Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: шугаман, квадрат ба бутархай. Онлайн тооцоолуур

Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь тусгай жорын дагуу усанд чанаж болгосон хүнсний ногоо юм. Би эхний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг (хүнсний ногооны салат ба ус) болон эцсийн үр дүн - borscht-ийг авч үзэх болно. Геометрийн хувьд нэг тал нь шанцайны ургамал, нөгөө тал нь усыг төлөөлдөг тэгш өнцөгт гэж үзэж болно. Эдгээр хоёр талын нийлбэр нь борцыг заана. Ийм "борщ" тэгш өнцөгтийн диагональ ба талбай нь цэвэр математикийн ойлголт бөгөөд борщны жоронд хэзээ ч ашиглагддаггүй.

Математикийн үүднээс шанцайны ургамал, ус хэрхэн борщ болж хувирдаг вэ? Хоёр шугамын сегментийн нийлбэр хэрхэн тригонометр болох вэ? Үүнийг ойлгохын тулд шугаман өнцгийн функц хэрэгтэй.

Та математикийн сурах бичгүүдээс шугаман өнцгийн функцүүдийн талаар юу ч олж харахгүй. Гэхдээ тэдэнгүйгээр математик байж чадахгүй. Математикийн хуулиуд нь байгалийн хуулиудтай адил бидний оршин тогтнох эсэхээс үл хамааран ажилладаг.

Шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэх хууль юм.Алгебр хэрхэн геометр, геометр нь тригонометр болж хувирахыг хараарай.

Шугаман өнцгийн функцгүйгээр хийх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой, учир нь математикчид тэдэнгүйгээр удирддаг. Математикчдын заль мэх нь тэд өөрсдөө хэрхэн шийдэхээ мэддэг асуудлуудаа л бидэнд хэлдэг бөгөөд шийдэж чадахгүй байгаа асуудлынхаа талаар хэзээ ч ярьдаггүй. Хараач. Хэрэв бид нэмэх болон нэг гишүүний үр дүнг мэддэг бол нөгөө гишүүнийг олохын тулд хасах аргыг ашигладаг. Бүгд. Бид бусад асуудлуудыг мэдэхгүй бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна. Хэрэв бид зөвхөн нэмэлтийн үр дүнг мэдэж, хоёр нэр томъёог мэдэхгүй бол яах ёстой вэ? Энэ тохиолдолд нэмэлтийн үр дүнг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан хоёр гишүүнд задлах ёстой. Дараа нь бид өөрсдөө нэг нэр томъёо байж болохыг сонгодог бөгөөд шугаман өнцгийн функцууд нь хоёр дахь гишүүн ямар байх ёстойг харуулдаг бөгөөд ингэснээр нэмэлтийн үр дүн нь бидэнд яг хэрэгтэй болно. Ийм хос нэр томъёо байж болно хязгааргүй олонлог. IN өдөр тутмын амьдралБид нийлбэрийг задлахгүйгээр зүгээр л хийж чадна, хасах нь бидэнд хангалттай. Гэхдээ хэзээ шинжлэх ухааны судалгаабайгалийн хуулиудын дагуу нийлбэрийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нь задлах нь маш ашигтай байж болно.

Математикчдын ярих дургүй нэмэлт хууль (тэдний өөр нэг заль мэх) нь нэр томьёо нь ижил хэмжүүртэй байхыг шаарддаг. Салат, ус, борщны хувьд эдгээр нь жин, эзэлхүүн, үнэ цэнэ эсвэл хэмжих нэгж байж болно.

Зураг нь математикийн хувьд хоёр түвшний зөрүүг харуулж байна. Эхний түвшин бол заасан тоонуудын ялгаа юм а, б, в. Үүнийг математикчид хийдэг. Хоёрдахь түвшин нь дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэгдсэн, үсгээр тэмдэглэгдсэн хэмжлийн нэгжийн талбайн ялгаа юм. У. Үүнийг физикчид хийдэг. Гурав дахь түвшинг бид ойлгож чадна - тайлбарлаж буй объектуудын талбайн ялгаа. Өөр өөр объектууд ижил тооны ижил хэмжилтийн нэгжтэй байж болно. Энэ нь хэр чухал болохыг бид borscht тригонометрийн жишээнээс харж болно. Хэрэв бид өөр өөр объектуудын ижил нэгжийн тэмдэглэгээнд дэд тэмдэгтүүдийг нэмбэл тодорхой объектыг ямар математикийн хэмжигдэхүүн дүрсэлж, энэ нь цаг хугацааны явцад эсвэл бидний үйлдлээс шалтгаалан хэрхэн өөрчлөгдөхийг яг таг хэлж чадна. Захидал ВБи усыг үсгээр зааж өгнө СБи салатыг бичгээр зааж өгнө Б- борщ. Borscht-ийн шугаман өнцгийн функцүүд иймэрхүү харагдах болно.

Хэрэв бид усны зарим хэсгийг, салатны зарим хэсгийг авбал тэд хамтдаа borscht-ийн нэг хэсэг болж хувирна. Энд би борщ идэхээсээ бага зэрэг завсарлаж, алс холын бага насаа эргэн санахыг санал болгож байна. Бид туулай, нугас хоёрыг хэрхэн нийлүүлж сургасныг санаж байна уу? Хэдэн мал байхыг олох шаардлагатай байсан. Тэр үед бидэнд юу хийхийг зааж өгсөн бэ? Хэмжилтийн нэгжийг тооноос салгаж, тоо нэмэхийг бидэнд заасан. Тиймээ, дурын нэг дугаарыг өөр ямар ч дугаарт нэмж болно. Энэ бол орчин үеийн математикийн аутизмын шууд зам юм - бид үүнийг ойлгомжгүй байдлаар хийдэг, яагаад үүнийг ойлгомжгүй, энэ нь бодит байдалтай хэрхэн холбогдож байгааг маш муу ойлгодог, учир нь гурван түвшний ялгаанаас болж математикчид зөвхөн нэгээр ажилладаг. Хэмжилтийн нэг нэгжээс нөгөөд шилжихийг сурах нь илүү зөв байх болно.

Бөжин, нугас, бяцхан амьтдыг хэсэг хэсгээр нь тоолж болно. Янз бүрийн объектын хэмжүүрийн нэг нийтлэг нэгж нь тэдгээрийг нэгтгэх боломжийг бидэнд олгодог. Энэ бол асуудлын хүүхдийн хувилбар юм. Насанд хүрэгчдэд зориулсан ижил төстэй даалгаврыг авч үзье. Бөжин, мөнгө нэмбэл юу авах вэ? Энд хоёр боломжит шийдэл байна.

