Сансар огторгуйд тодорхой π хавтгай ба дурын M 0 цэгийг авч үзье. Онгоцыг сонгоцгооё нэгж хэвийн вектор n хамт эхлэлаль нэг цэгт M 1 ∈ π байх ба M 0 цэгээс π хавтгай хүртэлх зайг p(M 0 ,π) гэж үзье. Дараа нь (Зураг 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |нМ 1 М 0 |, (5.8)

оноос хойш |n| = 1.

Хэрэв π хавтгай өгөгдсөн бол тэгш өнцөгт координатын систем нь ерөнхий тэгшитгэлтэй Ax + By + Cz + D = 0 бол түүний хэвийн вектор нь координаттай вектор (A; B; C) бөгөөд бид сонгож болно.

M 0 ба M 1 цэгүүдийн координатууд (x 0 ; y 0 ; z 0) ба (x 1 ; y 1 ; z 1) гэж үзье. Дараа нь M 1 цэг нь хавтгайд хамаарах тул M 1 M 0 векторын координатыг олж болно: M 1 M 0 = (x 0 -) Дараа нь Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 тэгш байдал биелнэ. x 1 y 0 -y 1 z 0 -z 1 ); Бичлэг хийж байна цэгийн бүтээгдэхүүн nM 1 M 0-ийг координатын хэлбэрээр хувиргаж (5.8) бид олж авна

Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Тиймээс цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолохын тулд цэгийн координатыг дараах байдлаар орлуулах хэрэгтэй. ерөнхий тэгшитгэлхавтгай, дараа нь үр дүнгийн үнэмлэхүй утгыг хэвийн болгох хүчин зүйлд хуваана. урттай тэнцүүхаргалзах хэвийн вектор.

Энэ нийтлэлд цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлох тухай өгүүлнэ. Координатын аргад дүн шинжилгээ хийцгээе, энэ нь хол зайг олох боломжийг бидэнд олгоно өгсөн оноогурван хэмжээст орон зай. Үүнийг бататгахын тулд хэд хэдэн даалгаврын жишээг харцгаая.

Нэг цэгээс нэг цэг хүртэлх мэдэгдэж буй зайг ашиглан нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олдог бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь өгсөн, нөгөө нь өгөгдсөн хавтгай дээрх проекц юм.

Орон зайд χ хавтгайтай M 1 цэгийг зааж өгсөн бол тухайн цэгээр дамжуулан зурж болно хавтгайд перпендикуляршууд. H 1 байна нийтлэг цэгтэдгээрийн уулзварууд. Эндээс бид M 1 H 1 хэрчмийг М 1 цэгээс χ хавтгайд татсан перпендикуляр гэдгийг олж мэдсэн бөгөөд H 1 цэг нь перпендикулярын суурь юм.

Тодорхойлолт 1

Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн перпендикулярын суурь хүртэлх зайг нэрлэнэ өгсөн онгоц.

Тодорхойлолтыг янз бүрийн томъёогоор бичиж болно.

Тодорхойлолт 2

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайөгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан перпендикулярын урт.

M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно: M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх зай нь тухайн цэгээс хавтгайн аль ч цэг хүртэлх хамгийн бага нь байх болно. Хэрэв H 2 цэг нь χ хавтгайд байрладаг бөгөөд H 2 цэгтэй тэнцүү биш бол бид M 2 H 1 H 2 хэлбэрийн тэгш өнцөгт гурвалжинг авна. , тэгш өнцөгт хэлбэртэй, тэнд M 2 H 1, M 2 H 2 хөл байна - гипотенуз. Энэ нь M 1 H 1 гэсэн үг юм< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 М 1 цэгээс χ хавтгай руу татсан налуу гэж үзнэ. Өгөгдсөн цэгээс хавтгайд татсан перпендикуляр нь тухайн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан налуугаас бага байна. Энэ тохиолдлыг доорх зургаар харцгаая.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай - онол, жишээ, шийдэл

