T.D. Ivanova

METODE DE SOLUȚIONARE A INEGALITĂȚILOR IRAȚIONALE

CDO și NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Alcătuit de T.D.Ivanova

Referent: Baisheva M.I.– Candidat la Științe Pedagogice, Conferențiar al Departamentului

analiza matematică a Facultăţii de Matematică

Institutul de Matematică și Informatică din Yakutsk

universitate de stat

Metode de rezolvare a inegalităților iraționale: Manual metodologic

M 34 pentru elevii din clasele 9-11 / comp. Ivanova T.D. din Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 p.

Manualul se adresează elevilor de liceu din gimnaziu, precum și celor care intră în universități ca ghid metodologic pentru rezolvarea inegalităților iraționale. Manualul examinează în detaliu principalele metode de rezolvare a inegalităților iraționale, oferă exemple de rezolvare a inegalităților iraționale cu parametri și oferă, de asemenea, exemple pentru a le rezolva singur. Profesorii pot folosi ghidul ca material didactic pentru desfășurarea muncii independente, cu o revizuire a temei „Inegalități iraționale”.

Manualul reflectă experiența profesorului în studierea temei „Inegalități iraționale” cu elevii.

Probleme preluate din materiale examenele de admitere, ziare și reviste metodologice, materiale didactice, a căror listă este dată la sfârșitul manualului

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, comp., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Prefață 5

Introducere 6

Secțiunea I. Exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități iraționale 7

Secţiunea II. Inegalităţi de formă
>g(x), g(x), g(x) 9

Secțiunea III. Inegalitățile de formă
;
;

;
13

Secțiunea IV. Inegalități care conțin mai multe rădăcini de gradul par 16

Secțiunea V. Metoda de înlocuire (introducerea unei noi variabile) 20

Secțiunea VI. Inegalități de forma f(x)
0;

f(x)0;
25

Secțiunea VII. Inegalitățile de formă

Secțiunea VIII. Folosind transformări radicale de expresie

în inegalitățile iraționale 26

Secțiunea a IX-a. Rezolvarea grafică a inegalităților iraționale 27

Secțiunea X. Inegalități mixte 31

Secțiunea a XI-a. Folosind proprietatea de monotonitate a unei funcții 41

Secțiunea XII. Metoda de înlocuire a funcției 43

Secțiunea XIII. Exemple de rezolvare directă a inegalităților

metoda intervalului 45

Secțiunea XIV. Exemple de rezolvare a inegalităților iraționale cu parametrii 46

Literatura 56

Acest material didactic este destinat elevilor din clasele 10-11. După cum arată practica, elevii și solicitanții de școală întâmpină dificultăți deosebite în rezolvarea inegalităților iraționale. Acest lucru se datorează faptului că în matematica școlară această secțiune nu este suficient luată în considerare diverse metode de rezolvare a unor astfel de inegalități nu sunt luate în considerare mai detaliat. De asemenea, cadrele didactice simt o lipsă de literatură metodologică, care se manifestă într-o cantitate limitată de material problematic indicând diverse abordări și metode de soluționare.

Manualul discută metode de rezolvare a inegalităților iraționale. Ivanova T.D. la începutul fiecărei secțiuni, prezintă studenților ideea principală a metodei, apoi arată exemple cu explicații și oferă, de asemenea, probleme pentru rezolvare independentă.

Compilatorul folosește cele mai „spectaculoase” metode pentru rezolvarea inegalităților iraționale care apar la intrarea în învățământul superior instituţiile de învăţământ cu pretenţii sporite asupra cunoştinţelor elevilor.

Elevii, după ce au citit acest manual, pot dobândi experiență și abilități neprețuite în rezolvarea inegalităților iraționale complexe. Cred că acest manual va fi util și profesorilor de matematică care lucrează în clase de specialitate, precum și dezvoltatorilor de cursuri opționale.

