Хичээлийн зорилго:

Ерөнхий боловсрол:

• баталгаажуулах онолын мэдлэгоюутнууд (өмч зөв гурвалжин, Пифагорын теорем), асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг ашиглах чадвар;
• бий болгох асуудалтай нөхцөл байдал, оюутнуудыг урвуу Пифагорын теоремыг "нээлтэд" хөтөл.

хөгжиж буй:

• онолын мэдлэгийг практикт ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
• ажиглалтын явцад дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх;
• санах ой, анхаарал, ажиглалтыг хөгжүүлэх:
• нээлтээс сэтгэл ханамж авах, математикийн үзэл баримтлалын хөгжлийн түүхийн элементүүдийг нэвтрүүлэх замаар суралцах сэдлийг хөгжүүлэх.

боловсролын:

• Пифагорын амьдралыг судлах замаар энэ сэдвээр байнгын сонирхлыг бий болгох;
• харилцан туслалцаа үзүүлэх боловсрол, харилцан шалгалтаар ангийнхны мэдлэгийг бодитой үнэлэх.

Хичээлийн хэлбэр: танхим-хичээл.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

• Зохион байгуулах цаг.
• Гэрийн даалгавар шалгах. Мэдлэгийн шинэчлэл.
• Шийдэл практик даалгаварПифагорын теоремыг ашиглан.
• Шинэ сэдэв.
• Мэдлэгийг анхдагч нэгтгэх.
• Гэрийн даалгавар.
• Хичээлийн хураангуй.
• Бие даасан ажил(Пифагорын афоризмуудыг тааварласан бие даасан картуудын дагуу).

Хичээлийн үеэр.

Зохион байгуулах цаг.

Гэрийн даалгавар шалгах. Мэдлэгийн шинэчлэл.

Багш:Та гэртээ ямар даалгавар хийсэн бэ?

Оюутнууд:Тэгш өнцөгт гурвалжны өгөгдсөн хоёр талын дагуу гурав дахь талыг олж, хариултыг хүснэгт хэлбэрээр бөглөнө үү. Ромб ба тэгш өнцөгтийн шинж чанарыг давт. Нөхцөл гэж нэрлэгддэг зүйлийг давтаж, теоремын дүгнэлт юу вэ. Пифагорын амьдрал, ажлын талаар мессеж бэлтгэ. 12 зангилаа уясан олс авчир.

Багш:Хүснэгтийг ашиглан гэрийн даалгаврынхаа хариултыг шалгана уу

(өгөгдлийг хараар тодруулсан, хариултыг улаанаар тэмдэглэсэн).

Багш: Мэдэгдэл нь самбар дээр бичигдсэн байдаг. Хэрэв та тэдэнтэй санал нийлж байгаа бол цаасан дээр харгалзах асуултын дугаарын өмнө "+", санал нийлэхгүй байгаа бол "-" гэж тэмдэглээрэй.

Тайлбарыг хугацаанаас нь өмнө самбар дээр бичдэг.

1. Гипотенуз нь хөлөөс том байна.
2. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 байна.
3. Хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжны талбай аболон vтомъёогоор тооцоолно S = ab / 2.
4. Пифагорын теорем нь бүх тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд үнэн юм.
5. Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30 0 өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна.
6. Хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байна.
7. Хөлийн квадрат нь гипотенуз ба хоёр дахь хөлийн квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.
8. Гурвалжны тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Ажлыг харилцан шалгах замаар шалгадаг. Хэлэлцэж байгаа асуудал маргаантай байгаа.

Онолын асуултуудын түлхүүр.

Оюутнууд бие биедээ дараах системийн дагуу үнэлгээ өгдөг.

8 зөв хариулт "5";
6-7 зөв хариулт "4";
4-5 зөв хариулт "3";
4-өөс бага зөв хариулт "2".

Багш:Өнгөрсөн хичээл дээр бид юу ярьсан бэ?

Оюутан:Пифагор ба түүний теоремын тухай.

Багш:Пифагорын теоремыг томъёол. (Хэд хэдэн оюутнууд томъёоллыг уншдаг, энэ үед 2-3 сурагч самбар дээр, 6 сурагч эхний ширээн дээр цаасан дээр нотолж байна).

