Într-o prismă pătrangulară regulată ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 laturile bazei sunt egale cu 2, iar marginile laterale sunt egale cu 5. Punctul E este marcat pe muchia AA 1 astfel încât AE: EA 1 = 3: 2 Aflați unghiul dintre planele ABC și BED 1 .

Soluţie. Fie ca linia dreaptă D 1 E să intersecteze dreapta AD în punctul K. Atunci planele ABC și BED 1 se vor intersecta de-a lungul dreptei KB.

Din punctul E coborâm perpendiculara EH pe dreapta KB, apoi segmentul AH (proiecția EH) va fi perpendicular pe dreapta KB (teorema a trei perpendiculare).

Unghiul AHE este unghiul liniar al unghiului diedric format din planele ABC și BED 1 .

Deoarece AE: EA 1 = 3: 2, obținem: .

Din asemănarea triunghiurilor A 1 D 1 E și AKE obținem: .

Într-un triunghi dreptunghic AKB cu unghi drept A: AB = 2, AK = 3, ; de unde vine inaltimea?
.

Din triunghiul dreptunghic AHE cu unghi drept A obținem: și ∠ AHE = arctan(√13/2).

Răspuns: arctan(√13/2).

Sarcini pentru decizie independentă

1. B paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Aflați unghiul dintre dreapta AB și planul ABC 1.

2. Într-o prismă hexagonală dreaptă ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 toate unghiurile sunt egale cu 1. Aflați distanța de la punctul B la planul DEA 1.

3. Într-un paralelipiped dreptunghic ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Aflați unghiul dintre dreapta AB 1 și planul ABC 1.

Exercita.

In dreapta prismă pătrangulară ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 laturile bazei sunt 3, iar marginile laterale sunt 4. Punctul E este marcat pe muchia AA 1 astfel încât AE: EA 1 = 1: 3.

a) Construiți dreapta de intersecție a planelor ABC și BED 1.

b) Aflați unghiul dintre planele ABC și BED 1.

Soluţie:

a) Construiți linia de intersecție a planelorABC șiPATUL 1.

Să construim planul BED 1. Punctele E și D 1 se află în același plan, așa că haideți să trasăm o linie dreaptă ED 1.

Punctele E și B se află în același plan, așa că haideți să trasăm o linie dreaptă EB. Deoarece fețele unei prisme pătraunghiulare obișnuite sunt paralele, să desenăm o dreaptă BF paralelă cu dreapta ED 1 în fața BB 1 C 1 C. Punctele F și D 1 se află în același plan, așa că haideți să trasăm o linie dreaptă FD 1. Am obținut planul necesar BED 1.

Deoarece dreapta ED 1 și dreapta AD se află în același plan ADD 1, ele se intersectează în punctul K, care se află în planul ABC. Punctele K și B se află în planele ABC și BED 1, prin urmare, planurile ABC și BED 1 se intersectează de-a lungul dreptei KB. Linia dreaptă necesară de intersecție a planurilor ABC și BED 1 a fost construită.

b) Aflați unghiul dintre planeABC șiPATUL 1

Segmentul AE este perpendicular pe planul ABC din punctul E coborâm perpendiculara EH pe dreapta KB; Punctul H se află în planul ABC, apoi AH este proiecția lui EH pe planul ABC. O dreaptă perpendiculară pe EH înclinată trece prin punctul H, apoi, după teorema a trei perpendiculare, segmentul AH este perpendicular pe dreapta KB.

Unghiul ∠EHA este unghiul liniar al unghiului diedru format din planele ABC și BED 1 . Unghiul ∠EHA este unghiul dorit dintre planele ABC și BED 1. Să aflăm valoarea acestui unghi.

Să luăm în considerare triunghi dreptunghic EHA (∠A = 90˚):

După condiția AE: EA 1 = 1: 3, apoi AE: AA 1 = 1: 4.