Эхний сонголт. Бид туулайн зах зээлийн үнэ цэнийг тодорхойлж, бэлэн мөнгөний хэмжээнд нэмнэ. Бид баялгийнхаа нийт үнэ цэнийг мөнгөн дүнгээр авсан.

Хоёр дахь сонголт. Бидэнд байгаа мөнгөн дэвсгэртийн тоо дээр та туулайн тоог нэмж болно. Хөдлөх эд хөрөнгийн хэмжээг хэсэгчлэн авна.

Таны харж байгаагаар ижил нэмэлт хууль нь өөр өөр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Энэ бүхэн бидний яг юу мэдэхийг хүсч байгаагаас хамаарна.

Харин борц руугаа буцъя. Одоо бид хэзээ юу болохыг харж байна өөр өөр утгатайшугаман өнцгийн функцүүдийн өнцөг.

Өнцөг нь тэг байна. Бидэнд салат байна, гэхдээ ус байхгүй. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ бас тэг байна. Энэ нь тэг борщ нь тэг устай тэнцүү гэсэн үг биш юм. Тэг салат (зөв өнцөг) бүхий тэг borscht байж болно.

Миний хувьд энэ бол . Тэг нэмэхэд тоог өөрчлөхгүй. Зөвхөн нэг гишүүн, хоёр дахь гишүүн байхгүй бол нэмэх боломжгүй учраас энэ нь тохиолддог. Та үүнийг хүссэнээрээ мэдэрч болно, гэхдээ санаарай - тэгтэй бүх математикийн үйлдлүүдийг математикчид өөрсдөө зохион бүтээсэн тул логикоо хаяж, математикчдийн зохион бүтээсэн "тэгээр хуваах боломжгүй", "ямар ч тоог үржүүлбэл" гэсэн тодорхойлолтыг тэнэгээр чихээрэй. тэг нь тэгтэй тэнцүү", "тэг цэгээс цааш" гэх мэт утгагүй зүйл. Тэг бол тоо биш гэдгийг нэг удаа санахад хангалттай бөгөөд тэг нь натурал тоо мөн үү, үгүй юу гэсэн асуулт танд дахин хэзээ ч төрөхгүй, учир нь ийм асуулт бүх утгыг алддаг: тоо биш зүйлийг яаж тоо гэж үзэх вэ? ? Энэ нь үл үзэгдэх өнгийг ямар өнгөөр ангилах ёстойг асуухтай адил юм. Тоон дээр тэг нэмэх нь байхгүй будгаар будсантай адил юм. Бид хуурай бийрээр даллаж, бүгдэд нь "бид зурсан" гэж хэлэв. Гэхдээ би бага зэрэг ухарч байна.

Өнцөг нь тэгээс их боловч дөчин таван градусаас бага байна. Бидэнд маш их шанцайны ургамал байдаг, гэхдээ хангалттай ус байхгүй. Үүний үр дүнд бид зузаан borscht авах болно.

Өнцөг нь дөчин таван градус байна. Бид ижил хэмжээний ус, салаттай. Энэ бол төгс борщ (намайг уучлаарай, тогооч нар, энэ бол зүгээр л математик юм).

Өнцөг нь дөчин таван градусаас их, харин ерэн градусаас бага. Бидэнд ус ихтэй, салат багатай. Та шингэн борщ авах болно.

Зөв өнцөг. Бидэнд ус байна. Нэгэн цагт салатыг тэмдэглэсэн шугамаас өнцгийг хэмжсээр байгаа тул салатаас үлдсэн бүх зүйл нь дурсамж юм. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ тэг байна. Энэ тохиолдолд устай байхдаа барьж аваад уугаарай)))

Энд. Тиймэрхүү зүйл. Би эндээс илүү тохиромжтой бусад түүхийг энд ярьж болно.

Хоёр найз нийтлэг бизнест хувь эзэмшдэг байв. Нэгийг нь алсны дараа бүх зүйл нөгөө рүүгээ шилжсэн.

Манай гараг дээр математикийн үүсэл.

Эдгээр бүх түүхийг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан математикийн хэлээр өгүүлдэг. Өөр нэг удаа би эдгээр функцүүдийн математикийн бүтэц дэх бодит байр суурийг харуулах болно. Энэ хооронд борщын тригонометр рүү буцаж, төсөөллийг авч үзье.

2019 оны аравдугаар сарын 26, Бямба гараг

Энэ тухай сонирхолтой бичлэг үзлээ Grundy цуврал Нэг хасах нэг нэмэх нэг хасах нэг - Numberphile. Математикчид худлаа ярьдаг. Тэд үндэслэлээ илэрхийлэхдээ тэгш байдлын шалгалт хийгээгүй.

Энэ нь миний бодолтой нийцэж байна.

Математикчид биднийг хуурч байгаа шинж тэмдгүүдийг нарийвчлан авч үзье. Маргааны эхэнд математикчид дарааллын нийлбэр нь тэгш тооны элементтэй эсэхээс ХААРАЛТАЙ гэж хэлдэг. Энэ бол ОБЪЕКТИЙН ТОДОРХОЙ БАРИМТ. Дараа нь юу болох вэ?

Дараа нь математикчид нэгдмэл байдлаас дарааллыг хасдаг. Энэ нь юунд хүргэдэг вэ? Энэ нь дарааллын элементүүдийн тоог өөрчлөхөд хүргэдэг - тэгш тоо сондгой, сондгой тоо тэгш тоо болж өөрчлөгддөг. Эцсийн эцэст бид дараалалд нэгтэй тэнцүү нэг элемент нэмсэн. Гадны бүх ижил төстэй байдлыг үл харгалзан хувиргалтын өмнөх дараалал нь хувиргасны дараах дараалалтай тэнцүү биш юм. Хэдийгээр бид хязгааргүй дарааллын тухай ярьж байгаа ч сондгой тооны элемент бүхий хязгааргүй дараалал нь тэгш тооны элемент бүхий хязгааргүй дараалалтай тэнцүү биш гэдгийг санах ёстой.

Математикчид өөр өөр тооны элементүүдтэй хоёр дарааллыг тэгшитгэснээр дарааллын нийлбэр нь дарааллын элементийн тооноос ХААРАЛТГҮЙ гэж үздэг нь ОБЪЕКТИВ ТОГТООГДСОН БАРИМТ-тай зөрчилдөж байна. Хязгааргүй дарааллын нийлбэрийн талаархи цаашдын үндэслэл нь худал тэгшитгэл дээр үндэслэсэн тул худал юм.

Хэрэв та математикчид нотолгооны явцад хаалт байрлуулж, математик илэрхийллийн элементүүдийг дахин цэгцэлж, ямар нэг зүйл нэмж эсвэл хасаж байгааг анзаарсан бол маш болгоомжтой байгаарай, магадгүй тэд таныг хуурах гэж оролдож байна. Хөзрийн илбэчдийн нэгэн адил математикчид таны анхаарлыг сарниулахын тулд янз бүрийн илэрхийлэлийг ашигладаг. Хэрэв та хууран мэхлэлтийн нууцыг мэдэхгүйгээр картын заль мэхийг давтаж чадахгүй бол математикийн хувьд бүх зүйл илүү хялбар байдаг: та хууран мэхлэлтийн талаар юу ч сэжиглэдэггүй, харин бүх заль мэхийг давтан хийдэг. математик илэрхийлэлНэгэн цагт итгэлтэй байсан шигээ үр дүнгийн үнэн зөвийг бусдад итгүүлэх боломжийг танд олгоно.

Үзэгчдийн асуулт: Хязгааргүй байдал (S дарааллын элементүүдийн тоо) тэгш эсвэл сондгой юу? Паритетгүй зүйлийг яаж өөрчлөх вэ?

Тэнгэрийн хаант улс санваартнуудад зориулагдсан байдаг шиг хязгааргүй байдал нь математикчдад зориулагдсан байдаг - хэн ч тэнд хэзээ ч байгаагүй, гэхдээ тэнд бүх зүйл хэрхэн явагддагийг бүгд мэддэг))) Би зөвшөөрч байна, нас барсны дараа та тэгш эсвэл сондгой тооны амьдарч байсан эсэхээс үл хамааран огт хайхрамжгүй байх болно. өдрүүд, гэхдээ... Амьдралынхаа эхэнд нэг л өдөр нэмбэл бид огт өөр хүнтэй болно: түүний овог, нэр, овог нэр нь яг адилхан, зөвхөн төрсөн он сар өдөр нь огт өөр - тэр төрсөн чамаас нэг өдрийн өмнө.

Одоо гол зүйл рүүгээ орцгооё))) Паритеттэй төгсгөлтэй дараалал нь төгсгөлгүйд очихдоо энэ паритетаа алддаг гэж бодъё. Дараа нь хязгааргүй дарааллын аль ч төгсгөлтэй сегмент нь паритетаа алдах ёстой. Бид үүнийг харахгүй байна. Хязгааргүй дараалал нь тэгш эсвэл сондгой тооны элементтэй эсэхийг бид тодорхой хэлж чадахгүй байгаа нь паритет алга болсон гэсэн үг биш юм. Паритет хэрэв байгаа бол хурц ханцуйндаа байгаа мэт хязгааргүйд оршдоггүй. Энэ тохиолдолд маш сайн зүйрлэл бий.

Та цагны зүү аль зүгт эргэлддэгийг цагтаа суугаа хөхөөнөөс асууж байсан уу? Түүний хувьд сум нь бидний "цагийн зүүний дагуу" гэж нэрлэдэг зүйлийн эсрэг чиглэлд эргэлддэг. Хачирхалтай сонсогдож байгаа ч эргэлтийн чиглэл нь зөвхөн аль талаасаа эргэлтийг ажиглахаас хамаарна. Тиймээс бид эргэдэг нэг дугуйтай болсон. Эргэлтийн хавтгайн нэг талаас, нөгөө талаас нь хоёуланг нь ажиглаж болох тул эргэлт аль чиглэлд явагддагийг бид хэлж чадахгүй. Бид ротаци байгаа гэдгийг л гэрчилж чадна. Хязгааргүй дарааллын паритеттай бүрэн аналоги С.

Одоо хоёр дахь эргэдэг дугуйг нэмье, түүний эргэлтийн хавтгай нь эхний эргэдэг дугуйны эргэлтийн хавтгайтай параллель байна. Эдгээр дугуйнууд аль чиглэлд эргэлдэж байгааг бид тодорхой хэлж чадахгүй байгаа ч хоёр дугуй нь нэг чиглэлд эсвэл эсрэг чиглэлд эргэлдэж байгааг бид бүрэн хэлж чадна. Хязгааргүй хоёр дарааллыг харьцуулах СТэгээд 1-С, Би математикийн тусламжтайгаар эдгээр дараалал нь өөр өөр паритеттэй бөгөөд тэдгээрийн хооронд тэнцүү тэмдэг тавих нь алдаа гэдгийг харуулсан. Би хувьдаа математикт итгэдэг, математикчдад итгэдэггүй))) Дашрамд хэлэхэд, хязгааргүй дарааллын хувиргалтын геометрийг бүрэн ойлгохын тулд энэ ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. "нэгэн зэрэг". Үүнийг зурах шаардлагатай болно.

2019 оны наймдугаар сарын 7, Лхагва гараг

Яриагаа дуусгахдаа бид хязгааргүй олонлогийг авч үзэх хэрэгтэй. Гол нь “хязгааргүй” гэдэг ойлголт нь математикчдад боа туулайнд нөлөөлдөг шиг нөлөөлдөг. Хязгааргүй байдлын чичирхийлсэн аймшиг нь математикчдыг эрүүл ухаангүй болгодог. Энд нэг жишээ байна:

Анхны эх сурвалж нь байрладаг. Альфа гэсэн үг бодит тоо. Дээрх илэрхийлэл дэх тэнцүү тэмдэг нь хэрэв та хязгааргүйд тоо эсвэл хязгаарыг нэмбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, үр дүн нь ижил хязгааргүй болно гэдгийг харуулж байна. Хэрэв бид хязгааргүй натурал тооны багцыг жишээ болгон авч үзвэл авч үзсэн жишээнүүдийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Тэдний зөв гэдгийг тодорхой нотлохын тулд математикчид олон янзын арга бодож олжээ. Би хувьдаа энэ бүх аргыг бөө хэнгэрэг бариад бүжиглэж байгаа мэтээр хардаг. Үндсэндээ, тэд бүгд нэг бол зарим өрөөнүүд эзэнгүй, шинэ зочид нүүж ирж байгаа, эсвэл зочдод өрөө гаргахын тулд зарим зочдыг коридор руу шиддэг (маш хүний ёсоор). Би ийм шийдвэрийн талаархи өөрийн үзэл бодлыг шаргал үстийн тухай уран зөгнөлт түүх хэлбэрээр танилцуулсан. Миний үндэслэл юунд үндэслэсэн бэ? Хязгааргүй тооны зочдыг нүүлгэн шилжүүлэхэд хязгааргүй их цаг зарцуулдаг. Биднийг зочдод зориулж эхний өрөөг чөлөөлсний дараа зочдын нэг нь цаг дуусах хүртэл коридороор өөрийн өрөөнөөс дараагийн өрөө рүү үргэлж алхах болно. Мэдээжийн хэрэг, цаг хугацааны хүчин зүйлийг үл тоомсорлож болох ч энэ нь "Тэнэгүүдэд зориулж хууль бичдэггүй" гэсэн ангилалд багтах болно. Энэ бүхэн бидний хийж байгаа зүйлээс хамаарна: бодит байдлыг математикийн онолд тохируулах эсвэл эсрэгээр.

