Pentru o figură simetrică, momentul de inerție centrifugal este egal. Momentul axial de inerție

Dacă m = 1, n = 1, atunci obținem caracteristica

care se numeste moment de inerție centrifugal.

Moment centrifug inerţie relativ la axele de coordonate – suma produselor ariilor elementare dA la distantele lor fata de aceste axe, luate pe toata suprafata sectiunii transversale O.

Dacă cel puţin una dintre axe y sau z este axa de simetrie a secțiunii, momentul de inerție centrifugal al unei astfel de secțiuni față de aceste axe este egal cu zero (deoarece în acest caz fiecare valoare pozitivă z·y·dA putem pune în corespondență exact la fel, dar negativ, de cealaltă parte a axei de simetrie a secțiunii, vezi figura).

Să luăm în considerare caracteristicile geometrice suplimentare care pot fi obținute din cele principale enumerate și sunt, de asemenea, adesea folosite în calculele rezistenței și rigidității.

Momentul polar de inerție

Momentul polar de inerție Jp denumește caracteristica

Pe de alta parte,

Momentul polar de inerție(față de un punct dat) – suma produselor suprafețelor elementare dA după pătratele distanțelor lor până în acest punct, preluată pe întreaga suprafață a secțiunii transversale O.

Dimensiunea momentelor de inerție este m 4 în SI.

Moment de rezistență

Moment de rezistență relativ la o axă – o valoare egală cu momentul de inerție față de aceeași axă împărțită la distanță ( ymax sau z max) până la punctul cel mai îndepărtat de această axă

Dimensiunea momentelor de rezistenţă este m 3 în SI.

Raza de inerție

Raza de inerție secțiunea relativă la o anumită axă se numește valoare determinată din relația:

Razele de rotație sunt exprimate în unități SI de m.

Comentariu: secțiunile transversale ale elementelor structurilor moderne reprezintă adesea o anumită compoziție de materiale cu rezistență diferită la deformare elastică, caracterizată, după cum se știe dintr-un curs de fizică, prin modulul Young. E. În cazul cel mai general al unei secțiuni transversale neomogene, modulul Young este functie continua coordonatele punctelor de secțiune, adică E = E(z, y). Prin urmare, rigiditatea unei secțiuni neomogene în proprietăți elastice se caracterizează prin caracteristici mai complexe decât caracteristicile geometrice ale unei secțiuni omogene, și anume cele elastic-geometrice de formă

2.2. Calculul caracteristicilor geometrice figuri simple

Secțiune dreptunghiulară

Să determinăm momentul axial de inerție al dreptunghiului în raport cu axa z. Să împărțim aria dreptunghiului în zone elementare cu dimensiuni b(lățimea) și dy(înălţime). Apoi aria unui astfel de dreptunghi elementar (umbrit) este egală cu dA = b dy. Înlocuirea valorii dAîn prima formulă, obținem

Prin analogie, scriem momentul axial în jurul axei la:

Momentele axiale de rezistență ale unui dreptunghi:

;

În mod similar, puteți obține caracteristici geometrice pentru alte figuri simple.

Secțiune rotundă

Este convenabil să găsești mai întâi momentul polar de inerție J p .

Apoi, având în vedere că pentru un cerc J z = J y, A J p = J z + J y, vom găsi Jz =Jy = Jp / 2.

Să împărțim cercul în inele infinitezimale de grosime dρ si raza ρ ; zona unui astfel de inel dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Înlocuind expresia pentru dAîntr-o expresie pentru Jpși integrând, obținem

2.3. Calculul momentelor de inerție față de axe paralele

zŞi y:

Este necesar să se determine momentele de inerție ale acestei secțiuni în raport cu „noile” axe z 1Şi y 1, paralele cu cele centrale și distanțate de acestea la distanță oŞi b respectiv:

Coordonatele oricărui punct din „noul” sistem de coordonate z 1 0 1 y 1 poate fi exprimat prin coordonate în „vechile” axe zŞi y Aşa:

Din moment ce axele zŞi y– central, apoi momentul static Sz = 0.

În cele din urmă, putem scrie formulele de „tranziție” pentru transfer paralel axe:

Rețineți că coordonatele oŞi b trebuie înlocuite ținând cont de semnul lor (în sistemul de coordonate z 1 0 1 y 1).