Хэд хэдэн геометрийн асуудлууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайг агуулсан байх ёстой. Үүнийг тодорхойлох янз бүрийн арга байж болно. Шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын теорем буюу гурвалжны ижил төстэй байдлыг ашиглана уу. Нөхцөлийн дагуу гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох шаардлагатай бол координатын аргаар шийднэ. Энэ догол мөрөнд энэ аргыг авч үзэх болно.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид χ хавтгайтай M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай гурван хэмжээст орон зайд M 1 хүртэлх зайг тодорхойлох шаардлагатай байна онгоц χ. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд хэд хэдэн шийдлийн аргыг ашигладаг.

Эхний арга

Энэ арга нь M 1 цэгээс χ хавтгай хүртэлх перпендикулярын суурь болох H 1 цэгийн координатыг ашиглан цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олоход суурилдаг. Дараа нь та M 1 ба H 1 хоорондох зайг тооцоолох хэрэгтэй.

Асуудлыг хоёр дахь аргаар шийдэхийн тулд ашиглана уу хэвийн тэгшитгэлөгсөн онгоц.

Хоёрдахь арга

Нөхцөлөөр бид H 1 нь M 1 цэгээс χ хавтгайд буулгасан перпендикулярын суурь юм. Дараа нь бид H 1 цэгийн координатыг (x 2, y 2, z 2) тодорхойлно. M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 томъёогоор олно, энд M 1 байна. (x 1, y 1, z 1) ба H 1 (x 2, y 2, z 2). Шийдэхийн тулд та H 1 цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.

Бид H 1 нь χ хавтгайд перпендикуляр байрлах M 1 цэгийг дайран өнгөрөх χ хавтгайн a шулуунтай огтлолцох цэг юм. Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэх шаардлагатай байна. Үүний дараа бид H 1 цэгийн координатыг тодорхойлох боломжтой болно. Шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.

M 1 (x 1, y 1, z 1) координаттай цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг олох алгоритм:

Тодорхойлолт 3

• M 1 цэгийг нэгэн зэрэг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг зур
• χ хавтгайд перпендикуляр;
• цэг болох H 1 цэгийн координатыг (x 2 , y 2 , z 2) олж тооцоол.
• a шулуун шугамын χ хавтгайтай огтлолцох ;
• M 1-ээс χ хүртэлх зайг M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 томъёогоор тооцоол.

Гурав дахь зам

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд O x y z хавтгай χ байгаа бол cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг олж авна. Эндээс M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos томъёогоор тооцоолсон χ хавтгайд татсан M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгтэй M 1 H 1 зайг олж авна. γ z - p . Энэ томьёо нь теоремын ачаар тогтоогдсон тул хүчинтэй.

Теорем

Хэрэв M 1 (x 1 , y 1 , z 1) цэг өгөгдсөн бол гурван хэмжээст орон зай, cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 хэлбэрийн χ хавтгайн хэвийн тэгшитгэлтэй бол цэгээс M 1 H 1 хавтгай хүртэлх зайг M томъёогоор тооцоолно. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, учир нь x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Баталгаа

Теоремын баталгаа нь цэгээс шулуун хүртэлх зайг олоход ирдэг. Эндээс бид M 1-ээс χ хавтгай хүртэлх зай нь M 1 радиус векторын эхээс χ хавтгай хүртэлх зайтай тоон проекцын хоорондох зөрүүний модуль гэдгийг олж авна. Дараа нь бид M 1 H 1 = n p n → O M → - p илэрхийллийг авна. χ хавтгайн хэвийн вектор нь n → = cos α, cos β, cos γ хэлбэртэй бөгөөд урт нь нэгтэй тэнцүү, n p n → O M → нь O M → = (x 1, y 1) векторын тоон проекц юм. , z 1) n → вектороор тодорхойлогдох чиглэлд.

