Studiul fizicii începe cu luarea în considerare a mișcării mecanice. În cazul general, corpurile se deplasează pe traiectorii curbe cu viteze variabile. Conceptul de accelerație este folosit pentru a le descrie. În acest articol ne vom uita la ce sunt accelerația tangențială și normală.

Mărimi cinematice. Viteza și accelerația în fizică

Cinematica mișcării mecanice este o ramură a fizicii care se ocupă cu studiul și descrierea mișcării corpurilor în spațiu. Cinematica operează pe trei mărimi principale:

• distanta parcursa;
• viteză;
• accelerare.

În cazul mișcării într-un cerc se folosesc caracteristici cinematice similare, care sunt reduse la unghiul central al cercului.

Toată lumea este familiarizată cu conceptul de viteză. Ea arată viteza de schimbare a coordonatelor corpurilor în mișcare. Viteza este întotdeauna direcționată tangențial la linia de-a lungul căreia se mișcă corpul (traiectorie). În cele ce urmează, vom nota viteza liniară cu v¯, iar viteza unghiulară cu ω¯.

Accelerația este viteza de modificare a mărimilor v¯ și ω¯. Accelerația este, de asemenea, dar direcția sa este complet independentă de vectorul viteză. Accelerația este întotdeauna îndreptată către forța care acționează asupra corpului, ceea ce provoacă o modificare a vectorului viteză. Accelerația pentru orice tip de mișcare poate fi calculată folosind formula:

Cu cât viteza se schimbă mai mult în intervalul de timp dt, cu atât accelerația va fi mai mare.

Accelerația tangențială și normală

Să presupunem că un punct material se mișcă de-a lungul unei linii curbe. Se știe că la un moment dat viteza sa a fost egală cu v¯. Deoarece viteza este un vector tangent la traiectorie, ea poate fi reprezentată sub următoarea formă:

Aici v este lungimea vectorului v¯, iar u t¯ este vectorul viteză unitară.

Pentru a calcula vectorul accelerație totală la momentul t, este necesar să se găsească derivata în timp a vitezei. Avem:

a¯ = dv¯ / dt = d (v × u t ¯) / dt

Deoarece modulul viteză și vectorul unitar se modifică în timp, folosind regula pentru găsirea derivatei produsului de funcții, obținem:

a¯ = dv / dt × u t ¯ + d (u t ¯) / dt × v

Primul termen din formulă este numit componenta tangenţială sau tangenţială a acceleraţiei, al doilea termen este acceleraţia normală.

Accelerația tangențială

Să scriem din nou formula pentru calcularea accelerației tangențiale:

a t ¯ = dv / dt × u t ¯

Această egalitate înseamnă că accelerația tangențială (tangențială) este direcționată în același mod ca vectorul viteză în orice punct al traiectoriei. Determină numeric modificarea modulului de viteză. De exemplu, în cazul mișcării rectilinie ea constă numai dintr-o componentă tangenţială. Accelerația normală pentru acest tip de mișcare este zero.

Motivul apariției valorii a t ¯ este influența unei forțe externe asupra unui corp în mișcare.

În cazul rotației cu accelerație unghiulară constantă α, componenta tangențială a accelerației poate fi calculată folosind următoarea formulă:

Aici r este raza de rotație a celui considerat punct material, pentru care se calculează valoarea a t.

Accelerație normală sau centripetă

Acum să scriem din nou a doua componentă a accelerației totale:

a c ¯ = d (u t ¯) / dt × v

Din considerente geometrice, se poate demonstra că derivata în timp a unei unitare tangente la traiectoria unui vector este egală cu raportul dintre modulul de viteză v și raza r la momentul t. Atunci expresia de mai sus va fi scrisă astfel:

Această formulă pentru accelerația normală indică faptul că, spre deosebire de componenta tangențială, ea nu depinde de modificările vitezei, ci este determinată de pătratul modulului vitezei în sine. De asemenea, a c crește odată cu descreșterea razei de rotație la o valoare constantă a v.

Accelerația normală se numește centripetă deoarece este direcționată de la centrul de masă al unui corp în rotație către axa de rotație.

Motivul apariției acestei accelerații este componenta centrală a forței care acționează asupra corpului. De exemplu, în cazul planetelor care se învârt în jurul Soarelui nostru, forța centripetă este atracția gravitațională.

Accelerația normală a unui corp schimbă doar direcția vitezei. Nu este capabil să-și schimbe modulul. Acest fapt este o diferență importantă față de componenta tangențială a accelerației totale.

Deoarece accelerația centripetă are loc întotdeauna când vectorul viteză este rotit, ea există și în cazul rotației circulare uniforme, în care accelerația tangențială este zero.

În practică, puteți simți efectele accelerației normale dacă vă aflați în mașină atunci când face un viraj lung. În acest caz, pasagerii sunt apăsați împotriva sensului de rotație al ușii mașinii. Acest fenomen este rezultatul acțiunii a două forțe: centrifuge (deplasarea pasagerilor de pe scaune) și centripetă (presiunea asupra pasagerilor din partea laterală a ușii mașinii).