Deci triunghiurile AKE și A 1 D 1 E sunt similare

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 – AE = 3

Se consideră triunghiul dreptunghic AKB (∠A = 90˚).

Să luăm în considerare o altă problemă stereometrică în două puncte din CIM-urile de antrenament.

Sarcină.Într-o prismă patruunghiulară obișnuită ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 latura AB a bazei este egală cu 5, iar marginea laterală AA 1 este egală cu rădăcina pătrată a lui cinci. Pe coastele soarelui şi C 1 D 1 a marcat punctele K și L în consecință, cu SC = 2, și C1L =1. Avion gparalel cu linia B D și conține punctele K și L.

a) Demonstrați că dreapta A 1 C este perpendiculară pe plang.

b) Aflați volumul unei piramide, al cărei vârf este punctul A 1, iar baza este o secțiune a unei prisme date printr-un plang.

Soluţie.a) Să completăm cu atenție desenul și să analizăm datele. Deoarece ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prisma patruunghiulara regulata, adica baza ABCD – un pătrat cu latura 5. Nervurile laterale sunt perpendiculare pe baze. De când avionulgtrece prin punctul K și este paralelă cu dreapta B D , apoi linia de intersecție a planuluigiar planul ABC este paralel cu dreapta B D (Dacă un alt plan este trasat printr-o linie paralelă cu un plan dat, atunci linia de intersecție a acestor plane va fi paralelă cu dreapta dată.).

Prin punctul K trasăm o dreaptă paralelă cu B D pana la intersectia cu CD în punctul M. Aceasta înseamnă că CM este perpendicular pe AC ( deoarece diagonalele unui pătrat BD și AC sunt perpendiculare ).

Triunghiuri BCD și SCM sunt similare (ambele sunt dreptunghiulare și isoscele), ceea ce înseamnă CM=KS=2. Folosind teorema lui Pitagora din triunghiul SKM aflăm că KM = 2√2, iar din triunghi BCD BD =5 √2 . Diagonalele unui pătrat sunt egale, ceea ce înseamnă AC = BD =5 √2 .

Acum, prin subiect L trageți o linie dreaptă paralelă cu B D pana la intersectia cu B 1 C 1 în punctul T. De-a lungul segmentului T L avionul KM ​​L va intersecta baza superioară ( Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci liniile de intersecție vor fi paralele). Deci T C 1 = C 1 L =1. Din triunghiul T LC 1 conform teoremei lui Pitagora T L = √2.

Într-un CT trapez isoscel L M punctul H – mijlocul bazei superioare, punct N - mijlocul bazei inferioare, ceea ce înseamnă H N – înălțimea trapezului, N N perpendicular pe KM. Aceasta înseamnă că CM este perpendicular pe planul AA 1 C, inclusiv linia dreaptă A 1 C.

Luați în considerare secțiunea transversală diagonală a unei prisme dreptunghiulare AA 1 C 1 C. Din punctul H coborâm o perpendiculară pe AC. Apoi N E=EC=NCI =0,5 √2. NU= C C 1 = √5.

În triunghiuri AA 1 C și N Unghi RS RSA – general. Tangenta unghiului AA 1 C este egală cu 5√2 : √5 = √10 Tangenta unghiului Н N E din triunghiul H N E este egal cu √5: 0,5 √2 = √10 . Deci unghiurile AA 1 C și H N E sunt egale. Dar apoi unghiurile rămase A 1 AC = N RS=90⁰ . Avem A 1 C perpendicular pe liniile drepte H N și KM, ceea ce înseamnă că A 1 C este perpendicular pe planul trapezului KT L M. Ceea ce trebuia dovedit.

Pentru a afla volumul piramidei A 1 CT L M, trebuie să găsim aria CT trapezului L M și înălțimea A 1 R. Din triunghiul H N E prin teorema lui Pitagora H N 2 =5,5. Zona trapezoidală CT L M este egal cu N N *(T L + KM)/2= √5,5 *(√2 + 2 √2)/2=1,5 √11.