систем гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүгээр системийн дурын векторыг илэрхийлж болно.

Жишээ 2. Векторын системийн суурийг ол = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) ба үлдсэн векторуудыг суурьаар илэрхийлнэ.

Шийдэл: Бид эдгээр векторуудын координатуудыг баганаар байрлуулсан матрицыг бүтээдэг. Бид үүнийг алхам алхмаар хэлбэрт оруулдаг.

~
~
~
.

Энэ системийн үндэс нь векторуудаар бүрддэг ,,, тойрог хэлбэрээр тодруулсан шугамын тэргүүлэх элементүүдтэй тохирч байна. Векторыг илэрхийлэх x 1 тэгшитгэлийг шийд +x 2 + x 4 =. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн систем болгон бууруулж, матрицыг нь харгалзах баганын анхны орлуулалтаас гаргаж авдаг.

, чөлөөт нэр томъёоны баганын оронд.

Тиймээс системийг шийдэхийн тулд бид үүссэн матрицыг үе шаттайгаар ашиглаж, түүнд шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийдэг.

= -+2.

Бид байнга олдог:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

Дасгал 2. Векторуудын системийн суурийг олж, үлдсэн векторуудыг суурийн тусламжтайгаар илэрхийл.

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Шийдлийн үндсэн систем

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүх чөлөөт гишүүн нь тэгтэй тэнцүү бол түүнийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем нь түүний шийдлүүдийн багцын үндэс юм.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийг бидэнд өгье. Өгөгдсөнтэй холбоотой нэгэн төрлийн систем гэдэг нь бүх чөлөөт нэр томъёог тэгээр солих замаар өгөгдсөн системээс олж авсан систем юм.

Хэрэв нэгэн төрлийн бус систем тууштай бөгөөд тодорхойгүй бол түүний дурын шийдэл нь f n +  1 f o1 + ... +  k f o k хэлбэртэй байх ба энд f n нь нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой шийдэл бөгөөд f o1 , ... , f o k байна. холбогдох нэгэн төрлийн системийн үндсэн системийн шийдлүүд.

Жишээ 3. 1-р жишээнээс нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой шийдэл ба холбогдох нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл 1-р жишээн дээр олж авсан шийдлийг вектор хэлбэрээр бичиж, үүссэн векторыг түүнд байгаа чөлөөт параметрүүд болон тогтмол тоон утгуудын нийлбэр болгон задлая.

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, –) 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0) ).

Бид f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1) авна.

Сэтгэгдэл. Нэг төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг олох асуудлыг мөн адил шийддэг.

Дасгал 3.1 Нэг төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

A)

б)

в) 2х 1 – х 2 +3х 3 = 0.

Дасгал 3.2. Нэг төрлийн бус системийн тодорхой шийдэл ба холбогдох нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн үндсэн системийг ол.

A)

б)

Векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдал.
Векторуудын үндэс. Аффины координатын систем

Танхимд шоколадтай тэрэг байдаг бөгөөд өнөөдөр зочлон ирсэн хүн бүр шугаман алгебр бүхий аналитик геометр гэсэн сайхан хосыг авах болно. Энэ нийтлэл нь дээд математикийн хоёр хэсгийг нэг дор хөндөх бөгөөд бид тэдгээр нь нэг цаасан дээр хэрхэн зэрэгцэн оршиж байгааг харах болно. Завсарлага аваад Twix идээрэй! ...хараал ид, ямар дэмий юм бэ. Хэдий тийм ээ, би оноо авахгүй ч эцэст нь та суралцахдаа эерэг хандлагатай байх ёстой.

Векторуудын шугаман хамаарал, шугаман векторын бие даасан байдал, векторуудын үндэсболон бусад нэр томъёо нь зөвхөн геометрийн тайлбар биш, харин хамгийн чухал нь алгебрийн утгатай. Шугаман алгебрийн үүднээс авч үзвэл "вектор" гэсэн ойлголт нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд дүрсэлж болох "энгийн" вектор биш юм. Та холоос баталгаа хайх шаардлагагүй, таван хэмжээст орон зайн вектор зурж үзээрэй . Эсвэл миний саяхан Gismeteo руу очсон цаг агаарын вектор: температур ба атмосферийн даралт. Мэдээжийн хэрэг, жишээ нь векторын орон зайн шинж чанарын үүднээс буруу боловч эдгээр параметрүүдийг вектор болгон албан ёсны болгохыг хэн ч хориглодоггүй. Намрын амьсгал...

Үгүй ээ, би чамайг онол, шугаман вектор орон зайгаар уйдаахгүй, даалгавар бол хийх явдал юм ойлгохтодорхойлолт ба теоремууд. Шинэ нэр томъёо (шугаман хамаарал, бие даасан байдал, шугаман хослол, суурь гэх мэт) нь алгебрийн үүднээс бүх векторуудад хамаарах боловч геометрийн жишээг өгөх болно. Тиймээс бүх зүйл энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой байдаг. Аналитик геометрийн асуудлуудаас гадна бид зарим ердийн алгебрийн бодлогуудыг авч үзэх болно. Материалыг эзэмшихийн тулд хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна Дамми нарт зориулсан векторуудТэгээд Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хавтгай векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Хавтгай суурь ба аффины координатын систем

Компьютерийн ширээний хавтгайг (зөвхөн ширээ, орны дэргэдэх ширээ, шал, тааз, дуртай зүйлээ) авч үзье. Даалгавар нь дараахь үйлдлүүдээс бүрдэнэ.

