Formulele de trigonometrie de bază sunt formule care stabilesc conexiuni între funcțiile trigonometrice de bază. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt interconectate prin multe relații. Mai jos sunt principalele formule trigonometrice, iar pentru comoditate le vom grupa după scop. Folosind aceste formule puteți rezolva aproape orice problemă dintr-un curs standard de trigonometrie. Să observăm imediat că mai jos sunt doar formulele în sine, și nu concluzia lor, care vor fi discutate în articole separate.

Identități de bază ale trigonometriei

Identitățile trigonometrice oferă o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, permițând unei funcții să fie exprimată în termenii altuia.

Identități trigonometrice

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Aceste identități rezultă direct din definițiile cercului unitar, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) și cotangente (ctg).

Formule de reducere

Formulele de reducere vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade.

Formule de reducere

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Formulele de reducere sunt o consecință a periodicității funcții trigonometrice.

Formule trigonometrice de adunare

Formulele de adunare în trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței unghiurilor în termeni de funcții trigonometrice ale acestor unghiuri.

Formule trigonometrice de adunare

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Pe baza formulelor de adunare, sunt derivate formule trigonometrice pentru unghiuri multiple.

Formule pentru unghiuri multiple: dublu, triplu etc.

Formule cu unghi dublu și triplu

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α cu t g 2 α = cu t g 2 α - 1 2 · cu t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule cu jumătate de unghi

Formulele cu semiunghi în trigonometrie sunt o consecință a formulelor cu dublu unghi și exprimă relația dintre funcțiile de bază ale unui semiunghi și cosinusul unui unghi întreg.

Formule cu jumătate de unghi

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule de reducere a gradului

Formule de reducere a gradului

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Este adesea incomod să lucrezi cu puteri greoaie atunci când faci calcule. Formulele de reducere a gradului vă permit să reduceți gradul unei funcții trigonometrice de la arbitrar mare la prima. Iată viziunea lor generală:

Vedere generală a formulelor de reducere a gradului

pentru chiar n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

pentru n. impar

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca produs. Factorizarea diferențelor de sinusuri și cosinus este foarte convenabilă de utilizat atunci când se rezolvă ecuații trigonometriceși simplificarea expresiilor.

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produsul funcțiilor trigonometrice

Dacă formulele pentru suma și diferența funcțiilor permit să mergem la produsul lor, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează tranziția inversă - de la produs la sumă. Sunt luate în considerare formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Formule pentru produsul funcțiilor trigonometrice

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Substituție trigonometrică universală

Toate funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - pot fi exprimate în termenii tangentei unui jumătate de unghi.

Substituție trigonometrică universală

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Formule de bază ale trigonometriei. Lecția nr. 1

Numărul de formule folosite în trigonometrie este destul de mare (prin „formule” nu înțelegem definiții (de exemplu, tgx=sinx/cosx), ci egalități identice precum sin2x=2sinxcosx). Pentru a ușura navigarea în această abundență de formule și pentru a nu obosi studenții cu înghesuiala fără sens, este necesar să le evidențiem pe cele mai importante dintre ele. Sunt puțini dintre ei - doar trei. Toate celelalte rezultă din aceste trei formule. Aceasta este identitatea trigonometrică de bază și formulele pentru sinusul și cosinusul sumei și diferenței:

Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Din aceste trei formule rezultă absolut toate proprietățile sinusului și cosinusului (periodicitatea, valoarea perioadei, valoarea sinusului 30 0 = π/6=1/2 etc.) Din acest punct de vedere, în programa școlară Sunt folosite o mulțime de informații formal inutile, redundante. Deci, formulele „1-3” sunt conducătorii regnului trigonometric. Să trecem la formulele corolar:

1) Sinusurile și cosinusurile unghiurilor multiple

Dacă înlocuim valoarea x=y în (2) și (3), obținem:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

Am dedus că sin0=0; cos0=1, fără a recurge la interpretarea geometrică a sinusului și cosinusului. În mod similar, prin aplicarea formulelor „2-3” de două ori, putem deriva expresii pentru sin3x; cos3x; sin4x; cos4x etc.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x

Sarcină pentru studenți: obțineți expresii similare pentru cos3x; sin4x; cos4x

2) Formule de reducere a gradului

Rezolvați problema inversă exprimând puterile sinusului și cosinusului în termeni de cosinus și sinusuri ale unghiurilor multiple.

