Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs poate părea uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul descrie în detaliu cum se factorizează un trinom pătratic.

Mulți oameni nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea un exercițiu inutil. Dar în matematică nimic nu se face degeaba. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și ușurința de calcul.

Un polinom de forma – ax²+bx+c, numit trinom pătratic. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori o spun diferit: cum se descompune ecuație pătratică.

Interesant! Un polinom se numește pătrat datorită gradului său cel mai mare, pătratul. Și un trinom - din cauza celor 3 componente.

Alte tipuri de polinoame:

• binom liniar (6x+8);
• cvadrinom cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătratic

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Trebuie să-i cunoașteți formula pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile sunt de asemenea calculate folosind formula.

Dacă, la calcularea discriminantului, rezultatul este zero, puteți utiliza oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu scurtată: -b / 2a.

Formule pentru sensuri diferite discriminatorii diferă.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Pe Internet există calculator online. Poate fi folosit pentru a efectua factorizarea. Unele resurse oferă posibilitatea de a vizualiza soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să îl înțelegeți bine.

Video util: Factorizarea unui trinom pătratic

Exemple

Vă invităm să vizionați exemple simple, cum se factorizează o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Acest lucru arată în mod clar că rezultatul este doi x deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile se dovedesc a fi negative, semnul din formulă se schimbă în opus.

Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătratic: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există un număr înaintea unui termen într-o putere. Asta înseamnă că există unul acolo, coboară.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Inlocuim valoarea rezultata:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, să calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După ce primiți rezultatul, ar trebui să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Soluție alternativă

Unii oameni nu au putut niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătratic. Pentru comoditate, metoda este prezentată cu un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să obținem 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x²+bx+c, la începutul fiecărei paranteze punem x: (x_)(x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică în acest caz -10. Singura modalitate de a afla ce numere sunt acestea este prin selecție. Numerele înlocuite trebuie să corespundă termenului rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Aceasta înseamnă că transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Extinderea unui trinom complex

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, mai întâi trebuie să vedeți dacă ceva poate fi factorizat.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este deja binecunoscutul trinom. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este în pătrat este negativ? În acest caz, numărul -1 este scos din paranteze. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze care trebuie completate (_)(_). În a 2-a paranteză este scris x, iar în prima ce a mai rămas. Arata astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 este dat de numerele:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea acestor numere. Ultima opțiune este potrivită. Aceasta înseamnă că transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibilă convertirea unei expresii. Cu a doua metodă, nu este necesară rezolvarea ecuației. Dar posibilitatea de a transforma termeni într-un produs este verificată doar prin discriminant.

Merită să exersați rezolvarea ecuațiilor pătratice, astfel încât atunci când utilizați formulele să nu existe dificultăți.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să le exersați pe ambele până când devin automate. De asemenea, să învețe cum să rezolvi bine ecuațiile pătratice și să factorii polinoame este necesară pentru cei care intenționează să-și conecteze viața cu matematica. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

Sunt date 8 exemple de factorizare de polinoame. Acestea includ exemple cu rezolvarea pătratică și ecuații biquadratice, exemple cu polinoame recurente și exemple cu găsirea rădăcinilor întregi ale polinoamelor de gradul al treilea și al patrulea.

Conţinut

Vezi și: Metode de factorizare a polinoamelor
Rădăcinile unei ecuații pătratice
Rezolvarea ecuațiilor cubice

1. Exemple cu rezolvarea unei ecuații pătratice

Exemplul 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Scoatem x 2 în afara parantezelor:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rădăcinile ecuației:
, .

.

Exemplul 1.2

Factorizați polinomul de gradul trei:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Să scoatem x din paranteze:
.
Rezolvarea ecuației pătratice x 2 + 6 x + 9 = 0:
Este discriminant: .
Deoarece discriminantul este zero, rădăcinile ecuației sunt multipli: ;
.

Din aceasta obținem factorizarea polinomului:
.

Exemplul 1.3

Factorizați polinomul de gradul cinci:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Scoatem x 3 în afara parantezelor:
.
Rezolvarea ecuației pătratice x 2 - 2 x + 10 = 0.
Este discriminant: .
Deoarece discriminantul este mai mic decât zero, rădăcinile ecuației sunt complexe: ;
, .

Factorizarea polinomului are forma:
.