"Төгсгөлгүй зочид буудал" гэж юу вэ? Хязгааргүй зочид буудал гэдэг нь хэдэн өрөө байрлаж байгаагаас үл хамааран хэдэн ч хоосон ортой зочид буудал юм. Төгсгөлгүй "зочин" коридорын бүх өрөөг эзэлдэг бол "зочин" өрөөнүүдтэй өөр нэг төгсгөлгүй коридор байдаг. Ийм коридорууд хязгааргүй олон байх болно. Түүгээр ч барахгүй “хязгааргүй зочид буудал” нь хязгааргүй олон тооны бурхадын бүтээсэн хязгааргүй олон орчлон ертөнц дэх хязгааргүй тооны гаригууд дээрх хязгааргүй олон барилгад хязгааргүй олон давхартай байдаг. Математикчид өдөр тутмын асуудлаас холдож чаддаггүй: үргэлж ганц Бурхан-Алла-Будда байдаг, ганц зочид буудал байдаг, ганц коридор байдаг. Тиймээс математикчид зочид буудлын өрөөнүүдийн серийн дугаарыг хооронд нь тааруулахыг хичээж, биднийг "боломжгүй зүйл рүү түлхэх" боломжтой гэж итгүүлж байна.

Хязгааргүй натурал тоонуудын жишээн дээр би өөрийн үндэслэлийн логикийг танд үзүүлэх болно. Эхлээд та маш энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй: хэдэн багц натурал тоо байдаг - нэг эсвэл олон уу? Энэ асуултын зөв хариулт байхгүй, учир нь бид тоонуудыг өөрсдөө зохион бүтээсэн тул байгальд тоо байдаггүй. Тиймээ, Байгаль тоолохдоо гайхалтай, гэхдээ үүний тулд тэрээр бидэнд танил бус бусад математик хэрэгслийг ашигладаг. Байгаль юу гэж бодож байгааг би өөр нэг удаа хэлье. Бид тоог зохион бүтээсэн тул хэдэн олон тооны натурал тоо байгааг бид өөрсдөө шийдэх болно. Жинхэнэ эрдэмтдэд тохирсон хоёр хувилбарыг авч үзье.

Сонголт нэг. Тавиур дээр тайван орших натурал тоонуудын нэг багц "Бидэнд өгөгдье". Бид энэ багцыг тавиураас авдаг. Ингээд л, тавиур дээр өөр натурал тоо үлдсэнгүй, тэднийг авч явах газар байхгүй. Бидэнд аль хэдийн байгаа тул энэ багцад нэгийг нэмж чадахгүй. Хэрэв та үнэхээр хүсч байвал яах вэ? Асуудалгүй. Бид аль хэдийн авсан багцаасаа нэгийг нь аваад тавиур дээр буцааж өгч болно. Үүний дараа бид тавиураас нэгийг нь аваад үлдсэн зүйл дээрээ нэмж болно. Үүний үр дүнд бид дахин хязгааргүй натурал тооны багцыг авах болно. Та бидний бүх заль мэхийг дараах байдлаар бичиж болно.

Би үйлдлүүдийг тэмдэглэсэн алгебрийн системолонлогийн элементүүдийн дэлгэрэнгүй жагсаалт бүхий олонлогын онолд батлагдсан тэмдэглэгээ ба тэмдэглэгээний системд. Доод тэмдэг нь бидэнд нэг бөгөөд цорын ганц натурал тооны багц байгааг харуулж байна. Үүнээс нэгийг хасч, ижил нэгжийг нэмбэл натурал тоонуудын олонлог өөрчлөгдөхгүй байх болно.

Хоёр дахь сонголт. Бидний тавиур дээр олон янзын хязгааргүй олон тооны натурал тоонууд бий. Би онцлон тэмдэглэж байна - Хэдийгээр тэдгээр нь бараг ялгаагүй ч гэсэн ӨӨР. Эдгээр багцуудын нэгийг авч үзье. Дараа нь бид өөр натурал тооны багцаас нэгийг нь авч, аль хэдийн авсан олонлогт нэмнэ. Бид хоёр натурал тоог нэмж болно. Энэ бол бидний авах зүйл юм:

"Нэг" ба "хоёр" гэсэн дэд тэмдэгтүүд нь эдгээр элементүүд нь өөр олонлогт харьяалагддаг болохыг харуулж байна. Тийм ээ, хэрэв та хязгааргүй олонлог дээр нэгийг нэмбэл үр дүн нь мөн төгсгөлгүй олонлог болох боловч энэ нь анхны олонлогтой ижил биш байх болно. Хэрэв та нэг хязгааргүй олонлог дээр өөр нэг хязгааргүй олонлог нэмбэл үр дүн нь эхний хоёр олонлогийн элементүүдээс бүрдсэн шинэ хязгааргүй олонлог болно.

Натурал тоонуудын багцыг захирагчийг хэмжихтэй адил тоолоход ашигладаг. Одоо та захирагч дээр нэг сантиметр нэмсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь анхны шугамтай тэнцүү биш өөр шугам байх болно.

Та миний үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл хүлээн зөвшөөрөхгүй байж болно - энэ бол таны хувийн хэрэг. Гэхдээ хэзээ нэгэн цагт тааралдвал математикийн асуудлууд, Та үе үеийн математикчдийн гишгэсэн худал сэтгэх замаар явж байгаа эсэхээ бодоорой. Эцсийн эцэст, математикийг судлах нь юуны түрүүнд бидний сэтгэлгээний тогтвортой хэвшмэл ойлголтыг бий болгож, зөвхөн дараа нь бидний оюун ухааны чадварыг нэмэгдүүлдэг (эсвэл эсрэгээр биднийг чөлөөт сэтгэлгээнээс холдуулдаг).

pozg.ru

2019 оны наймдугаар сарын 4, Ням гараг

Би энэ тухай нийтлэлийн бичлэгийг дуусгаж байгаад Википедиа дээрх гайхалтай текстийг олж харав:

Бид уншдаг: "... баян онолын үндэслэлВавилоны математик нь нэгдмэл шинж чанартай байсангүй бөгөөд өөр өөр техник хэрэгсэл болгон бууруулсан. нийтлэг системба нотлох үндэслэл."