Candidat la Științe Pedagogice, Profesor asociat al Departamentului de Analiză Matematică, Facultatea de Matematică, Institutul de Matematică și Informatică, Universitatea de Stat Yakut

Baisheva M.I.

PREFAŢĂ

Manualul se adresează elevilor de liceu din gimnaziu, precum și celor care intră în universități ca ghid metodologic pentru rezolvarea inegalităților iraționale. Manualul examinează în detaliu principalele metode de rezolvare a inegalităților iraționale, oferă exemple aproximative de rezolvare a inegalităților iraționale, oferă exemple de rezolvare a inegalităților iraționale cu parametri și oferă, de asemenea, exemple de rezolvare a acestora pentru unele dintre ele, răspunsuri scurte și instrucțiuni; sunt date.

Atunci când analizează exemple și rezolvă inegalitățile în mod independent, se presupune că elevul știe să rezolve inegalități liniare, pătratice și alte inegalități și cunoaște diferite metode de rezolvare a inegalităților, în special metoda intervalelor. Se propune rezolvarea inegalității în mai multe moduri.

Profesorii pot folosi manualul ca material didactic pentru munca independentă în timp ce revizuiesc subiectul „Inegalități iraționale”.

Manualul reflectă experiența profesorului în studierea temei „Inegalități iraționale” cu elevii.

Problemele au fost selectate din materiale ale examenelor de admitere la instituții de învățământ superior, ziare metodologice și reviste de matematică „Primul septembrie”, „Matematică la școală”, „Quantum”, manuale, a căror listă este dată la finalul manualului. .

INTRODUCERE

Inegalitățile iraționale sunt acelea în care variabile sau o funcție a unei variabile intră sub semnul rădăcinii.

Principala metodă standard pentru rezolvarea inegalităților iraționale este de a ridica succesiv ambele părți ale inegalității la o putere pentru a scăpa de rădăcină. Dar această operație duce adesea la apariția rădăcinilor străine sau chiar la pierderea rădăcinilor, adică. duce la o inegalitate care este inegală cu cea inițială. Prin urmare, trebuie să monitorizăm cu mare atenție echivalența transformărilor și să luăm în considerare numai acele valori ale variabilei pentru care inegalitatea are sens:

dacă rădăcina este un grad par, atunci expresia radicală trebuie să fie nenegativă și valoarea rădăcinii trebuie să fie și un număr nenegativ.

dacă rădăcina gradului este un număr impar, atunci expresia radicală poate lua orice număr real și semnul rădăcinii coincide cu semnul expresiei radicale.

este posibil să se ridice ambele părți ale inegalității la o putere egală numai după ce ne-am asigurat mai întâi că acestea sunt nenegative;

Ridicarea ambelor părți ale unei inegalități la aceeași putere impară este întotdeauna o transformare echivalentă.

Capitoleu. Exemple de rezolvare a inegalităților iraționale simple

Exemplele 1- 6:

Soluţie:

1. a)
.

b)
.

2. a)

b)

3. a)
.

b)
.

4. a)

b)

5. a)
.

b)

6. a)
.

b)
.

7.

8. a)
.

b)

9. a)
.

b)

11.

12. Găsiți cea mai mică valoare întreagă pozitivă a lui x care satisface inegalitatea

13. a) Aflați mijlocul intervalului de soluție a inegalității

b) Aflați media aritmetică a tuturor valorilor întregi ale lui x pentru care inegalitatea are soluție 4

14. Găsiți cea mai mică soluție negativă a inegalității

15. a)
;

b)

Secțiunea II. Inegalitatile de forma >g(x), g(x),g(x)

La fel ca la rezolvarea exemplelor 1-4, raționăm atunci când rezolvăm inegalități de tipul indicat.

Exemplul 7 : Rezolvați inegalitatea
> X + 1

Soluţie: Inegalitatea DZ: X-3.