Dacă suntem interesați de factorizarea cu coeficienți reali, atunci:
.

Exemple de factorizare a polinoamelor folosind formule

Exemple cu polinoame biquadratice

Exemplul 2.1

Factorizați polinomul biquadratic:
x 4 + x 2 - 20.

Să aplicăm formulele:
o 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
o 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Exemplul 2.2

Factorizați polinomul care se reduce la unul biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Să aplicăm formulele:
o 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
o 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Exemplul 2.3 cu polinom recurent

Factorizați polinomul reciproc:
.

Un polinom reciproc are grad impar. Prin urmare are rădăcina x = - 1 . Împărțiți polinomul la x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Ca rezultat obținem:

Exemplul 3.1

Factorizați polinomul:
.

Să presupunem că ecuația

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Deci, am găsit trei rădăcini:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Deoarece polinomul original este de gradul trei, nu are mai mult de trei rădăcini. Din moment ce am găsit trei rădăcini, ele sunt simple. Apoi
.

Exemplul 3.2

Factorizați polinomul:
.

Să presupunem că ecuația

are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este un divizor al numărului 2 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
-2, -1, 1, 2 .
Inlocuim aceste valori una cate una:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Deci, am găsit o singură rădăcină:
x 1 = -1 .
Împărțiți polinomul la x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Apoi,
.

Acum trebuie să rezolvăm ecuația de gradul trei:
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2 (membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Să înlocuim x = -1 :
.

Deci, am găsit o altă rădăcină x 2 = -1 .
.

Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii:

Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea fi redus și mai mult. Expansiunea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic de doi. Un polinom cu gradul I se numește liniar. Articolul va acoperi toate conceptele de descompunere, fundamente teoretice

și metode de factorizare a unui polinom.

Teorie

Teorema 1

Când orice polinom cu gradul n, având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad a n și n factori liniari (x - x i), i = 1, 2, ..., n, apoi P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , unde x i, i = 1, 2, …, n sunt rădăcinile polinomului.

Teorema este destinată rădăcinilor de tip complex x i, i = 1, 2, …, n și coeficienților complecși a k, k = 0, 1, 2, …, n. Aceasta este baza oricărei descompunere. Când coeficienții de forma a k, k = 0, 1, 2, …, n sunt numere reale , Atunci, care va apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, din care obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Comentariu

Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Să luăm în considerare demonstrarea teoremei algebrei, o consecință a teoremei lui Bezout.

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema 2

Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.

teorema lui Bezout

După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s), atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s, apoi obținem

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu gradul n - 1.

Corolar al teoremei lui Bezout

Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s, atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.

Factorizarea unui trinom pătratic

Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).

Aceasta arată că expansiunea în sine se reduce la rezolvarea ulterior a ecuației pătratice.

Exemplul 1

Factorizați trinomul pătratic.

Soluţie

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului folosind formula, apoi obținem D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De aici avem asta

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Din aceasta obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că descompunerea a fost efectuată corect.

Exemplul 2

Factorizați trinomul pătratic de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .

Soluţie

Constatăm că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Din aceasta obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Exemplul 3

Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.

Soluţie

Acum trebuie să rezolvăm ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să îi găsim rădăcinile. Înțelegem asta

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că expansiunea în sine poate fi descrisă ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exemplul 4

Descompuneți trinomul pătratic x 2 + 1 3 x + 1 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

După ce au obținut rădăcinile, scriem

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Comentariu

Dacă valoarea discriminantă este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom extinde în factori liniari.

Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare de doi

La descompunere, se presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să reduceți gradul acesteia prin împărțirea la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1). Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2, iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.

Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect pune o soluție la ecuațiile cu grade superioareși coeficienți întregi.

Scoaterea factorului comun din paranteze

Luați în considerare cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 = 0, atunci polinomul poate fi reprezentat ca expresia P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.

Exemplul 5

Factorizați polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Soluţie

Vedem că x 1 = 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem elimina x din parantezele întregii expresii. Primim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Apoi rezultă că

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, unde coeficientul de cel mai înalt grad este 1.

Când un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.

Exemplul 6

Descompuneți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Soluţie

Să ne gândim dacă există rădăcini complete. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica folosind schema lui Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:

Rezultă că x = 2 și x = - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca produs de forma:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Se trece la extinderea unui trinom pătratic de forma x 2 + 2 x + 3.

Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.

Răspuns: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Comentariu

Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare este egal cu unu.

Acest caz se întâmplă pentru fracțiile raționale.

Exemplul 7

Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Soluţie

Este necesar să înlocuiți variabila y = 2 x, ar trebui să treceți la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la cel mai înalt grad. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Când funcția rezultată de forma g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci locația lor este printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Să trecem la calcularea funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Constatăm că y = - 5 este rădăcina unei ecuații de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x = y 2 = - 5 2 este rădăcina funcției inițiale.

Exemplul 8

Este necesar să împărțiți cu o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.

Soluţie

Să o scriem și să obținem:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabilă factorizarea trinomului pătratic rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero găsim discriminantul.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Rezultă că

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Tehnici artificiale pentru factorizarea unui polinom

Rădăcinile raționale nu sunt inerente în toate polinoamele. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi extinse sau reprezentate ca un produs.

Metoda de grupare

Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.

Exemplul 9

Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Soluţie

Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luați valorile 1, - 1, 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Acest lucru arată că nu există rădăcini, este necesar să se folosească o altă metodă de expansiune și soluție.

Este necesar să grupați:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

După gruparea polinomului inițial, trebuie să îl reprezentați ca produsul a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru trebuie să factorizăm. înţelegem asta

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Comentariu

Simplitatea grupării nu înseamnă că alegerea termenilor este destul de ușoară. Nu există o metodă specifică de rezolvare, deci este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.

Exemplul 10

Factorizați polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Soluţie

Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

După factorizare obținem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Folosind formule de înmulțire abreviate și binomul lui Newton pentru a factoriza un polinom

Aspectul adesea nu indică întotdeauna clar ce metodă trebuie utilizată în timpul descompunerii. După ce transformările au fost făcute, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.

Exemplul 11

Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Este necesar să convertiți expresia în formă

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Secvența de coeficienți ai sumei din paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .

Aceasta înseamnă că avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

După aplicarea diferenței de pătrate, obținem

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cavaleri acolo, așa că ar trebui să aplicăm din nou formula diferenței de pătrate. Obținem o expresie a formei

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exemplul 12

Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Soluţie

Să începem să transformăm expresia. Înțelegem asta

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom

La înlocuirea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.

Exemplul 13

Factorizați polinomul de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .

Soluţie

Conform condiției, este clar că este necesar să se facă înlocuirea y = x 3. Primim:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Adică am obținut descompunerea dorită.

Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în moduri diferite.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Plan - note de lecție (MBOU „Chernomorskaya liceu nr. 2"

Numele profesorului

Ponomarenko Vladislav Vadimovici

Articol

Algebră

Data lectiei

19.09.2018

№ lecţie

Clasă

9B

Subiectul lecției

(în conformitate cu KTP)

"Descompunere trinom pătratic prin multiplicatori"

Stabilirea obiectivelor

- educativ: învață elevii cum să factorizeze un trinom pătrat, să învețe cum să folosească algoritmul pentru factorizarea unui trinom pătrat atunci când rezolvă exemple, să ia în considerare sarcinile din baza de date GIA care utilizează algoritmul pentru factorizarea unui trinom pătrat

-dezvoltare: dezvolta la școlari capacitatea de a formula probleme, de a propune modalități de rezolvare a acestora și de a promova dezvoltarea la școlari a capacității de a evidenția principalul lucru într-un obiect cognitiv.

- educativ: să-i ajute pe elevi să-și dea seama de valoarea activităților comune, să promoveze dezvoltarea la copii a capacității de a-și exercita autocontrolul, stima de sine și autocorecția activităților educaționale.

Tipul de lecție

studierea și consolidarea primară a noilor cunoștințe.

Echipament:

proiector multimedia, ecran, computer, material didactic, manuale, caiete, prezentarepentru lecție

Progresul lecției

1. Moment organizatoric: Profesorul salută elevii și verifică pregătirea acestora pentru lecție.

Motivează elevii:

Astăzi, în lecția noastră, într-o activitate comună, vom confirma cuvintele lui Polya (Diapozitivul 1) („Problema pe care o rezolvi poate fi foarte modestă, dar dacă îți provoacă curiozitatea și dacă o rezolvi singur, atunci). poți experimenta conducerea pentru a deschide tensiunea minții și a te bucura de bucuria victoriei.”

Mesaj despre Poya (diapozitivul 2)

Vreau să vă provoc curiozitatea. Să luăm în considerare sarcina de la Inspectoratul de Stat. Reprezentați grafic funcția .

Ne putem bucura de bucuria victoriei și putem îndeplini această sarcină? (situație problematică).

Cum se rezolvă această problemă?

- Schițați un plan de acțiune pentru a rezolva această problemă.

Corectează planul de lecție, comentează principiul muncii independente.

Munca independentă(distribuiți clasei pliante cu textul muncii independente) (Anexa 1)

Munca independentă

Luați în considerare:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Reduceți o fracție:

SlideCu răspunsuri pentru autotest.

Întrebare pentru clasă:

Ce metode de factorizare a unui polinom ați folosit?

Ați reușit să factorizați toate polinoamele?

Ați reușit să reduceți toate fracțiile?

Problema 2:Slide

Cum se factorizează un polinom

2 x 2 – 7 x – 4?

Cum se reduce o fracție?

Sondaj frontal:

Ce sunt polinoamele

2 x 2 – 7 x– 4 șix 2 – 5 x +6?

Dați definiția unui trinom pătratic.

Ce știm despre trinomul pătratic?

Cum să-i găsești rădăcinile?

Ce determină numărul de rădăcini?

Comparați aceste cunoștințe cu ceea ce avem nevoie pentru a învăța și formulați subiectul lecției. (După aceasta, subiectul lecției apare pe ecran)Slide

Să stabilim scopul lecțieiSlide

Să schițăm rezultatul finalSlide

Întrebare pentru clasă:Cum se rezolvă această problemă?

Clasa lucrează în grup.

Misiunea de grup:

Folosește cuprinsul pentru a găsi pagina de care ai nevoie, citește paragraful 4 cu creionul în mâini, evidențiază ideea principală, creează un algoritm prin care poate fi factorizat orice trinom pătrat.

Verificarea finalizării sarcinii de către clasă (lucrare frontală):

Ce este Ideea principală punctul 4?Slide(pe ecran este formula pentru factorizarea unui trinom pătratic).

Algoritm pe ecran.Slide

1. Echivalează trinomul pătratic cu zero.

2. Găsiți discriminantul.

3. Aflați rădăcinile trinomului pătratic.

4. Înlocuiți rădăcinile găsite în formulă.

5.Dacă este necesar, introduceți coeficientul de conducere între paranteze.

încă unulmica problema : dacă D=0, atunci este posibil să factorizați un trinom pătratic și, dacă da, cum?

(Munca de cercetareîn grupuri).

Slide(pe ecran:

Dacă D = 0, atunci
.

Dacă un trinom pătratic nu are rădăcini,

atunci nu poate fi factorizat.)

Să revenim la sarcină în muncă independentă. Putem factor acum trinoame pătratice?2 x 2 – 7 x– 4 șix 2 – 5 x +6?

Clasa lucrează independent, factorizează, eu lucrez individual cu elevi slabi.

Slide(cu solutie)Evaluare inter pares

Putem reduce fracția?

Pentru a reduce fracția, chem un elev puternic la tablă.

Să revenim la sarcinăde la GIA. Acum putem reprezenta grafic funcția?

Care este graficul acestei funcții?

Desenați un grafic al funcției în caiet.

Test (Cumunca independenta)Anexa 2

Autotestare și autoevaluareElevii au primit foi de hârtie (Anexa 3) pe care să-și noteze răspunsurile. Ele oferă criterii de evaluare.

Criterii de evaluare:

3 sarcini - evaluare „4”

4 sarcini – nota „5”

Reflecţie:(diapozitiv)

1.Astăzi la clasă am învățat...

2.Azi la clasa am repetat...

3. Am asigurat...

4.Mi-a placut...

5. Mi-am dat o notă pentru activitățile mele din clasă...

6.Ce tipuri de muncă au cauzat dificultăți și necesită repetare...

7. Am atins rezultatul dorit?

Slide: Mulțumesc pentru lecție!

Anexa 1

Munca independentă

Luați în considerare:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Reduceți o fracție:

Anexa 2

Test

1 opțiune

multiplica?

x 2 – 8x+ 7;

x 2 – 8x+ 16 ;

x 2 – 8x+ 9;

x 2 – 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Răspuns:_________ .