Тооцооллын томъёог хэрэглэцгээе скаляр векторууд. Дараа нь n → = cos α , cos β , cos γ байх тул n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → хэлбэртэй векторыг олох илэрхийллийг олж авна. · z ба O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Бичлэгийн координатын хэлбэр нь n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, дараа нь M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · хэлбэртэй байна. x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теорем нь батлагдсан.

Эндээс бид M 1 (x 1, y 1, z 1) цэгээс χ хавтгай хүртэлх зайг cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0-д орлуулах замаар тооцоолно. Хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийн зүүн талд x, y, z координатуудын оронд x 1, y 1 ба z 1, M 1 цэгтэй холбоотой, олж авсан утгын үнэмлэхүй утгыг авна.

Координаттай цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг олох жишээг авч үзье.

Жишээ 1

М 1 (5, - 3, 10) координаттай цэгээс 2 x - y + 5 z - 3 = 0 хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.

Шийдэл

Асуудлыг хоёр аргаар шийдье.

Эхний арга нь a шугамын чиглэлийн векторыг тооцоолохоос эхэлнэ. Нөхцөлөөр бид өгөгдсөн тэгшитгэл 2 x - y + 5 z - 3 = 0 нь хавтгайн тэгшитгэл юм. ерөнхий үзэл, ба n → = (2, - 1, 5) нь өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор юм. Үүнийг өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр a шулуун шугамын чиглэлийн вектор болгон ашигладаг. Бичсэн байх ёстой каноник тэгшитгэл 2, - 1, 5 координаттай чиглэлийн вектор бүхий M 1 (5, - 3, 10) -аар дамжин өнгөрөх огторгуйн шулуун шугам.

Тэгшитгэл нь x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 болно.

Уулзалтын цэгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлүүдийг систем болгон зөөлөн нэгтгэж, каноникаас огтлолцсон хоёр шугамын тэгшитгэл рүү шилжинэ. Энэ цэг H 1-ийг авч үзье. Бид үүнийг ойлгодог

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( у + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Үүний дараа та системийг идэвхжүүлэх хэрэгтэй

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Гауссын системийн шийдлийн дүрэмд хандъя.

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Бид H 1 (1, - 1, 0) -ийг авдаг.

Өгөгдсөн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг бид тооцоолно. Бид M 1 (5, - 3, 10) ба H 1 (1, - 1, 0) оноог авч, авна.

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Хоёр дахь шийдэл нь эхлээд өгөгдсөн 2 x - y + 5 z - 3 = 0 тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Бид хэвийн болгох хүчин зүйлийг тодорхойлж, 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 авна. Эндээс 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 хавтгайн тэгшитгэлийг гаргана. Тэгшитгэлийн зүүн талыг x = 5, y = - 3, z = 10 гэж орлуулах замаар тооцоолох ба M 1 (5, - 3, 10) -аас 2 x - y + 5 z - хүртэлх зайг авах шаардлагатай. 3 = 0 модуль. Бид илэрхийлэлийг авдаг:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Хариулт: 230.

χ хавтгайг хавтгайг тодорхойлох аргуудын хэсэгт байгаа аргуудын аль нэгээр зааж өгсөн бол эхлээд та χ хавтгайн тэгшитгэлийг олж, шаардлагатай зайг дурын аргыг ашиглан тооцоолох хэрэгтэй.

Жишээ 2

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) координаттай цэгүүдийг зааж өгсөн болно. M 1-ээс A B C хавтгай хүртэлх зайг тооцоол.

Шийдэл

Эхлээд та M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () координат бүхий гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Үүнээс үзэхэд асуудал өмнөхтэй төстэй шийдэлтэй байна. Энэ нь M 1 цэгээс A B C хавтгай хүртэлх зай нь 2 30 утгатай байна гэсэн үг юм.

Хариулт: 230.