Хөөх! Бид ямар ухаантай, бусдын дутагдлыг хэр сайн харж чаддаг вэ. Орчин үеийн математикийг ижил нөхцөл байдалд авч үзэх нь бидэнд хэцүү байдаг уу? Дээрх текстийг бага зэрэг тайлбарлахад би хувьдаа дараахь зүйлийг олж авлаа.

Орчин үеийн математикийн баялаг онолын үндэс нь нэгдмэл шинж чанартай биш бөгөөд нийтлэг систем, нотлох үндэслэлгүй, салангид хэсгүүдэд хуваагддаг.

Би үгээ батлахын тулд хол явахгүй - энэ нь математикийн бусад салбаруудын хэл, хэллэгээс ялгаатай хэл, дүрэм журамтай. Математикийн өөр өөр салбар дахь ижил нэрс өөр өөр утгатай байж болно. Би орчин үеийн математикийн хамгийн тод алдаануудад бүхэл бүтэн цуврал нийтлэлээ зориулахыг хүсч байна. Удахгүй уулзацгаая.

2019 оны наймдугаар сарын 3-ны Бямба гараг

Олонлогийг дэд олонлогт хэрхэн хуваах вэ? Үүнийг хийхийн тулд та сонгосон багцын зарим элементүүдэд байгаа шинэ хэмжилтийн нэгжийг оруулах хэрэгтэй. Нэг жишээ авч үзье.

Бидэнд элбэг дэлбэг байх болтугай Адөрвөн хүний бүрэлдэхүүнтэй. Энэ олонлог нь "хүмүүс" гэсэн үндсэн дээр бий болсон А, тоо бүхий дэд тэмдэг нь энэ багц дахь хүн бүрийн серийн дугаарыг заана. Хэмжилтийн шинэ нэгж "хүйс"-ийг нэвтрүүлж, үсгээр тэмдэглэе б. Бэлгийн шинж чанар нь бүх хүмүүст байдаг тул бид багцын элемент бүрийг үржүүлдэг Ажендэр дээр үндэслэсэн б. Манай "хүмүүс" нь одоо "хүйсийн онцлогтой хүмүүс" болж хувирсныг анзаараарай. Үүний дараа бид бэлгийн шинж чанарыг эрэгтэй гэж хувааж болно bmболон эмэгтэйчүүдийн bwбэлгийн шинж чанар. Одоо бид математик шүүлтүүр хэрэглэж болно: эрэгтэй, эмэгтэй аль нь ч хамаагүй эдгээр бэлгийн шинж чанаруудын аль нэгийг нь сонгоно. Хэрэв хүнд байгаа бол бид үүнийг нэгээр үржүүлдэг, хэрэв тийм тэмдэг байхгүй бол тэгээр үржүүлдэг. Тэгээд бид ердийн сургуулийн математикийг ашигладаг. Юу болсныг хар.

Үржүүлэх, багасгах, дахин зохион байгуулсны дараа бид хоёр дэд олонлогтой болсон: эрэгтэй дэд олонлог. Bmмөн эмэгтэйчүүдийн хэсэг Bw. Математикчид олонлогын онолыг практикт хэрэгжүүлэхдээ ойролцоогоор ижил аргаар сэтгэдэг. Гэхдээ тэд бидэнд нарийн ширийн зүйлийг хэлэхгүй, харин эцсийн үр дүнг өгдөг - "маш олон хүмүүс эрэгтэйчүүдийн дэд хэсэг, эмэгтэйчүүдийн дэд хэсэгээс бүрддэг." Мэдээжийн хэрэг, танд асуулт гарч ирж магадгүй юм: дээр дурдсан өөрчлөлтүүдэд математикийг хэр зөв ашигласан бэ? Арифметик, Булийн алгебр болон математикийн бусад салбаруудын математик үндсийг мэдэх нь үндсэндээ бүх зүйл зөв хийгдсэн гэдгийг баталж байна. Энэ юу вэ? Өөр нэг удаа би энэ тухай танд хэлэх болно.

Супер олонлогуудын хувьд та эдгээр хоёр багцын элементүүдэд байгаа хэмжих нэгжийг сонгосноор хоёр багцыг нэг супер олонлогт нэгтгэж болно.

Таны харж байгаагаар хэмжлийн нэгж ба ердийн математик нь олонлогын онолыг өнгөрсөн үеийн үлдэгдэл болгож байна. Олонлогийн онолын хувьд бүх зүйл сайн биш байгаагийн шинж тэмдэг бол математикчид олонлогийн онолын өөрийн хэл, тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн явдал юм. Математикчид нэгэн цагт бөөгийн адил ажилладаг байсан. "Мэдлэгээ" хэрхэн "зөв" хэрэгжүүлэхийг бөө нар л мэддэг. Тэд бидэнд энэ "мэдлэг"-ийг заадаг.

Эцэст нь хэлэхэд, би математикчид хэрхэн удирддагийг харуулахыг хүсч байна
Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгдээрээ Зеногийн апориа гэж нэг талаараа үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад оролцсон; математик шинжилгээ, олонлогийн онол, физик, философийн шинэ хандлага; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар математикийн төхөөрөмжХувьсах хэмжлийн нэгжийн хэрэглээ хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид хэрэглээгүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай утгад ашигладаг. Физик талаас нь авч үзвэл, Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид цаг бүрэн зогсох хүртэл удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес хамт гүйдэг тогтмол хурд. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ тийм биш бүрэн шийдэласуудлууд. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.
Би үйл явцыг жишээгээр харуулах болно. Бид "батга дахь улаан хатуулаг" -ыг сонгодог - энэ бол бидний "бүхэл бүтэн" юм. Үүний зэрэгцээ эдгээр зүйлүүд нь нумтай, нумгүй байдаг гэдгийг бид харж байна. Үүний дараа бид "бүхэл бүтэн" хэсгийг сонгоод "нумтай" багц үүсгэдэг. Бөө нар олонлогийн онолоо бодит байдалтай уялдуулан хоол ундгаа ингэж авдаг.

