Punctul și linia sunt de bază forme geometriceîntr-un avion.

Definiția unui punct și a unei linii nu este introdusă în geometrie, aceste concepte sunt considerate la nivel conceptual intuitiv.

Punctele sunt indicate cu majuscule (majuscule, majuscule) cu litere latine: A, B, C, D, …

Liniile directe sunt notate cu o literă latină mică (mică), de exemplu,

- drept a.

Linia dreaptă este formată din număr infinit puncte și nu are nici început, nici sfârșit. Figura înfățișează doar o parte a liniei drepte, dar se înțelege că se extinde infinit în spațiu, continuând la infinit în ambele direcții.

Se spune că punctele care se află pe o linie aparțin acestei linii. Afilierea este marcată cu semnul ∈. Se spune că punctele din afara unei linii nu aparțin acestei linii. Semnul „nu aparține” este ∉.

De exemplu, punctul B aparține liniei a (scrieți: B∈a),

punctul F nu aparține dreptei a, (scrieți: F∉a).

Proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor pe un plan:

Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.

Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una.

Liniile sunt de asemenea notate cu două litere latine mari, după numele punctelor care se află pe linie.

- AB drept.

- această linie poate fi numită MK sau MN sau NK.

Două linii se pot intersecta sau nu. Dacă liniile nu se intersectează, ele au nu puncte comune. Dacă liniile se intersectează, ele au un punct comun. semn de trecere - ∩ .

De exemplu, liniile a și b se intersectează în punctul O

(scrieți: a ∩ b=O).

Liniile c și d se intersectează, deși punctul lor de intersecție nu este prezentat în figură.

Semnele de apartenență sunt bine cunoscute din cursul de planimetrie. Sarcina noastră este să le luăm în considerare în raport cu proiecțiile obiectelor geometrice.

Un punct aparține unui plan dacă aparține unei linii situate în acest plan.

Apartenența la un plan drept este determinată de unul dintre cele două criterii:

a) o dreaptă trece prin două puncte situate în acest plan;

b) o dreaptă trece printr-un punct și este paralelă cu liniile situate în acest plan.

Folosind aceste proprietăți, să rezolvăm problema ca exemplu. Fie ca planul să fie definit printr-un triunghi ABC. Este necesar să se construiască proiecția lipsă D 1 puncte D aparţinând acestui plan. Succesiunea construcțiilor este următoarea (Fig. 2.5).

Orez. 2.5.

A construi proiecții ale unui punct aparținând unui plan D Prin punct 2 efectuăm o proiecție în linie dreaptă d  ABC, întins în avion , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul O , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul 2 D 2. Atunci punctul 1 2 aparține dreptelor 2 și 2 CÎN 2 și 1 C 2. Prin urmare, putem obține proiecția sa orizontală 1 1 pe , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul 1 prin linia de comunicație. Punctele de legătură 1 1 și 2 efectuăm o proiecție în linie dreaptă 1, obținem o proiecție orizontală D 1. D 2 .

Este clar că ideea

1 îi aparține și se află pe linia de legătură de proiecție cu punctul

Problemele de a determina dacă îi aparține un punct sau un plan drept sunt rezolvate destul de simplu. În fig. Figura 2.6 prezintă progresul în rezolvarea unor astfel de probleme. Pentru claritatea prezentării problemei, definim planul printr-un triunghi. Orez. 2.6. Probleme pentru a determina dacă un punct aparține unui plan drept. Pentru a determina dacă un punct îi aparține  ABC E avion, trageți o linie dreaptă prin proiecția sa frontală E 2  ABC O avion 2. Presupunând că linia dreaptă a aparține planului avion, să-i construim proiecția orizontală Orez. 2.6. Probleme pentru a determina dacă un punct aparține unui plan drept. 1 la punctele de intersecție 1 și 2. După cum vedem (Fig. 2.6, a), drept Orez. 2.6. Probleme pentru a determina dacă un punct aparține unui plan drept. ABC.