Pentru partea dreaptă există două cazuri posibile: X O) X + 1

+ 10 (partea dreaptă este nenegativă) sau b) X Luați în considerare a) Dacă X+10, adică X + 3 >- 1, atunci ambele părți ale inegalității sunt nenegative.+ 2X Punem la patrat ambele laturi: X X+ X – 2 + 1. Primim inegalitatea pătratică

x X x - 1, obținem -1

Luați în considerare b) Dacă X+1 x x -3 X
.

Combinarea soluțiilor pentru cazul a) -1 și b)

-3, hai să scriem răspunsul:
.

Este convenabil să scrieți toate argumentele atunci când rezolvați Exemplul 7, după cum urmează:

Inegalitatea originală este echivalentă cu un set de sisteme de inegalități .

Raționamentul pentru rezolvarea inegalităților de formă

1.> g(+ 1. Primim); 2. g(+ 1. Primim); 3. g(+ 1. Primim); 4. g(+ 1. Primim) poate fi scrisă pe scurt sub forma următoarelor diagrame:

eu. > g(+ 1. Primim)

2. g(+ 1. Primim)

3. g(+ 1. Primim)

4. g(+ 1. Primim)
.

Exemplul 8 :
X.

Soluţie: Inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul

x>0

Inegalitatea originală este echivalentă cu un set de sisteme de inegalități X
.

Sarcini pentru soluție independentă:

b)

b)
.

b)

b)

20. a)
x

b)

21. a)

Obiective:

1. Învățământ general: sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și abilitățile elevilor legate de utilizarea metodelor de rezolvare a inegalităților.
2. Dezvoltare: dezvoltați capacitatea elevilor de a asculta o prelegere notându-l într-un caiet.
3. Educațional: pentru a forma motivație cognitivă pentru studiul matematicii.

Progresul lecției

I. Conversație introductivă:

Am terminat subiectul „Rezolvarea ecuațiilor iraționale” și astăzi începem să învățăm cum să rezolvăm inegalitățile iraționale.

În primul rând, să ne amintim ce tipuri de inegalități puteți rezolva și prin ce metode?

Răspuns: Liniar, pătratic, rațional, trigonometric. Pe cele liniare le rezolvăm pe baza proprietăților inegalităților, pe cele trigonometrice le reducem la cele mai simple trigonometrice, rezolvate cu cercul trigonometric, iar restul, în principal, folosind metoda intervalelor.

Întrebare: Pe ce afirmație se bazează metoda intervalului?

Răspuns: Pe teorema care afirmă că funcție continuă, care nu dispare pe un anumit interval, își păstrează semnul pe acest interval.

II. Să ne uităm la o inegalitate irațională ca >

Întrebare: Este posibil să folosiți metoda intervalului pentru a o rezolva?

Răspuns: Da, din moment ce funcția y=– continuu pentru D(y).

Rezolvarea acestei inegalități metoda intervalului .

Concluzie: am rezolvat destul de ușor această inegalitate irațională folosind metoda intervalului, reducând-o de fapt la rezolvarea unei ecuații iraționale.

Să încercăm să rezolvăm o altă inegalitate folosind această metodă.

3)f(x) continuu pe D(f)

4) Zerourile funcției:

• Este nevoie de mult timp pentru a căuta D(f).
• Este dificil de calculat punctele de control.

Apare întrebarea: „Există alte modalități de a rezolva această inegalitate?”

Evident, există și acum îi vom cunoaște.

III. Aşa, subiect astăzi lecția: „Metode de rezolvare a inegalităților iraționale”.

Lecția se va desfășura sub forma unei prelegeri, deoarece manualul nu conține o analiză detaliată a tuturor metodelor. Prin urmare noastre sarcină importantă: Faceți un rezumat detaliat al acestei prelegeri.

IV. Am vorbit deja despre prima metodă de rezolvare a inegalităților iraționale.

Aceasta - metoda intervalului , o metodă universală de rezolvare a tuturor tipurilor de inegalități. Dar nu întotdeauna duce la obiectiv într-un mod scurt și simplu.