Одоо жаахан заль мэх хийцгээе. "Батгатай, нумтай хатуу" -ыг аваад улаан өнгийн элементүүдийг сонгон өнгөний дагуу эдгээр "бүхэл" -ийг нэгтгэж үзье. Бид маш их "улаан" авсан. Одоо эцсийн асуулт: "Нумтай" ба "улаан" иж бүрдэл нь ижил эсвэл хоёр өөр багц уу? Хариултыг нь бөө нар л мэднэ. Бүр тодруулбал, тэд өөрсдөө юу ч мэдэхгүй, гэхдээ тэдний хэлснээр ийм байх болно.

Энэхүү энгийн жишээ нь олонлогийн онол бодит байдалд хүрэхэд огт хэрэггүй болохыг харуулж байна. Нууц нь юу вэ? Бид "батгатай, нумтай улаан хатуу" багцыг үүсгэсэн. Үүсгэх нь өнгө (улаан), бат бөх (хатуу), барзгар (батга), чимэглэл (нумтай) гэсэн дөрвөн өөр хэмжлийн нэгжийн дагуу явагдсан. Зөвхөн хэмжлийн нэгжийн багц нь бодит объектыг математикийн хэлээр хангалттай дүрслэх боломжийг олгодог.. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна.

Өөр өөр индекс бүхий "а" үсэг нь утгыг илэрхийлдэг өөр өөр нэгжүүдхэмжилт. Урьдчилсан шатанд "бүхэл" -ийг ялгах хэмжлийн нэгжийг хаалтанд тэмдэглэв. Багц бүрдүүлэх хэмжүүрийн нэгжийг хаалтнаас гаргана. Сүүлийн мөрөнд эцсийн үр дүн - багцын элементийг харуулав. Таны харж байгаагаар хэрэв бид багц үүсгэхийн тулд хэмжлийн нэгжийг ашигладаг бол үр дүн нь бидний үйлдлийн дарааллаас хамаардаггүй. Энэ бол математик болохоос бөө нарын хэнгэрэг барин бүжиглэх биш. Хэмжилтийн нэгж нь тэдний "шинжлэх ухааны" арсеналын нэг хэсэг биш учраас бөө нар "мэдээжийн" гэж маргаж "зөн совингоор" ижил үр дүнд хүрч чадна.

Хэмжилтийн нэгжийг ашигласнаар нэг багцыг хуваах эсвэл хэд хэдэн багцыг нэг супер багц болгон нэгтгэхэд маш хялбар байдаг. Энэ үйл явцын алгебрийг нарийвчлан авч үзье.

y (x) = e x, үүсмэл нь функцтэй тэнцүү байна.

Экспонентийг , эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Тоо e

Экспонентын зэрэглэлийн үндэс нь тоо e. Энэ иррационал тоо. Энэ нь ойролцоогоор тэнцүү байна
д ≈ 2,718281828459045...

e тоог дарааллын хязгаараар тодорхойлно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юм хоёр дахь гайхалтай хязгаар:
.

e тоог мөн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно:
.

Экспоненциал график

Экспоненциал график, y = e x .

График нь экспоненциалыг харуулж байна дтодорхой хэмжээгээр X.
y (x) = e x
Графикаас харахад экспонент нь монотон нэмэгдэж байгааг харуулж байна.

Томъёо

Үндсэн томъёо нь дараахтай ижил байна экспоненциал функццахилгаан суурьтай e.

;
;
;

Дурын суурьтай a зэрэгтэй экспоненциал функцийг экспоненциалаар илэрхийлэх:
.

Хувийн үнэт зүйлс

y (x) = e x.
.

Дараа нь

Экспонентын шинж чанарууд д > 1 .

Экспонент нь чадлын суурьтай экспоненциал функцийн шинж чанартай байдаг

Домэйн, утгуудын багц (x) = e xЭкспонент y
бүх x хувьд тодорхойлогдсон.
- ∞ < x + ∞ .
Түүний тодорхойлолтын хүрээ:
0 < y < + ∞ .

Түүний олон утгатай:

Хэт их, нэмэгдэх, буурах

Экспоненциал нь монотон өсөн нэмэгдэж буй функц тул түүнд экстремум байхгүй. Үүний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Урвуу функц
;
.

Экспонентийн урвуу нь натурал логарифм юм.

Экспонентийн дериватив дтодорхой хэмжээгээр XДериватив дтодорхой хэмжээгээр X :
.
тэнцүү байна
.
n-р эрэмбийн дериватив:

Томьёог гарган авах > > >

Интеграл

Нарийн төвөгтэй тоо -тай хийсэн үйлдлүүднийлмэл тоо ашиглан гүйцэтгэсэн:
,
Эйлерийн томъёо
.

төсөөллийн нэгж хаана байна:

; ;
.

Гиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл

; ;
;
.

Тригонометрийн функцийг ашигласан илэрхийлэл

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл
Ашигласан уран зохиол:

И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он. Шийдэхдээ үнэ цэнэ, тоо хэмжээг харьцуулэрт дээр үеэс тохиолдсон. Үүний зэрэгцээ нэг төрлийн хэмжигдэхүүнийг харьцуулах үр дүнг илэрхийлсэн их ба бага, өндөр ба бага, хөнгөн ба хүнд, чимээгүй ба чанга, хямд ба илүү үнэтэй гэх мэт үгс гарч ирэв.

Илүү бага гэсэн ойлголтууд объектыг тоолох, хэмжигдэхүүнийг хэмжих, харьцуулахтай холбоотойгоор үүссэн. Жишээлбэл, Эртний Грекийн математикчид аливаа гурвалжны тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага, том тал нь гурвалжны том өнцгийн эсрэг байрладаг гэдгийг мэддэг байсан. Архимед тойргийг тооцоолохдоо ямар ч тойргийн периметр нь диаметрийн долооны нэгээс бага, харин арав дахин их диаметртэй диаметрээс гурав дахин их хэмжээтэй тэнцүү болохыг тогтоожээ.

Тоо ба хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг > ба b тэмдгээр бэлгэдлээр бич. Хоёр тоог аль нэг тэмдгээр холбосон бичлэгүүд: > (илүү их), Та мөн доод ангиудад тоон тэгш бус байдалтай тулгарсан. Тэгш бус байдал нь үнэн ч байж болно, худал ч байж болно гэдгийг та мэднэ. Жишээлбэл, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) нь зөв тоон тэгш бус байдал, 0.23 > 0.235 нь буруу тоон тэгш бус байдал юм.

Үл мэдэгдэх зүйлстэй холбоотой тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх утгын зарим утгын хувьд үнэн, бусад нь худал байж болно. Жишээ нь: 2x+1>5 тэгш бус байдал x = 3-ийн хувьд үнэн, харин x = -3-ийн хувьд худал байна. Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын хувьд та даалгаврыг тавьж болно: тэгш бус байдлыг шийдэх. Практикт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлуудыг тэгшитгэлийг шийдэх асуудлаас багагүй олон удаа тавьж, шийддэг. Жишээлбэл, шугаман тэгш бус байдлын системийг судлах, шийдвэрлэхэд эдийн засгийн олон асуудал гардаг. Математикийн олон салбарт тэгш бус байдал нь тэгшитгэлээс илүү түгээмэл байдаг.

Зарим тэгш бус байдал нь тодорхой объект, жишээлбэл, тэгшитгэлийн үндэс оршин байгааг батлах эсвэл үгүйсгэх цорын ганц туслах хэрэгсэл болдог.

Тоон тэгш бус байдал

Та бүхэл тоог харьцуулж чадах уу? аравтын бутархай. Та харьцуулах дүрмийг мэдэх үү? энгийн бутархайижил хуваагчтай боловч өөр өөр тоогоор; ижил тоологчтой боловч өөр хуваагчтай. Эндээс та дурын хоёр тоог ялгах тэмдгийг олох замаар харьцуулж сурах болно.

Тоонуудыг харьцуулах нь практикт өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, эдийн засагч төлөвлөсөн үзүүлэлтүүдийг бодит үзүүлэлттэй харьцуулдаг, эмч өвчтөний температурыг хэвийн, токарь нь боловсруулсан эд ангиудын хэмжээсийг стандарттай харьцуулдаг. Ийм бүх тохиолдолд зарим тоог харьцуулдаг. Тоонуудыг харьцуулах үр дүнд тоон тэгш бус байдал үүсдэг.

Тодорхойлолт.Хэрэв а тоо нь b тооноос их байвал ялгаа a-bэерэг. a-b зөрүү сөрөг байвал a тоо b тооноос бага байна.

Хэрэв a b-ээс их бол тэд бичнэ: a > b; хэрэв a нь b-ээс бага бол тэд бичнэ: a Тиймээс, a > b тэгш бус байдал нь a - b ялгаа эерэг, өөрөөр хэлбэл. a - b > 0. Тэгш бус байдал a Дараах гурван хамаарлаас дурын a, b тоонуудын хувьд a > b, a = b, a a ба b тоог харьцуулна гэдэг нь >, = эсвэл аль тэмдгийг олохыг хэлнэ. Теорем.Хэрэв a > b ба b > c байвал a > c.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоог нэмбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.
Үр дагавар.Энэ нэр томъёоны тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилснөөр аливаа нэр томъёог тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж болно.

Теорем.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоогоор үржүүлбэл тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил үржүүлбэл сөрөг тоо, тэгвэл тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.
Үр дагавар.Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил эерэг тоонд хуваавал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр тал ижил сөрөг тоонд хуваагдвал тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

Тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, үржүүлж болдог гэдгийг та мэднэ. Дараа нь та тэгш бус байдалтай ижил төстэй үйлдлүүдийг хэрхэн хийхийг сурах болно. Практикт тэгш бус байдлыг нэр томъёогоор нэмэх, үржүүлэх чадварыг ихэвчлэн ашигладаг. Эдгээр үйлдлүүд нь илэрхийллийн утгыг үнэлэх, харьцуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг гишүүнээр нь нэмэх буюу үржүүлэх шаардлагатай байдаг. Үүний зэрэгцээ тэгш бус байдал нь нийлбэр эсвэл үрждэг гэж заримдаа хэлдэг. Жишээлбэл, жуулчин эхний өдөр 20 гаруй км, хоёр дахь өдөр 25 гаруй км алхсан бол хоёр өдрийн дотор 45 гаруй км алхсан гэж хэлж болно. Үүний нэгэн адил тэгш өнцөгтийн урт нь 13 см-ээс бага, өргөн нь 5 см-ээс бага бол энэ тэгш өнцөгтийн талбай нь 65 см2-ээс бага гэж хэлж болно.

Эдгээр жишээг авч үзэхдээ дараахь зүйлийг ашигласан болно. Тэгш бус байдлыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд:

Теорем.Ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг нэмэх үед ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг олж авна: хэрэв a > b ба c > d бол a + c > b + d.

Теорем.Зүүн ба баруун тал нь эерэг ижил тэмдгийн тэгш бус байдлыг үржүүлэхэд ижил тэмдгийн тэгш бус байдал гарна: хэрэв a > b, c > d ба a, b, c, d - эерэг тоонууд, дараа нь ac > bd.

> (илүү) тэмдэгтэй тэгш бус байдал ба 1/2, 3/4 b, c Хатуу тэгш бус байдлын тэмдгүүдийн хамт > ба Үүний нэгэн адил тэгш бус байдал нь \(a \geq b \) нь a тоо байна гэсэн үг юм. b-ээс их буюу тэнцүү, өөрөөр хэлбэл .ба бага биш b.

\(\geq \) тэмдэг эсвэл \(\leq \) тэмдгийг агуулсан тэгш бус байдлыг хатуу бус гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) нь хатуу тэгш бус байдал биш юм.

Хатуу тэгш бус байдлын бүх шинж чанарууд нь хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд ч хүчинтэй байдаг. Түүгээр ч барахгүй хатуу тэгш бус байдлын хувьд > тэмдгүүдийг эсрэгээр нь авч үзсэн бөгөөд хэд хэдэн хэрэглээний асуудлыг шийдэхийн тулд та тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр математик загварыг бий болгох хэрэгтэй гэдгийг мэддэг. Дараа нь та үүнийг олж мэдэх болно математик загваруудОлон асуудлыг шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх тэгш бус байдал байдаг. Бид тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тухай ойлголтыг танилцуулж, эсэхийг хэрхэн шалгахыг харуулах болно өгсөн дугаартодорхой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax > b, \quad ax, a ба b тоо өгөгдсөн, x нь үл мэдэгдэх тоонуудыг гэнэ. шугаман тэгш бус байдалүл мэдэгдэх нэгтэй.

Тодорхойлолт.Нэг үл мэдэгдэх тэгш бус байдлын шийдэл нь үл мэдэгдэхийн утга бөгөөд энэ тэгш бус байдал нь жинхэнэ тоон тэгш бус байдал болно. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг тогтоох гэсэн үг юм.

Та тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон багасгаж шийдсэн. Үүний нэгэн адил тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ шинж чанарыг ашиглан энгийн тэгш бус байдлын хэлбэрт оруулахыг оролддог.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маягтын тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c >0 \) ба \(ax^2+bx+c энд x нь хувьсагч, a, b ба c нь зарим тоо бөгөөд \(a \neq 0 \) гэж нэрлэдэг. нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдал.