2.4. Calculul momentelor de inerție la rotirea axelor de coordonate

Fie cunoscute momentele de inerție ale unei secțiuni arbitrare în raport cu axele centrale z, y:

; ;

Să întoarcem topoarele z, yîntr-un unghi α în sens invers acelor de ceasornic, considerând că unghiul de rotație al axelor în acest sens este pozitiv.

Este necesar să se determine momentele de inerție în raport cu „noile” axe (rotate). z 1Şi y 1:

Coordonatele site-ului elementar dAîn „noul” sistem de coordonate z 1 0y 1 poate fi exprimat prin coordonate în axele „vechi” astfel:

Inlocuim aceste valori in formulele momentelor de inertie in axele „noile” si integram termen cu termen:

După ce am făcut transformări similare cu expresiile rămase, vom scrie în sfârșit formulele de „tranziție” la rotirea axelor de coordonate:

Rețineți că dacă adunăm primele două ecuații, obținem

adică momentul polar de inerție este mărimea invariant(cu alte cuvinte, neschimbat la rotirea axelor de coordonate).

2.5. Axele principale și momentele principale de inerție

Până acum, au fost luate în considerare caracteristicile geometrice ale secțiunilor dintr-un sistem de coordonate arbitrar, dar sistemul de coordonate în care secțiunea este descrisă de cel mai mic număr de caracteristici geometrice prezintă cel mai mare interes practic. Un astfel de sistem de coordonate „special” este specificat de poziția axelor principale ale secțiunii. Să introducem conceptele: axele principaleŞi principalele momente de inerție.

Axele principale– două axe reciproc perpendiculare, față de care momentul de inerție centrifugal este zero, în timp ce momentele de inerție axiale iau valori extreme (maximum și minim).

Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale.

Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție.

Axele centrale principale sunt de obicei desemnate prin litere uŞi v; principalele momente de inerție - J uŞi J v(prin definiție J uv = 0).

Să derivăm expresii care ne permit să aflăm poziția axelor principale și mărimea momentelor principale de inerție. Ştiind asta J uv= 0, folosim ecuația (2.3):

Colţ α 0 definește poziția axelor principale față de orice axe centrale zŞi y. Colţ α 0 depus între axă z si axa uși este considerat pozitiv în sens invers acelor de ceasornic.

Rețineți că, dacă secțiunea are o axă de simetrie, atunci, în conformitate cu proprietatea momentului de inerție centrifugal (a se vedea secțiunea 2.1, paragraful 4), o astfel de axă va fi întotdeauna axa principală secțiuni.

Excluzând unghiul α în expresiile (2.1) și (2.2) folosind (2.4), obținem formule pentru determinarea principalelor momente axiale de inerție:

Să scriem regula: axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor (z sau y) față de care momentul de inerție are o valoare mai mare.

2.6. Forme raționale ale secțiunilor transversale

Tensiuni normale într-un punct arbitrar secţiune transversală grinzi la curba dreaptă sunt determinate de formula:

, (2.5)

Unde M– momentul încovoietor în secțiunea transversală luată în considerare; la– distanţa de la punctul luat în considerare până la axa centrală principală perpendiculară pe planul de acţiune al momentului încovoietor; J x– momentul central principal de inerție al secțiunii.

Cele mai mari tensiuni normale de tracțiune și compresiune într-o secțiune transversală dată apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Ele sunt determinate de formulele:

; ,

Unde la 1Şi la 2– distante fata de axa centrala principala X până la cele mai îndepărtate fibre întinse și comprimate.

Pentru grinzile din materiale plastice, când [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] sunt tensiunile admisibile pentru materialul grinzii în tensiune și respectiv compresiune), secțiunile simetrice față de axa centrală sunt folosit. În acest caz, condiția de rezistență are forma:

≤ [σ], (2,6)

Unde W x = J x / y max– momentul de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului față de axa centrală principală; ymax = h/2(h– înălțimea secțiunii); M max– cel mai mare moment încovoietor în valoare absolută; [σ] – efortul de încovoiere admisibil al materialului.

Pe lângă condiția de rezistență, fasciculul trebuie să satisfacă și condiția economică. Cele mai economice sunt acele forme de secțiune transversală pentru care, cu cea mai mică cantitate de material (sau cu cea mai mică suprafață a secțiunii transversale), se poate obține cea mai mare valoare moment de rezistență. Pentru ca forma secțiunii să fie rațională, este necesar, dacă este posibil, să se distribuie secțiunea departe de axa centrală principală.