1) Хавтгай суурь сонгох. Товчоор хэлбэл, ширээний тавцан нь урт ба өргөнтэй байдаг тул суурийг бий болгоход хоёр вектор шаардлагатай болно. Нэг вектор хангалттай биш, гурван вектор хэт их байна.

2) Сонгосон суурь дээр үндэслэнэ координатын системийг тохируулах(координатын тор) ширээн дээрх бүх объектод координат оноох.

Гайхах хэрэггүй, эхлээд тайлбарууд нь хуруун дээр байх болно. Түүнээс гадна, таных. Та байрлуулна уу зүүн долоовор хурууширээний ирмэг дээр тэр дэлгэц рүү хардаг. Энэ нь вектор байх болно. Одоо байрлуул баруун жижиг хурууширээний ирмэг дээр ижил аргаар - дэлгэцийн дэлгэц рүү чиглэсэн байхаар байрлуулна. Энэ нь вектор байх болно. Инээмсэглэ, чи гайхалтай харагдаж байна! Векторуудын талаар бид юу хэлж чадах вэ? Өгөгдлийн векторууд collinear, гэсэн үг шугаманбие биенээ илэрхийлсэн:
, сайн, эсвэл эсрэгээр: , хаана ямар нэг тоо тэгээс ялгаатай байна.

Та энэ үйлдлийн зургийг ангид харж болно. Дамми нарт зориулсан векторууд, энд би векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг тайлбарлав.

Таны хуруу компьютерийн ширээний тавцан дээр суурь тавих уу? Үгүй гэдэг нь ойлгомжтой. Коллинеар векторууд нааш цааш хөдөлдөг ганцаараачиглэл, онгоц нь урт ба өргөнтэй байдаг.

Ийм векторуудыг нэрлэдэг шугаман хамааралтай.

Лавлагаа: "Шугаман", "шугаман" гэсэн үгс нь математикийн тэгшитгэл, илэрхийлэлд квадрат, шоо, бусад хүч, логарифм, синус гэх мэт зүйл байхгүй гэдгийг илэрхийлдэг. Зөвхөн шугаман (1-р зэрэг) илэрхийлэл ба хамаарал байдаг.

Хоёр хавтгай вектор шугаман хамааралтайхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал.

Ширээн дээр хуруугаа хооронд нь 0 эсвэл 180 градусаас өөр өнцөг байхаар гатлаарай. Хоёр хавтгай векторшугаман ҮгүйХэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд л хамааралтай. Тиймээс суурь нь бүрддэг. Суурь нь янз бүрийн урттай перпендикуляр бус векторуудаар "тазайлгасан" болсонд ичиж зовох хэрэггүй юм. Тун удахгүй бид үүнийг бүтээхэд зөвхөн 90 градусын өнцөг төдийгүй ижил урттай нэгж векторууд тохиромжтой биш гэдгийг харах болно.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замүндэслэлээр өргөтгөсөн:
, бодит тоо хаана байна. Тоонуудыг дуудаж байна вектор координатэнэ үндсэн дээр.

Бас тэгж хэлдэг векторбайдлаар танилцуулсан шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг вектор задралүндсэн дээрэсвэл шугаман хослолсуурь векторууд.

Жишээлбэл, вектор нь хавтгайн ортонормаль суурийн дагуу задардаг эсвэл векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдсэн гэж хэлж болно.

Томьёолъё суурийн тодорхойлолталбан ёсоор: Онгоцны үндэсхос шугаман бие даасан (коллинеар бус) векторууд гэж нэрлэдэг. , байхад ямар чХавтгай вектор нь суурь векторуудын шугаман хослол юм.

Тодорхойлолтын чухал цэг бол векторуудыг авсан явдал юм тодорхой дарааллаар. Суурь - Эдгээр нь огт өөр хоёр суурь юм! Тэдний хэлснээр та зүүн гарынхаа жижиг хурууг баруун гарын хурууны оронд сольж болохгүй.

Бид үндсийг нь олж мэдсэн боловч координатын сүлжээг тогтоож, компьютерийн ширээн дээрх зүйл бүрт координат оноох нь хангалтгүй юм. Яагаад хүрэлцэхгүй байна вэ? Векторууд чөлөөтэй бөгөөд бүхэл бүтэн хавтгайд тэнүүчилдэг. Амралтын өдрүүдийн дараа үлдсэн ширээн дээрх жижиг бохир цэгүүдэд координатыг хэрхэн хуваарилах вэ? Эхлэх цэг хэрэгтэй. Ийм тэмдэглэгээ нь хүн бүрт танил болсон цэг юм - координатын гарал үүсэл. Координатын системийг ойлгоцгооё.

Би "сургуулийн" системээс эхэлье. Танилцуулгын хичээл дээр аль хэдийн орсон Дамми нарт зориулсан векторуудТэгш өнцөгт координатын систем ба ортонормаль суурь хоорондын зарим ялгааг би онцолсон. Энд стандарт зураг байна:

Тэд ярих үед тэгш өнцөгт координатын систем, дараа нь ихэнхдээ тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуух гарал үүсэл, координатын тэнхлэг, масштабыг илэрхийлдэг. Хайлтын системд "тэгш өнцөгт координатын систем" гэж бичээд үзээрэй, олон эх сурвалж танд 5-6-р ангиасаа мэддэг координатын тэнхлэгүүд болон хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурах талаар хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, тэгш өнцөгт координатын системийг ортонормаль суурийн үүднээс бүрэн тодорхойлж болох юм шиг санагддаг. Мөн энэ нь бараг үнэн юм. Үг хэллэг нь дараах байдалтай байна.

гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт хавтгай координатын систем . Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем юм гарцаагүйнь нэг цэг ба хоёр нэгж ортогональ вектороор тодорхойлогддог. Тийм ч учраас та миний дээр өгсөн зургийг харж байна - геометрийн бодлогод вектор ба координатын тэнхлэгийг хоёуланг нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) зурдаг.

Цэг (гарал үүсэл) болон ортонормаль суурь ашиглахыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна Онгоцны аль ч цэг, онгоцонд ямар ч ВЕКТОРкоординатыг зааж өгч болно. Дүрслэлээр хэлбэл, "онгоцонд байгаа бүх зүйлийг дугаарлаж болно."

Координатын векторууд нэгж байх шаардлагатай юу? Үгүй ээ, тэд дур мэдэн тэгээс өөр урттай байж болно. Дурын тэгээс урттай цэг ба хоёр ортогональ векторыг авч үзье.

Ийм суурь гэж нэрлэдэг ортогональ. Векторуудтай координатын гарал үүслийг координатын тороор тодорхойлдог бөгөөд хавтгай дээрх аль ч цэг, аль ч вектор нь өгөгдсөн үндсэн дээр координаттай байдаг. Жишээлбэл, эсвэл. Илэрхий таагүй зүйл бол координатын векторууд юм ерөнхий тохиолдолднэгдлээс өөр урттай. Хэрэв урт нь нэгтэй тэнцүү бол ердийн ортонормаль үндэслэлийг олж авна.

! Анхаарна уу : ортогональ суурь дээр, түүнчлэн хавтгай ба орон зайн аффин суурийн доор тэнхлэгийн дагуух нэгжүүдийг авч үзнэ. НӨХЦӨЛТ. Жишээлбэл, х тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 4 см, ордны тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 2 см-ийг агуулна. Энэ мэдээлэл нь шаардлагатай бол "стандарт бус" координатыг "бидний ердийн сантиметр" болгон хувиргахад хангалттай.

Хоёрдахь асуулт нь аль хэдийн хариулагдсан бөгөөд суурь векторуудын хоорондох өнцөг 90 градустай тэнцүү байх ёстой юу? Үгүй! Тодорхойлолтод дурдсанчлан суурь векторууд байх ёстой зөвхөн шугаман бус. Үүний дагуу өнцөг нь 0 ба 180 градусаас бусад бүх зүйл байж болно.

Онгоцны нэг цэг дуудлаа гарал үүсэл, Мөн шугаман бусвекторууд, , тогтоосон аффин хавтгай координатын систем :

Заримдаа ийм координатын системийг дууддаг ташуусистем. Жишээлбэл, зураг нь цэг ба векторуудыг харуулж байна:

Таны ойлгож байгаагаар аффины координатын систем нь хичээлийн хоёр дахь хэсэгт бидний авч үзсэн вектор ба сегментийн уртын томъёо нь тийм ч тохиромжтой биш юм; Дамми нарт зориулсан векторууд, холбоотой олон амттай жор векторуудын скаляр үржвэр. Гэхдээ вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм, энэ талаар сегментийг хуваах томъёо, түүнчлэн бидний удахгүй авч үзэх бусад төрлийн асуудлууд хүчинтэй байна.

Дүгнэлт нь аффин координатын системийн хамгийн тохиромжтой онцгой тохиолдол бол декартын тэгш өнцөгт систем юм. Тийм ч учраас чи түүнтэй байнга уулзах хэрэгтэй болдог, хонгор минь. ...Гэхдээ энэ амьдралд бүх зүйл харьцангуй байдаг - ташуу өнцөг (эсвэл өөр нэг, жишээлбэл, туйл) координатын систем. Мөн гуманоид ийм системд дуртай байж магадгүй =)

Практик хэсэг рүү шилжье. Энэ хичээлийн бүх бодлого нь тэгш өнцөгт координатын систем болон ерөнхий аффины тохиолдолд хоёуланд нь хүчинтэй байна. Энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бүх материал нь сургуулийн сурагчдад ч хүртээмжтэй байдаг.

Хавтгай векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Ердийн зүйл. Хоёр хавтгай векторын хувьд collinear байсан тул тэдгээрийн харгалзах координатууд пропорциональ байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юмҮндсэндээ энэ нь тодорхой харилцааг координатаар нарийн тусгах явдал юм.

Жишээ 1

a) Векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгана уу .
б) Векторууд суурь болдог уу? ?

Шийдэл:
a) Векторууд байгаа эсэхийг олж мэдье тэнцүү байдлыг хангасан пропорциональ коэффициент:

Практикт маш сайн ажилладаг энэ дүрмийг хэрэгжүүлэх "хөөрхөн" хувилбарын талаар би танд хэлэх болно. Гол санаа нь тэр даруй пропорцийг бүрдүүлж, зөв ​​эсэхийг шалгах явдал юм.

Векторуудын харгалзах координатуудын харьцаанаас пропорцийг гаргая.

