Metoda coordonatelor este o modalitate foarte eficientă și universală de a găsi orice unghiuri sau distanțe între obiectele stereometrice din spațiu. Dacă profesorul tău de matematică are înalt calificat, atunci ar trebui să știe asta. În caz contrar, aș sfătui să schimbați tutorele pentru partea „C”. Pregătirea mea pentru examenul de stat unificat la matematică C1-C6 include de obicei o analiză a algoritmilor și formulelor de bază descrise mai jos.

Unghiul dintre liniile a și b

Unghiul dintre liniile din spațiu este unghiul dintre toate liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest unghi este egal cu unghiul dintre vectorii de direcție ai acestor linii (sau îl completează la 180 de grade).

Ce algoritm folosește profesorul de matematică pentru a găsi unghiul?

1) Alegeți orice vector și având direcțiile dreptelor a și b (paralele cu acestea).
2) Determinăm coordonatele vectorilor folosind coordonatele corespunzătoare ale începuturilor și sfârșitului lor (coordonatele începutului trebuie scăzute din coordonatele sfârșitului vectorului).
3) Înlocuiți coordonatele găsite în formula:
. Pentru a găsi unghiul în sine, trebuie să găsiți arcul cosinus al rezultatului.

Normal la avion

O normală la un plan este orice vector perpendicular pe acel plan.
Cum să găsești normalul? Pentru a găsi coordonatele normalei, este suficient să cunoaștem coordonatele oricăror trei puncte M, N și K situate într-un plan dat. Folosind aceste coordonate, găsim coordonatele vectorilor și și solicităm îndeplinirea condițiilor și. Echivalarea produs punctual vectori la zero, compunem un sistem de ecuații cu trei variabile, din care putem afla coordonatele normalei.

Nota profesorului de matematică : Nu este deloc necesar să rezolvați complet sistemul, deoarece este suficient să selectați cel puțin un normal. Pentru a face acest lucru, puteți înlocui orice număr (de exemplu, unul) în loc de oricare dintre coordonatele sale necunoscute și puteți rezolva sistemul de două ecuații cu celelalte două necunoscute. Dacă nu are soluții, atunci aceasta înseamnă că în familia normale nu există nimeni a cărui valoare să fie una în variabila selectată. Apoi înlocuiți una cu o altă variabilă (o altă coordonată) și rezolvați sistem nou. Dacă ratați din nou, atunci normalul dvs. va avea una la ultima coordonată și ea însăși se va dovedi a fi paralelă cu unele plan de coordonate(în acest caz este ușor de găsit chiar și fără sistem).

Să presupunem că ni se oferă o dreaptă și un plan cu coordonatele vectorului de direcție și normală
Unghiul dintre linie dreaptă și plan se calculează folosind următoarea formulă:

Fie și fie oricare două normale pentru aceste planuri. Atunci cosinusul unghiului dintre plane este egal cu modulul cosinusului unghiului dintre normale:

Ecuația unui plan în spațiu

Punctele care satisfac egalitatea formează un plan cu o normală. Coeficientul este responsabil pentru cantitatea de abatere (deplasare paralelă) între două plane cu aceeași normală dată. Pentru a scrie ecuația unui plan, trebuie mai întâi să îi găsiți normala (așa cum este descris mai sus), apoi să înlocuiți coordonatele oricărui punct din plan împreună cu coordonatele normalei găsite în ecuație și să găsiți coeficientul.

Esenţă metoda coordonatelor pentru rezolvarea problemelor geometrice

Esența rezolvării problemelor folosind metoda coordonatelor este de a introduce un sistem de coordonate care ne este convenabil într-un caz particular și de a rescrie toate datele folosindu-l. După aceea, toate cantitățile sau dovezile necunoscute sunt efectuate folosind acest sistem. Am discutat despre cum să introduceți coordonatele punctelor în orice sistem de coordonate într-un alt articol - nu ne vom opri aici.

Să prezentăm principalele afirmații care sunt utilizate în metoda coordonatelor.

Afirmația 1: Coordonatele vectoriale vor fi determinate de diferența dintre coordonatele finale corespunzătoare vector datși a început și el.

Afirmația 2: Coordonatele mijlocului segmentului vor fi determinate ca jumătate din suma coordonatelor corespunzătoare ale limitelor acestuia.