Modulul și direcția accelerației totale

Deci, am aflat că componenta tangenţială a mărimii fizice luate în considerare este direcţionată tangenţial la traiectoria mişcării. La rândul său, componenta normală este perpendiculară pe traiectorie într-un punct dat. Aceasta înseamnă că cele două componente ale accelerației sunt perpendiculare una pe cealaltă. Lor adiție vectorială dă vectorul accelerație totală. Modulul său poate fi calculat folosind următoarea formulă:

a = √(a t 2 + a c 2)

Direcția vectorului a¯ poate fi determinată atât în ​​raport cu vectorul a t ¯, cât și în raport cu a c ¯. Pentru a face acest lucru, ar trebui să utilizați cel adecvat functie trigonometrica. De exemplu, unghiul dintre accelerația totală și cea normală este:

Rezolvarea problemei determinării accelerației centripete

O roată, care are o rază de 20 cm, se învârte cu o accelerație unghiulară de 5 rad/s 2 timp de 10 secunde. Este necesar să se determine accelerația normală a punctelor situate la periferia roții după un timp specificat.

Pentru a rezolva problema, vom folosi formula pentru legătura dintre accelerațiile tangențiale și unghiulare. Primim:

Deoarece mișcarea uniform accelerată a durat un timp t = 10 secunde, viteza liniară dobândită în acest timp a fost egală cu:

v = a t × t = α × r × t

Înlocuim formula rezultată în expresia corespunzătoare pentru accelerația normală:

a c = v 2 / r = α 2 × t 2 × r

Rămâne să înlocuiți valorile cunoscute în această egalitate și să scrieți răspunsul: a c = 500 m/s 2 .

Mișcarea unui punct material de-a lungul unei căi curbe este întotdeauna accelerată, deoarece chiar dacă viteza nu se modifică în valoare numerică, ea își schimbă întotdeauna direcția.

În general, accelerația în timpul mișcării curbilinie poate fi reprezentată ca o sumă vectorială a accelerației tangențiale (sau tangențiale). tși accelerație normală n: =t+n- orez. 1.4.

Accelerația tangențială caracterizează rata de modificare a vitezei modulo. Valoarea acestei accelerații va fi:

Accelerația normală caracterizează viteza de schimbare a vitezei în direcție. Valoarea numerică a acestei accelerații, unde r- raza cercului de contact, adică un cerc trasat prin trei puncte infinit apropiate B¢ , A, B, întins pe curbă (Fig. 1.5). Vector nîndreptată de-a lungul normalei la traiectoria către centrul de curbură (centrul cercului osculator).

Valoarea numerică a accelerației totale

unde este viteza unghiulara.

unde este accelerația unghiulară.

Accelerația unghiulară este numeric egală cu modificarea vitezei unghiulare pe unitatea de timp.

În concluzie, prezentăm un tabel care stabilește o analogie între parametrii cinematici liniar și unghiular ai mișcării.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Curs scurt de fizică

Ministerul Educației și Științei al Ucrainei.. Academia Națională Maritimă din Odesa..

Dacă ai nevoie material suplimentar pe acest subiect, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:

Tweet

Toate subiectele din această secțiune:

Unități SI de bază
În prezent, Sistemul Internațional de Unități - SI - este general acceptat. Acest sistem conține șapte unități de bază: metru, kilogram, secundă, mol, amper, kelvin, candela și două suplimentare -

Mecanica
Mecanica este știința mișcării mecanice a corpurilor materiale și a interacțiunilor dintre ele care au loc în timpul acestui proces. Sub mișcare mecanică

să înțeleagă schimbările de gen reciproc de-a lungul timpului
legile lui Newton

Dinamica este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor materiale sub influența forțelor aplicate acestora. Mecanica se bazează pe legile lui Newton.
Prima lege a lui Newton

Legea conservării impulsului
Să luăm în considerare derivarea legii conservării impulsului bazată pe a doua și a treia lege a lui Newton.

Relația dintre muncă și modificarea energiei cinetice
Orez. 3.3 Lăsați un corp de masă m să se miște de-a lungul axei x sub

Relația dintre muncă și schimbarea energiei potențiale
Orez. 3.4 Vom stabili această legătură folosind exemplul muncii gravitației Legea conservării energiei mecanice Să considerăm un sistem conservator închis de corpuri. Aceasta înseamnă că sistemele nu acționează asupra corpurilor forțe externe, A

forțe interne
sunt conservatori prin natura lor.

Complet mecanic
Ciocniri

Să luăm în considerare un caz important de interacțiune a corpurilor solide - ciocniri. Ciocnirea (impactul) este fenomenul unei modificări finite a vitezelor corpurilor solide pe perioade foarte scurte de timp când acestea nu sunt
Legea fundamentală a dinamicii mișcării de rotație

Orez. 4.3 Pentru a deriva această lege, luați în considerare cel mai simplu caz
Legea conservării momentului unghiular Să considerăm un corp izolat, de ex. un corp asupra căruia nu acționează un moment extern de forță. Atunci Mdt = 0 și din (4.5) rezultă d(Iw)=0, adică. Iw=const. Dacă un sistem izolat constă, care se rotește în jurul unei axe care coincide cu axa de simetrie a corpului, care trece prin centrul de masă și care corespunde celui mai mare moment intrinsec de inerție.