Хавтгай дээрх өгөгдсөн цэгээс эсвэл тэдгээрийн зэрэгцээ байгаа хавтгай хүртэлх зайг олоход M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p томъёог ашиглан илүү тохиромжтой. . Эндээс бид хавтгайнуудын хэвийн тэгшитгэлийг хэд хэдэн алхамаар олж авдаг.

Жишээ 3

М 1 (- 3 , 2 , - 7) координаттай өгөгдсөн цэгээс хүртэлх зайг ол. координатын хавтгайОйролцоогоор x y z ба 2 y - 5 = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон хавтгай.

Шийдэл

O y z координатын хавтгай нь x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тохирч байна. O y z онгоцны хувьд энэ нь хэвийн. Тиймээс илэрхийллийн зүүн талд x = - 3 утгыг орлуулж, M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс хавтгай хүртэлх зайны үнэмлэхүй утгыг авах шаардлагатай. Бид - 3 = 3-тай тэнцүү утгыг авна.

Хувиргасны дараа 2 y - 5 = 0 хавтгайн хэвийн тэгшитгэл нь y - 5 2 = 0 хэлбэртэй болно. Дараа нь та M 1 (- 3, 2, - 7) координаттай цэгээс 2 у - 5 = 0 хавтгай хүртэлх шаардлагатай зайг олж болно. Орлуулж, тооцоолсноор бид 2 - 5 2 = 5 2 - 2 болно.

Хариулт: M 1 (- 3, 2, - 7) -аас O y z хүртэлх шаардлагатай зай нь 3 утгатай, 2 y - 5 = 0 хүртэл 5 2 - 2 утгатай байна.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

МАТЕМАТИКИЙН УЛСЫН НЭГДСЭН ШАЛГАЛТЫН АСУУДЛУУД С2 Цэгээс Онгоц хүртэлх зайг ОЛОХ.

Куликова Анастасия Юрьевна

Математикийн тэнхимийн 5-р курсын оюутан. анализ, алгебр, геометр ОУ-ын КФУ, ОХУ, Бүгд Найрамдах Татарстан Улс, Элабуга

Ганеева Айгуль Рифовна

эрдэм шинжилгээний удирдагч, Ph.D. ped. Шинжлэх ухаан, дэд профессор Е.И.КФУ, ОХУ, Бүгд Найрамдах Татарстан Улс, Елабуга

IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаваронд математикийн чиглэлээр сүүлийн жилүүдэдцэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох асуудал гарч ирнэ. Энэ нийтлэлд бид нэг асуудлын жишээг ашиглан авч үзэх болно янз бүрийн аргацэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох. Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн тохиромжтой аргыг ашиглаж болно. Нэг аргыг ашиглан асуудлыг шийдсэний дараа та өөр аргыг ашиглан үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгаж болно.

Тодорхойлолт.Энэ цэгийг агуулаагүй цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь энэ цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэл татсан перпендикуляр сегментийн урт юм.

Даалгавар.Дан куб хэлбэртэй АБХАМТД.А. 1 Б 1 C 1 Д 1 талтай AB=2, МЭӨ=4, А.А. 1 =6. Цэгээс зайг ол Донгоц руу АСД 1 .

1 арга зам. Ашиглаж байна тодорхойлолт. зайг ол r( Д, АСД 1) цэгээс Донгоц руу АСД 1 (Зураг 1).

Зураг 1. Эхний арга

Гүйцэе Д.Х.⊥АС, тиймээс гурван перпендикулярын теоремоор Д 1 Х⊥АСТэгээд (ДД 1 Х)⊥АС. Гүйцэе шууд Д.Т.перпендикуляр Д 1 Х. Шулуун Д.Т.онгоцонд хэвтэж байна ДД 1 Х, тиймээс Д.Т.⊥А.С.. Тиймээс, Д.Т.⊥АСД 1.

АDCгипотенузыг олъё АСба өндөр Д.Х.