Afirmația 3: Lungimea oricărui vector $\overline(δ)$ cu coordonatele date $(δ_1,δ_2,δ_3)$ va fi determinată de formula

$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$

Afirmația 4: Distanța dintre oricare două puncte specificate de coordonatele $(δ_1,δ_2,δ_3)$ și $(β_1,β_2,β_3)$ va fi determinată de formula

$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$

Schema de rezolvare a problemelor geometrice folosind metoda coordonatelor

Pentru a rezolva probleme geometrice folosind metoda coordonatelor, cel mai bine este să utilizați această schemă:

Analizați ce este dat în problemă:

• Setați sistemul de coordonate cel mai potrivit pentru sarcină;
• Condiția problemei, întrebarea problemei se notează matematic și se construiește un desen pentru această problemă.

1. Notați toate datele sarcinii în coordonatele sistemului de coordonate selectat.

2. Compuneți relațiile necesare din condițiile problemei și, de asemenea, conectați aceste relații cu ceea ce trebuie găsit (demonstrat în problemă).
3. Traduceți rezultatul obținut în limbajul geometriei.

Exemple de probleme rezolvate prin metoda coordonatelor

Principalele probleme care duc la metoda coordonatelor pot fi identificate după cum urmează (nu vom oferi soluțiile lor aici):

1. Probleme privind găsirea coordonatelor unui vector pe baza sfârșitului și începutului acestuia.
2. Probleme legate de împărțirea unui segment în orice privință.
3. Dovada că trei puncte se află pe aceeași dreaptă sau că patru puncte se află pe același plan.
4. Probleme pentru a găsi distanța dintre două puncte date.
5. Probleme privind găsirea volumelor și ariilor figurilor geometrice.

Rezultatele rezolvării primei și a patra probleme sunt prezentate de noi ca principalele afirmații de mai sus și sunt destul de des folosite pentru a rezolva alte probleme folosind metoda coordonatelor.

Exemple de probleme folosind metoda coordonatelor

Exemplul 1

Găsiți latura laterală a unei piramide obișnuite a cărei înălțime este $3$ cm, dacă latura bazei este $4$ cm.

Să ni se dea nouă piramida regulata$ABCDS$, a cărui înălțime este $SO$. Să introducem un sistem de coordonate ca în figura 1.

Deoarece punctul $A$ este centrul sistemului de coordonate pe care l-am construit, atunci

Deoarece punctele $B$ și $D$ aparțin axelor $Ox$ și, respectiv, $Oy$, atunci

$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$

Deoarece punctul $C$ aparține planului $Oxy$, atunci

Deoarece piramida este regulată, $O$ este punctul de mijloc al segmentului $$. Conform afirmației 2, obținem:

$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$

De la înălțimea lui $SO$

Pentru a utiliza metoda coordonatelor, trebuie să cunoașteți bine formulele. Sunt trei dintre ele:

La prima vedere, pare amenințător, dar cu doar puțină practică, totul va funcționa grozav.

Sarcină. Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii a = (4; 3; 0) și b = (0; 12; 5).

Soluţie. Deoarece coordonatele vectorilor ne sunt date, le înlocuim în prima formulă:

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) și K = (2; 1; 0), dacă se știe că nu trece prin originea.

Soluţie. Ecuația generală plan: Ax + By + Cz + D = 0, dar din moment ce planul dorit nu trece prin originea coordonatelor - punctul (0; 0; 0) - atunci punem D = 1. Deoarece acest plan trece prin puncte M, N și K, atunci coordonatele acestor puncte ar trebui să transforme ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Să înlocuim coordonatele punctului M = (2; 0; 1) în loc de x, y și z. Avem:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

În mod similar, pentru punctele N = (0; 1; 1) și K = (2; 1; 0) obținem următoarele ecuații:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Deci avem trei ecuații și trei necunoscute. Să creăm și să rezolvăm un sistem de ecuații:

Am constatat că ecuația planului are forma: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Sarcină. Planul este dat de ecuația 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Aflați coordonatele vectorului perpendicular pe acest plan.

Soluţie. Folosind a treia formulă, obținem n = (7; − 2; 4) - asta e tot!

Calculul coordonatelor vectoriale

Dar dacă nu există vectori în problemă - există doar puncte situate pe linii drepte și trebuie să calculați unghiul dintre aceste linii drepte? Este simplu: cunoscând coordonatele punctelor - începutul și sfârșitul vectorului - puteți calcula coordonatele vectorului în sine.

Pentru a găsi coordonatele unui vector, trebuie să scădeți coordonatele începutului din coordonatele sfârșitului său.