Caracteristicile generale ale proceselor oscilatorii. Vibrații armonice
Oscilațiile sunt mișcări sau procese care au grade diferite de repetabilitate în timp. În tehnologie, dispozitivele care folosesc procese oscilatorii

poate efectua op
Oscilațiile unui pendul cu arc

Orez. 6.1 Să atașăm un corp de masă m la capătul arcului, care poate
Energia vibrației armonice

Să luăm acum în considerare, folosind exemplul unui pendul cu arc, procesele de schimbare a energiei într-o oscilație armonică.
Este evident că energia totală a pendulului cu arc este W=Wk+Wp, unde cinetica

Adăugarea vibrațiilor armonice de aceeași direcție
Soluția la o serie de probleme, în special, adăugarea mai multor oscilații de aceeași direcție, este mult facilitată dacă oscilațiile sunt reprezentate grafic, sub formă de vectori pe un plan. Rezultatul

Oscilații amortizate
În condiții reale, forțele de rezistență sunt întotdeauna prezente în sistemele care oscilează. Ca urmare, sistemul își cheltuiește treptat energia pentru a efectua lucrări împotriva forțelor de rezistență și

Vibrații forțate
În condiții reale, un sistem oscilant pierde treptat energie pentru a depăși forțele de frecare, astfel încât oscilațiile sunt amortizate. Pentru ca oscilațiile să fie neamortizate, este necesar cumva

Unde elastice (mecanice).
Procesul de propagare a perturbațiilor într-o substanță sau câmp, însoțit de transferul de energie, se numește undă.

Unde elastice - procesul de propagare mecanică într-un mediu elastic
Interferența undelor

Interferența este fenomenul de suprapunere a undelor din două surse coerente, în urma căruia are loc o redistribuire a intensității undelor în spațiu, adică. apare interferența
Valuri stătătoare

Un caz special de interferență este formarea undelor staționare. Undele stătătoare apar din interferența a două unde coerente contrapropagate cu aceeași amplitudine. Această situație poate cauza probleme
Efectul Doppler în acustică

Distribuția moleculelor după viteză
Fig. 16.1 Să presupunem că am putut măsura vitezele tuturor

Formula barometrică
Luați în considerare comportamentul gaz idealîn câmpul gravitaţiei. După cum știți, pe măsură ce vă ridicați de la suprafața Pământului, presiunea atmosferei scade.

Să aflăm dependența presiunii atmosferice de altitudine
Distribuția Boltzmann

Să exprimăm presiunea gazului la înălțimile h și h0 prin numărul corespunzător de molecule pe unitate de volum și u0, presupunând că la diferite înălțimi T = const: P =
Prima lege a termodinamicii și aplicarea ei la izoprocese

Prima lege a termodinamicii este o generalizare a legii conservării energiei ținând cont de procesele termice. Formularea sa: cantitatea de căldură transmisă sistemului este cheltuită pentru a lucra
Numărul de grade de libertate. Energia internă a unui gaz ideal

Numărul de grade de libertate este numărul de coordonate independente care descriu mișcarea unui corp în spațiu. Un punct material are trei grade de libertate, deoarece atunci când se mișcă în p
Proces adiabatic

Adiabatic este un proces care are loc fără schimb de căldură cu mediul.
Într-un proces adiabatic, dQ = 0, prin urmare prima lege a termodinamicii în raport cu acest proces este

Procese reversibile și ireversibile. Procese circulare (cicluri). Principiul de funcționare al unui motor termic
Procesele reversibile sunt cele care îndeplinesc următoarele condiții.

1. După trecerea prin aceste procese și readucerea sistemului termodinamic la starea inițială în
Motor termic Carnot ideal

Orez. 25.1 În 1827, inginerul militar francez S. Carnot, re
A doua lege a termodinamicii Prima lege a termodinamicii, care este o generalizare a legii conservării energiei ținând cont de procesele termice, nu indică direcția de apariție a diferitelor procese în natură. Da, în primul rând Un proces este imposibil, al cărui singur rezultat ar fi transferul de căldură de la un corp rece la unul fierbinte

Într-o mașină de refrigerare, căldura este transferată de la un corp rece (congelator) la unul mai cald.
mediu

. Acest lucru ar părea să contrazică a doua lege a termodinamicii. Chiar împotriva ei
Entropie Să introducem acum un nou parametru al stării unui sistem termodinamic - entropia, care diferă fundamental de alți parametri de stare în direcția schimbării sale. Trădare elementară Discretența sarcinii electrice. Legea conservării sarcinii electrice Sursă - câmp electrostatic a unei particule elementare, care determină capacitatea acesteia de a intra în interacțiuni electromagnetice.

Energia câmpului electrostatic
Să găsim mai întâi energia unui condensator plat încărcat. Evident, această energie este numeric egală cu munca care trebuie făcută pentru a descărca condensatorul.