1 nu trece prin punct 1. Prin urmare, punctulÎn problema apartenenţei la o linie ABC V 1. Prin urmare, punctul planuri triunghiulare 1. Prin urmare, punctul(Fig. 2.6, b), este suficient să folosiți una dintre proiecțiile în linie dreaptă 1. Prin urmare, punctul ABC 2 construiesc altul 1. Prin urmare, punctul 1 * având în vedere că 1. Prin urmare, punctul. După cum vedem, 1. Prin urmare, punctul   ABC.

1* și

1 nu se potrivesc. Prin urmare, drept 2.4. Linii de nivel într-un plan Definiția liniilor de nivel a fost dată mai devreme. Se numesc linii de nivel aparținând unui plan dat

principal

. Aceste linii (linii drepte) joacă un rol semnificativ în rezolvarea unui număr de probleme de geometrie descriptivă.

Să luăm în considerare construirea unor linii de nivel în planul definit de triunghi (Fig. 2.7).  ABC Orez. 2.7. Construirea liniilor principale ale unui plan definit printr-un triunghi Plan orizontalîncepem prin a desena proiecția sa frontală h 2, despre care se știe că este paralelă cu axa  ABC OH , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul. Deoarece această linie orizontală aparține acestui plan, trece prin două puncte ale planului , și anume, puncte , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctulși 1. Avându-le , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul proiecții frontale , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul 2 și 1 2, prin linia de comunicație obținem proiecții orizontale ( Plan orizontal 1 există deja) 1 1 . Conectarea punctelor  ABC 1 și 1 1 , avem o proiecție orizontală Plan orizontal 1 plan orizontal  ABC. Proiecția profilului h 3 planuri orizontale

va fi paralel cu axa  ABC prin definitie. Avionul frontal este construit într-un mod similar (Fig. 2.7), cu singura diferență că desenul său începe cu o proiecție orizontală Avionul frontal f 1, deoarece se știe că este paralelă cu axa OX. Proiecția profilului 3 fronturi trebuie să fie paralele cu axa OZ și să treacă prin proiecții 1, deoarece se știe că este paralelă cu axa OX. Proiecția profilului CU

3, 2 3 din aceleași puncte  ABCși 2. Linia de profil a planului 1 si fata Linia de profil a planului 2 proiecții paralele cu axele OYŞi OZ, și proiecția profilului Linia de profil a planului 3 poate fi obținut din față folosind puncte de intersecție Cși 3 s  ABC.

Când construiți liniile principale ale unui plan, trebuie să vă amintiți o singură regulă: pentru a rezolva problema, trebuie întotdeauna să obțineți două puncte de intersecție cu un anumit plan. Construcția liniilor principale situate într-un plan definit într-un mod diferit nu este mai complicată decât cea discutată mai sus. În fig. Figura 2.8 prezintă construcția planurilor orizontale și frontale definite de două drepte care se intersectează avionŞi 1. Prin urmare, punctul.

Orez. 2.8. Construcția liniilor principale ale unui plan definit prin intersectarea liniilor drepte.

Orez. 3.2Poziția relativă a liniilor

Liniile din spațiu pot ocupa una dintre cele trei poziții una față de alta:

1) să fie paralel;

2) se intersectează;

3) se încrucișează.

Paralelse numesc drepte care se află în același plan și nu au puncte comune.

Dacă liniile sunt paralele între ele, atunci pe CN proiecțiile lor cu același nume sunt și ele paralele (a se vedea secțiunea 1.2).

Se intersecteazăse numesc drepte care se află în același plan și au un punct comun.

Pentru liniile care se intersectează pe CN, proiecțiile cu același nume se intersectează în proiecțiile punctului , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul. În plus, proiecțiile frontale () și orizontale () ale acestui punct trebuie să fie pe aceeași linie de comunicație.

Încrucișarease numesc linii drepte situate în plane paraleleși neavând puncte comune.

Dacă liniile se intersectează, atunci pe CN proiecțiile lor cu același nume se pot intersecta, dar punctele de intersecție ale proiecțiilor cu același nume nu se vor afla pe aceeași linie de legătură.

În fig. 3,4 puncte 1, deoarece se știe că este paralelă cu axa OX. Proiecția profilului aparține liniei b, și punct D- Drept avion. Aceste puncte sunt la aceeași distanță de planul frontal al proiecțiilor. Similar cu punctul EŞi F aparțin unor linii diferite, dar sunt la aceeași distanță de planul orizontal al proiecțiilor. Prin urmare, pe CN proiecțiile lor frontale coincid.

Există două cazuri posibile de localizare a unui punct în raport cu planul: punctul poate aparține planului sau nu îi aparține (Fig. 3.5).

Semn de apartenență a unui punct și a unui plan drept:

Punctul aparține avionului, dacă aparține unei linii situate în acest plan.

Linia dreaptă aparține planului, dacă are două puncte comune cu ea sau are un punct comun cu ea și este paralelă cu o altă dreaptă situată în acest plan.

În fig. 3.5 prezintă un plan și puncte DŞi Orez. 2.6. Probleme pentru a determina dacă un punct aparține unui plan drept.. Punct D aparține planului pentru că aparține dreptei l, care are două puncte comune cu acest plan - 1 Şi , intersectând una dintre laturile triunghiului și punctul. Punct Orez. 2.6. Probleme pentru a determina dacă un punct aparține unui plan drept. nu aparține avionului, pentru că este imposibil să se tragă o linie dreaptă prin ea aflată într-un plan dat.

În fig. 3.6 prezintă un plan și o dreaptă t, culcat în acest plan, pentru că are un punct comun cu ea 1 și paralel cu linia avion.

Pe produsul cartezian, unde M este mulțimea de puncte, introducem 3 -atitudine locală d. Dacă un triplu ordonat al punctelor (A, B, C) aparține acestei relații, atunci vom spune că punctul B se află între punctele A și C și vom folosi notația: A-B-C. Relația introdusă trebuie să satisfacă următoarele axiome:

Dacă punctul B se află între punctele A și C, atunci A, B, C sunt trei puncte diferite pe aceeași linie, iar B se află între C și A.

Oricare ar fi punctele A și B, există cel puțin un punct C astfel încât B se află între A și C.

Dintre oricare trei puncte de pe o linie, există cel mult unul care se află între celelalte două.

Pentru a formula ultima, a patra axiomă a celui de-al doilea grup, este convenabil să introducem următorul concept.

Definiție 3.1. Prin segment (după Hilbert) înțelegem o pereche de puncte AB. Vom numi punctele A și B capete ale segmentului, punctele situate între capete - punctele interne ale segmentului sau pur și simplu punctele segmentului și punctele dreptei AB care nu se află între capete. A și B - punctele externe ale segmentului.

. (Axioma lui Pash) Fie A, B și C trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și l fie linia dreaptă a planului ABC care trece prin aceste puncte. Atunci, dacă o dreaptă l trece printr-un punct de pe un segment AB, atunci ea conține fie un punct de pe un segment AC, fie un punct de pe un segment BC.

Destul de multe decurg din axiomele primului și al doilea grup. proprietăți geometrice puncte, linii și segmente. Se poate dovedi că orice segment are cel puțin un punct interior, între trei puncte de pe o dreaptă există întotdeauna unul și doar unul situat între altele două, între două puncte de pe o dreaptă există întotdeauna infinit de puncte, ceea ce înseamnă că există infinit de puncte. multe puncte pe o linie. De asemenea, se poate dovedi că afirmația axiomei lui Pash este valabilă și pentru punctele situate pe aceeași dreaptă: dacă punctele A, B și C aparțin aceleiași drepte, dreapta l nu trece prin aceste puncte și intersectează unul dintre segmente. , de exemplu, AB în punctul interior, apoi intersectează fie segmentul AC, fie segmentul BC într-un punct intern. Rețineți, de asemenea, că din axiomele primei și celei de-a doua grupe nu rezultă că mulțimea de puncte de pe o dreaptă este nenumărabilă. Nu vom oferi dovezi pentru aceste afirmații. Cititorul se poate familiariza cu ele în manuale și. Să ne oprim mai în detaliu asupra conceptelor geometrice de bază, și anume rază, semiplan și semispațiu, care sunt introduse folosind axiomele apartenenței și ordinii.