Богино болгоё:
, тиймээс харгалзах координатууд нь пропорциональ байна, тиймээс,

Энэ харилцааг эсрэгээр нь хийж болно:

Өөрийгөө шалгахын тулд та коллинеар векторууд бие биенээсээ шугаман илэрхийлэгддэг болохыг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд тэгш байдал үүсдэг . Тэдгээрийн хүчинтэй байдлыг векторуудтай энгийн үйлдлээр хялбархан шалгаж болно.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Бид векторуудын коллинеар байдлыг шалгадаг . Системийг үүсгэцгээе:

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс энэ нь гарч ирнэ гэсэн үг систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Шийдлийн хялбаршуулсан хувилбар дараах байдалтай байна.

Векторуудын харгалзах координатуудаас пропорцийг гаргая :
, энэ нь эдгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Ихэнхдээ энэ сонголтыг хянагчид үгүйсгэдэггүй, гэхдээ зарим координатууд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуудал үүсдэг. Үүнтэй адил: . Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл иймэрхүү: . Энд пропорцоор хэрхэн ажиллах вэ? (үнэхээр та тэгээр хувааж болохгүй). Тийм ч учраас би хялбаршуулсан шийдлийг "фоппи" гэж нэрлэсэн.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Өөрийн шийдэлд зориулсан жижиг бүтээлч жишээ:

Жишээ 2

Векторууд параметрийн ямар утгатай байна тэд хоорондоо уялдаатай байх уу?

Түүврийн уусмалд параметрийг пропорцоор олно.

Векторуудын уялдаа холбоог шалгах гоёмсог алгебрийн арга бий.

Хоёр хавтгай векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:

2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд нь коллинеар биш;

+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

тус тус, дараах эсрэг заалтууд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман хамааралтай;
2) векторууд нь суурь үүсгэдэггүй;
3) векторууд нь коллинеар;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлж болно;
+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Та одоо тулгарсан бүх нэр томьёо, мэдэгдлийг аль хэдийн ойлгосон гэдэгт би үнэхээр найдаж байна.

Шинэ, тав дахь цэгийг нарийвчлан авч үзье: хоёр хавтгай вектор Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л коллинеар байна.:. Энэ функцийг ашиглахын тулд мэдээжийн хэрэг та чадвартай байх хэрэгтэй тодорхойлогчдыг олох.

ШийдьеХоёр дахь аргаар жишээ 1:

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар байна гэсэн үг.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Энэ нь пропорцтой шийдлээс хамаагүй илүү авсаархан, үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Боловсруулсан материалын тусламжтайгаар зөвхөн векторуудын харилцан уялдаа холбоог тогтоох төдийгүй сегмент ба шулуун шугамын параллель байдлыг батлах боломжтой. Тодорхой геометрийн хэлбэртэй хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батал.

Баталгаа: Асуудлын шийдэл нь зөвхөн аналитик байх тул зураг зурах шаардлагагүй. Параллелограммын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
Параллелограмм Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель байдаг дөрвөн өнцөгтийг гэнэ.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотлох шаардлагатай.
1) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба;
2) эсрэг талын параллелизм ба.

Бид баталж байна:

1) Векторуудыг ол:

2) Векторуудыг ол:

Үр дүн нь ижил вектор ("сургуулийн дагуу" - тэнцүү векторууд). Хамтарсан байдал нь маш тодорхой боловч шийдвэрээ тодорхой, зохицуулалттай албан ёсны болгох нь дээр. Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар гэсэн үг бөгөөд .

Дүгнэлт: Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хос хосоороо параллелограмм гэсэн үг юм. Q.E.D.

Илүү сайн, өөр өөр тоонууд:

Жишээ 4

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь трапец гэдгийг батал.

Нотлох баримтыг илүү нарийн томъёолохын тулд трапецын тодорхойлолтыг авах нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь ямар харагддагийг санахад л хангалттай.

Энэ бол та өөрөө шийдэх ёстой ажил юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл.

Одоо онгоцноос аажим аажмаар сансарт шилжих цаг болжээ.

Сансрын векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Дүрэм нь маш төстэй юм. Хоёр орон зайн векторууд хоорондоо уялдаатай байхын тулд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай..

Жишээ 5

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг олж мэд.

A);
б)
V)

Шийдэл:
a) Векторуудын харгалзах координатуудад пропорциональ коэффициент байгаа эсэхийг шалгая:

Системд шийдэл байхгүй тул векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

"Хялбаршуулсан" нь пропорцийг шалгах замаар албан ёсны болно. Энэ тохиолдолд:
– харгалзах координатууд нь пропорциональ биш, энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

Хариулт:векторууд нь коллинеар биш юм.

b-c) Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах цэгүүд юм. Үүнийг хоёр аргаар туршаад үзээрэй.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчоор орон зайн векторуудыг шалгах арга байдаг Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн.

Хавтгайн тохиолдлын нэгэн адил авч үзсэн хэрэгслийг орон зайн сегмент ба шулуун шугамын параллелизмыг судлахад ашиглаж болно.

Хоёр дахь хэсэгт тавтай морилно уу:

Гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Орон зайн суурь ба аффины координатын систем

Онгоцонд бидний судалж үзсэн олон хэв маяг нь сансар огторгуйд хүчинтэй байх болно. Мэдээллийн арслангийн хувийг аль хэдийн зажилсан тул би онолын тэмдэглэлийг багасгахыг хичээсэн. Гэхдээ шинэ нэр томьёо, ойлголт гарч ирэх тул оршил хэсгийг анхааралтай уншихыг зөвлөж байна.