Математикийн томъёог соронзон самбар дээр картон дээр бичсэн байдаг. Пифагорын теоремын утгыг тусгасан хүмүүсийг сонгоно уу, хаана а болон v - хөл, хамт - гипотенуз.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = c 2 - 2-д
4) 2 = a 2 - 2-т	5) c 2 = c 2 - a 2	6) a 2 = c 2 + b 2

Самбар болон талбай дээр теоремыг нотлох оюутнууд бэлэн болоогүй бол Пифагорын амьдрал, ажлын талаар мэдээ бэлтгэсэн хүмүүст үг хэлнэ.

Талбайд байгаа сургуулийн хүүхдүүд цаасаа гардуулж, самбар дээр ажиллаж байсан хүмүүсийн мэдүүлгийг сонсдог.

Пифагорын теоремыг ашиглан практик асуудлыг шийдвэрлэх.

Багш:Би танд судалж буй теоремыг хэрэглэх практик бодлогуудыг санал болгож байна. Бид эхлээд ойд, шуурганы дараа, дараа нь хотын захын бүсэд очно.

Асуудал 1... Шуурганы дараа гацуур хагарчээ. Үлдсэн хэсгийн өндөр нь 4,2 м.Суураас унасан титэм хүртэлх зай нь 5,6 м.Шуурганы өмнөх гацуурын өндрийг ол.

Даалгавар 2... Байшингийн өндөр 4.4 м Байшингийн эргэн тойрон дахь зүлэгжүүлэлтийн өргөн 1.4 м

Шинэ сэдэв.

Багш:(хөгжмийн дуу чимээ)Нүдээ ань, бид хэдхэн минутын турш түүхэнд орох болно. Бид тантай хамт байна Эртний Египт... Энд, усан онгоцны үйлдвэрүүдэд египетчүүд алдартай хөлөг онгоцоо бүтээдэг. Гэхдээ газрын маркшейдерүүд Нил мөрний үерийн дараа хил хязгаар нь урсан алга болсон газрыг хэмждэг. Барилгачид гайхамшигтай пирамидуудыг барьдаг бөгөөд энэ нь биднийг сүр жавхлангаараа гайхшруулдаг. Эдгээр бүх үйл ажиллагаанд египетчүүд зөв өнцгийг ашиглах шаардлагатай байв. Тэд бие биенээсээ ижил зайд уясан 12 зангилаа олсоор хэрхэн яаж барихаа мэддэг байв. Эртний египетчүүд шиг бодож үзээд олсоороо тэгш өнцөгт гурвалжинг бүтээ. (Энэ асуудлыг шийдэж, залуус 4 хүний ​​бүлгүүдэд хуваагдан ажилладаг. Хэсэг хугацааны дараа самбарын ойролцоох таблет дээр хэн нэгэн гурвалжин бүтээж байгааг харуулж байна).

Үүссэн гурвалжны талууд нь 3, 4, 5 байна. Хэрэв эдгээр зангилааны хооронд дахин нэг зангилаа уявал талууд нь 6, 8, 10 болно. Хэрэв тус бүр нь хоёр байвал - 9, 12, 15. Эдгээр гурвалжингууд нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. .

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 гэх мэт.

Гурвалжин тэгш өнцөгт байхын тулд ямар шинж чанартай байх ёстой вэ? (Оюутнууд Пифагорын урвуу теоремыг өөрсдөө томъёолохыг хичээдэг, эцэст нь хэн нэгэн амжилтанд хүрсэн).

Энэ теорем нь Пифагорын теоремоос юугаараа ялгаатай вэ?

Оюутан:Нөхцөл байдал, дүгнэлт нь эсрэгээрээ байна.

Багш:Гэртээ та эдгээр теоремуудыг юу гэж нэрлэдэгийг давтан хэлсэн. Тэгэхээр бид одоо юутай уулзсан бэ?

Оюутан: Пифагорын урвуу теоремоор.

Багш: Хичээлийн сэдвийг дэвтэрт бичье. 127-р хуудасны сурах бичгүүдийг нээж, энэ мэдэгдлийг дахин уншиж, дэвтэртээ тэмдэглэж, нотлох баримтыг шалгаарай.

(Сурах бичигтэй бие даан ажилласны дараа хэдэн минутын дараа самбар дээр нэг хүн теоремийн нотолгоог өгдөг).

1. 3, 4, 5 талтай гурвалжинг юу гэж нэрлэдэг вэ? Яагаад?
2. Ямар гурвалжныг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэдэг вэ?
3. Та гэрийн даалгавар дээрээ ямар гурвалжингаар ажилласан бэ? Мөн нарс мод, шаттай холбоотой асуудал гардаг уу?