De exemplu: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, deci: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, deci: sin 2 x=1/2-cos2x/2

Aceste formule sunt folosite foarte des. Pentru a le înțelege mai bine, vă sfătuiesc să desenați grafice ale părților din stânga și din dreapta lor. Graficele pătratelor cosinus și sinus „înfășoară” în jurul graficului dreptei „y=1/2” (aceasta este valoarea medie a cos 2 x și sin 2 x pe mai multe perioade). În acest caz, frecvența de oscilație se dublează față de originalul (perioada funcţiile cos 2 x sin 2 x este egal cu 2π /2=π), iar amplitudinea oscilațiilor este înjumătățită (coeficientul 1/2 înainte de cos2x).

Problemă: Exprimă sin 3 x; cos 3 x; sin 4 x ; cos 4 x prin cosinus și sinusuri ale unghiurilor multiple.

3) Formule de reducere

Ele folosesc periodicitatea funcțiilor trigonometrice, permițând ca valorile acestora să fie calculate în orice sfert al cercului trigonometric din valorile din primul trimestru. Formulele de reducere sunt cazuri foarte speciale ale formulelor „principale” (2-3) De exemplu: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx).

Deci Cos(x+ π/2) =sinx

Sarcină: deducerea formulelor de reducere pentru sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)

4) Formule care convertesc suma sau diferența dintre cosinus și sinus într-un produs și invers.

Să scriem formula pentru sinusul sumei și diferenței a două unghiuri:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

Să adăugăm părțile din stânga și din dreapta acestor egalități:

Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy + sinycosx + sinxcosy – sinycosx

Termeni similari se anulează, deci:

Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

a) când citim (*) de la dreapta la stânga, obținem:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Produsul sinusurilor a două unghiuri este egal cu jumătate din suma sinusurilor sumei și diferența acestor unghiuri.

b) la citirea (*) de la stânga la dreapta, este convenabil să notăm:

x-y = c. De aici vom găsi XŞi la prin rŞi Cu, adunând și scăzând părțile stânga și dreaptă ale acestor două egalități:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, înlocuind cu (*) în loc de (x+y) și (x-y) noile variabile derivate rŞi Cu, să ne imaginăm suma sinusurilor prin produs:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Deci, o consecință directă a formulei de bază pentru sinusul sumei și diferența de unghiuri se dovedește a fi două relații noi (4) și (5).

c) acum, în loc să adunăm părțile stânga și dreaptă ale egalităților (1) și (2), le vom scădea una de la alta:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

Citirea acestei identități de la dreapta la stânga duce la o formulă similară cu (4), care se dovedește a fi neinteresantă, deoarece știm deja cum să descompunăm produsele sinusului și cosinusului într-o sumă de sinusuri (vezi (4)). Citirea (6) de la stânga la dreapta oferă o formulă care restrânge diferența de sinusuri într-un produs:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Deci, dintr-o identitate fundamentală sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, avem trei noi (4), (5), (7).

Lucrări similare efectuate cu o altă identitate fundamentală cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny conduce deja la patru noi:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc ​​​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Sarcină: convertiți suma sinusului și cosinusului într-un produs:

Sinx +cosy = ? Soluție: dacă încercați să nu derivați formula, dar vă uitați imediat la răspunsul într-un tabel de formule trigonometrice, atunci este posibil să nu găsiți un rezultat gata făcut. Elevii ar trebui să înțeleagă că nu este nevoie să memoreze și să introducă în tabel o altă formulă pentru sinx+cosy = ..., deoarece orice cosinus poate fi reprezentat ca sinus și, invers, folosind formule de reducere, de exemplu: sinx = cos ( π/2 – x), cozy = sin (π/2 – y). Prin urmare: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.