Principalele caracteristici ale curentului
Curentul electric este mișcarea ordonată (dirijată) a particulelor încărcate. Puterea curentului este numeric egală cu sarcina care trece prin ele secţiune transversală

conductor pe unitate
Legea lui Ohm pentru o secțiune omogenă a unui lanț

O secțiune a circuitului care nu conține o sursă EMF se numește omogenă.
Ohm a stabilit experimental că puterea curentului într-o secțiune omogenă a circuitului este proporțională cu tensiunea și invers proporțională

Legea Joule-Lenz
Joule și, independent de el, Lenz au stabilit experimental că cantitatea de căldură degajată într-un conductor cu rezistența R în timpul dt este proporțională cu pătratul curentului rezistiv. regulile lui Kirchhoff Orez. 39.1 Pentru calcul

circuite complexe
Utilizarea DC

Diferența de potențial de contact
Dacă doi conductori metalici diferiți sunt aduși în contact, atunci electronii se pot deplasa de la un conductor la altul și înapoi. Starea de echilibru a unui astfel de sistem

Efect Seebeck
Orez. 41.1 Într-un circuit închis de două metale diferite per g Efectul Peltier Al doilea fenomen termoelectric - efectul Peltier - este acela la trecere

curent electric

prin contactul a doi conductori diferiți, în ea are loc eliberarea sau absorbția

Tipuri de accelerații în stațiile de benzină.

Deci, am arătat că există două tipuri de viteze măsurabile. În plus, viteza, măsurată în aceleași unități, este și ea foarte interesantă. La valori mici, toate aceste viteze sunt egale. Câte accelerații sunt? Ce accelerație ar trebui să fie o constantă în timpul mișcării accelerate uniform a unei rachete relativiste, astfel încât astronautul să exercite întotdeauna aceeași forță pe podeaua rachetei, pentru a nu deveni lipsit de greutate sau pentru a nu muri din cauza supraîncărcărilor? Să introducem definiții

diferite tipuri acceleratii. Accelerația coordonate d v/dt este schimbarea viteza de coordonate

, măsurat prin sincronizat Accelerația coordonate ceasul de coordonate d/dt=d 2

r Accelerația coordonate/dt 2 . Accelerația coordonate Privind în perspectivă, observăm că d Accelerația coordonate/dt = 1 d

/dt = g 0 d acceleratii. Accelerația coordonate d /dt. Coordonate-accelerare naturală coordona

, măsurat prin sincronizat Accelerația coordonate viteza masurata prin d propriul ceas d/dt=d 2
, măsurat prin sincronizat Accelerația coordonate/dt=d(d Accelerația coordonate/dt = 1 d

/dt)/dt = gd 2 acceleratii. /dt = g 1 d d Accelerarea corectă a coordonatelor b viteza de coordonate proprii

, măsurat prin sincronizat /dt = g 1 d viteza măsurată de la sincronizat d/dt)/dt = g 3 Accelerația coordonate(Accelerația coordonate, măsurat prin sincronizat Accelerația coordonate/dt)/c 2 + gd Accelerația coordonate/dt.
Dacă Accelerația coordonate|| d Accelerația coordonate/dt, apoi d /dt = g 1 d/dt = g 3 d Accelerația coordonate/dt = 1 d
Dacă Accelerația coordonate perpendicular pe d Accelerația coordonate/dt, apoi d /dt = g 1 d/dt = gd Accelerația coordonate/dt = 1 d

Accelerație intrinsecă adecvată, măsurat prin sincronizat /dt = g 1 d d Accelerarea corectă a coordonatelor viteza masurata prin coordona asociat cu un corp în mișcare:

, măsurat prin sincronizat /dt = g 1 d viteza măsurată de la sincronizat d/dt)/dt = g 4 Accelerația coordonate(Accelerația coordonate, măsurat prin sincronizat Accelerația coordonate/dt)/c2 + g2 d Accelerația coordonate/dt.
Dacă Accelerația coordonate|| d Accelerația coordonate/dt, apoi /dt = g 1 d/dt = g 4 d Accelerația coordonate/dt = 1 d
Dacă Accelerația coordonate perpendicular pe d Accelerația coordonate/dt, apoi d /dt = g 1 d/dt = g 2 d Accelerația coordonate/dt = 1 d

Comparând indicatorii pentru coeficientul g în cele patru tipuri de accelerații scrise mai sus, observăm că în această grupă nu există un termen cu coeficient g 2 pentru accelerații paralele. Dar nu am luat încă derivate ale vitezei. Aceasta este, de asemenea, viteza. Să luăm derivata în timp a vitezei folosind formula v/c = th(r/c):

dr/dt = (c·arth(v/c))" = g 2 dv/dt.

Și dacă luăm dr/dt, obținem:

dr/dt = g 3 dv/dt,

sau dr/dt = db/dt.

Prin urmare, avem două viteze măsurabile Accelerația coordonateŞi /dt = g 1 d, și încă una, incomensurabilă, dar cea mai simetrică, viteza r. Și șase tipuri de accelerații, dintre care două dr/dt și db/dt sunt aceleași. Care dintre aceste accelerații este adecvată, adică un corp perceput în accelerație?