De exemplu, o grindă în I standard este de aproximativ șapte ori mai puternică și de treizeci de ori mai rigidă decât o grindă pătrată de aceeași secțiune transversală realizată din același material.

Trebuie avut în vedere că atunci când poziția secțiunii se modifică în raport cu sarcina care acționează, rezistența grinzii se modifică semnificativ, deși aria secțiunii transversale rămâne neschimbată. Prin urmare, secțiunea trebuie poziționată astfel încât linie electrică a coincis cu cel al axelor principale despre care momentul de inerţie este minim. Ar trebui să vă străduiți să vă asigurați că îndoirea grinzii are loc în planul cu cea mai mare rigiditate.

Să ne uităm la câteva caracteristici geometrice suplimentare ale figurilor plate. Una dintre aceste caracteristici se numește axial sau ecuatorial moment de inerție. Această caracteristică este relativă la axele și
(Fig.4.1) ia forma:

;
. (4.4)

Principala proprietate a momentului de inerție axial este că acesta nu poate fi mai mic de zero sau egal cu zero. Acest moment de inerție este întotdeauna mai mare decât zero:
;
. Unitatea de măsură pentru momentul axial de inerție este (lungimea 4).

Conectați originea coordonatelor cu un segment de linie dreaptă cu arie infinitezimală
și notează acest segment cu literă (Fig.4.4). Momentul de inerție al unei figuri în raport cu pol – originea coordonatelor – se numește momentul polar de inerție:

. (4.5)

Acest moment de inerție, ca și cel axial, este întotdeauna mai mare decât zero (
) și are dimensiunea – (lungime 4).

Să-l notăm condiție de invarianță suma momentelor de inerție ecuatoriale în jurul a două axe reciproc perpendiculare. Din fig. 4.4 este clar că
.

Înlocuind această expresie în formula (4.5), obținem:

Condiția de invarianță este formulată după cum urmează: suma momentelor axiale de inerție față de oricare două axe reciproc perpediculare este o valoare constantă și egală cu momentul polar de inerție față de punctul de intersecție al acestor axe.

Moment de inerție figură plată relativ la două axe reciproc perpendiculare în același timp se numește biaxiale sau centrifugal moment de inerție. Momentul de inerție centrifugal are următoarea formă:

. (4.7)

Momentul de inerție centrifugal are dimensiunea – (lungime 4). Poate fi pozitiv, negativ sau zero. Se numesc axe în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție. Să demonstrăm că axa de simetrie a unei figuri plane este axa principală.

Luați în considerare figura plată prezentată în Fig. 4.5.

Selectați stânga și dreapta din axa de simetrie două elemente cu arie infinitezimală
. Centrul de greutate al întregii figuri este în punctul C. Să plasăm originea coordonatelor în punctul C și să notăm coordonatele verticale ale elementelor selectate cu litera „ ”, pe orizontală – pentru elementul din stânga „
”, pentru elementul potrivit “ " Să calculăm suma momentelor de inerție centrifuge pentru elementele selectate cu o suprafață infinitezimală în raport cu axele Şi :

Dacă integrăm expresia (4.8) din stânga și dreapta, obținem:

, (4.9)

deoarece dacă axa este o axă de simetrie, atunci pentru orice punct situat la stânga acestei axe există întotdeauna un punct simetric cu acesta.

Analizând soluția obținută ajungem la concluzia că axa de simetrie este axa principală de inerție. Axa centrală este și axa principală, deși nu este o axă de simetrie, deoarece momentul de inerție centrifugal a fost calculat simultan pentru două axe. Şi și s-a dovedit a fi zero.

Să presupunem că există un sistem de coordonate cu originea în punctul O și axele OX; OY; OZ. În raport cu aceste axe, momentele de inerție centrifuge (produșii de inerție) sunt mărimi care sunt determinate de egalitățile:

unde sunt masele puncte materiale, în care se împarte corpul; - coordonatele punctelor materiale corespunzătoare.

Momentul de inerție centrifugal are proprietatea de simetrie, aceasta rezultă din definiția sa:

Momentele centrifuge ale corpului pot fi pozitive și negative cu o anumită alegere a axelor OXYZ, pot deveni zero.