Următoarea afirmație este adevărată:

Punctul O al unei linii l împarte mulțimea de puncte rămase ale acestei linii în două submulțimi nevide, astfel încât pentru oricare două puncte A și B aparținând aceleiași submulțimi, punctul O este un punct extern al segmentului AB și pentru orice două puncte C și D aparținând unor submulțimi diferite, punctul O este punctul intern al segmentului CD.

Fiecare dintre aceste submulțimi este numită grindă linie dreaptă l cu începutul în punctul O. Razele vor fi notate cu h, l, k, ...OA, OB, OC,..., unde O este începutul razei, iar A, B și C sunt punctele razei. Vom da dovada acestei afirmații mai târziu, în secțiunea 7, dar folosind o axiomatică diferită a spațiului euclidian tridimensional. Conceptul de rază ne permite să determinăm cel mai important obiect geometric- colț.

Definiție 3.2.Prin unghi (după Hilbert) înțelegem o pereche de raze h și k, având început general A, și nu întins pe aceeași linie dreaptă.

Punctul O se numește vârful unghiului, iar razele h și k sunt laturile sale. Pentru unghiuri vom folosi notația . Să luăm în considerare cel mai important concept de geometrie elementară - conceptul de semiplan.

Teorema 3.1.O linie a situată în planul a împarte setul său de puncte care nu aparțin dreptei în două submulțimi nevide, astfel încât dacă punctele A și B aparțin aceleiași submulțimi, atunci segmentul AB nu are puncte comune cu dreapta l , iar dacă punctele A și B aparțin unor submulțimi diferite, atunci segmentul AB intersectează linia l în punctul său interior.

Dovada.În demonstrație vom folosi următoarea proprietate a relației de echivalență. Dacă pe o anumită mulțime este introdusă o relație binară, care este o relație de echivalență, i.e. satisface condițiile de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate, atunci întreaga mulțime este împărțită în submulțimi disjunse - clase de echivalență, iar oricare două elemente aparțin aceleiași clase dacă și numai dacă sunt echivalente.

Să considerăm mulțimea de puncte ale planului care nu aparțin dreptei a. Vom presupune că două puncte A și B sunt într-o relație binară d: AdB dacă și numai dacă nu există puncte interne pe segmentul AB care aparțin dreptei a. Să luăm în considerare și Înseamnă că orice punct este într-o relație binară d cu el însuși. Să arătăm că pentru orice punct A care nu aparține dreptei a, există puncte diferite de A, atât cele care sunt cât și cele care nu sunt într-o relație binară cu acesta. Să alegem un punct arbitrar P pe dreapta a (vezi Fig. 6). Apoi, în conformitate cu axioma, există un punct B pe dreapta AP astfel încât P-A-B. Linia AB intersectează a în punctul P, care nu se află între punctele A și B, prin urmare punctele A și B sunt în relația d. În conformitate cu aceeași axiomă, există un punct C astfel încât A-R-C. Prin urmare, punctul P se află între A și C, punctele A și C nu sunt în relație cu d.

Să demonstrăm că relația d este o relație de echivalență. Condiția de reflexivitate este în mod evident satisfăcută datorită definiției relației binare d: AdA. Fie punctele A și B în relația d. Atunci nu există puncte pe dreapta a pe segmentul AB. Rezultă că nu există puncte pe dreapta a pe segmentul BA, deci BdA, relația de simetrie este satisfăcută. În cele din urmă, să fie date trei puncte A, B și C, astfel încât AdB și BdC. Să arătăm că punctele A și C sunt într-o relație binară d. Să presupunem invers, pe segmentul AC există un punct P de dreptă a (Fig. 7). Apoi, în virtutea axiomei, axioma lui Pash, linia dreaptă a intersectează fie segmentul BC, fie segmentul AB (în Fig. 7, linia dreaptă a intersectează segmentul BC). Am ajuns la o contradicție, deoarece din condițiile АdВ și ВdС rezultă că dreapta а nu intersectează aceste segmente. Astfel, relația d este o relație de echivalență și împarte mulțimea de puncte ale planului care nu aparțin liniei a în clase de echivalență.