Vom reveni la propria noastră accelerație mai jos, dar deocamdată să aflăm ce accelerație este inclusă în a doua lege a lui Newton. După cum se știe, în mecanica relativistă a doua lege a mecanicii, scrisă sub forma f=m o se dovedește a fi greșit. În schimb, forța și accelerația sunt legate de ecuație

f= m(g 3 Accelerația coordonate(va)/c2 + g o),

care stă la baza calculelor inginerești ale acceleratoarelor relativiste. Dacă comparăm această ecuație cu ecuația pe care tocmai am derivat-o pentru accelerația d /dt = g 1 d/dt:

, măsurat prin sincronizat /dt = g 1 d/dt = g 3 Accelerația coordonate(Accelerația coordonate, măsurat prin sincronizat Accelerația coordonate/dt)/c 2 + gd Accelerația coordonate/dt

apoi observăm că ele diferă doar prin factorul m. Adică putem scrie:

f= m d /dt = g 1 d/dt = 1 d

Ultima ecuație readuce masa la statutul de măsură a inerției în mecanica relativistă. Forța care acționează asupra corpului este proporțională cu accelerația d /dt = g 1 d/dt. Coeficientul de proporționalitate este masa invariantă. Vectori de forță fși accelerația d /dt = g 1 d/dt sunt codirecționale pentru orice orientare vectorială Accelerația coordonateŞi o, sau /dt = g 1 dși d /dt = g 1 d/dt = 1 d

Formula scrisă în termeni de accelerație d Accelerația coordonate/dt nu oferă o asemenea proporționalitate. Forța și accelerația coordonate-coordonate, în general, nu coincid în direcție. Ele vor fi paralele numai în două cazuri: dacă vectorii Accelerația coordonateşid Accelerația coordonate/dt sunt paralele între ele, iar dacă sunt perpendiculare între ele. Dar în primul caz forța f= mg 3 d Accelerația coordonate/dt, iar în al doilea - f=mgd Accelerația coordonate/dt = 1 d

Deci, în legea lui Newton trebuie să folosim accelerația d /dt = g 1 d/dt, adică schimbare Accelerarea corectă a coordonatelor viteză /dt = g 1 d, măsurată prin ceasuri sincronizate.

Poate că cu același succes se va putea dovedi asta f= md d/dt, unde d d/dt este vectorul propriei accelerații, dar viteza este o mărime incomensurabilă, deși este ușor de calculat. Nu pot spune dacă egalitatea vectorială va fi adevărată, dar egalitatea scalară este adevărată datorită faptului că dr/dt=db/dt și f=md /dt = g 1 d/dt = 1 d

Accelerare este o mărime care caracterizează viteza de schimbare a vitezei.

De exemplu, atunci când o mașină începe să se miște, își mărește viteza, adică se mișcă mai repede. La început viteza lui este zero. Odată ce se deplasează, mașina accelerează treptat până la o anumită viteză. Dacă pe drum se aprinde un semafor roșu, mașina se va opri. Dar nu se va opri imediat, ci în timp. Adică, viteza sa va scădea până la zero - mașina se va mișca încet până când se va opri complet. Cu toate acestea, în fizică nu există termenul de „încetinire”. Dacă un corp se mișcă, încetinește, atunci aceasta va fi și o accelerare a corpului, doar cu un semn minus (după cum vă amintiți, viteză este o mărime vectorială).

Accelerație medie

Accelerație medie> este raportul dintre modificarea vitezei și perioada de timp în care a avut loc această modificare. Accelerația medie poate fi determinată prin formula:

Unde - vector de accelerație.

Direcția vectorului de accelerație coincide cu direcția de schimbare a vitezei Δ = - 0 (aici 0 este viteza initiala, adică viteza cu care corpul a început să accelereze).

La momentul t1 (vezi Fig. 1.8) corpul are viteza 0. La momentul t2 corpul are viteza . Conform regulii scăderii vectoriale, găsim vectorul schimbării vitezei Δ = - 0. Apoi puteți determina accelerația astfel:

Orez. 1.8. Accelerație medie.

În SI unitate de accelerare– este de 1 metru pe secundă pe secundă (sau metru pe secundă pătrat), adică

Un metru pe secundă pătrat este egal cu accelerația unui punct care se mișcă în linie dreaptă, la care viteza acestui punct crește cu 1 m/s într-o secundă. Cu alte cuvinte, accelerația determină cât de mult se schimbă viteza unui corp într-o secundă. De exemplu, dacă accelerația este de 5 m/s 2, atunci aceasta înseamnă că viteza corpului crește cu 5 m/s în fiecare secundă.

Accelerație instantanee

Accelerația instantanee a unui corp (punct material)în acest moment în timp este mărime fizică, egal cu limita la care tinde accelerația medie pe măsură ce intervalul de timp tinde spre zero. Cu alte cuvinte, aceasta este accelerația pe care o dezvoltă organismul într-o perioadă foarte scurtă de timp:

Direcția de accelerație coincide și cu direcția de schimbare a vitezei Δ pentru valori foarte mici ale intervalului de timp în care are loc schimbarea vitezei. Vectorul de accelerație poate fi specificat prin proiecții pe axele de coordonate corespunzătoare dintr-un sistem de referință dat (proiecții a X, a Y, a Z).

Cu mișcarea liniară accelerată, viteza corpului crește în valoare absolută, adică

V 2 > v 1

iar direcția vectorului de accelerație coincide cu vectorul viteză 2.

Dacă viteza unui corp scade în valoare absolută, adică

V 2< v 1

atunci direcția vectorului accelerație este opusă direcției vectorului viteză 2. Cu alte cuvinte, în acest caz ceea ce se întâmplă este încetinind, în acest caz accelerația va fi negativă (și< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Orez. 1.9. Accelerație instantanee.

Când vă deplasați pe o cale curbă, nu numai modulul de viteză se schimbă, ci și direcția acestuia. În acest caz, vectorul accelerație este reprezentat ca două componente (vezi secțiunea următoare).