Pentru momentele de inerție centrifuge există un analog al teoremei lui Steinberg. Dacă luăm în considerare două sisteme de coordonate: și . Unul dintre aceste sisteme are originea în centrul de masă al corpului (punctul C), axele sistemelor de coordonate sunt paralele perechi (). Fie coordonatele centrului de masă al corpului să fie () în sistemul de coordonate, atunci:

unde este masa corporală.

Principalele axe de inerție ale corpului

Fie ca un corp omogen să aibă o axă de simetrie. Să construim axe de coordonate astfel încât axa OZ să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie a corpului. Apoi, ca o consecință a simetriei, fiecărui punct al unui corp cu masă și coordonate îi corespunde un punct care are un indice diferit, dar aceeași masă și coordonate: . Ca rezultat, obținem că:

întrucât în aceste sume toți termenii au propria lor pereche de egale ca mărime, dar opuse ca semn. Expresiile (4) sunt echivalente cu scrierea:

Am constatat că simetria axială a distribuției de masă față de axa OZ este caracterizată de egalitatea la zero a două momente de inerție centrifuge (5), care conțin numele acestei axe printre indicii lor. În acest caz, axa OZ este numită axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.

Axa principală de inerție nu este întotdeauna axa de simetrie a corpului. Dacă un corp are un plan de simetrie, atunci orice axă care este perpendiculară pe acest plan este axa principală de inerție pentru punctul O în care axa intersectează planul în cauză. Egalitățile (5) reflectă condițiile în care axa OZ este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine). Daca sunt indeplinite conditiile:

atunci axa OY va fi axa principală de inerție pentru punctul O.

Dacă egalitățile sunt îndeplinite:

atunci toate cele trei axe de coordonate ale sistemului de coordonate OXYZ sunt principalele axe de inerție ale corpului pentru origine.

Momentele de inerție ale unui corp față de axele principale de inerție sunt numite momente de inerție principale ale corpului. Principalele axe de inerție, care sunt construite pentru centrul de masă al corpului, sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului.

Dacă un corp are o axă de simetrie, atunci acesta este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă este situat pe această axă. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci axa normală cu acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.

Conceptul principalelor axe de inerție în dinamică solid are o importanță semnificativă. Dacă axele de coordonate OXYZ sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin egale cu zero, iar formulele care ar trebui utilizate la rezolvarea problemelor de dinamică sunt simplificate semnificativ. Conceptul de axe principale de inerție este asociat cu rezolvarea problemelor despre ecuația dinamică a unui corp în rotație și despre centrul de impact.

Momentul de inerție al unui corp (inclusiv centrifugal) în sistemul internațional de unități se măsoară în:

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni (figura plană) în raport cu două axe reciproc normale (OX și OY) este o valoare egală cu:

Expresia (8) spune că momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare () cu distanțele de la acestea la axele luate în considerare, pe întreaga suprafață S.

Unitatea SI pentru măsurarea momentelor de inerție a unei secțiuni este:

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe față de oricare două reciproc axele normale egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive față de aceste axe.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercita

Obțineți o expresie pentru momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni transversale dreptunghiulare în jurul axelor (X,Y).

Soluţie

Să facem un desen.

Pentru a determina momentul de inerție centrifugal, selectăm din dreptunghiul existent un element din aria sa (Fig. 1), a cărui zonă este egală cu:

În prima etapă de rezolvare a problemei, vom găsi momentul de inerție centrifugal () al unei benzi verticale având o înălțime și lățime care este situată la distanță de axa Y (se ține cont că la integrarea pentru toate zonele din o bandă verticală selectată, valoarea este constantă):

Dacă trasăm axe de coordonate prin punctul O, atunci față de aceste axe momentele centrifuge de inerție (sau produsele de inerție) sunt mărimile definite de egalitățile:

unde sunt masele punctelor; - coordonatele acestora; este evident că etc.

Pentru corpurile solide, formulele (10), prin analogie cu (5), iau forma

Spre deosebire de cele axiale, momentele de inerție centrifuge pot fi atât cantități pozitive, cât și negative și, în special, cu un anumit mod de alegere a axelor, pot deveni zero.