Одоо бид компьютерийн ширээний хавтгайн оронд гурван хэмжээст орон зайг судалж байна. Эхлээд түүний суурийг бий болгоё. Одоо хэн нэгэн дотор, хэн нэгэн гадаа байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд бид өргөн, урт, өндөр гэсэн гурван хэмжээсээс зугтаж чадахгүй. Тиймээс суурийг бий болгохын тулд орон зайн гурван вектор шаардлагатай болно. Нэг эсвэл хоёр вектор хангалттай биш, дөрөв дэх нь илүүдэхгүй.

Мөн бид дахин хуруугаараа дулаацдаг. Гараа дээш өргөж, янз бүрийн чиглэлд тараана уу эрхий, долоовор, дунд хуруу. Эдгээр нь векторууд байх болно, тэдгээр нь өөр өөр чиглэлд харагддаг, өөр өөр урттай, өөр өөр өнцөгтэй байдаг. Баяр хүргэе, гурван хэмжээст орон зайн суурь бэлэн боллоо! Энэ дашрамд хуруугаа хэчнээн мушгисан ч багш нарт үзүүлэх шаардлагагүй, гэхдээ тодорхойлолтоос мултрахгүй =)

Дараа нь нэг чухал асуулт асууя: дурын гурван вектор гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог уу? Компьютерийн ширээний дээд хэсэгт гурван хуруугаа чанга дарна уу. Юу болсон бэ? Гурван вектор нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд бид хэмжээсүүдийн нэг болох өндрийг алдсан байна. Ийм векторууд хавтгайГурван хэмжээст орон зайн суурь нь бүрдээгүй нь тодорхой юм.

Копланар векторууд нэг хавтгайд хэвтэх албагүй, зэрэгцээ хавтгайд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (үүнийг зүгээр л хуруугаараа бүү хий, зөвхөн Сальвадор Дали л үүнийг хийсэн =)).

Тодорхойлолт: векторуудыг дуудна хавтгай, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ байрласан хавтгай байвал. Хэрэв ийм хавтгай байхгүй бол векторууд хоорондоо уялдаатай биш гэдгийг энд нэмэх нь логик юм.

Гурван coplanar вектор нь үргэлж шугаман хамааралтай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энгийн байхын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна гэж дахин төсөөлье. Нэгдүгээрт, векторууд нь зөвхөн копланар биш, мөн коллинеар байж болно, дараа нь дурын векторыг дурын вектороор илэрхийлж болно. Хоёрдахь тохиолдолд, жишээлбэл, векторууд нь коллинеар биш бол гурав дахь векторыг тэдгээрээр дамжуулан өвөрмөц байдлаар илэрхийлнэ. (мөн яагаад өмнөх хэсгийн материалаас таахад хялбар байдаг).

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: гурван хосгүй вектор нь үргэлж шугаман бие даасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь бие биенээ ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй. Гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг зөвхөн ийм векторууд бүрдүүлж чадах нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Гурван хэмжээст орон зайн үндэсШугаман бие даасан (компланар бус) векторуудын гурвалсан гэж нэрлэдэг, тодорхой дарааллаар авсан, мөн огторгуйн дурын вектор цорын ганц арга замөгөгдсөн үндсэн дээр задардаг бөгөөд энэ суурь дээрх векторын координатууд хаана байна

Векторыг хэлбэрээр илэрхийлсэн гэж хэлж болно гэдгийг сануулъя шугаман хослолсуурь векторууд.

Координатын системийн тухай ойлголтыг нэг цэгийн хувьд яг ижил аргаар нэвтрүүлсэн бөгөөд дурын гурван шугаман бие даасан вектор хангалттай.

гарал үүсэл, Мөн тэгш бусвекторууд, тодорхой дарааллаар авсан, тогтоосон гурван хэмжээст орон зайн аффин координатын систем :

Мэдээжийн хэрэг, координатын сүлжээ нь "ташуу" бөгөөд тохиромжгүй боловч баригдсан координатын систем нь бидэнд үүнийг зөвшөөрдөг. гарцаагүйдурын векторын координат ба огторгуйн дурын цэгийн координатыг тодорхойлох. Хавтгайтай адил миний дурдсан зарим томьёо нь орон зайн координатын аффин системд ажиллахгүй.

Хүн бүрийн таамаглаж байгаагаар аффин координатын системийн хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой онцгой тохиолдол нь юм тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем:

Орон зайн цэг гэж нэрлэдэг гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем . Танил зураг:

Практик даалгавар руу шилжихээсээ өмнө мэдээллийг дахин системчилье.

Гурван сансрын векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман бие даасан;
2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд хоорондоо уялдаатай биш;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлэх боломжгүй;
5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

Эсрэг заалтууд нь ойлгомжтой гэж бодож байна.

Сансрын векторуудын шугаман хамаарал/бие даасан байдлыг тодорхойлогч ашиглан шалгадаг (5-р цэг). Үлдсэн практик даалгаврууд нь тодорхой алгебрийн шинж чанартай байх болно. Геометрийн саваагаа өлгөж, шугаман алгебрийн бейсболын цохиурыг ашиглах цаг болжээ.

Орон зайн гурван векторӨгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л копланар байна: .

Техникийн жижиг нюансуудад анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна: векторуудын координатыг зөвхөн баганад төдийгүй мөрөнд бичиж болно (тодорхойлогчийн утга үүнээс өөрчлөгдөхгүй - тодорхойлогчдын шинж чанарыг харна уу). Гэхдээ энэ нь зарим практик асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ашигтай тул баганад илүү сайн байдаг.