Accelerația tangențială

Accelerația tangențială (tangențială).– aceasta este componenta vectorului de accelerație îndreptată de-a lungul tangentei la traiectorie într-un punct dat al traiectoriei de mișcare. Accelerația tangențială caracterizează modificarea vitezei modulo în timpul mișcării curbilinie.

Orez. 1.10. Accelerația tangențială.

Direcția vectorului de accelerație tangențială τ (vezi Fig. 1.10) coincide cu direcția vitezei liniare sau este opusă acesteia. Adică, vectorul de accelerație tangențială se află pe aceeași axă cu cercul tangent, care este traiectoria corpului.

Accelerație normală

Accelerație normală este componenta vectorului accelerație îndreptată de-a lungul normalei la traiectoria mișcării într-un punct dat pe traiectoria corpului. Adică, vectorul normal de accelerație este perpendicular pe viteza liniară de mișcare (vezi Fig. 1.10). Accelerația normală caracterizează schimbarea vitezei în direcție și este notă cu litera n. Vectorul de accelerație normală este direcționat de-a lungul razei de curbură a traiectoriei.

Accelerație completă

Accelerație completăîn timpul mișcării curbilinie, ea constă în accelerații tangențiale și normale de-a lungul regula de adunare a vectoruluiși este determinată de formula:

(conform teoremei lui Pitagora pentru un dreptunghi dreptunghiular).

Se determină și direcția accelerației totale regula de adunare a vectorului:

= τ + n

Coordonată (liniară, unghiulară).

2) Mutați ( ) – un vector care leagă punctul de început al traiectoriei cu punctul final.

3) Calea ( ) – distanta parcursa de corp de la punct de plecare la cel final.

4) Viteza liniară:

4.1) Instantanee.

Viteză(viteza instantanee) de mișcare este o mărime vectorială egală cu raportul dintre o mișcare mică și o perioadă infinitezimală de timp în care se efectuează această mișcare

În proiecții: U x =

4.2) Medie

Viteza medie (sol). este raportul dintre lungimea traseului parcurs de corp și timpul în care această cale a fost parcursă:

Viteza la sol:

Medie viteza solului, spre deosebire de viteza instantanee nu este o mărime vectorială.

De asemenea, puteți intra viteza medie de deplasare, care va fi un vector egal cu raportul dintre mișcare și timpul în care a fost finalizată:

Viteza de deplasare:

Viteza medie in vedere generală:

5) Accelerație liniară:

5.1) Instantanee

Accelerație instantanee se numește mărime vectorială egală cu raportul dintre o mică modificare a vitezei și o perioadă mică de timp în care a avut loc această modificare:

Accelerația caracterizează viteza unui vector într-un punct dat din spațiu.

5.2) Medie

Accelerație medie este raportul dintre modificarea vitezei și perioada de timp în care a avut loc această modificare. Accelerația medie poate fi determinată prin formula:

;

Schimbarea vitezei:

Componentele normale și tangențiale ale accelerației.

Accelerația tangențială (tangențială).– aceasta este componenta vectorului de accelerație îndreptată de-a lungul tangentei la traiectorie într-un punct dat al traiectoriei de mișcare. Accelerația tangențială caracterizează modificarea vitezei modulo în timpul mișcării curbilinie.

Direcția vectorului de accelerație tangențială τ) coincide cu direcția vitezei liniare sau este opusă acesteia. Adică, vectorul de accelerație tangențială se află pe aceeași axă cu cercul tangent, care este traiectoria corpului.

Accelerație normală este componenta vectorului accelerație îndreptată de-a lungul normalei la traiectoria mișcării într-un punct dat pe traiectoria corpului. Adică, vectorul normal de accelerație este perpendicular pe viteza liniară de mișcare. Accelerația normală caracterizează schimbarea vitezei în direcție și este notă cu litera n. Vectorul normal de accelerație este direcționat de-a lungul razei de curbură a traiectoriei.

Accelerație completăîn timpul mișcării curbilinie, ea constă în accelerații tangențiale și normale de-a lungul regula de adunare a vectoruluiși este determinată de formula:

Întrebarea 2. Descrierea mișcării unui punct material (cazuri speciale: mișcare uniformă într-un cerc, mișcare uniformă rectilinie, mișcare uniformă într-un cerc).

Mișcare uniformă în cerc.

Mișcare uniformă în jurul unui cerc- Asta cel mai simplu exemplu mișcare curbilinie. De exemplu, capătul unui ceas se mișcă într-un cerc în jurul unui cadran. Viteza unui corp care se deplasează într-un cerc se numește viteza liniară.

La mișcare uniformă al unui corp de-a lungul unui cerc, modulul de viteză al corpului nu se modifică în timp, adică v (ve) = const, și se modifică doar direcția vectorului viteză. Accelerația tangențialăîn acest caz este absent (a r = 0), iar schimbarea vectorului viteză în direcție este caracterizată de o mărime numită accelerația centripetăși CS. În fiecare punct traiectorii vectorul de accelerație centripet este îndreptat spre centrul cercului de-a lungul razei.

Modulul de accelerație centripetă este egal cu
a CS =v 2 / R
Unde v este viteza liniară, R este raza cercului

Când descriem mișcarea unui corp într-un cerc, folosim unghiul de rotație al razei– unghiul φ cu care se rotește raza în timpul t. Unghiul de rotație se măsoară în radiani.