V. Când rezolvați inegalități iraționale, puteți folosi aceleași idei ca și atunci când rezolvați ecuații iraționale, dar deoarece simpla verificare a soluțiilor este imposibilă (la urma urmei, soluțiile inegalităților sunt cel mai adesea intervale numerice întregi), este necesar să folosiți echivalența.

Prezentăm scheme de rezolvare a principalelor tipuri de inegalități iraționale metoda tranzițiilor echivalente de la o inegalitate la un sistem de inegalităţi.

2. În mod similar, se demonstrează că

Să notăm aceste diagrame pe placa de suport. Gândește-te acasă la dovezile de tipurile 3 și 4, le vom discuta în lecția următoare.

VI. Să rezolvăm inegalitatea într-un mod nou.

Inegalitatea originală este echivalentă cu o colecție de sisteme.

VII.Și există o a treia metodă care ajută adesea la rezolvarea inegalităților iraționale complexe. Am vorbit deja despre ea în legătură cu inegalitățile cu modul. Acest metoda de înlocuire a funcțiilor (factori de înlocuire). Permiteți-mi să vă reamintesc că esența metodei de înlocuire este că diferența dintre valorile funcțiilor monotone poate fi înlocuită cu diferența dintre valorile argumentelor lor.

Luați în considerare o inegalitate irațională a formei<,

adică -< 0.

Prin teoremă, dacă p(x) creşte pe un anumit interval căruia îi aparţin oŞi b, și o>b, apoi inegalitățile p(a) – p(b) > 0 și a–b> 0 sunt echivalente cu D(p), adică

VIII. Să rezolvăm inegalitatea prin înlocuirea factorilor.

Aceasta înseamnă că această inegalitate este echivalentă cu sistemul

Astfel, am văzut că utilizarea metodei de înlocuire a factorilor pentru a reduce soluția unei inegalități la metoda intervalului reduce semnificativ cantitatea de muncă.

IX. Acum că am acoperit cele trei metode principale de rezolvare a ecuațiilor, să facem munca independenta cu autotest.

Este necesar să completați următoarele numere (conform manualului de A. M. Mordkovich): 1790 (a) - rezolvați prin metoda tranzițiilor echivalente, 1791 (a) - rezolvați prin metoda înlocuirii factorilor Pentru a rezolva inegalitățile iraționale se propune utilizarea metodelor discutate anterior la rezolvarea ecuațiilor iraționale:

• înlocuirea variabilelor;
• utilizarea ODZ;
• folosind proprietăţile monotonităţii funcţiilor.

Finalizarea studiului temei este un test.

Analiză munca de testare arata:

• greșelile tipice ale elevilor slabi, pe lângă aritmetică și algebră, sunt tranziții echivalente incorecte la un sistem de inegalități;
• Metoda de înlocuire a factorilor este folosită cu succes doar de studenții puternici.

ÎN această lecție vom lua în considerare soluția inegalităților iraționale, vom da diverse exemple.

Tema: Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități

Lecţie:Inegalități iraționale

Când se rezolvă inegalitățile iraționale, este destul de adesea necesar să se ridice ambele părți ale inegalității într-o anumită măsură, aceasta este o operație destul de responsabilă. Să ne amintim caracteristicile.

Ambele părți ale inegalității pot fi pătrate dacă ambele sunt nenegative, numai atunci obținem o inegalitate adevărată dintr-o inegalitate adevărată.

Ambele părți ale inegalității pot fi cudate în orice caz dacă inegalitatea inițială a fost adevărată, atunci când sunt cuburi, vom obține inegalitatea adevărată.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Expresia radicală trebuie să fie nenegativă. Funcția poate lua orice valoare, trebuie luate în considerare două cazuri.

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici este o expresie pozitivă ( rădăcină pătrată) este mai mare decât o expresie negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este întotdeauna satisfăcută.

Deci, avem următoarea schemă de soluții:

În primul sistem, nu protejăm separat expresia radicală, deoarece atunci când a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută, expresia radicală trebuie să fie automat pozitivă.