Тодорхойлогчдыг тооцоолох аргуудыг бага зэрэг мартсан эсвэл тэдгээрийн талаар огт ойлгодоггүй уншигчдад зориулж би хамгийн эртний хичээлүүдийн нэгийг санал болгож байна: Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Жишээ 6

Дараах векторууд гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл: Үнэн хэрэгтээ бүх шийдэл тодорхойлогчийг тооцоолоход л ирдэг.

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё (тодорхойлогчийг эхний мөрөнд харуулав):

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй (компланар биш) бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулах: эдгээр векторууд суурь болдог

б) Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах цэг юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Мөн бүтээлч ажлууд байдаг:

Жишээ 7

Параметрийн ямар утгад векторууд хоорондоо уялдаатай байх вэ?

Шийдэл: Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд векторууд хоорондоо уялдаатай байна:

Үндсэндээ та тодорхойлогчтой тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид онгоц дээрх цаасан шувуу шиг тэг дээр унадаг - хоёр дахь мөрөнд тодорхойлогчийг нээж, тэр даруй хасах зүйлсээс салах нь дээр.

Бид илүү хялбаршуулж, асуудлыг хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл болгон бууруулна.

Хариулах: цагт

Үүнийг хийхийн тулд үүнийг шалгахад хялбар, та үр дүнгийн утгыг анхны тодорхойлогчоор орлуулах хэрэгтэй , дахин нээх.

Дүгнэж хэлэхэд, шугаман алгебрийн хичээлд уламжлал ёсоор орсон алгебрийн шинж чанартай өөр нэг ердийн бодлогыг харцгаая. Энэ нь маш түгээмэл тул өөрийн гэсэн сэдэвтэй байх ёстой:

Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь 3 вектор байдгийг батал
Үүний үндсэн дээр 4-р векторын координатыг ол

Жишээ 8

Векторууд өгөгдсөн. Гурван хэмжээст орон зайд векторууд суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл: Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье. Нөхцөлөөр дөрвөн вектор өгөгдсөн бөгөөд таны харж байгаагаар тэдгээр нь аль хэдийн ямар нэгэн үндэслэлээр координаттай байдаг. Энэ үндэслэл нь юу вэ гэдэг нь бидний сонирхлыг татахгүй байна. Дараахь зүйл сонирхолтой байна: гурван вектор нь шинэ суурь болж магадгүй юм. Эхний үе шат нь 6-р жишээний шийдэлтэй бүрэн давхцаж байгаа тул векторууд үнэхээр шугаман бие даасан эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

! Чухал : вектор координат Заавалбичих багана болгонтодорхойлогч, утсанд биш. Үгүй бол цаашдын шийдлийн алгоритмд төөрөгдөл үүсэх болно.

n хэмжээст векторуудын тухай өгүүлэлд бид n хэмжээст векторуудын олонлогоор үүсгэгдсэн шугаман орон зайн тухай ойлголттой болсон. Одоо бид вектор орон зайн хэмжээс, суурь зэрэг адил чухал ойлголтуудыг авч үзэх хэрэгтэй. Эдгээр нь векторуудын шугаман бие даасан системийн тухай ойлголттой шууд холбоотой тул энэ сэдвийн үндсийг өөртөө сануулахыг зөвлөж байна.

Зарим тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Вектор орон зайн хэмжээс– энэ орон зай дахь шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоонд тохирох тоо.

Тодорхойлолт 2

Вектор орон зайн суурь– шугаман бие даасан векторуудын багц, дараалсан ба орон зайн хэмжээстэй тэнцүү тоо.

Тодорхой n -векторын орон зайг авч үзье. Түүний хэмжээ нь n-тэй тэнцүү байна. n нэгж векторуудын системийг авч үзье.

e (1) = (1, 0, . . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, .. , 1)

Бид эдгээр векторуудыг А матрицын бүрэлдэхүүн хэсэг болгон ашигладаг: энэ нь n-ээс n хэмжээтэй нэгж байх болно. Энэ матрицын зэрэглэл нь n байна. Иймд вектор систем e (1) , e (2) , . . . , e(n) нь шугаман хамааралгүй. Энэ тохиолдолд шугаман бие даасан байдлыг зөрчихгүйгээр системд нэг вектор нэмэх боломжгүй юм.

Систем дэх векторын тоо n тул n хэмжээст векторуудын орон зайн хэмжээ n, нэгж векторууд нь e (1), e (2), . . . , e (n) нь заасан зайны суурь болно.

Үүссэн тодорхойлолтоос бид дүгнэж болно: векторын тоо n-ээс бага n хэмжээст векторын аливаа систем нь орон зайн суурь биш юм.

Хэрэв бид эхний болон хоёр дахь векторуудыг сольвол e (2) , e (1) , векторуудын систем гарч ирнэ. . . , e (n) . Энэ нь мөн n хэмжээст вектор орон зайн суурь болно. Үүссэн системийн векторуудыг эгнээ болгон авч матриц үүсгэе. Матрицыг таних матрицаас эхний хоёр мөрийг сольж авч болно, түүний зэрэглэл нь n байна. Систем e (2) , e (1) , . . . , e(n) нь шугаман хамааралгүй бөгөөд n хэмжээст вектор орон зайн суурь болно.

Анхны систем дэх бусад векторуудыг дахин зохион байгуулснаар бид өөр үндэслэлийг олж авна.

Бид нэгдмэл бус векторуудын шугаман бие даасан системийг авч болох ба энэ нь мөн n хэмжээст вектор орон зайн суурийг төлөөлөх болно.