Reduceți fracția:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

alt raspuns.

Test

Opțiunea 2

Care trinom pătratic nu poate fi pmultiplica?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 –8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Ce polinom ar trebui înlocuit cu elipsa pentru a crea egalitate:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Răspuns:_________ .

Reduceți fracția:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

alt raspuns.

Anexa 3

Notează-ți răspunsurile.

Criterii de evaluare:

Completat corect: sarcina 2 – scor „3”

3 sarcini - evaluare „4”

4 sarcini – nota „5”

Sarcina nr. 1

Sarcina nr. 2

Sarcina nr. 3

1 opțiune

Opțiunea 2

Factorizarea trinoamelor pătratice se referă la temele școlare cu care toată lumea se confruntă mai devreme sau mai târziu. Cum se face? Care este formula pentru factorizarea unui trinom pătratic? Să ne dăm seama pas cu pas folosind exemple.

Formula generala

Trinoamele pătratice sunt factorizate prin rezolvarea unei ecuații pătratice. Aceasta este o problemă simplă care poate fi rezolvată prin mai multe metode - prin găsirea discriminantului folosind teorema lui Vieta, există și o soluție grafică. Primele două metode sunt studiate în liceu.

Formula generală arată astfel:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritm pentru finalizarea sarcinii

Pentru a factoriza trinoamele pătratice, trebuie să cunoașteți teorema lui Vita, să aveți un program de soluții la îndemână, să puteți găsi o soluție grafic sau să căutați rădăcinile unei ecuații de gradul doi folosind formula discriminantă. Dacă este dat un trinom pătratic și trebuie factorizat, algoritmul este următorul:

1) Echivalează expresia originală cu zero pentru a obține o ecuație.

2) Dați termeni similari (dacă este necesar).

3) Găsiți rădăcinile folosind orice metodă cunoscută. Metoda grafică este utilizată cel mai bine dacă se știe dinainte că rădăcinile sunt numere întregi și numere mici. Trebuie reținut că numărul de rădăcini este egal cu gradul maxim al ecuației, adică ecuația pătratică are două rădăcini.

4) Înlocuiți valoarea Xîn expresia (1).

5) Notați factorizarea trinoamelor pătratice.

Exemple

Practica vă permite să înțelegeți în sfârșit cum este îndeplinită această sarcină. Următoarele exemple ilustrează factorizarea unui trinom pătratic:

este necesar să extindem expresia:

Să recurgem la algoritmul nostru:

1) x 2 -17x+32=0

2) termenii similari sunt redusi

3) folosind formula lui Vieta, este dificil să găsiți rădăcini pentru acest exemplu, așa că este mai bine să folosiți expresia pentru discriminant:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Să înlocuim rădăcinile găsite în formula de bază pentru descompunere:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Atunci răspunsul va fi astfel:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Să verificăm dacă soluțiile găsite de discriminant corespund formulelor Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pentru aceste rădăcini se aplică teorema lui Vieta, au fost găsite corect, ceea ce înseamnă că factorizarea pe care am obținut-o este și ea corectă.

Să extindem în mod similar 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

În cazul precedent, soluțiile nu erau întregi, ci numere reale, care sunt ușor de găsit dacă ai un calculator în fața ta. Acum să ne uităm la mai multe exemplu complex, în care rădăcinile vor fi complexe: factor x 2 + 4x + 9. Folosind formula lui Vieta, rădăcinile nu pot fi găsite, iar discriminantul este negativ. Rădăcinile vor fi pe planul complex.

D=-20

Pe baza acesteia, obținem rădăcinile care ne interesează -4+2i*5 1/2 și -4-2i * 5 1/2 deoarece (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Obținem descompunerea dorită prin înlocuirea rădăcinilor în formula generală.

Un alt exemplu: trebuie să factorizați expresia 23x 2 -14x+7.

Avem ecuația 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Aceasta înseamnă că rădăcinile sunt 14+21.166i și 14-21.166i. Raspunsul va fi:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).

Să dăm un exemplu care poate fi rezolvat fără ajutorul unui discriminant.

Să presupunem că trebuie să extindem ecuația pătratică x 2 -32x+255. Evident, se poate rezolva și folosind un discriminant, dar în acest caz este mai rapid să găsiți rădăcinile.

x 1 =15

x 2 =17

Mijloace x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).