Exemplul 1 - rezolvarea inegalității:

Conform diagramei, trecem la un set echivalent de două sisteme de inegalități:

Să ilustrăm:

Orez. 1 - ilustrarea soluției la exemplul 1

După cum vedem, atunci când scăpăm de iraționalitate, de exemplu, la pătrat, obținem un set de sisteme. Uneori, acest design complex poate fi simplificat. În mulțimea rezultată, avem dreptul de a simplifica primul sistem și de a obține o mulțime echivalentă:

Ca exercițiu independent, este necesar să se dovedească echivalența acestor mulțimi.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Similar cu inegalitatea anterioară, luăm în considerare două cazuri:

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici expresia pozitivă (rădăcina pătrată) este mai mică decât expresia negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este contradictorie. Nu este nevoie să luăm în considerare cel de-al doilea sistem.

Avem un sistem echivalent:

Uneori, inegalitățile iraționale pot fi rezolvate grafic. Această metodă aplicabil atunci când graficele corespunzătoare pot fi construite destul de ușor și pot fi găsite punctele lor de intersecție.

Exemplul 2 - rezolvați grafic inegalitățile:

Pentru partea dreaptă există două cazuri posibile:

b)

Am rezolvat deja prima inegalitate și știm răspunsul.

Pentru a rezolva grafic inegalitățile, trebuie să construiți un grafic al funcției în partea stângă și un grafic al funcției în partea dreaptă.

Orez. 2. Grafice de funcţii şi

Pentru a reprezenta graficul unei funcții, este necesar să transformați parabola într-o parabolă (oglindiți-o în raport cu axa y) și să mutați curba rezultată cu 7 unități la dreapta. Graficul confirmă că această funcție scade monoton în domeniul său de definire.

Graficul unei funcții este o linie dreaptă și este ușor de construit. Punctul de intersecție cu axa y este (0;-1).

Prima funcție scade monoton, a doua crește monoton. Dacă ecuația are o rădăcină, atunci este singura, este ușor de ghicit din grafic: .

Când valoarea argumentului este mai mică decât rădăcina, parabola este deasupra liniei drepte. Când valoarea argumentului este între trei și șapte, linia dreaptă trece deasupra parabolei.

Avem raspunsul:

Metodă eficientă Metoda intervalelor este utilizată pentru rezolvarea inegalităților iraționale.

Exemplul 3 - rezolvați inegalitățile folosind metoda intervalului:

Pentru partea dreaptă există două cazuri posibile:

b)

Conform metodei intervalului, este necesar să se îndepărteze temporar de inegalitate. Pentru a face acest lucru, mutați totul în inegalitatea dată în partea stângă (obțineți zero în dreapta) și introduceți o funcție egală cu partea stângă:

Acum trebuie să studiem funcția rezultată.

ODZ:

Am rezolvat deja această ecuație grafic, așa că nu ne oprim pe determinarea rădăcinii.

Acum este necesar să selectați intervale de semn constant și să determinați semnul funcției pe fiecare interval:

Orez. 3. Intervale de constanță a semnului de exemplu 3

Să ne amintim că pentru a determina semnele pe un interval, este necesar să luăm un punct de probă și să îl înlocuim în funcție, funcția va păstra semnul rezultat pe tot intervalul;

Să verificăm valoarea la punctul de limită:

Raspunsul este evident:

Luați în considerare următorul tip de inegalități:

Mai întâi, să scriem ODZ:

Rădăcinile există, sunt nenegative, putem pătra ambele laturi. Primim:

Avem un sistem echivalent:

Sistemul rezultat poate fi simplificat. Când a doua și a treia inegalități sunt satisfăcute, prima este adevărată automat. Avem::

Exemplul 4 - rezolvarea inegalității:

Acționăm conform schemei - obținem un sistem echivalent.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Este posibil să vi se solicite să furnizați Informații personale oricând ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.