Să verificăm dacă există exact două astfel de clase de echivalență. Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm că, dacă punctele A și C și B și C nu sunt echivalente, atunci punctele A și B, la rândul lor, sunt echivalente unul cu celălalt. Deoarece punctele A și C și B și C nu sunt în relația de echivalență d, dreapta a intersectează segmentele AC și BC în punctele P și Q (vezi Fig. 7). Dar apoi, în virtutea axiomei lui Pash, această dreaptă nu poate intersecta segmentul AB. Prin urmare, punctele A și B sunt echivalente între ele. Teorema a fost demonstrată.

Fiecare dintre clasele de echivalență definite în Teorema 3.2 este numită semiplan. Astfel, orice linie dreaptă a unui plan îl împarte în două semiplane, pentru care servește frontieră.

Similar conceptului de semiplan, este introdus conceptul de semispațiu. Se demonstrează o teoremă care afirmă că orice plan a al spațiului împarte punctele din spațiu în două mulțimi. Un segment ale cărui capete sunt puncte ale unei mulțimi nu are puncte comune cu planul a. Dacă capetele unui segment aparțin unor mulțimi diferite, atunci un astfel de segment are un punct plan a ca interior. Dovada acestei afirmații este similară cu demonstrația teoremei 3.2, nu o vom prezenta.

Să definim conceptul de punct interior al unui unghi. Să fie dat unghiul. Luați în considerare linia dreaptă OA care conține raza OA, latura acestui unghi. Este clar că punctul razei OB aparține aceluiași semiplan a relativ la dreapta OA. În mod similar, punctele razei OA, laturile unui unghi dat, aparțin aceluiași semiplan b, a cărui limită este OB direct (Fig. 8). Se numesc punctele aparținând intersecției semiplanurilor a și b puncte interne colţ. În figura 8, punctul M este punctul intern. Mulțimea tuturor punctelor interioare ale unui unghi se numește ei zona interioara. Se numește o rază al cărei vârf coincide cu vârful unui unghi și ale cărei puncte sunt interne fascicul interior colţ. Figura 8 prezintă raza internă h a unghiului AOB.

Următoarele afirmații sunt adevărate.

1 0 . Dacă o rază care începe la vârful unui unghi conține cel puțin unul dintre punctele sale interioare, atunci este o rază interioară a acestui unghi.

2 0 . Dacă capetele unui segment sunt situate pe două laturi diferite ale unui unghi, atunci orice punct interior al segmentului este un punct interior al unghiului.

3 0 . Orice rază interioară a unui unghi intersectează un segment ale cărui capete sunt pe laturile unghiului.

Vom lua în considerare dovezile acestor afirmații mai târziu, în paragraful 5. Folosind axiomele grupei a doua, se definesc conceptele de linie întreruptă, triunghi, poligon, conceptul de regiune internă a unui poligon simplu și se demonstrează că un poligon simplu împarte planul în două regiuni, internă și externă acestuia.

Al treilea grup de axiome Hilbert ale spațiului euclidian tridimensional constă din așa-numitele axiome de congruență. Fie S o mulțime de segmente, A o mulțime de unghiuri. Pe produsele carteziene vom introduce relații binare, pe care le vom numi relație de congruență.

Rețineți că relația introdusă în acest fel nu este relația obiectelor principale ale axiomaticii luate în considerare, adică. puncte de drepte și plane. Al treilea grup de axiome poate fi introdus numai atunci când sunt definite conceptele de segment și unghi, adică. au fost introduse primul şi al doilea grup de axiome lui Hilbert.

Să fim de acord, de asemenea, să numim segmente sau unghiuri congruente egale din punct de vedere geometric sau pur și simplu segmente sau unghiuri egale, termenul „congruent”, în cazul în care acest lucru nu duce la neînțelegeri, va fi înlocuit cu termenul „egal” și notat cu; simbolul „=”.