Тэгш өнцөгт гурвалжнаас Д 1 Д.Х. гипотенузыг олъё Д 1 Хба өндөр Д.Т.

Хариулт: .

Арга 2.Эзлэхүүний арга (туслах пирамид ашиглах). Энэ төрлийн асуудлыг пирамидын өндрийг тооцоолох асуудал болгон бууруулж болох бөгөөд энэ нь пирамидын өндөр нь цэгээс хавтгай хүртэлх шаардлагатай зай юм. Энэ өндөр нь шаардлагатай зай гэдгийг батлах; Энэ пирамидын эзэлхүүнийг хоёр аргаар олоод энэ өндрийг илэрхийл.

Энэ аргын тусламжтайгаар өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байгуулах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.

Кубоид бол бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй параллелепипед юм.

AB=CD=2, МЭӨ=МЭ=4, А.А. 1 =6.

Шаардлагатай зай нь өндөр байх болно hпирамидууд ACD 1 Д, дээрээс доошлуулсан Дсуурь дээр ACD 1 (Зураг 2).

Пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолъё ACD 1 Дхоёр аргаар.

Тооцоолохдоо эхний аргаар бид ∆-г суурь болгон авдаг ACD 1 тэгвэл

Хоёрдахь аргаар тооцоолохдоо бид ∆-г суурь болгон авна ACD, Дараа нь

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийн баруун талыг тэнцүүлээд олж авцгаая

Зураг 2. Хоёр дахь арга

-аас зөв гурвалжин АСД, НЭМЭХ 1 , CDD 1 Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг ол

ACD

Гурвалжны талбайг тооцоол АСД 1 Хероны томъёог ашиглан

Хариулт: .

3 арга зам. Координатын арга.

Нэг оноо өгье М(x 0 ,y 0 ,z 0) ба онгоц α , тэгшитгэлээр өгөгдсөн сүх+by+cz+г=0 тэгш өнцөгт Декарт системкоординатууд Цэгээс хол зай Мα хавтгайд дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3). Нэг цэг дээрх координатын гарал үүсэл IN;

Шулуун AB- тэнхлэг X, шулуун Нар- тэнхлэг y, шулуун Б.Б 1 - тэнхлэг z.

Зураг 3. Гурав дахь арга

Б(0,0,0), А(2,0,0), ХАМТ(0,4,0), Д(2,4,0), Д 1 (2,4,6).

Болъё аx+by+ cz+ г=0 – хавтгай тэгшитгэл ACD 1. Үүнд цэгүүдийн координатыг орлуулах А, C, Д 1 бид дараахь зүйлийг авна.

Хавтгай тэгшитгэл ACD 1 маягтыг авна

Хариулт: .

4 зам. Вектор арга.

Үндэслэлийг танилцуулъя (Зураг 4) , .

Зураг 4. Дөрөв дэх арга

, "Хичээлд зориулсан танилцуулга" уралдаан

Анги: 11

Хичээлд зориулсан танилцуулга

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.

Зорилго:

• оюутнуудын мэдлэг, чадварыг нэгтгэх, системчлэх;
• дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:

• мультимедиа проектор;
• компьютер;
• асуудлын текст бүхий хуудас

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ

I. Зохион байгуулалтын мөч

II. Мэдлэгийг шинэчлэх үе шат(слайд 2)

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг хэрхэн тодорхойлохыг бид давтана

III. Лекц(слайд 3-15)

Хичээл дээр бид үзэх болно янз бүрийн арга замуудцэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох.

Эхний арга: алхам алхмаар тооцоолох

М цэгээс α хавтгай хүртэлх зай:
– M цэгийг дайран өнгөрөх, α хавтгайтай параллель орших a шулуун дээр байрлах дурын P цэгээс α хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү;
– β хавтгай дээр байрлах дурын P цэгээс α хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү бөгөөд энэ нь М цэгийг дайран өнгөрч, α хавтгайтай параллель байна.