Тодорхойлолт 3

n хэмжигдэхүүнтэй вектор орон зай нь n тооны n хэмжээст векторуудын шугаман бие даасан системтэй адил олон суурьтай байна.

Хавтгай нь хоёр хэмжээст орон зай бөгөөд түүний үндэс нь хоёр коллинеар бус вектор байх болно. Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь дурын гурван хосгүй вектор байх болно.

Энэ онолын хэрэглээг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл:векторууд

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) в = (3 , - 1 , - 2)

Заасан векторууд нь гурван хэмжээст вектор орон зайн суурь мөн эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд шугаман хамаарлын векторуудын өгөгдсөн системийг судална. Мөрүүд нь векторуудын координат болох матрицыг бүтээцгээе. Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлъё.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Тиймээс асуудлын нөхцөлөөр тодорхойлсон векторууд нь шугаман бие даасан бөгөөд тэдгээрийн тоо нь векторын орон зайн хэмжээстэй тэнцүү - тэдгээр нь векторын орон зайн суурь юм.

Хариулт:заасан векторууд нь векторын орон зайн суурь болно.

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл:векторууд

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) в = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Заасан векторын систем нь гурван хэмжээст орон зайн суурь болж чадах эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

Асуудлын илэрхийлэлд заасан векторуудын систем нь шугаман хамааралтай, учир нь шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо нь 3. Тиймээс заасан векторуудын систем нь гурван хэмжээст вектор орон зайд суурь болж чадахгүй. Гэхдээ анхны системийн дэд систем a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) нь суурь гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хариулт:заасан векторын систем нь суурь биш юм.

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл:векторууд

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) в = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Тэд дөрвөн хэмжээст орон зайн суурь болж чадах уу?

Шийдэл

Өгөгдсөн векторуудын координатыг мөр болгон ашиглан матриц үүсгэе

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Гауссын аргыг ашиглан бид матрицын зэрэглэлийг тодорхойлно.

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Үүний үр дүнд өгөгдсөн векторуудын систем нь шугаман бие даасан бөгөөд тэдгээрийн тоо нь векторын орон зайн хэмжээтэй тэнцүү байдаг - тэдгээр нь дөрвөн хэмжээст вектор орон зайн үндэс болдог.

Хариулт:өгөгдсөн векторууд нь дөрвөн хэмжээст орон зайн суурь болно.

Жишээ 4

Анхны өгөгдөл:векторууд

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Эдгээр нь 4-р хэмжээсийн орон зайн үндэс суурийг бүрдүүлдэг үү?

Шийдэл

Анхны векторуудын систем нь шугаман бие даасан боловч түүний доторх векторуудын тоо нь дөрвөн хэмжээст орон зайн суурь болоход хангалтгүй юм.

Хариулт:үгүй, тэд тэгдэггүй.

Векторыг суурь болгон задлах

Дурын векторууд e (1) , e (2) , . . . , e (n) нь n хэмжээст вектор орон зайн суурь болно. Тэдэнд тодорхой n хэмжээст вектор x → нэмье: үүссэн векторуудын систем шугаман хамааралтай болно. Шугаман хараат байдлын шинж чанарууд нь ийм системийн ядаж нэг векторыг бусдаар нь шугаман байдлаар илэрхийлж болно гэдгийг харуулж байна. Энэ мэдэгдлийг дахин томъёолсноор бид шугаман хамааралтай системийн ядаж нэг векторыг үлдсэн векторууд болгон өргөжүүлж болно гэж хэлж болно.

Тиймээс бид хамгийн чухал теоремыг томъёолоход хүрэв.

Тодорхойлолт 4

n хэмжээст вектор орон зайн дурын векторыг суурь болгон өвөрмөц байдлаар задалж болно.

Нотлох баримт 1

Энэ теоремыг баталъя:

n хэмжээст вектор орон зайн суурийг тавьцгаая - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Үүн дээр n хэмжээст x → векторыг нэмж системийг шугаман хамааралтай болгоё. Энэ векторыг анхны векторуудаар шугаман байдлаар илэрхийлж болно e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , энд x 1 , x 2 , . . . , x n - зарим тоо.

Одоо бид ийм задрал нь өвөрмөц гэдгийг баталж байна. Энэ нь тийм биш бөгөөд өөр ижил төстэй задрал байдаг гэж үзье.

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , энд x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - зарим тоо.

Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус хасъя x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Бид авах:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Суурь векторуудын систем e (1) , e (2) , . . . , e(n) нь шугаман хамааралгүй; векторуудын системийн шугаман бие даасан байдлын тодорхойлолтоор дээрх тэгш байдал нь зөвхөн бүх коэффициентүүд (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Үүнээс шударга байх болно: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Энэ нь векторыг суурь болгон задлах цорын ганц сонголтыг баталж байна.

Энэ тохиолдолд коэффициентууд x 1, x 2, . . . , x n -ийг e (1) , e (2) , суурь дахь х → векторын координат гэнэ. . . , e (n) .

Батлагдсан онол нь “өгөгдсөн n хэмжээст вектор x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)” гэсэн илэрхийллийг тодорхой харуулж байна: вектор х → n хэмжээст векторын орон зайг авч үзэж, координатыг нь a-д зааж өгсөн болно. тодорхой үндэслэл. Мөн n хэмжээст орон зайн өөр суурь дахь ижил вектор өөр өөр координаттай байх нь тодорхой байна.

Дараах жишээг авч үзье: n хэмжээст вектор орон зайн зарим суурь дээр шугаман бие даасан n векторын систем өгөгдсөн гэж бодъё.