Мэдлэгийг анхдагч нэгтгэх

.

Энэ теорем нь гурвалжин тэгш өнцөгт байгаа эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Даалгаварууд:

1) Гурвалжингийн талууд тэнцүү бол тэгш өнцөгт эсэхийг олж мэд.

a) 12.37 ба 35; б) 21, 29, 24.

2) 6, 8, 10 см талуудтай гурвалжны өндрийг тооцоол.

Гэрийн даалгавар

.

Хуудас 127: Пифагорын эсрэг теорем. No 498 (a, b, c) No 497.

Хичээлийн хураангуй.

Хичээл дээр та ямар шинэ зүйл сурсан бэ?

Египетэд Пифагорын урвуу теоремыг хэрхэн ашигласан бэ?

Энэ нь ямар даалгаварт ашиглагддаг вэ?

Та ямар гурвалжинтай уулзсан бэ?

Та юуг хамгийн их санаж, юунд дуртай вэ?

Бие даасан ажил (бие даасан картууд дээр хийгддэг).

Багш:Гэртээ та алмаз, тэгш өнцөгтийн шинж чанарыг давтсан. Тэднийг жагсаа (Анги ярьж байна). Сүүлийн хичээл дээр бид Пифагор бол олон талт хүн байсан тухай ярьсан. Тэрээр анагаах ухаан, хөгжим, одон орон судлалд суралцаж, мөн тамирчин байсан бөгөөд Олимпийн наадамд оролцож байжээ. Пифагор бас философич байсан. Түүний олон афоризмууд өнөөдөр бидэнд хамааралтай хэвээр байна. Одоо та бие даасан ажил хийх болно. Даалгавар бүрийн хувьд хэд хэдэн хариултын сонголтыг өгсөн бөгөөд үүний хажууд Пифагорын афоризмын хэсгүүдийг бичсэн болно. Таны даалгавар бол бүх даалгаврыг шийдэж, хүлээн авсан хэсгүүдээс мэдэгдэл гаргаж, бичих явдал юм.

Пифагорын теоремЭнэ бол Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг бөгөөд хамаарлыг тогтоодог

тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хооронд.

Үүнийг Грекийн математикч Пифагор нотолж, түүний нэрээр нэрлэсэн гэж үздэг.

Пифагорын теоремын геометрийн томъёолол.

Эхлээд теоремыг дараах байдлаар томъёолсон.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан талбайн талбай нь квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

хөл дээр баригдсан.

Пифагорын теоремын алгебрийн томъёолол.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, гурвалжны гипотенузын уртыг тэмдэглэнэ в, мөн дамжин хөлний урт аболон б:

Хоёр найрлага Пифагорын теоремуудтэнцүү байна, гэхдээ хоёр дахь томъёолол нь илүү энгийн, тийм биш юм

талбай гэсэн ойлголтыг шаарддаг. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь мэдэгдлийг тухайн газар нутгийн талаар юу ч мэдэхгүй байж шалгаж болно

тэгш өнцөгт гурвалжны зөвхөн талуудын уртыг хэмжих замаар.

Пифагорын эсрэг теорем.

Гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол

тэгш өнцөгт гурвалжин.

Эсвэл өөрөөр хэлбэл:

Гурав тутамд эерэг тоонууд а, бболон втиймэрхүү

хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бий аболон бба гипотенуз в.

Хоёр талт гурвалжны Пифагорын теорем.

Тэгш талт гурвалжны Пифагорын теорем.

Пифагорын теоремын баталгаа.

Одоогийн байдлаар энэ теоремын 367 нотолгоо шинжлэх ухааны ном зохиолд бүртгэгдсэн байна. Магадгүй теорем

Пифагор бол ийм гайхалтай тооны нотолгоотой цорын ганц теорем юм. Ийм олон янз байдал

геометрийн теоремын үндсэн утгаар л тайлбарлаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, үзэл баримтлалын хувьд бүгдийг нь цөөн тооны ангиудад хувааж болно. Тэдний хамгийн алдартай нь:

нотлох баримт талбайн арга, аксиоматикболон чамин нотолгоо(Жишээлбэл,

ашиглах замаар дифференциал тэгшитгэл).

1. Пифагорын теоремыг ижил төстэй гурвалжингаар нотлох.

Алгебрийн томъёоллын дараах нотолгоо нь барьж буй нотлох баримтуудаас хамгийн энгийн нь юм

аксиомуудаас шууд. Ялангуяа дүрсийн талбайн тухай ойлголтыг ашигладаггүй.

Байцгаая ABCтэгш өнцөгт гурвалжин бий C... Эндээс өндрийг зуръя Cболон тэмдэглэнэ

дамжуулан түүний суурь Х.

Гурвалжин ACHгурвалжин шиг AB C хоёр буланд. Үүний нэгэн адил гурвалжин CBHтөстэй юм ABC.

Тэмдэглэгээг танилцуулж байна:

бид авах:

,

-тай тохирч байна

Нэмэх замаар а 2 ба б 2, бид авна:

эсвэл шаардлагатай бол.

2. Пифагорын теоремыг талбайн аргаар батлах.

Доорх нотлох баримтууд нь хэдийгээр илэрхий энгийн боловч тийм ч энгийн биш юм. Тэд бүгд

талбайн шинж чанарыг ашиглах, түүний нотлох баримт нь Пифагорын теоремыг нотлохоос илүү хэцүү байдаг.

• Тэнцүү нөхөх замаар нотлох.

Дөрвөн тэгш өнцөгтийг байрлуул

зурагт үзүүлсэн шиг гурвалжин

баруун талд.

Хажуу талтай дөрвөлжин в- дөрвөлжин,

хоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь 90 °, ба

Өргөтгөсөн өнцөг - 180 °.

Бүх зургийн талбай нь нэг талаас,

талтай дөрвөлжин талбай ( a + b), нөгөө талаас дөрвөн гурвалжны талбайн нийлбэр ба

Q.E.D.

3. Пифагорын теоремыг хязгааргүй жижигийн аргаар батлах.

​

Зурагт үзүүлсэн зургийг авч үзвэл, ба

хажуугийн өөрчлөлтийг харж байнаа, Бид чадна

дараах хамаарлыг хязгааргүй гэж бич

жижиг хажуугийн нэмэгдлүүдхамтболон а(ижил төстэй байдлыг ашиглан

гурвалжин):

Хувьсагчийг салгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Хоёр хөлний өсөлтийн үед гипотенузыг өөрчлөх илүү ерөнхий илэрхийлэл:

Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж, анхны нөхцлүүдийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс бид хүссэн хариултдаа хүрч байна:

Харахад хялбар тул эцсийн томъёонд квадрат хамаарал нь шугаман байдлаас болж гарч ирдэг

гурвалжны талууд ба өсөлтийн хоорондох пропорциональ, харин нийлбэр нь бие даасан байдалтай холбоотой

янз бүрийн хөлний өсөлтөөс оруулсан хувь нэмэр.

Хэрэв хөлний аль нэг нь нэмэгдээгүй гэж үзвэл илүү энгийн нотолгоо олж авах боломжтой

(энэ тохиолдолд хөл б). Интеграцийн тогтмолын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

Пифагорын теорем нь:

Тэгш өнцөгт гурвалжинд хөлний квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байна.

a 2 + b 2 = c 2,

• аболон б- хөл нь зөв өнцөг үүсгэдэг.
• хамт- гурвалжны гипотенуз.

Пифагорын теоремын томьёо

• a = \ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b = \ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c = \ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Пифагорын теоремын баталгаа

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

S = \ frac (1) (2) ab

Дурын гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд талбайн томъёо нь:

• х- хагас периметр. p = \ frac (1) (2) (a + b + c),
• rЭнэ нь бичээстэй тойргийн радиус юм. Тэгш өнцөгтийн хувьд r = \ frac (1) (2) (a + b-c).

Дараа нь гурвалжны талбайн хувьд бид хоёр томьёоны баруун талыг тэнцүүлж байна.

\ frac (1) (2) ab = \ frac (1) (2) (a + b + c) \ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab = (a + b + c) (a + b-c)

2 ab = \ зүүн ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \ баруун)

2 ab = a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 = a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2)

Урвуу Пифагорын теорем:

Гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна. Энэ нь эерэг тоонуудын аль ч гурвын хувьд а, бболон втиймэрхүү

a 2 + b 2 = c 2,

хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бий аболон бба гипотенуз в.

Пифагорын теорем- тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоох Евклидийн геометрийн үндсэн теоремуудын нэг. Үүнийг эрдэмтэн математикч, гүн ухаантан Пифагор нотолсон.

Теоремын утгаЭнэ нь бусад теоремуудыг батлах, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглагдах боломжтой.

Нэмэлт материал:

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: Пифагорын теорем болон Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг томъёолж, нотлох. Тэдний түүхэн болон практик ач холбогдлыг харуул.

Хөгжиж байна: анхаарал, ой санамжийг хөгжүүлэх, логик сэтгэлгээоюутнууд, үндэслэл, харьцуулах, дүгнэлт хийх чадвар.

Боловсрол: тухайн сэдвийг сонирхож, хайрлах, үнэн зөв байдал, найз нөхөд, багш нараа сонсох чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: Пифагорын хөрөг, нэгтгэх даалгавар бүхий зурагт хуудас, 7-9-р ангийн "Геометр" сурах бичиг (И.Ф. Шарыгин).

Хичээлийн төлөвлөгөө:

I. Зохион байгуулалтын үе - 1 мин.

II. Гэрийн даалгавар шалгах - 7 мин.

III. Багшийн танилцуулга, түүхэн мэдээлэл - 4-5 мин.

IV. Пифагорын теоремын томъёолол, баталгаа - 7 мин.

V. Пифагорын теоремын эсрэг теоремын томъёолол ба баталгаа - 5 мин.

Шинэ материалыг хамгаалах:

a) аман - 5-6 минут.
б) бичсэн - 7-10 минут.

Vii. Гэрийн даалгавар - 1 мин.

VIII. Хичээлийг дүгнэх - 3 мин.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Гэрийн даалгавар шалгах.

хуудас 7.1, No3 (дууссан зургийн дагуу самбар дээр).

Нөхцөл: Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь гипотенузыг 1 ба 2 урттай хэрчмүүдэд хуваана. Энэ гурвалжны хөлийг ол.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b 1; CD = h C

Нэмэлт асуулт: харьцааг тэгш өнцөгт гурвалжинд бич.

p.7.1, No 5. Тэгш өнцөгт гурвалжинг гурван ижил төстэй гурвалжин болгон хайчилж ав.

Тайлбарлах.

ASN ~ ABC ~ SVN

(ийм гурвалжны харгалзах оройг зөв бичихэд оюутнуудын анхаарлыг хандуулах)

III. Багшийн танилцуулга, түүхэн нөхцөл байдал.

Үнэн мөнх хэвээр үлдэнэ, сул дорой хүн үүнийг таньж мэдэнгүүт!

Одоо Пифагорын теорем нь түүний алс холын насных шиг үнэн юм.

Би хичээлээ Германы зохиолч Чамиссогийн үгээр эхэлсэн нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Өнөөдрийн бидний хичээл бол Пифагорын теорем юм. Хичээлийн сэдвийг бичье.

Энд агуу Пифагорын хөрөг байна. МЭӨ 576 онд төрсөн. 80 жил амьдарсан тэрээр МЭӨ 496 онд нас баржээ. Эртний Грекийн гүн ухаантан, багш гэдгээрээ алдартай. Тэрээр худалдаачин Мнесархын хүү байсан бөгөөд түүнийг аялалдаа байнга авч явдаг байсан тул хүүд сониуч зан, шинэ зүйл сурах хүслийг бий болгосон. Пифагор гэдэг нь түүнийг уран илтгэх чадварынх нь төлөө өгсөн хоч юм ("Пифагор" гэдэг нь "үгээрээ үнэмшилтэй" гэсэн утгатай). Тэр өөрөө юу ч бичээгүй. Түүний бүх бодлыг шавь нар нь бичиж үлдээжээ. Анхны лекцийн үр дүнд Пифагор 2000 оюутантай болсон бөгөөд тэд эхнэр, хүүхдүүдийнхээ хамт асар том сургууль байгуулж, Пифагорын хууль, дүрэмд үндэслэн "Их Грек" хэмээх улсыг байгуулж, тэнгэрлэг хэмээн хүндлэгддэг. тушаалууд. Тэрээр амьдралын утга учрын тухай өөрийн үндэслэлийг философи (философи) гэж нэрлэсэн анхны хүн юм. Тэрээр ид шидийн зан үйлд өртөмтгий байсан. Нэгэн удаа Пифагор газар доор нуугдаж, ээжээсээ болж буй бүх зүйлийн талаар олж мэдэв. Дараа нь араг яс шиг хатсан тэрээр Үхэгсдийн орны чуулганд байгаагаа зарлаж, дэлхий дээрх үйл явдлуудын талаар гайхалтай мэдлэгтэй гэдгээ харуулсан. Үүний тулд сэтгэл хөдөлсөн оршин суугчид түүнийг Бурхан гэж хүлээн зөвшөөрсөн. Пифагор хэзээ ч уйлж байгаагүй бөгөөд ерөнхийдөө хүсэл тэмүүлэл, сэтгэлийн хөөрөлд хүрдэггүй байв. Тэрээр хүнтэй харьцуулахад хамгийн сайн нь үрээс гаралтай гэдэгт итгэдэг байв. Пифагорын бүхэл бүтэн амьдрал бол бидний цаг үе хүртэл ирсэн домог бөгөөд эртний дэлхийн хамгийн авъяаслаг хүний ​​тухай өгүүлдэг.

IV. Пифагорын теоремын томъёолол ба нотолгоо.

Пифагорын теоремын томъёоллыг та алгебрийн хичээлээс мэддэг. Түүнийг санацгаая.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч энэ теоремыг Пифагороос олон жилийн өмнө мэддэг байсан. Пифагороос 1500 жилийн өмнө эртний египетчүүд 3, 4, 5 талтай гурвалжинг тэгш өнцөгт гэдгийг мэддэг байсан бөгөөд энэ өмчийг газар нутгийг төлөвлөх, барилга барихдаа зөв өнцгөөр барихад ашигладаг байжээ. Пифагороос 600 жилийн өмнө бичсэн "Чжиу-би" хэмээх хамгийн эртний Хятадын математик-одон орон судлалын бүтээлд тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой бусад өгүүлбэрүүдийн дунд Пифагорын теорем бас байдаг. Бүр өмнө нь энэ теоремыг Энэтхэгчүүд мэддэг байсан. Тиймээс Пифагор тэгш өнцөгт гурвалжны энэ шинж чанарыг нээгээгүй бөгөөд тэрээр үүнийг анх удаа ерөнхийлж, нотолж, практикийн талбараас шинжлэх ухааны салбарт шилжүүлсэн байх магадлалтай.

Эрт дээр үеэс математикчид Пифагорын теоремын нотолгоог улам бүр олсоор ирсэн. Тэдний нэг хагас зуу гаруй нь мэдэгдэж байна. Алгебрийн хичээлээс бидэнд мэдэгдэж байсан Пифагорын теоремын алгебрийн баталгааг санацгаая. ("Математик. Алгебр. Функци. Өгөгдлийн шинжилгээ" Г.В. Дорофеев, М., "Бустард", 2000).

Суралцагчдыг зургийн нотлох баримтуудыг эргэн санаж, самбар дээр бичихэд урь.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Эртний Хиндучууд энэ үндэслэлийг ихэвчлэн бичдэггүй, харин "Хараач" гэсэн ганцхан үгтэй зургийг дагалддаг байв.

Орчин үеийн танилцуулгад Пифагорын нотлох баримтуудын нэгийг авч үзье. Хичээлийн эхэнд бид тэгш өнцөгт гурвалжин дахь харьцааны тухай теоремыг санав.

h 2 = a 1 * b 1 a 2 = a 1 * c b 2 = b 1 * c

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмье:

b 2 + a 2 = b 1 * c + a 1 * c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2; a 2 + b 2 = c 2

Энэхүү нотлох баримт нь энгийн мэт санагдаж байгаа ч энэ нь хамгийн энгийнээс хол байна. Эцсийн эцэст, үүний тулд өндрийг тэгш өнцөгт гурвалжинд зурж, ийм гурвалжныг авч үзэх шаардлагатай байв. Энэ нотолгоог дэвтэртээ бичнэ үү.

V. Пифагорын теоремтой эсрэгээр теоремын томъёолол ба баталгаа.

Ямар теоремыг өгөгдсөнтэй урвуу гэж нэрлэдэг вэ? (... нөхцөл ба дүгнэлт эсрэгээр байвал.)

Одоо Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг томъёолж үзье.

Хэрэв a, b, c талуудтай гурвалжинд c 2 = a 2 + b 2 тэнцүү байвал энэ гурвалжин тэгш өнцөгт бөгөөд тэгш өнцөг нь в талын эсрэг байна.

(Зурагт хуудас дээрх харилцан ярианы баталгаа)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Нотлох:

ABC - тэгш өнцөгт,

Нотолгоо:

A 1 B 1 C 1 тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье.

