a) Rezolvați ecuația: .

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului .

Rezolvarea problemei

ÎN această lecție Se are în vedere un exemplu de rezolvare a unei ecuații trigonometrice, care poate fi folosit ca exemplu pentru rezolvarea problemelor de tip C1 la pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică.

În primul rând, se determină domeniul de aplicare al funcției - toate valorile valide ale argumentului. Apoi, în timpul soluției, se realizează transformarea functie trigonometrica sinus la cosinus folosind formula de reducere. Apoi, toți termenii ecuației sunt transferați în partea stângă, unde factorul comun este scos din paranteze. Fiecare factor este egal cu zero, ceea ce ne permite să determinăm rădăcinile ecuației. Apoi, folosind metoda spirelor, se determină rădăcinile aparținând unui segment dat. Pentru a face acest lucru, pe cercul unitar construit, o viraj este marcată de la marginea stângă a unui segment dat la dreapta. În continuare, rădăcinile găsite pe cercul unității sunt conectate prin segmente de centrul acestuia și se determină punctele în care aceste segmente se intersectează la viraj. Aceste puncte de intersecție sunt răspunsul dorit la a doua parte a problemei.

O) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Arată soluția

Soluţie

O) Deschizând parantezele și mutând toți termenii în partea stângă, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \ cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tan x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,

1) care prin grupare se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0. 1-tg x=0, tan x=1,

2) x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z; 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12,

b) x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z. Prin utilizarea cerc numeric selectați rădăcinile aparținând intervalului

\left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) Răspuns \frac\pi 4+\pi n,

b) \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3,

\frac(9\pi )4.

O) Stare Rezolvați ecuația

b)(2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0. Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului

Arată soluția

Soluţie

O)\left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ; ODZ:

\begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta.

Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom face o înlocuire \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Atunci \sin^24x=1-t^2.

Primim:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0, t_1=\frac12,

t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Să rezolvăm a doua ecuație.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ.

Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0. Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. Să găsim rădăcinile aparținând intervalului

\left(0;\,\frac(3\pi )2\right]. x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12);

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) x=\frac(17\pi )(12). \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z. \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12);

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

O) Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Rezolvați ecuația:

b)\cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3; Enumerați toate rădăcinile care aparțin intervalului

Arată soluția

Soluţie

O)\left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right]. Deoarece\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Că\sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, Mijloace, ecuația dată

este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul ei, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0. Dar \cos ^2x-\cos ^22x=(\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)

Şi

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot

(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0. Rezolvarea primei ecuații ca ecuație pătratică

raportat la \cos x, obținem:(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare fie \cos x=1 fie\cos x=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=-\frac12,

x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z. În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie\cos x=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Dacă\sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, \cos x=\frac12,

x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Să combinăm soluțiile obținute: x=m\pi , m \in \mathbb Z;

b) x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

Să selectăm rădăcinile care se încadrează într-un interval dat folosind un cerc numeric. Primim: x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

O) Stare 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Arată soluția

Soluţie

O) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul de definire al ecuației va fi astfel de valori ale lui x astfel încât \cos x \neq 0 și tan x \neq -1. Să transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obținem ecuația:

5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx). Rețineți că \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx),

\cos x+\sin x =\frac65. 2. Transformați \sin x+\cos x folosind formula de reducere și formula sumei cosinusurilor: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =

\frac65. De aici\cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4=

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, Mijloace, sau

-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z. De aceea

arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z, x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

b) Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției. Să aflăm mai întâi unde cad rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi numere în consecință a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5

Şi

b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.<\frac{3\sqrt 2}2<1.

1. Să demonstrăm inegalitatea auxiliară: \frac(\sqrt 2)(2)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

într-adevăr, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<1^2=1, De asemenea, rețineți că \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1.

Mijloace (1) \frac(3\sqrt 2)5

2. Din inegalităţi

0

\frac65. Prin proprietatea arccosinus obținem:<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

arccos 1 \frac\pi 4+0

De asemenea,<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< -\frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4

\frac\pi 4 Pentru k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi.\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).

În același timp -2\pi 2\pi

Aceasta înseamnă că aceste rădăcini aparțin intervalului dat

\left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right). Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

O) Stare \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ;

Arată soluția

Soluţie

O) Să transformăm ecuația:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar.

Intervalul indicat conține un singur număr \frac\pi 2.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

\frac(17\pi )(12).

\frac(9\pi )4.

nu este inclusă în DZ.

Mijloace, \sin x \neq 1.

Împărțiți ambele părți ale ecuației cu un factor (\sin x-1), diferit de zero. Obținem ecuația \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în dreapta, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Această ecuație este prin substituție \cos x=t, Unde -1 \leqslant t \leqslant 1 reduceți-l la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini t_1=-1 Acestea vor fi numere în consecință t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem \cos x = \frac12 sau \cos x=-1, unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Să rezolvăm inegalitățile

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Nu există numere întregi în interval \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi.