мөн x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) вектор өгөгдсөн.

векторууд e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) энэ тохиолдолд мөн энэ вектор орон зайн суурь болно.

e 1 (1) , e 2 (2) , үндсэн дээр х → векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай гэж үзье. . . , e n (n) , гэж тэмдэглэсэн x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

вектор x → дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Энэ илэрхийллийг координат хэлбэрээр бичье.

(x 1 , x 2 , . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , e n (1) + x ~ 2 e n (2) + .

Үүссэн тэгш байдал нь x ~ 1, x ~ 2, n үл мэдэгдэх шугаман хувьсагчтай n шугаман алгебр илэрхийллийн системтэй тэнцүү байна. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Энэ системийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна.

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Үүнийг А матриц гэж үзье, түүний баганууд нь e 1 (1), e 2 (2), векторуудын шугаман бие даасан системийн векторууд байна. . . , e n (n) . Матрицын зэрэглэл нь n, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна. Энэ нь тэгшитгэлийн систем нь ямар ч тохиромжтой аргаар тодорхойлогддог өвөрмөц шийдэлтэй болохыг харуулж байна: жишээлбэл, Крамерын арга эсвэл матрицын арга. Ингэснээр бид x ~ 1, x ~ 2, координатуудыг тодорхойлж чадна. . . , x ~ n вектор x → суурь дээр e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Хэлэлцсэн онолыг тодорхой жишээн дээр ашиглая.

Жишээ 6

Анхны өгөгдөл:векторууд нь гурван хэмжээст орон зайн үндсэн дээр тодорхойлогддог

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1), e (2), e (3) векторуудын систем нь мөн өгөгдсөн орон зайн суурь болж байгааг батлах, мөн өгөгдсөн үндэслэлээр х векторын координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

e (1), e (2), e (3) векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй бол гурван хэмжээст орон зайн суурь болно. Мөр нь өгөгдсөн e (1), e (2), e (3) векторууд болох А матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох замаар энэ боломжийг олж мэдье.

Бид Гауссын аргыг ашигладаг:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Тиймээс e (1), e (2), e (3) векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болно.

Х → вектор нь суурьт x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 координаттай байг. Эдгээр координатуудын хоорондын хамаарлыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Асуудлын нөхцлийн дагуу утгуудыг хэрэглэцгээе.

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдье.

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Тиймээс e (1), e (2), e (3) суурь дахь х → вектор нь x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 координатуудтай байна.

Хариулт: x = (1 , 1 , 1)

Суурийн хоорондын хамаарал

n хэмжээст вектор орон зайн зарим суурь дээр хоёр шугаман бие даасан векторын систем өгөгдсөн гэж үзье.

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , .. , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Эдгээр системүүд нь мөн өгөгдсөн орон зайн суурь юм.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , суурь дахь в (1) векторын координатууд. . . , e (3) , тэгвэл координатын хамаарлыг шугаман тэгшитгэлийн системээр өгнө.

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + в ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Системийг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар илэрхийлж болно.

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , .. , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

c (2) векторын хувьд ижил төстэй оруулга хийцгээе.

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , .. , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Матрицын тэгшитгэлийг нэг илэрхийлэл болгон нэгтгэе.

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Энэ нь хоёр өөр суурийн векторуудын хоорондын холболтыг тодорхойлох болно.

Үүнтэй ижил зарчмыг ашиглан бүх суурь векторуудыг e(1), e(2), . . . , e (3) үндсэн дээр c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Дараахь тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт 5

Матриц c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) нь e (1) , e (2) , суурийн шилжилтийн матриц юм. . . , e (3)

суурь руу c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Тодорхойлолт 6

Матриц e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) нь c (1) , c (2) , , суурийн шилжилтийн матриц юм. . . , c(n)

суурь руу e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Эдгээр тэгш байдлаас харахад энэ нь тодорхой байна

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

тэдгээр. шилжилтийн матрицууд харилцан хамааралтай.

Тодорхой жишээн дээр онолыг авч үзье.

Жишээ 7

Анхны өгөгдөл:баазаас шилжилтийн матрицыг олох шаардлагатай

c (1) = (1 , 2 , 1) в (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Мөн өгөгдсөн үндэслэлд дурын х → векторын координатуудын хоорондын хамаарлыг зааж өгөх шаардлагатай.

Шийдэл

1. Шилжилтийн матрицыг T болговол тэгшитгэл үнэн болно.

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = Т 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлнэ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

мөн бид авах:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Шилжилтийн матрицыг тодорхойлно уу:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Х → векторын координатуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлъё.

Үндсэн дээр c (1) , c (2) , . . . , c (n) вектор x → координатууд x 1 , x 2 , x 3 , тэгвэл:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

ба үндсэн дээр e (1) , e (2) , . . . , e (3) нь x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 координаттай, тэгвэл:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Учир нь Хэрэв эдгээр тэгшитгэлийн зүүн талууд тэнцүү бол бид баруун талыг мөн адил тэнцүүлж болно.

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Баруун талын хоёр талыг үржүүлнэ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

мөн бид авах:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Нөгөө талд

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Сүүлийн тэгшитгэлүүд нь хоёр суурийн х → векторын координатуудын хоорондын хамаарлыг харуулж байна.

Хариулт:шилжилтийн матриц

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Өгөгдсөн суурийн х → векторын координатууд нь дараах хамаарлаар холбогдоно.

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу