În timpul procesului de învățare, elevii ar trebui să dezvolte abilități de a demonstra identitățile în următoarele moduri.

Dacă trebuie să dovediți că A=B, atunci puteți

1. demonstrați că A - B = O,

2. demonstrați că A/B = 1,

3. convertiți A în forma B,

4. convertiți B în tipul A,

5. convertiți A și B într-o formă C.

Proprietățile operațiilor aritmetice sunt folosite ca suport pe care sunt construite dovezile de identități. Uneori se folosesc concepte și metode geometrice în demonstrație. Dovezile geometrice nu sunt doar instructive și vizuale, dar ajută și la consolidarea conexiunilor interdisciplinare.

Dovezile de identitate pot fi împărțite în trei tipuri în funcție de cât de mult îndeplinesc cerințele de rigoare:

a) Raționament nu complet riguros, necesitând folosirea metodei inducției matematice pentru a-i conferi deplină rigoare. Aceste dovezi sunt folosite pentru a deriva reguli pentru operații cu polinoame și proprietăți ale puterilor cu exponenți naturali. De exemplu,

а к а р = (а·а······а) (а·········а) = а·а········а = а к+р

k ori p ori k+p ori

b) Raționament complet riguros, bazat pe proprietățile de bază ale operațiilor aritmetice și nefolosind alte proprietăți ale sistemului numeric. Domeniul principal de aplicare a unor astfel de dovezi este identitățile înmulțirii prescurtate. Multe dintre afirmațiile exprimate prin formule de înmulțire prescurtate permit o ilustrare geometrică vizuală.

Exemplu Pentru identitate Profesorul poate sugera următoarea ilustrație:

c) Raționament complet riguros folosind condiții de solubilitate a ecuațiilor de forma Ψ(x) = a, unde Ψ este funcția elementară studiată. Astfel de dovezi sunt tipice pentru derivarea proprietăților de grade cu indicator raționalși funcția logaritmică. De exemplu, la demonstrarea proprietății rădăcinii aritmetice

(1)

ne vom baza pe o reformulare a definiţiei aritmeticii rădăcină pătrată: pentru numere nenegative x și y egalități y =
Şi

y 2 = x sunt echivalente, prin urmare (1) este echivalent cu (
) 2 = (
) 2 (2). De unde urmează și în = (
) 2 (
) 2 = a c.

Metoda de demonstrare care a fost folosită aici este folosită destul de rar, cu toate acestea, trebuie subliniat că ideea principală a demonstrației este de a compara două operații (sau funcții) - directă și inversă acesteia, care vor fi folosite deja în liceu.

Lanțul tehnologic de formare a algoritmilor și tehnicilor

transformări identitare ale expresiilor în școala de bază

12. Generalizarea tehnicilor 2, 4, 5 și 11.

Sarcina pentru prelegere

Exemplu
După ce ați analizat manualele școlare, creați un tabel de egalități identice indicând mulțimea pe care este adevărată.

, M 1 – acele x pentru care f(x) are sens. Profesor:

Afonasova Irina Olegovna

Subiect: algebră

Clasa: clasa a VII-a Tip de lecție:

învăţarea de materiale noi Subiect:

Dovada identităților

1. Obiectivele lecției:
2. Repetați definițiile identității și expresii identice egale, transformarea identică a expresiilor.
3. Formarea deprinderii de a alege o metodă de demonstrare a identităților folosind metoda transformării identice a expresiilor.

Promovarea unei culturi comunicative în rândul elevilor.

1 Progresul lecției

. Etapa organizatorică a lecției Înainte de începerea lecției, elevii din clasă sunt împărțiți în șase grupuri de studiu

compoziție mixtă. Profesor : Bună, băieți, vă sugerez sala de clasase transformă temporar în laborator de cercetare , iar tu și cu mine în.

Master în științe matematice

Dar fiecare om de știință care se respectă rezolvă în mod constant o problemă foarte importantă, așa că, în primul rând, trebuie să aflăm: la ce problemă vom lucra astăzi?

2. Determinarea temei lecției Pentru a face acest lucru, luați în considerare expresiile 2x+y și 2xy.

Să găsim valorile expresiilor pentru x=1 și y=2. b sugerează să mergi la consiliu către student si decide această sarcină, și de asemeneaformula o concluzie: când x=1 și y=2, expresiile iau valori egale (4).

, M 1 – acele x pentru care f(x) are sens. Cu toate acestea, puteți specifica valori ale variabilelor x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, x=3, y=4.

Student , stând la bord, îl verifică.

, M 1 – acele x pentru care f(x) are sens. Să luăm acum în considerare expresiile 3(x+y) și 3x+3y. Să găsim valorile expresiilor pentru x=5 și y=4.

Student, a sta la bord: rezolvarea unei probleme, formularea unei concluzii.

, M 1 – acele x pentru care f(x) are sens. Pentru orice valoare valori variabile sunt aceste expresii egale? Dacă da, de ce?

Student răspunsuri. (Răspuns: Da, conform proprietății distributive a înmulțirii).

Profesorul invită clasa să-și amintească numele unor astfel de expresii, numele egalității lor.

După aceea Slide 1.

Apoi profesorul întreabă: „Care este subiectul lecției de astăzi”.

compoziție mixtă. : Astăzi vom lucra la „Dovada identităților”.

Tema lecției este scrisă: „Dovada identităților” ( Slide 2)

compoziție mixtă. : Bine, acum hai să ne testăm. Pe ecran vor apărea egalități, dacă această egalitate este o identitate, atunci vă invit să ridicați mâna. ( Slide 3)

1. - (a – c) = - a + c (da)
2. a (b + c) = ab – ac (nu)
3. a – (b + c) = a – b + c(Nu)
4. (a + b) – c = a – c + c(Da)
5. - (a + b) = - a – b (da)

3. Determinarea scopului lecției

compoziție mixtă. : Bine, acum este timpul să ne transformăm din teoreticieni în oameni de știință practicieni, dar pentru aceasta trebuie să aflăm ce trebuie folosit pentrudovedi identitatea, iar aici nu ne putem lipsi de literatura științifică, vom găsi răspunsul la această întrebare la pagina 18 a manualului dvs. Elevii găsesc răspunsul în manual:„Pentru a demonstra că o anumită egalitate este o identitate, folosiți transformări identice ale expresiilor”. Participanții din alte grupuri indică acordul sau dezacordul cu semnalele speciale discutate mai sus. ( Slide 4)

compoziție mixtă. : Bravo, dar acum apare următoarea întrebare, ce estetransformarea identitară a expresiilor?

„Înlocuirea unei expresii cu o alta identic egală cu ea se numește o transformare identică a expresiei”(profesorul invită unul dintre participanții oricărui grup să răspundă la această întrebare) ( Slide 5)

compoziție mixtă. : Deci, care este scopul lecției? Elevii își numesc unul dintre scopurile lor: să învețe să dovedească identitățile folosind transformări identice ale expresiilor.

4. Identificarea unei modalități de demonstrare a identităților folosind metoda transformării identice a expresiilor

Profesorul: Acum suntem deja „copți” pentru munca practica, și v-aș ruga să vă îndreptați atenția asupra card . Sarcina: „Demonstrați identitatea”, fiecare grup de oameni de știință a primit un exemplu pe care trebuie să-l rezolve în mod independent, dacă apar dificultăți, cardurile de consultant vor veni în ajutor.

Carduri de sarcini

Cardul 1

Cardul 2

Cardul 3

Cardul 4

Cardul 5

Cardul 6

Acum trebuie să ne protejăm munca. (Prezentarea lucrărilor finalizate la consiliu, vorbesc membrii grupului dornici)

compoziție mixtă. : Grozav, iar acum, dragi colegi, este timpul să rezumam, ce trebuie să facem pentru a demonstra că egalitatea este identitate? Răspunsuri sugerate pentru elevi: ( Slide 6)

1. Scrieți partea stângă a egalității, transformați-o și asigurați-vă că este egală cu dreapta.
   sau
2. Notați partea dreaptă a egalității, transformați-o și asigurați-vă că este egală cu stânga.
   sau
3. Transformați ambele părți din stânga și din dreapta ale egalității și asigurați-vă că sunt egale cu aceeași expresie.

compoziție mixtă. : Ce concluzie se poate trage în cazul în care tot ceea ce tocmai am spus nu se va împlini? Răspuns sugerat pentru elev:Egalitatea nu va fi identitate.

5. Rezumând lecția.

Am reușit să ne atingem scopul? ….

compoziție mixtă. : Pentru a ne asigura că cunoștințele dobândite sunt de durată, vom continua această muncă acasă:Teme pentru acasă(Diapozitivul 7):

Nr. 691(a), 692(a), 715(a), sarcină creativă (opțional): * Faceți 3 egalități care vor fi o identitate (ilustrați fiecare metodă de probă).

compoziție mixtă. : Și acum este timpul pentru creativitate: în poezia pe care o vedeți, introduceți cuvintele care lipsesc ( Slide 8):

Sunt tot felul de egalități, fraților,
Și toată lumea, desigur, știe despre asta.
Există – cu variabile, există – (numerice),
Foarte, foarte complex (simplu)
Dar printre egalități există o clasă specială,
Ne vom spune povestea despre el acum.
Aceasta se numește egalitate (identitară).
Dar mai trebuie să dovedim acest lucru.
Pentru a face acest lucru trebuie doar să luăm
Și egalitatea este (conversia)
Desigur, nu ne va fi greu să aflăm
Ce parte va trebui să schimbăm?
Sau poate va trebui să le schimbăm pe amândouă,
Prin egalitate de spirit nu este greu (de înțeles)
Ura! Am putut să ne aplicăm cunoștințele
Conversia egalității a fost finalizată.
Și spunem cu îndrăzneală răspunsul:
La fel este identitatea, sau nu!