Axele principale de inerție. Să considerăm un corp omogen având o axă de simetrie. Să desenăm axele de coordonate Oxyz astfel încât axa să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie (Fig. 279). Apoi, din cauza simetriei, fiecărui punct al unui corp cu masa mk și coordonate îi va corespunde un punct cu un indice diferit, dar cu aceeași masă și cu coordonate egale cu . Ca rezultat, obținem că, deoarece în aceste sume toți termenii sunt identici în perechi ca mărime și opuși ca semn; de aici, ținând cont de egalitățile (10), găsim:

Astfel, simetria în distribuția maselor în raport cu axa z este caracterizată prin dispariția a două momente de inerție centrifuge. Axa Oz, pentru care momentele de inerție centrifuge care conțin numele acestei axe în indicii lor sunt egale cu zero, se numește axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.

Din cele de mai sus rezultă că, dacă un corp are o axă de simetrie, atunci această axă este axa principală de inerție a corpului pentru oricare dintre punctele sale.

Axa principală de inerție nu este neapărat axa de simetrie. Să considerăm un corp omogen care are un plan de simetrie (în Fig. 279 planul de simetrie al corpului este planul ). Să desenăm câteva axe și o axă perpendiculară pe acestea în acest plan. Apoi, din cauza simetriei, fiecărui punct cu masă și coordonate îi va corespunde un punct cu aceeași masă și coordonate egale cu . Ca urmare, ca și în cazul precedent, aflăm că sau de unde rezultă că axa este axa principală de inerție pentru punctul O. Astfel, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci orice axă perpendiculară pe acest plan va fi axa principală de inerție a corpului pentru punctul O, în care axa intersectează planul.

Egalitățile (11) exprimă condițiile că axa este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine).

În mod similar, dacă atunci axa Oy va fi axa principală de inerție pentru punctul O. Prin urmare, dacă toate momentele de inerție centrifuge sunt egale cu zero, i.e.

atunci fiecare dintre axele de coordonate este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine).

De exemplu, în Fig. 279 toate cele trei axe sunt principalele axe de inerție pentru punctul O (axa este axa de simetrie, iar axele Ox și Oy sunt perpendicular pe planuri simetrie).

Momentele de inerție ale unui corp în raport cu axele principale de inerție sunt numite momente de inerție principale ale corpului.

Principalele axe de inerție construite pentru centrul de masă al corpului sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului. Din cele demonstrate mai sus rezultă că, dacă un corp are o axă de simetrie, atunci această axă este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă se află pe această axă. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci axa perpendiculară pe acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului va fi, de asemenea, una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.

În exemplele date au fost luate în considerare corpuri simetrice, ceea ce este suficient pentru a rezolva problemele pe care le vom întâlni. Cu toate acestea, se poate dovedi că prin orice punct al oricărui corp este posibil să se deseneze cel puțin trei axe reciproc perpendiculare pentru care se vor îndeplini egalitățile (11), adică care vor fi principalele axe de inerție ale corpului pentru acest punct. .

Conceptul de axe principale de inerție joacă un rol important în dinamica unui corp rigid. Dacă axele de coordonate Oxyz sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin zero și ecuațiile sau formulele corespunzătoare sunt simplificate semnificativ (vezi § 105, 132). Acest concept este asociat și cu rezolvarea problemelor privind ecuația dinamică a corpurilor în rotație (vezi § 136), asupra centrului de impact (vezi § 157), etc.

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLATE.

După cum arată experiența, rezistența unei tije la diferite deformații depinde nu numai de dimensiunile secțiunii transversale, ci și de formă.

Dimensiunile și forma secțiunii transversale sunt caracterizate de diverse caracteristici geometrice: aria secțiunii transversale, momente statice, momente de inerție, momente de rezistență etc.

1. Momentul static al zonei(momentul de inerție de gradul I).

Momentul static de inerție aria relativă la orice axă este suma produselor ariilor elementare și distanța față de această axă, răspândită pe întreaga zonă (Fig. 1)

Fig.1

Proprietățile momentului static al ariei:

1. Momentul static al ariei se măsoară în unități de lungime ale celei de-a treia puteri (de exemplu, cm 3).

2. Momentul static poate fi mai mic decât zero, mai mare decât zero și, prin urmare, egal cu zero. Axele în jurul cărora momentul static este zero trec prin centrul de greutate al secțiunii și se numesc axe centrale.

Dacă x cŞi y c sunt coordonatele centrului de greutate, atunci

3. Momentul static de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor statice ale componentelor secțiunilor simple față de aceeași axă.

Conceptul de moment static de inerție în știința forței este folosit pentru a determina poziția centrului de greutate al secțiunilor, deși trebuie amintit că în secțiunile simetrice centrul de greutate se află la intersecția axelor de simetrie.

2. Momentul de inerție al secțiunilor plane (figuri) (momentele de inerție de gradul II).

O) axial(ecuatorial) moment de inerție.

Momentul axial de inerție Aria unei figuri în raport cu orice axă se numește suma produselor ariilor elementare cu pătratul distanței până la această axă de distribuție pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului axial de inerție.

1. Momentul axial de inerție al zonei se măsoară în unități de lungime a puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul axial de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul axial de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor axiale ale componentelor secțiunilor simple față de aceeași axă:

4. Mărimea momentului de inerție axial caracterizează capacitatea unei tije (grindă) de o anumită secțiune transversală de a rezista la încovoiere.

b) Momentul polar de inerție.

Momentul polar de inerție Aria unei figuri în raport cu orice pol este suma produselor ariilor elementare cu pătratul distanței până la pol, răspândită pe întreaga zonă (Fig. 1).

Proprietățile momentului polar de inerție:

1. Momentul polar de inerție al unei zone se măsoară în unități de lungime ale celei de-a patra puteri (de exemplu, cm 4).

2. Momentul polar de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de orice pol (centru) este egal cu suma momentelor polare ale componentelor secțiunilor simple raportate la acest pol.

4. Momentul polar de inerție al unei secțiuni este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale acestei secțiuni în raport cu două axe reciproc perpendiculare care trec prin pol.

5. Mărimea momentului polar de inerție caracterizează capacitatea unei tije (grindă) cu o anumită formă de secțiune transversală de a rezista la torsiune.

c) Momentul de inerție centrifugal.

MOMENTUL CENTRIFUG DE INERȚIE al ariei unei figuri în raport cu orice sistem de coordonate este suma produselor ariilor elementare și coordonatelor, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului de inerție centrifugal:

1. Momentul de inerție centrifugal al unei zone se măsoară în unități de lungime ale puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul de inerție centrifugal poate fi mai mare decât zero, mai mic decât zero și egal cu zero. Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero se numesc axe principale de inerție. Două axe reciproc perpendiculare, dintre care cel puțin una este o axă de simetrie, vor fi axele principale. Axele principale care trec prin centrul de greutate al zonei sunt numite axe centrale principale, iar momentele axiale de inerție ale zonei sunt numite momente centrale de inerție principale.

3. Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe în orice sistem de coordonate este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale figurilor constitutive din același sistem de coordonate.

MOMENTE DE INERTIE RELATIVE LA AXELE PARALELE.

Fig.2

Date: topoare x, y– centrală;

aceste. momentul axial de inerție într-o secțiune în jurul unei axe paralele cu cea centrală este egal cu momentul axial în jurul axei sale centrale plus produsul ariei și pătratul distanței dintre axe. Rezultă că momentul axial de inerție al secțiunii față de axa centrală are o valoare minimă într-un sistem de axe paralele.

Făcând calcule similare pentru momentul de inerție centrifugal, obținem:

J x1y1 =J xy +Aab

aceste. momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele paralele sistem central coordonate, este egal cu momentul centrifug din sistemul central de coordonate plus produsul ariei și distanța dintre axe.

MOMENTE DE INERTIE ÎNTR-UN SISTEM DE COORDONATE ROTATE

aceste. suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii este o valoare constantă, nu depinde de unghiul de rotație al axelor de coordonate și este egală cu momentul polar de inerție față de origine. Momentul de inerție centrifugal își poate schimba valoarea și devine „0”.

Axele în jurul cărora momentul centrifug este zero vor fi axele principale de inerție, iar dacă trec prin centrul de greutate, atunci se numesc axe principale de inerție și sunt desemnate „ u" și "".

Momentele de inerție în jurul axelor centrale principale sunt numite momente de inerție centrale principale și sunt desemnate , iar principalele momente centrale de inerție au valori extreme, i.e. unul este „min”, iar celălalt este „max”.

Fie ca unghiul „a 0” să caracterizeze poziția axelor principale, apoi:

Folosind această dependență, determinăm poziția axelor principale. Mărimea momentelor principale de inerție după unele transformări este determinată de următoarea relație: