Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.
Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.
Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части .
Метод присоединённой (союзной) матрицы
Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:
- Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
- Составить алгебраические дополнения $A_{ij}$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_{n\times n}^{*}=\left(A_{ij} \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
- Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$.
Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.
Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .
Пример №1
Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.
Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.
Ответ : матрицы $A^{-1}$ не существует.
Пример №2
Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$. Выполнить проверку.
Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения
\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}
Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.
Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:
$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$
Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:
$$ A^{-1}\cdot{A} =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right) =-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array} {cc} -103 & 0 \\ 0 & -103 \end{array}\right) =\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) =E $$
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.
Пример №3
Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$. Выполнить проверку.
Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$
Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
$$ \begin{aligned} & A_{11}=(-1)^{2}\cdot\left|\begin{array}{cc} 9 & 4\\ 3 & 2\end{array}\right|=6;\; A_{12}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 &4 \\ 0 & 2\end{array}\right|=8;\; A_{13}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} -4 & 9\\ 0 & 3\end{array}\right|=-12;\\ & A_{21}=(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 3 & 2\end{array}\right|=-5;\; A_{22}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 2\end{array}\right|=2;\; A_{23}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ 0 & 3\end{array}\right|=-3;\\ & A_{31}=(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{cc} 7 & 3\\ 9 & 4\end{array}\right|=1;\; A_{32}=(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 3\\ -4 & 4\end{array}\right|=-16;\; A_{33}=(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & 7\\ -4 & 9\end{array}\right|=37. \end{aligned} $$
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). $$
Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$
Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:
$$ A\cdot{A^{-1}} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)\cdot \frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) =\frac{1}{26}\cdot\left(\begin{array} {ccc} 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) =E $$
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.
Пример №4
Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.
Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.
Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.
Например, для первой строки получим:
$$ A_{11}=\left|\begin{array}{ccc} 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end{array}\right|=556;\; A_{12}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end{array}\right|=-300; $$ $$ A_{13}=\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end{array}\right|=-536;\; A_{14}=-\left|\begin{array}{ccc} 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end{array}\right|=-112. $$
Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:
$$ \Delta{A}=a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}+a_{14}\cdot A_{14}=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$
$$ \begin{aligned} & A_{21}=-77;\;A_{22}=50;\;A_{23}=87;\;A_{24}=4;\\ & A_{31}=-93;\;A_{32}=50;\;A_{33}=83;\;A_{34}=36;\\ & A_{41}=473;\;A_{42}=-250;\;A_{43}=-463;\;A_{44}=-96. \end{aligned} $$
Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=\left(\begin{array}{cccc} 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end{array}\right)$.
Присоединённая матрица: ${A^*}^T=\left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end{array}\right)$.
Обратная матрица:
$$ A^{-1}=\frac{1}{100}\cdot \left(\begin{array} {cccc} 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right) $$
Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих примерах.
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)$.
Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.
Рассмотрим квадратную матрицу . Обозначим Δ = det A ее определитель. Квадратная В есть (ОМ) для квадратной А того же порядка, если их произведение А*В = В* А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и А и В.
Квадратная А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.
Теорема. Для того, чтобы А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
(ОМ) А, обозначается через А -1 , так что В = А -1 и вычисляется по формуле
, (1)
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j , Δ = detA.
Вычисление A -1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A -1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то в результате получится A -1 . Удобно совершать ЭП над А и Е одновременно, записывая обе рядом через черту A|E. Если нужно найти A -1 , в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.
Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений
Пример 1
. Для найти A -1 .
Решение.
Находим сначала детерминант А значит, (ОМ) существует и мы ее можем найти по формуле:
, где А i j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а i j исходной А.
Алгебраическое дополнение элемента a ij это определитель или минор M ij . Он получается вычеркиванием столбца i и строки j. Затем минор умножается на (-1) i+j , т.е. A ij =(-1) i+j M ij
откуда .
Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Пример 2 . Методом элементарных преобразований найти A -1 для: А= .
Решение.
Приписываем к исходной A справа единичную того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~
. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2:
. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй;
. Прибавим третий столбец к первому и второму:
. Умножим последний столбец на -1:
. Полученная справа от вертикальной черты квадратная таблица является обратной А -1 . Итак,
.
Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E :
АA −1 = A −1 A = E.
Метод обратной матрицы.
Метод обратной матрицы - это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.
Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:
Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B ,
где - матрица системы,
- столбец неизвестных,
- столбец свободных коэффициентов.
Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:
A -1 * A * X = A -1 * B
Зная, что A -1 * A = E , тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B .
Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B .
Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0 . Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A . Если det A ≠ 0 , то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0 , то такая система методом обратной матрицы не решается.
Решение обратной матрицы.
Последовательность действий для решения обратной матрицы :
- Получаем определитель матрицы A . Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
- Находим транспонированную матрицу AT .
- Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
- Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.
Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C .
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
- Вычисляем алгебраические дополнения.
- Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
- Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
- Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.
Это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.
Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.
Пример нахождения обратной матрицы.
Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы
.
Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:
Из 1й строки вычитаем 2ю:
От второй строки отнимаем 2 первых:
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
- Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
- Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
- Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
- Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Для матрицы А найти обратную матрицу А -1
Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.
Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .
В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.
Ответ:
Решение матричных уравнений
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.
Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Решить уравнение АХ = В, если
Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
Матричный метод в экономическом анализе
Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.
В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.
На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .
На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.
После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .
На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.
На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.
Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.
Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.
Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.
Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.
Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений
и с помощью элементарных преобразований
.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.
Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :
Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.
Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом
Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
1) Сначала находим определитель матрицы .
Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?
Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .
В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.
2) Находим матрицу миноров .
Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .
Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.
Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:
Как найти его минор
?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшееся число и является минором данного элемента
, которое записываем в нашу матрицу миноров:
Рассматриваем следующий элемент матрицы :
Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:
То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:
Готово.
Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ
у двух чисел:
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
И всего-то лишь…
4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
5) Ответ .
Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!
Таким образом, обратная матрица:
Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .
Как проверить решение?
Необходимо выполнить матричное умножение либо
Проверка:
Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.
Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:
Пример:
Найти обратную матрицу для матрицы
Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».
Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
1) Находим определитель матрицы .
Здесь определитель раскрыт по первой строке
.
Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .
2) Находим матрицу миноров .
Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.
Я подробно рассмотрю парочку миноров:
Рассмотрим следующий элемент матрицы:
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента
. Его нужно вычислить:
Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.
Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.
Окончательный результат: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.
3) Находим матрицу алгебраических дополнений .
В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ
строго у следующих элементов:
В данном случае:
Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).
В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.