Această teoremă funcționează la fel de bine atât în ​​plan cât și în spațiu. Expresia „scăderea coordonatelor” înseamnă că coordonatele x a altui punct este scăzută din coordonatele x a unui punct, apoi același lucru trebuie făcut cu coordonatele y și z. Iată câteva exemple:

Sarcină. Există trei puncte în spațiu, definite de coordonatele lor: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) și C = (− 4; 3; − 2). Aflați coordonatele vectorilor AB, AC și BC.

Luați în considerare vectorul AB: începutul său este în punctul A, iar sfârșitul său este în punctul B. Prin urmare, pentru a-i găsi coordonatele, trebuie să scădem coordonatele punctului A din coordonatele punctului B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

În mod similar, începutul vectorului AC este același punct A, dar sfârșitul este punctul C. Prin urmare, avem:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

În cele din urmă, pentru a găsi coordonatele vectorului BC, trebuie să scădeți coordonatele punctului B din coordonatele punctului C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Răspuns: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Atenție la calculul coordonatelor ultimului vector BC: mulți oameni greșesc atunci când lucrează cu numere negative. Aceasta se referă la variabila y: punctul B are coordonata y = − 1, iar punctul C are coordonata y = 3. Se obține exact 3 − (− 1) = 4, și nu 3 − 1, așa cum cred mulți oameni. Nu faceti asemenea greseli stupide!

Calculul vectorilor de direcție pentru linii drepte

Dacă citiți cu atenție problema C2, veți fi surprins să descoperiți că nu există vectori acolo. Există doar linii drepte și plane.

Mai întâi, să ne uităm la liniile drepte. Totul este simplu aici: pe orice linie dreaptă există cel puțin două puncte distincte și, invers, oricare două puncte distincte definesc o linie dreaptă unică...

A inteles cineva ce scrie in paragraful anterior? Eu nu am înțeles-o, așa că o voi explica mai simplu: în problema C2, liniile drepte sunt întotdeauna definite de o pereche de puncte. Dacă introducem un sistem de coordonate și considerăm un vector cu începutul și sfârșitul în aceste puncte, obținem așa-numitul vector de direcție pentru linie:

De ce este nevoie de acest vector? Faptul este că unghiul dintre două drepte este unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, trecem de la linii drepte de neînțeles la vectori specifici ale căror coordonate sunt ușor de calculat. Cât de ușor este? Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. În cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sunt trasate liniile AC și BD 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte.

Deoarece lungimea muchiilor cubului nu este specificată în condiție, se stabilește AB = 1. Introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A și axele x, y, z direcționate de-a lungul dreptelor AB, AD și AA 1, respectiv. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Acum să găsim coordonatele vectorului direcție pentru linia dreaptă AC. Avem nevoie de două puncte: A = (0; 0; 0) și C = (1; 1; 0). De aici obținem coordonatele vectorului AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - acesta este vectorul de direcție.

Acum să ne uităm la linia dreaptă BD 1. Are și două puncte: B = (1; 0; 0) și D 1 = (0; 1; 1). Se obține vectorul direcție BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Răspuns: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Sarcină. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, sunt trasate drepte AB 1 și AC 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte.

Să introducem un sistem de coordonate: originea este în punctul A, axa x coincide cu AB, axa z coincide cu AA 1, axa y formează planul OXY cu axa x, care coincide cu planul ABC.

Mai întâi, să ne uităm la linia dreaptă AB 1. Totul este simplu aici: avem punctele A = (0; 0; 0) și B 1 = (1; 0; 1). Se obține vectorul direcție AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Acum să găsim vectorul de direcție pentru AC 1. Totul este la fel - singura diferență este că punctul C 1 are coordonate iraționale. Deci A = (0; 0; 0), deci avem:

Răspuns: AB 1 = (1; 0; 1);

O notă mică, dar foarte importantă despre ultimul exemplu. Dacă începutul vectorului coincide cu originea coordonatelor, calculele sunt mult simplificate: coordonatele vectorului sunt pur și simplu egale cu coordonatele sfârșitului. Din păcate, acest lucru este valabil doar pentru vectori. De exemplu, atunci când lucrați cu avioane, prezența originii coordonatelor pe ele complică doar calculele.

Calculul vectorilor normali pentru avioane

Vectorii normali nu sunt acei vectori care sunt bine sau se simt bine. Prin definiție, un vector normal (normal) pe un plan este un vector perpendicular pe un plan dat.

Cu alte cuvinte, o normală este un vector perpendicular pe orice vector dintr-un plan dat. Probabil ați întâlnit această definiție - totuși, în loc de vectori, am vorbit despre linii drepte. Cu toate acestea, s-a arătat chiar mai sus că în problema C2 puteți opera cu orice obiect convenabil - fie că este o linie dreaptă sau un vector.

Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că fiecare plan este definit în spațiu prin ecuația Ax + By + Cz + D = 0, unde A, B, C și D sunt niște coeficienți. Fără a pierde generalitatea soluției, putem presupune D = 1 dacă planul nu trece prin origine sau D = 0 dacă o trece. În orice caz, coordonatele vectorului normal la acest plan sunt n = (A; B; C).

Deci, avionul poate fi înlocuit cu succes și cu un vector - același normal. Fiecare plan este definit în spațiu prin trei puncte. Am discutat deja despre cum să găsim ecuația planului (și, prin urmare, a normalului) chiar la începutul articolului. Cu toate acestea, acest proces cauzează probleme pentru mulți, așa că voi mai oferi câteva exemple:

Sarcină. În cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 se desenează o secțiune A 1 BC 1. Găsiți vectorul normal pentru planul acestei secțiuni dacă originea coordonatelor este în punctul A, iar axele x, y și z coincid cu muchiile AB, AD și, respectiv, AA 1.

Deoarece planul nu trece prin origine, ecuația lui arată astfel: Ax + By + Cz + 1 = 0, adică. coeficientul D = 1. Deoarece acest plan trece prin punctele A 1, B și C 1, coordonatele acestor puncte transformă ecuația planului în egalitatea numerică corectă.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

În mod similar, pentru punctele B = (1; 0; 0) și C 1 = (1; 1; 1) obținem următoarele ecuații:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Dar știm deja coeficienții A = − 1 și C = − 1, așa că rămâne de găsit coeficientul B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Obținem ecuația planului: − A + B − C + 1 = 0. Prin urmare, coordonatele vectorului normal sunt egale cu n = (− 1; 1; − 1).

Sarcină. În cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 există o secțiune AA 1 C 1 C. Găsiți vectorul normal pentru planul acestei secțiuni dacă originea coordonatelor este în punctul A și axele x, y și z coincid cu marginile AB, AD și respectiv AA 1.

În acest caz, planul trece prin origine, deci coeficientul D = 0, iar ecuația planului arată astfel: Ax + By + Cz = 0. Deoarece planul trece prin punctele A 1 și C, coordonatele lui aceste puncte transformă ecuația planului în egalitatea numerică corectă.

Să înlocuim coordonatele punctului A 1 = (0; 0; 1) în loc de x, y și z. Avem:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

În mod similar, pentru punctul C = (1; 1; 0) obținem ecuația:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Să punem B = 1. Atunci A = − B = − 1, iar ecuația întregului plan are forma: − A + B = 0. Prin urmare, coordonatele vectorului normal sunt egale cu n = (− 1 1;

În general, în problemele de mai sus trebuie să creați un sistem de ecuații și să-l rezolvați. Veți obține trei ecuații și trei variabile, dar în al doilea caz una dintre ele va fi liberă, adică. ia valori arbitrare. De aceea avem dreptul de a seta B = 1 - fără a aduce atingere generalității soluției și corectitudinii răspunsului.

Foarte des în problema C2 trebuie să lucrați cu puncte care traversează un segment. Coordonatele unor astfel de puncte sunt ușor de calculat dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului.

Deci, să fie definit segmentul prin capetele sale - punctele A = (x a; y a; z a) și B = (x b; y b; z b). Apoi coordonatele mijlocului segmentului - să-l notăm prin punctul H - pot fi găsite folosind formula:

Cu alte cuvinte, coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor acestuia.

Sarcină. Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat într-un sistem de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și, respectiv, AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Punctul K este mijlocul muchiei A 1 B 1. Găsiți coordonatele acestui punct.

Deoarece punctul K este mijlocul segmentului A 1 B 1, coordonatele sale sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Să notăm coordonatele capetelor: A 1 = (0; 0; 1) și B 1 = (1; 0; 1). Acum să găsim coordonatele punctului K:

Sarcină. Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat într-un sistem de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și, respectiv, AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Aflați coordonatele punctului L în care se intersectează diagonalele pătratului A 1 B 1 C 1 D 1 .

Din cursul planimetriei știm că punctul de intersecție al diagonalelor unui pătrat este echidistant de toate vârfurile acestuia. În special, A 1 L = C 1 L, adică. punctul L este mijlocul segmentului A 1 C 1. Dar A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), deci avem:

Răspuns: L = (0,5; 0,5; 1)