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

O) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

În acest articol voi încerca să explic 2 moduri selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică: folosind inegalitățile și folosind cercul trigonometric. Să trecem direct la un exemplu ilustrativ și ne vom da seama cum funcționează lucrurile.

A) Rezolvați ecuația sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații aparținând intervalului [-7Pi/2; -2Pi]

Să rezolvăm punctul a.

Să folosim formula de reducere pentru sinus sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cosx - 1 = 0

Cosx = 1/sqrt(2)

Cosx = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Să rezolvăm punctul b.

1) Selectarea rădăcinilor folosind inegalități

Aici totul se face simplu, înlocuim rădăcinile rezultate în intervalul dat [-7Pi/2; -2Pi], găsiți valori întregi pentru n.

7Pi/2 mai mic sau egal cu Pi/2 + Pin mai mic sau egal cu -2Pi

Împărțim imediat totul la Pi

7/2 mai mic sau egal cu 1/2 + n mai mic sau egal cu -2

7/2 - 1/2 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -2 - 1/2

4 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -5/2

Numărul întreg n din acest interval este -4 și -3. Aceasta înseamnă că rădăcinile aparținând acestui interval vor fi Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

În mod similar, mai facem două inegalități

7Pi/2 mai mic sau egal cu Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi
-15/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -9/8

Nu există n întreg în acest interval

7Pi/2 mai mic sau egal cu -Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi
-13/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -7/8

Un număr întreg n în acest interval este -1. Aceasta înseamnă că rădăcina selectată pe acest interval este -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Deci răspunsul la punctul b: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Selectarea rădăcinilor folosind un cerc trigonometric

Pentru a utiliza această metodă, trebuie să înțelegeți cum funcționează acest cerc. Voi încerca să explic într-un limbaj simplu cum înțeleg asta. Cred că în școli, la lecțiile de algebră, această temă a fost explicată de multe ori cu cuvinte inteligente de la profesor, în manuale erau formulări complexe. Personal, înțeleg asta ca un cerc care poate fi parcurs de un număr infinit de ori, acest lucru se explică prin faptul că funcțiile sinus și cosinus sunt periodice.

Să mergem în sens invers acelor de ceasornic

Să mergem de 2 ori în sens invers acelor de ceasornic

Să mergem în jur de 1 dată în sensul acelor de ceasornic (valorile vor fi negative)

Să revenim la întrebarea noastră, trebuie să selectăm rădăcini în intervalul [-7Pi/2; -2Pi]

Pentru a ajunge la numerele -7Pi/2 și -2Pi trebuie să ocoliți cercul în sens invers acelor de ceasornic de două ori. Pentru a găsi rădăcinile ecuației pe acest interval, trebuie să estimați și să înlocuiți.

Luați în considerare x = Pi/2 + Pin. Aproximativ ce ar trebui să fie n pentru ca x să fie undeva în acest interval? Inlocuim, sa zicem -2, obtinem Pi/2 - 2Pi = -3Pi/2, evident acest lucru nu este inclus in intervalul nostru, deci luam mai putin de -3, Pi/2 - 3Pi = -5Pi/2, asta este potrivit, să încercăm din nou -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, de asemenea, potrivit.

Raționând în mod similar pentru Pi/4 + 2Pin și -Pi/4 + 2Pin, găsim o altă rădăcină -9Pi/4.

Comparația a două metode.

Prima metodă (folosind inegalități) este mult mai fiabilă și mult mai ușor de înțeles, dar dacă chiar iei în serios cercul trigonometric și a doua metodă de selecție, atunci selectarea rădăcinilor va fi mult mai rapidă, poți economisi aproximativ 15 minute la examen. .

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tan x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică, iar formulele lor le vom lua în considerare în continuare.

Cele mai simple ecuații se numesc `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să notăm formulele rădăcinilor pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu are solutii intre numerele reale.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

Are, de asemenea, un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinus:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• cu ajutorul transformării în cel mai simplu;
• rezolvați cea mai simplă ecuație obținută folosind formulele rădăcinilor și tabelele scrise mai sus.

Să ne uităm la principalele metode de soluție folosind exemple.

Metoda algebrică.