Энд C 1 = 90 °, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Дараа нь Пифагорын теоремоор B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2 болно.

Өөрөөр хэлбэл, B 1 A 1 = A 1 B 1 C 1 = ABC гурван талдаа ABC - тэгш өнцөгт

C = 90 °, шаардлагатай бол.

Ви. Судалсан материалыг нэгтгэх (амаар).

1. Бэлэн зурсан зурагт хуудасны дагуу.

Зураг 1: BD = 8, BDA = 30 ° бол AD-ийг ол.

Зураг 2: BE = 5, BAE = 45 ° бол CD-г ол.

Зураг 3: BC = 17, AD = 16 бол BD-ийг ол.

2. Талуудыг нь тоогоор илэрхийлбэл гурвалжин тэгш өнцөгт мөн үү:

5 2 + 6 2? 7 2 (үгүй)	9 2 + 12 2 = 15 2 (тийм)	15 2 + 20 2 = 25 2 (тийм)

Сүүлийн хоёр тохиолдолд гурвалсан тоог юу гэж нэрлэдэг вэ? (Пифагор).

Ви. Асуудлыг шийдвэрлэх (бичгээр).

№ 9. Адил талт гурвалжны тал нь a-тай тэнцүү. Энэ гурвалжны өндөр, бичээстэй тойргийн радиус, бичээстэй тойргийн радиусыг ол.

№ 14. Тэгш өнцөгт гурвалжинд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь гипотенуз руу татсан медиантай тэнцүү ба гипотенузын хагастай тэнцүү болохыг батал.

Vii. Гэрийн даалгавар.

7.1-р хэсэг, 175-177-р тал, Теорем 7.4-т (Пифагорын ерөнхий теорем), №1 (амаар), №2, 4-т дүн шинжилгээ хийнэ.

VIII. Хичээлийн хураангуй.

Өнөөдрийн хичээлээр та ямар шинэ зүйл сурсан бэ? …………

Пифагор бол үндсэндээ философич байсан. Одоо би та бүхэнд бидний цаг үед хамааралтай түүний хэлсэн үгсийг уншихыг хүсч байна.

• Амьдралын замд тоос бүү өргө.
• Хожим нь чамайг гомдоохгүй, наманчлахад чинь албадахгүй зүйлийг л хий.
• Мэдэхгүй зүйлээ хэзээ ч бүү хий, харин мэдэх ёстой бүх зүйлийг сур, тэгвэл чи тайван амьдралаар амьдрах болно.
• Өмнөх өдрийн бүх үйлдлээ ойлгохгүйгээр унтахыг хүссэн үедээ нүдээ бүү ани.
• Энгийн бөгөөд тансаглалгүй амьдарч хэвшээрэй.

Пифагорын теоремд заасан шинж чанар нь тэгш өнцөгт гурвалжны онцлог шинж чанар болох нь гайхалтай юм. Энэ нь Пифагорын теоремын эсрэг теоремоос үүдэлтэй.

Теорем: Гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Хероны томъёо

Гурвалжны хавтгайг талуудын уртаар илэрхийлсэн томьёог гаргая. Энэ томьёо нь МЭ 1-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн математикч, механикч Александрын Хероны нэртэй холбоотой юм. Герон геометрийн практик хэрэглээнд ихээхэн анхаарал хандуулсан.

Теорем. Талууд нь a, b, c-тэй тэнцүү гурвалжны S талбайг S = томьёогоор тооцдог ба энд p нь гурвалжны хагас периметр юм.

Баталгаа.

Өгөгдсөн:?ABC, AB = c, BC = a, AC = b. A ба B өнцөг, хурц өнцөг. CH - өндөр.

Нотлох:

Нотлох баримт:

AB = c, BC = a, AC = b байх ABC гурвалжинг авч үзье. Гурвалжин бүр дор хаяж хоёр хурц өнцөгтэй байдаг. A ба B гурвалжны ABC гурвалжны хурц өнцөг гэж үзье. Тэгвэл гурвалжны CH өндрийн H суурь нь AB талд байна. Тэмдэглэгээг танилцуулъя: CH = h, AH = y, HB = x. Пифагорын теоремоор a 2 - x 2 = h 2 = b 2 -y 2, эндээс

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, эсвэл (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, y + x = c-аас хойш у- x = (b2 - a2).

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

2y = + c, хаанаас

y =, тэгэхээр h 2 = b 2 -y 2 = (b - y) (b + y) =