Бид дараах асуудлуудыг шийдвэрлэх болно.

№1. A...D 1 шоо д C 1 цэгээс AB 1 C хавтгай хүртэлх зайг ол.

O 1 N сегментийн уртын утгыг тооцоолоход хэвээр байна.

№2. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн зургаан өнцөгт A...F 1 призмд А цэгээс DEA 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

Дараагийн арга: эзлэхүүний арга.

Хэрэв ABCM пирамидын эзэлхүүн V-тэй тэнцүү бол М цэгээс ∆ABC агуулсан α хавтгай хүртэлх зайг ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = томъёогоор тооцоолно.
Асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид хоёр өөр аргаар илэрхийлсэн нэг дүрсийн эзлэхүүний тэгш байдлыг ашигладаг.

Дараах асуудлыг шийдье.

№3. DABC пирамидын AD ирмэг нь ABC суурийн хавтгайд перпендикуляр байна. Хэрэв AB, AC, AD ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх А цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Асуудлыг шийдвэрлэх үед координатын аргаМ цэгээс α хавтгай хүртэлх зайг ρ(M; α) = томъёогоор тооцоолж болно , энд M(x 0; y 0; z 0), хавтгай нь ax + by + cz + d = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

Дараах асуудлыг шийдье.

№4. Нэгж шоо A...D 1-д А 1 цэгээс BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

А цэг дээрх эх үүсвэртэй координатын системийг нэвтрүүлье, у тэнхлэг нь AB ирмэгийн дагуу, x тэнхлэг нь AD ирмэгийн дагуу, z тэнхлэг нь АА 1 ирмэгийн дагуу явагдана. Дараа нь B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) цэгүүдийн координатууд.
B, D, C 1 цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл байгуулъя.

Дараа нь – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Иймд ρ =

Энэ төрлийн асуудлыг шийдэхийн тулд дараахь аргыг ашиглаж болно дэмжих асуудлын арга.

Өргөдөл энэ аргань теорем хэлбэрээр томьёологдсон мэдэгдэж буй лавлагаа бодлогуудыг хэрэглэхээс бүрддэг.

Дараах асуудлыг шийдье.

№5. A...D 1 нэгж шоо д D 1 цэгээс AB 1 C хавтгай хүртэлх зайг ол.

Өргөдлийг авч үзье вектор арга.

№6. Нэгж шоо A...D 1-д А 1 цэгээс BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

Тиймээс бид энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох янз бүрийн аргуудыг авч үзсэн. Нэг эсвэл өөр аргыг сонгох нь тодорхой даалгавар, таны сонголтоос хамаарна.

IV. Бүлгийн ажил

Асуудлыг янз бүрийн аргаар шийдэж үзээрэй.

№1. A...D 1 кубын ирмэг нь тэнцүү байна. С оройноос BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

№2. Ирмэгтэй энгийн ABCD тетраэдрон дээр А цэгээс BDC хавтгай хүртэлх зайг ол.

№3. Энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмийн бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү бол А-аас BCA 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

№4. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн SABCD дөрвөн өнцөгт пирамид А-аас SCD хавтгай хүртэлх зайг ол.

V. Хичээлийн хураангуй, гэрийн даалгавар, тусгал

, "Хичээлд зориулсан танилцуулга" уралдаан

Анги: 11

Хичээлд зориулсан танилцуулга

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.

Зорилго:

• оюутнуудын мэдлэг, чадварыг нэгтгэх, системчлэх;
• дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:

• мультимедиа проектор;
• компьютер;
• асуудлын текст бүхий хуудас

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ

I. Зохион байгуулалтын мөч

II. Мэдлэгийг шинэчлэх үе шат(слайд 2)

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг хэрхэн тодорхойлохыг бид давтана

III. Лекц(слайд 3-15)

Энэ хичээлээр бид цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох янз бүрийн аргуудыг авч үзэх болно.