Profesor: Mulțumesc pentru lecție!

Previzualizare:

Carduri de sarcini

Subtitrări din diapozitive:

Definiția identității: O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valori admisibile ale variabilelor incluse în ea. Definiția expresiilor identic egale: Două expresii ale căror valori corespunzătoare sunt egale pentru orice valoare a variabilelor se numesc identic egale.

Dovada identităților

Exemple de identități: - (a – b) = - a + b a (b + c) = ab - ac a – (b + c) = a – b + c (a + b) – c = a – c + c - (a + b) = - a - b

Ce ar trebui să folosiți pentru a dovedi identitatea? Pentru a demonstra că o anumită egalitate este o identitate sau, după cum se spune altfel, pentru a demonstra o identitate, se folosesc transformări identice de expresii.

Transformarea identică a unei expresii Înlocuirea unei expresii cu alta identică egală cu ea se numește transformare identică a unei expresii.

Pentru a demonstra că o egalitate este o identitate, trebuie să: Scrieți partea stângă a egalității, transformați-o și asigurați-vă că este egală cu partea dreaptă. sau Notați partea dreaptă a egalității, transformați-o și asigurați-vă că este egală cu stânga. sau Luați pe rând transformând ambele părți ale egalității și asigurându-vă că sunt egale cu aceeași expresie.

Tema pentru acasă: Nr. 691(a), Nr. 692(a), Nr. 694, Compune 3 egalități care vor fi o identitate. *

Sunt tot felul de egalități, frați, și toată lumea, desigur, știe despre asta. Există - cu variabile, există -... Foarte, foarte complexe... . Dar printre egalități există o clasă specială, despre care ne vom spune povestea acum. ... asta se numește egalitate, dar tot trebuie să o dovedim. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să luăm Și egalitatea este... Nu ne va fi greu, desigur, să aflăm ce parte va trebui să schimbăm, Sau poate că va trebui să le schimbăm pe amândouă, Conform egalității speciilor, nu va fi dificil... Ura! Am reușit să punem în aplicare cunoștințele noastre. Transformarea egalității este finalizată. Și spunem cu îndrăzneală răspunsul: deci este această identitate, sau încă nu este?

Dovada identităților. Există multe concepte în matematică. Una dintre ele este identitatea.

• O identitate este o egalitate care este valabilă pentru toate valorile variabilelor incluse în ea.

Știm deja câteva identități. De exemplu, toate formulele de multiplicare prescurtate sunt identități.

Dovediți identitatea- aceasta înseamnă a stabili că pentru orice valoare variabilă validă, partea stângă a acesteia este egală cu partea dreaptă.

Există mai multe în algebră în diverse moduri dovezi de identitate.

Metode de demonstrare a identităților

• partea stângă a identității. Dacă ajungem cu partea dreaptă, atunci identitatea este considerată dovedită.
• Efectuați conversii echivalente partea dreaptă a identității. Dacă ajungem în sfârșit pe partea stângă, atunci identitatea este considerată dovedită.
• Efectuați conversii echivalente partea stângă și dreaptă a identității. Dacă obținem același rezultat, atunci identitatea este considerată dovedită.
• Din partea dreaptă a identității scădem partea stângă.
• Partea dreaptă este scăzută din partea stângă a identității. Efectuăm transformări echivalente asupra diferenței. Și dacă până la urmă obținem zero, atunci identitatea este considerată dovedită.

De asemenea, trebuie amintit că identitatea este valabilă numai pentru valorile admisibile ale variabilelor.

După cum puteți vedea, există destul de multe moduri. Ce metodă să alegeți într-un caz dat depinde de identitatea pe care trebuie să o dovediți. Pe măsură ce dovediți diferite identități, veți câștiga experiență în alegerea unei metode de probă.

Să ne uităm la câteva exemple simple

Exemplul 1.

Demonstrați identitatea x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Soluţie.

Deoarece partea dreaptă are o expresie mică, să încercăm să transformăm partea stângă a egalității.

• x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Să prezentăm termeni similari și să scoatem factorul comun din paranteză.

• x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Am descoperit că partea stângă după transformări a devenit aceeași cu partea dreaptă. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

Exemplul 2.