Viteza unghiulara mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc este valoarea ω, egală cu raportul dintre unghiul de rotație al razei φ și perioada de timp în care se efectuează această rotație:
ω = φ / t
Unitatea de măsură a vitezei unghiulare este radiani pe secundă [rad/s]

Viteza liniară cu mișcare uniformă în jurul unui cerc, este îndreptată de-a lungul unei tangente într-un punct dat al cercului.

v = = = Rω sau v = Rω

Perioada de circulație– aceasta este perioada de timp T în care corpul (punctul) face o revoluție în jurul cercului. Frecvenţă– aceasta este reciproca perioadei de revoluție – numărul de rotații pe unitatea de timp (pe secundă). Frecvența circulației se notează cu litera n.
n=1/T

T = 2π/ω
Adică viteza unghiulară este egală cu

ω = 2π / T = 2πn
Accelerația centripetă poate fi exprimat în termeni de perioadă T și frecvență de circulație n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Sunt date formulele de bază ale cinematicii unui punct material, derivarea lor și prezentarea teoriei.

Conţinut

Vezi și: Un exemplu de rezolvare a unei probleme (metoda coordonate de specificare a mișcării unui punct)

Formule de bază pentru cinematica unui punct material

Să prezentăm formulele de bază ale cinematicii unui punct material. După care vom da concluzia lor și prezentarea teoriei.

Vector rază al punctului material M în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz:
,
unde sunt vectori unitari (orturi) în direcția axelor x, y, z.

Viteza punctului:
;
.
.
Vector unitar în direcția tangentă la traiectoria unui punct:
.

Punct de accelerare:
;
;
;
; ;

Accelerația tangențială (tangențială):
;
;
.

Accelerație normală:
;
;
.

Vector unitar îndreptat către centrul de curbură al traiectoriei punctului (de-a lungul normalului principal):
.

.

Vector rază și traiectorie punct

Să luăm în considerare mișcarea punctului material M. Să alegem unul staționar sistem dreptunghiular coordonează Oxyz cu centrul într-un punct fix O. Atunci poziția punctului M este determinată în mod unic de coordonatele sale

(x, y, z)
,
.

Când un punct se mișcă, coordonatele se schimbă în timp.
(1)
Adică sunt funcții ale timpului. Apoi sistemul de ecuații poate fi considerată drept ecuația unei curbe date

ecuații parametrice

. O astfel de curbă este traiectoria unui punct.

Traiectoria unui punct material este linia de-a lungul căreia se mișcă punctul.
,
Dacă punctul se mișcă într-un plan, atunci axele și sistemele de coordonate pot fi selectate astfel încât să se afle în acest plan. Atunci traiectoria este determinată de două ecuații

În unele cazuri, timpul poate fi eliminat din aceste ecuații.

Atunci ecuația traiectoriei va avea forma:

unde este o funcție. Această dependență conține doar variabilele și . Nu contine parametrul.

Viteza unui punct material
,
Viteza unui punct material este derivata vectorului său rază în raport cu timpul.

,
Conform definiției vitezei și definiției derivatei:
,
,

În mecanică, derivatele în raport cu timpul sunt notate cu un punct deasupra simbolului. Să înlocuim aici expresia pentru vectorul rază:
.

unde am indicat clar dependenţa coordonatelor de timp. Primim:
.
Unde
.

- proiecţiile vitezei pe axele de coordonate. Ele se obțin prin diferențierea componentelor vectorului rază în raport cu timpul

Astfel Modulul de viteza: Tangent la cale
.
Din punct de vedere matematic, sistemul de ecuații (1) poate fi considerat ca o ecuație a unei linii (curbe) definite prin ecuații parametrice. Timpul, în această considerație, joacă rolul unui parametru. De la curs analiză matematică.

se știe că vectorul direcție pentru tangenta la această curbă are următoarele componente:
Dar acestea sunt componentele vectorului viteză al punctului. Adică
;
;
.
viteza punctului material este direcționată tangențial la traiectorie

Toate acestea pot fi demonstrate direct. Fie ca în momentul de timp punctul să fie într-o poziție cu vectorul rază (vezi figura). Și în momentul de timp - într-o poziție cu vectorul rază.
.
Să tragem o linie dreaptă prin puncte.
Prin definiție, o tangentă este o dreaptă către care linia dreaptă tinde ca .

Să introducem următoarea notație: Apoi vectorul este îndreptat de-a lungul liniei drepte.:
.
Când tinde, linia dreaptă tinde către tangentă, iar vectorul tinde către viteza punctului în momentul de timp:
Deoarece vectorul este direcționat de-a lungul dreptei, iar linia dreaptă la , vectorul viteză este direcționat de-a lungul tangentei.
.

Atunci vectorul viteză al punctului poate fi reprezentat ca:
.

Accelerarea unui punct material

Accelerația unui punct material este derivata vitezei acestuia în raport cu timpul.

Similar cu cea precedentă, obținem componentele accelerației (proiecții de accelerație pe axele de coordonate):
;
;
;
.
Modul de accelerare:
.

Accelerația tangențială (tangentă) și normală

Acum luați în considerare întrebarea direcției vectorului de accelerație în raport cu traiectoria. Pentru a face acest lucru, aplicăm formula:
.
O diferențiem în funcție de timp folosind regula de diferențiere a produsului:
.