Această metodă implică înlocuirea unei variabile și substituirea acesteia într-o egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Soluţie. Să mutăm toți termenii egalității la stânga: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducere la o ecuație omogenă

În primul rând, trebuie să reduceți această ecuație trigonometrică la una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți la `cos x \ne 0` - pentru primul caz și la `cos^2 x \ne 0` - pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțim laturile ei stânga și dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, rezultând `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Trecerea la jumătate de unghi

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluţie. Să aplicăm formulele unghiului dublu, rezultând: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unghiului auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțiți ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume suma pătratelor lor este egală cu 1 și modulele lor nu sunt mai mari de 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, atunci:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluţie. Împărțim ambele părți ale egalității la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Să notăm `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, atunci luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice raționale fracționale

Acestea sunt egalități cu fracții ai căror numărători și numitori conțin funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a egalității cu `(1+cos x)`. Ca rezultat obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi egal cu zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Să echivalăm numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt folosite în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examenul de stat unificat, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță utile!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să o puteți deriva. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.

Cunoștințe minime obligatorii

sin x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
sau
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, k Z
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x

Cunoștințe minime obligatorii

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x

Cunoștințe minime obligatorii

tg x = a, a R
x = arctan a + n, n Z
cot x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Reduceți ecuația la o funcție
Reduceți la un singur argument
Cateva metode de rezolvare
ecuații trigonometrice
Aplicarea formulelor trigonometrice
Folosind formule de înmulțire prescurtate
Factorizarea
Reducere la o ecuație pătratică pentru sin x, cos x, tan x
Prin introducerea unui argument auxiliar
Prin împărțirea ambelor părți ale unei ecuații omogene de gradul I
(asin x +bcosx = 0) prin cos x
Prin împărțirea ambelor părți ale unei ecuații omogene de gradul doi
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) prin cos2 x

Exerciții orale Calculează

arcsin ½
arcsin (- √2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arctan √3
arctan (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(folosind un cerc trigonometric)
cos 2x = ½, x [- /2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
Să selectăm rădăcini folosind un cerc trigonometric
Raspuns: - /6; /6; 5/6; 7 /6

Diferite metode de selecție a rădăcinilor

Aflați rădăcinile ecuației aparținând intervalului dat
sin 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Să selectăm rădăcinile prin enumerarea valorilor lui k:
k = 0, x = /9 – aparține intervalului
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – aparține intervalului
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – nu aparține intervalului
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – aparține intervalului
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – nu aparține intervalului
Raspuns: -4 /9; /9; 2/9

Diferite metode de selecție a rădăcinilor

Aflați rădăcinile ecuației aparținând intervalului dat
(folosind inegalitatea)
tg 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
Să selectăm rădăcinile folosind inegalitatea:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2 /3 = 7 /12
n = 3, x = – /12 + = 11 /12
Raspuns: – 5 /12; – /12; /4; 7 /12; 11/12

10. Diverse metode de selecție a rădăcinilor

Aflați rădăcinile ecuației aparținând intervalului dat
(folosind grafic)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = arccos (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3/4 + 2 n, n Z
Să selectăm rădăcinile folosind graficul:
x = – /2 – /4 = – 3 /4; x = – – /4 = – 5 /4
Raspuns: 5 /4; 3/4

11. 1. Rezolvați ecuația 72cosx = 49sin2x și indicați rădăcinile acesteia pe segmentul [; 5/2]

1. Rezolvați ecuația 72cosx = 49sin2x
și indicați rădăcinile sale pe segmentul [; 5/2]
Să rezolvăm ecuația:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
cos x = 0 ,
x = /2 + k, k Z
sau
1 – 2sinx = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
Să selectăm rădăcini folosind
cerc trigonometric:
x = 2 + /6 = 13 /6
Răspuns:
a) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
b) 3 /2; 5 /2; 13/6

12. 2. Rezolvați ecuația 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 Aflați rădăcinile ei pe segment

2. Rezolvați ecuația 4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
Găsiți-i rădăcinile pe segment
4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3 /2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 sin x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = – 2,5
sau
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z

13. Să selectăm rădăcinile unui segment (folosind grafice)

Să selectăm rădăcini pe un segment
(folosind grafice)
sin x = ½
Să reprezentăm grafic funcțiile y = sin x și y = ½
x = 4 + /6 = 25 /6
Răspuns: a) (-1)k /6 + k, k Z; b) 25 /6

14. 3. Rezolvați ecuația Aflați rădăcinile ei pe segment

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
Dacă cos2 2x = 0, atunci sin2 2x = 0, ceea ce este imposibil, deci
cos2 2x 0 și ambele părți ale ecuației pot fi împărțite la cos2 2x.
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tg 2x + 3= 0,
tan 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
sau
tan 2x = 3,
2x = arctan 3 + k, k Z
x = ½ arctan 3 + k/2, k Z

15.

4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z sau x = ½ arctan 3 + k/2, k Z
De la 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
este solutia
De la 0< /8 < /4 < 1,значит /8
este si o solutie
Alte soluții nu vor fi incluse în
decalaj din moment ce ei
se obțin din numerele ½ arctan 3 și /8
adunarea numerelor care sunt multipli de /2.
Răspuns: a) /8 + n/2, n Z ; ½ arctan 3 + k/2, k Z
b) /8; ½ arctan 3

16. 4. Rezolvați ecuația log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 Aflați rădăcinile ei pe segment

4. Rezolvați ecuația log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
Găsiți-i rădăcinile pe segment
Să rezolvăm ecuația:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
sau
1 – 2sinx = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z

17.

Să selectăm rădăcini pe un segment
Să selectăm rădăcini pe segment:
1) x = /2 + n, n Z
2/2 + n 7/2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 – /6 = 17 /6
Răspuns: a) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
b) 13/6; 5 /2; 7 /2; 17/6

18. 5. Rezolvați ecuația 1/sin2x + 1/sin x = 2 Aflați rădăcinile ei pe segmentul [-5/2; -3/2]

5. Rezolvați ecuația 1/sin2x + 1/sin x = 2
Găsiți-i rădăcinile pe segmentul [-5 /2; -3/2]
Să rezolvăm ecuația:
1/sin2x + 1/sin x = 2
x k
Înlocuire 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/sin x = – 2,
sin x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
sau
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/sin x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
Această serie de rădăcini este exclusă, deoarece -150º+ 360ºn este în afara limitelor
interval specificat [-450º; -270º]

19.

Să continuăm să selectăm rădăcini pe segment
Să luăm în considerare seria de rădăcini rămase și să efectuăm o selecție de rădăcini
pe segmentul [-5 /2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1 n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Răspuns: a) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, k Z
b) -13 /6; -3 /2

20. 6. Rezolvați ecuația |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Aflați rădăcinile ei pe segmentul [-1; 8]

Să rezolvăm ecuația
|sin x|/sin x + 2 = 2cos x
1)Dacă sin x >0, atunci |sin x| =sin x
Ecuația va lua forma:
2 cos x=3,
cos x =1,5 – nu are rădăcini
2) Dacă sin x<0, то |sin x| =-sin x
iar ecuația va lua forma
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Avand in vedere ca sin x< 0, то
a rămas o serie de răspunsuri
x = - π/3 +2πk, k Z
Să selectăm rădăcini pentru
segmentul [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 nu aparține acestui lucru
segment
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 nu aparține acestui lucru
segment.
Răspuns: a) - π/3 +2πk, k Z
b) 5
π/3

21. 7. Rezolvați ecuația 4sin3x=3cos(x- π/2) Aflați rădăcinile ei pe interval

8. Rezolvați ecuația √1-sin2x= sin x
Găsiți-i rădăcinile în interval
Să rezolvăm ecuația √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sin x≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2

25. Să selectăm rădăcini pe un segment

Să selectăm rădăcini pe un segment
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y =sin x și y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Răspuns: a) (-1)k /4 + k, k Z b) 11 /4

26. 9. Rezolvați ecuația (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Aflați rădăcinile ei pe intervalul [-5; -7/2]

9. Rezolvați ecuația (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Găsiți-i rădăcinile pe intervalul [-5; -7/2]
Să rezolvăm ecuația
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2 n 2) sin2x + 2 sin2x =0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x+ sin x) =0,
sin x=0, x= n, n Z
sau
cos x+ sin x=0 | : cos x,
tan x= -1, x= - /4 + n, n Z
Ținând cont de DL
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3/4 + 2 n, n Z

27. Să selectăm rădăcini pe un segment dat

Să selectăm rădăcinile date
segmentul [-5; -7/2]
x= +2 n, n Z;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3/4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, nu așa ceva
întreg n.
Răspuns: a) +2 n, n Z ;
3/4 + 2 n, n Z;
b) -5.

28. 10. Rezolvați ecuația 2sin2x =4cos x –sinx+1 Aflați rădăcinile ei pe intervalul [/2; 3/2]

10. Rezolvați ecuația 2sin2x =4cos x –sinx+1
Găsiți rădăcinile sale pe intervalul [ /2; 3/2]
Să rezolvăm ecuația
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
sau
4cos x +1= 0, cos x = -0,25
x = ± (-arccos (0,25)) + 2 n, n Z
Să scriem diferit rădăcinile acestei ecuații
x = - arccos(0,25) + 2 n,
x = -(- arccos(0,25)) + 2 n, n Z

29. Să selectăm rădăcini folosind un cerc

x = /2+2 n, n Z, x = /2;
x = -arccos(0,25)+2 n,
x=-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z,
x = - arccos(0,25),
x = + arccos(0,25)
Răspuns: a) /2+2 n,
-arccos(0,25)+2 n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
b) /2;
-arccos(0,25); +arccos(0,25)