Эхний арга: алхам алхмаар тооцоолох

М цэгээс α хавтгай хүртэлх зай:
– M цэгийг дайран өнгөрөх, α хавтгайтай параллель орших a шулуун дээр байрлах дурын P цэгээс α хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү;
– β хавтгай дээр байрлах дурын P цэгээс α хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү бөгөөд энэ нь М цэгийг дайран өнгөрч, α хавтгайтай параллель байна.

Бид дараах асуудлуудыг шийдвэрлэх болно.

№1. A...D 1 шоо д C 1 цэгээс AB 1 C хавтгай хүртэлх зайг ол.

O 1 N сегментийн уртын утгыг тооцоолоход хэвээр байна.

№2. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн зургаан өнцөгт A...F 1 призмд А цэгээс DEA 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

Дараагийн арга: эзлэхүүний арга.

Хэрэв ABCM пирамидын эзэлхүүн V-тэй тэнцүү бол М цэгээс ∆ABC агуулсан α хавтгай хүртэлх зайг ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = томъёогоор тооцоолно.
Асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид хоёр өөр аргаар илэрхийлсэн нэг дүрсийн эзлэхүүний тэгш байдлыг ашигладаг.

Дараах асуудлыг шийдье.

№3. DABC пирамидын AD ирмэг нь ABC суурийн хавтгайд перпендикуляр байна. Хэрэв AB, AC, AD ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх А цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Асуудлыг шийдвэрлэх үед координатын аргаМ цэгээс α хавтгай хүртэлх зайг ρ(M; α) = томъёогоор тооцоолж болно , энд M(x 0; y 0; z 0), хавтгай нь ax + by + cz + d = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн.

Дараах асуудлыг шийдье.

№4. Нэгж шоо A...D 1-д А 1 цэгээс BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

А цэг дээрх эх үүсвэртэй координатын системийг нэвтрүүлье, у тэнхлэг нь AB ирмэгийн дагуу, x тэнхлэг нь AD ирмэгийн дагуу, z тэнхлэг нь АА 1 ирмэгийн дагуу явагдана. Дараа нь B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) цэгүүдийн координатууд.
B, D, C 1 цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл байгуулъя.

Дараа нь – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Иймд ρ =

Энэ төрлийн асуудлыг шийдэхийн тулд дараахь аргыг ашиглаж болно дэмжих асуудлын арга.

Энэ аргын хэрэглээ нь теорем хэлбэрээр томъёолсон мэдэгдэж буй лавлагаа бодлогуудыг ашиглахад оршино.

Дараах асуудлыг шийдье.

№5. A...D 1 нэгж шоо д D 1 цэгээс AB 1 C хавтгай хүртэлх зайг ол.

Өргөдлийг авч үзье вектор арга.

№6. Нэгж шоо A...D 1-д А 1 цэгээс BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

Тиймээс бид энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох янз бүрийн аргуудыг авч үзсэн. Нэг эсвэл өөр аргыг сонгох нь тодорхой даалгавар, таны сонголтоос хамаарна.

IV. Бүлгийн ажил

Асуудлыг янз бүрийн аргаар шийдэж үзээрэй.

№1. A...D 1 кубын ирмэг нь тэнцүү байна. С оройноос BDC 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

№2. Ирмэгтэй энгийн ABCD тетраэдрон дээр А цэгээс BDC хавтгай хүртэлх зайг ол.

№3. Энгийн гурвалжин ABCA 1 B 1 C 1 призмийн бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү бол А-аас BCA 1 хавтгай хүртэлх зайг ол.

№4. Бүх ирмэг нь 1-тэй тэнцүү энгийн SABCD дөрвөн өнцөгт пирамид А-аас SCD хавтгай хүртэлх зайг ол.

V. Хичээлийн хураангуй, гэрийн даалгавар, эргэцүүлэл