Vectorul este direcționat tangențial la traiectorie. În ce direcție este îndreptată derivata sa de timp?

Pentru a răspunde la această întrebare, folosim faptul că lungimea vectorului este constantă și egală cu unitatea. Atunci pătratul lungimii sale este, de asemenea, egal cu unu:
.
Aici și mai jos, doi vectori în paranteze indică produsul scalar al vectorilor. Să diferențiem ultima ecuație în funcție de timp:
;
;
.
Deoarece produsul scalar al vectorilor și este egal cu zero, acești vectori sunt perpendiculari unul pe celălalt. Deoarece vectorul este direcționat tangent la traiectorie, vectorul este perpendicular pe tangente.

Prima componentă se numește accelerație tangențială sau tangențială:
.
A doua componentă se numește accelerație normală:
.
Atunci accelerația totală este:
(2) .
Această formulă reprezintă descompunerea accelerației în două componente reciproc perpendiculare - tangentă pe traiectorie și perpendiculară pe tangentă.

De atunci
(3) .

Accelerația tangențială (tangențială).

Să înmulțim ambele părți ale ecuației (2) scalar la:
.
Pentru că, atunci.
;
.
Apoi
.
Aici punem:

Din aceasta putem vedea că accelerația tangențială este egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei la traiectorie sau, ceea ce este același, pe direcția vitezei punctului.

Accelerația tangențială (tangențială) a unui punct material este proiecția accelerației sale totale pe direcția tangentei la traiectorie (sau la direcția vitezei).

Folosim simbolul pentru a desemna vectorul de accelerație tangențială direcționat de-a lungul tangentei la traiectorie. Atunci este o mărime scalară egală cu proiecția accelerației totale pe direcția tangentei. Poate fi atât pozitiv, cât și negativ.
.

Înlocuind , avem:
.
Să o punem în formula:
.
Apoi: Adică accelerația tangențială este egală cu derivata în timp a vitezei absolute a punctului. Astfel,. Pe măsură ce viteza crește, accelerația tangențială este pozitivă (sau direcționată de-a lungul vitezei). Pe măsură ce viteza scade, accelerația tangențială este negativă (sau în sens opus vitezei).

Acum să examinăm vectorul.

Considerăm un vector unitar tangent la traiectorie.
.

Să-i plasăm originea la originea sistemului de coordonate. Apoi capătul vectorului va fi pe o sferă cu raza unitară. Când un punct material se mișcă, capătul vectorului se va deplasa de-a lungul acestei sfere. Adică se va roti în jurul originii sale. Fie viteza unghiulară instantanee de rotație a vectorului în momentul de timp .
.
Atunci derivata sa este viteza de mișcare a capătului vectorului. Este îndreptată perpendicular pe vector.

Să aplicăm formula pentru mișcarea de rotație. Modul vectorial:
.
Acum luați în considerare poziția punctului pentru două momente apropiate în timp. Lăsați punctul să fie pe poziție în momentul de timp și pe poziție în momentul timpului.

Fie și vectori unitari direcționați tangențial la traiectorie în aceste puncte. Prin punctele și trasăm plane perpendiculare pe vectorii și .

Fie și vectori unitari direcționați tangențial la traiectorie în aceste puncte. Prin punctele și trasăm plane perpendiculare pe vectorii și .

Fie o dreaptă formată prin intersecția acestor plane. Dintr-un punct coborâm o perpendiculară pe o dreaptă.
Dacă pozițiile punctelor sunt suficient de apropiate, atunci mișcarea punctului poate fi considerată ca rotație de-a lungul unui cerc de rază în jurul axei, care va fi axa instantanee de rotație a punctului material. Deoarece vectorii și sunt perpendiculari pe planele și, unghiul dintre aceste plane este egal cu unghiul dintre vectorii și.
;
.
Atunci viteza instantanee de rotație a punctului în jurul axei este egală cu viteza instantanee de rotație a vectorului:
.

Iată distanța dintre puncte și . (2) Astfel, am găsit modulul derivatei în timp a vectorului:
(4) .
După cum am indicat mai devreme, vectorul este perpendicular pe vector. (3) Din raționamentul de mai sus reiese clar că este îndreptat către centrul de curbură instantaneu al traiectoriei. Această direcție se numește normală principală.
.

Să înmulțim ambele părți ale ecuației (2) scalar la:
(2) .
.
Pentru că, atunci.
;
.
Accelerație normală

Accelerația normală a unui punct material este proiecția accelerației sale totale pe direcția perpendiculară pe tangente la traiectorie.

Să înlocuim.
.
Apoi

Adică, accelerația normală determină o schimbare a direcției vitezei unui punct și este legată de raza de curbură a traiectoriei.
.

De aici puteți găsi raza de curbură a traiectoriei: (4) Și în concluzie, observăm că formula
.
poate fi rescris astfel: Aici am aplicat formula pentru produs vectorial
,
trei vectori:
.

pe care le-au încadrat
;
.
Deci avem:
.
Să echivalăm modulele părților din stânga și din dreapta:
.
Dar vectorii sunt, de asemenea, reciproc perpendiculari. De aceea
.
Apoi Acest renumită formulă

din geometria diferenţială pentru curbura unei curbe.