Тэгш бус байдлын шийдэл
\(ax^2+bx+c >0 \) эсвэл \(ax^2+bx+c нь \(y= ax^2+bx+c \) функц эерэг эсвэл сөрөг авах интервалыг олох гэж үзэж болно. утгууд Үүнийг хийхийн тулд \(y= ax^2+bx+c\) функцийн график координатын хавтгайд хэрхэн байрлаж байгааг шинжлэхэд хангалттай: параболын мөчрүүд хаана - дээш эсвэл доош чиглэсэн байна. парабол х тэнхлэгтэй огтлолцдог бөгөөд хэрвээ огтлолцсон бол ямар цэгүүд дээр.

Нэг хувьсагчтай хоёрдугаар зэргийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм:
1) дөрвөлжин гурвалсан гишүүний ялгагчийг \(ax^2+bx+c\) олж, гурвалсан гишүүн үндэстэй эсэхийг олох;
2) хэрэв гурвалсан үсэг нь үндэстэй бол тэдгээрийг x тэнхлэг дээр тэмдэглээд, тэмдэглэсэн цэгүүдээр нь бүдүүвчилсэн параболыг зурж, салаа нь > 0-ийн хувьд дээш, 0-ийн хувьд доош, 3-ын доод талд байрладаг. x тэнхлэг дээрх параболууд нь x тэнхлэгээс дээш (хэрэв тэдгээр нь \(ax^2+bx+c >0\) тэгш бус байдлыг шийдвэл) эсвэл x тэнхлэгийн доор (хэрэв тэдгээр нь дараахийг шийдвэл) байрлах интервалуудыг ол. тэгш бус байдал
\(ax^2+bx+c Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Функцийг авч үзье
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Энэ функцийн домэйн нь бүх тооны олонлог юм. Функцийн тэг нь -2, 3, 5 тоонууд юм. Тэд функцийн тодорхойлолтын мужийг \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; () интервалд хуваадаг. 3; 5) \) ба \( (5; +\infty)\)

Заасан интервал бүрт энэ функцын шинж тэмдгүүд юу болохыг олж мэдье.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) илэрхийлэл нь гурван хүчин зүйлийн үржвэр юм. Эдгээр хүчин зүйл бүрийн тэмдэглэгээг авч үзэх интервал дахь хүснэгтэд үзүүлэв.

Ерөнхийдөө функцийг томъёогоор өгье
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
Энд x нь хувьсагч, x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм. x 1 , x 2 , ..., x n тоонууд нь функцийн тэг юм. Тодорхойлолтын мужийг функцийн тэгээр хуваах интервал бүрт функцийн тэмдэг хадгалагдаж, тэгээр дамжих үед түүний тэмдэг өөрчлөгддөг.

Энэ шинж чанарыг хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) энд x 1, x 2, ..., x n нь хоорондоо тэнцүү биш тоонууд юм.

Үзсэн арга тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргыг интервалын арга гэнэ.

Интервалын аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгье.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:

\(x(0.5-x)(x+4) f(x) = x(0.5-x)(x+4) функцын тэг нь \(x=0, \; x= \ цэгүүд байх нь ойлгомжтой. frac(1)(2) , \ x=-4 \)

Бид тооны тэнхлэг дээр функцийн тэгийг зурж, интервал бүр дээр тэмдгийг тооцоолно.

Функц тэгээс бага буюу тэнцүү байх интервалуудыг бид сонгож хариултыг бичнэ.

Хариулт:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \аяга \left[ 4; \; +\infty \баруун) \)

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Юу болов "квадрат тэгш бус байдал"?Асуулт байхгүй!) Хэрэв та авбал ямар чквадрат тэгшитгэл ба доторх тэмдгийг орлуулаарай "=" (тэнцүү) ямар ч тэгш бус байдлын тэмдэг ( > ≥ < ≤ ≠ ), бид квадрат тэгш бус байдлыг олж авна. Жишээ нь:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

За, чи ойлгож байна ...)

Би энд тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг холбосон нь хоосон биш юм. Гол нь шийдвэрлэх эхний алхам ямар чквадрат тэгш бус байдал - Энэ тэгш бус байдал үүссэн тэгшитгэлийг шийд.Энэ шалтгааны улмаас - шийдвэр гаргах чадваргүй квадрат тэгшитгэлавтоматаар тэгш бус байдлын бүрэн бүтэлгүйтэлд хүргэдэг. Санамж тодорхой байна уу?) Хэрэв ямар нэгэн зүйл байвал квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг хараарай. Тэнд бүх зүйлийг нарийвчлан тайлбарласан болно. Мөн энэ хичээлээр бид тэгш бус байдлын асуудлыг авч үзэх болно.

Шийдвэрлэхэд бэлэн тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байна. зүүн - квадрат гурвалжин сүх 2 +bx+c, баруун талд - тэг.Тэгш бус байдлын тэмдэг нь юу ч байж болно. Эхний хоёр жишээ энд байна шийдвэр гаргахад аль хэдийн бэлэн болсон байна.Гурав дахь жишээг бэлтгэх шаардлагатай хэвээр байна.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

y=k/y функцийг авч үзье. Энэ функцийн график нь математикт гипербол гэж нэрлэгддэг шугам юм. Ерөнхий үзэл бодолгиперболыг доорх зурагт үзүүлэв. (График нь y тэнцүү k функцийг х-д хуваасан бөгөөд k нь нэгтэй тэнцүү байна.)

График нь хоёр хэсгээс бүрдэж байгааг харж болно. Эдгээр хэсгүүдийг гиперболын мөчрүүд гэж нэрлэдэг. Гиперболын салбар бүр нь координатын тэнхлэгт ойртож, аль нэг чиглэлд ойртож байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд координатын тэнхлэгүүдийг асимптот гэж нэрлэдэг.

Ер нь функцийн график хязгааргүй ойртож байгаа боловч тэдгээрт хүрэхгүй шулуун шугамыг асимптот гэнэ. Гипербол нь парабола шиг тэгш хэмийн тэнхлэгтэй байдаг. Дээрх зурагт үзүүлсэн гиперболын хувьд энэ нь y=x шугам юм.

Одоо гиперболын хоёр нийтлэг тохиолдлыг харцгаая. k ≠0-ийн хувьд y = k/x функцийн график нь гипербол байх ба түүний мөчрүүд нь координатын нэг ба гурав дахь өнцөгт, k>0-ийн хувьд эсвэл хоёр, дөрөв дэх координатын өнцөгт байрладаг. к-ийн хувьд<0.