Demonstrați identitatea a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Soluţie.

În acest exemplu, puteți proceda în felul următor. Să deschidem parantezele din partea dreaptă a egalității.

• (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Vedem că după transformări, partea dreaptă a egalității a devenit aceeași cu partea stângă a egalității. Prin urmare, această egalitate este o identitate.

Ce este identitatea și cum se dovedește? și am primit cel mai bun răspuns

Răspuns de la Yovetlan Bezrukikh[activ]

Metode de demonstrare a identității:





Deci, să transformăm:




-36=-36.
Identitatea este dovedita!

Răspuns de la Yona Kichak[activ]
Ești inteligent! Nu știi ce este identitatea? Te duci la algebră în clasa a 7-a. O declarație de identitate care necesită dovezi. Și este ușor de demonstrat - simplificați.

Răspuns de la Oliya Frolova[guru]
Identitatea este o egalitate care este valabilă pentru orice valoare a variabilei.
x pătrat +8x-5x-40x pătrat +x - 4x + 4= - 36
-36=-36

Răspuns de la Andrei Shadrov[începător]
O identitate este o ecuație care este satisfăcută identic, adică valabilă pentru orice valori admisibile ale variabilelor incluse în ea. A dovedi o identitate înseamnă a stabili că pentru toate valorile admisibile ale variabilelor, laturile ei stânga și dreapta sunt egale.
Metode de demonstrare a identității:
1. Efectuați transformări pe partea stângă și, în final, obțineți partea dreaptă.
2. Efectuați transformări pe partea dreaptă și, în final, obțineți partea stângă.
3. Transformați separat părțile din dreapta și din stânga și obțineți aceeași expresie atât în ​​primul cât și în al doilea caz.
4. Compuneți diferența dintre laturile stânga și dreapta și, ca urmare a transformărilor sale, obțineți zero.
Din moment ce nu putem transforma partea dreaptă, vom transforma partea stângă. (Deoarece nu pot scrie un număr ridicat la a doua putere, de exemplu numărul x pătrat, îl voi scrie astfel: x înmulțit cu x, prescurtat ca x înmulțit cu x)
Deci, să transformăm:
x inteligent pe x + 8x - 5x - 40 - x inteligent. pe x + x - 4x + 4=-36,
(Putem distruge reciproc multe numere! Acestea sunt X în puteri pătrate, deoarece unul dintre ele este pozitiv, celălalt este negativ și numere similare sunt 8x; -5x; X; -4x. Deoarece 8x - 5x + x - 4x = 0).
Ca rezultat, am obținut -40 + 4= -36.
Efectuând o operație matematică simplă 4-40, obținem -36.
-36=-36.
Identitatea este dovedita!

Răspuns de la Alexandru Cernîșov[începător]
ahhh

Exemplul 2. Dovediți identitatea

Vom dovedi această identitate transformând expresia din partea dreaptă.

Metoda 1.

De aceea

Metoda 2.

În primul rând, rețineți că ctg α =/= 0; altfel expresia tg nu ar avea sens α = 1/ctg α . Dar dacă ctg α =/= 0, atunci numărătorul și numitorul expresiei radicalului pot fi înmulțite cu ctg α , fără a modifica valoarea fracției. Prin urmare,

Utilizarea identităților tg α ctg α = 1 și 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , primim

De aceea Q.E.D.

Comentariu. Trebuie remarcat faptul că partea stângă a identității dovedite (păcat α ) este definit pentru toate valorile α , iar cea potrivită - numai când α =/= π / 2 n.

Prin urmare, numai când toate valabile valorile α În general, aceste expresii nu sunt echivalente între ele.

Exemplul 3. Dovediți identitatea

păcat (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Să transformăm părțile stânga și dreaptă ale acestei identități folosind formulele de reducere:

păcat (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = -cos α -cos α = - 2cos α ;

cos(2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) =cos α - 3cos α = - 2cos α .

Deci, expresiile care apar în ambele părți ale acestei identități sunt reduse la aceeași formă. Aceasta dovedește identitatea.

Exemplul 4. Dovediți identitatea

păcatul 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Să arătăm că diferența dintre partea stângă și cea dreaptă. a acestei identități este egală cu zero.

(păcatul 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (păcatul 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (păcatul 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Aceasta dovedește identitatea.

Exemplul 5. Dovediți identitatea

Această identitate poate fi considerată o proporție. Dar pentru a demonstra validitatea proporției a / b = c / d, este suficient să arătăm că produsul termenilor săi extremi ad egal cu produsul termenilor săi medii bc. La fel vom face și în acest caz. Să arătăm că (1 - păcat α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .

Într-adevăr, (1 - păcat α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .