M-am uitat din nou la semn... Și, să mergem!

Să începem cu ceva simplu:

Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că îl putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Nu sunt extrase exact rădăcinile numerelor rezultate? Nicio problemă - iată câteva exemple:

Ce se întâmplă dacă nu există doi, ci mai mulți multiplicatori? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet pe cont propriu:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziunea rădăcinilor

Am rezolvat înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula din vedere generală arata asa:

Ceea ce înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la câteva exemple:

Asta e tot știința. Iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă dai peste această expresie:

Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:

Și iată un exemplu:

De asemenea, puteți întâlni această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Vă amintiți? Acum haideți să decidem!

Sunt sigur că ați făcut față tuturor, acum să încercăm să ridicăm rădăcinile la grade.

Exponentiație

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, ce obținem?

Ei bine, desigur!

Să ne uităm la exemple:

E simplu, nu? Ce se întâmplă dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.

Citiți teoria despre subiectul „” și totul va deveni extrem de clar pentru dvs.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile exponenților și factorizați totul:

Totul pare clar cu asta, dar cum se extrage rădăcina unui număr la o putere? Iată, de exemplu, aceasta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvați singur exemplele:

Și iată răspunsurile:

Intrând sub semnul rădăcinii

Ce nu am învățat să facem cu rădăcinile! Tot ce rămâne este să exersezi introducerea numărului sub semnul rădăcină!

Este chiar ușor!

Să presupunem că avem un număr notat

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-ți că cei trei sunt rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Îți face viața mult mai ușoară? Pentru mine, exact așa este! Numai Trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Rezolvați singur acest exemplu -
Te-ai descurcat? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - să ne uităm la cum să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparația rădăcinilor

De ce trebuie să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (rețineți ce este acesta? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există calculator în examen și, fără el, cum vă puteți imagina ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta este!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu poți spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea dezasamblată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?

Apoi mergeți mai departe:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Aceste. dacă, atunci, .

De aici concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de aceasta, am introdus un multiplicator sub semnul rădăcinii, dar cum să-l eliminăm? Trebuie doar să-l factorizezi în factori și să extragi ceea ce extragi!

A fost posibil să luăm o cale diferită și să ne extindem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum doriți.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de probleme non-standard ca aceasta:

Să nu ne fie frică, ci să acționăm! Să descompunăm fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Să nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

A funcționat? Bravo, asa e!

Acum încearcă acest exemplu:

Dar exemplul este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, ne putem descurca.

Ei bine, să începem factorizarea? Să observăm imediat că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, asa e!

Să rezumam

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a lui not număr negativ Se numește un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu.
   .
2. Dacă pur și simplu luăm rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile unei rădăcini aritmetice:
4. La comparare rădăcini pătrate este necesar să ne amintim că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum este rădăcina pătrată? Este totul clar?

Am încercat să vă explicăm fără nicio bătaie de cap tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

Acum e rândul tău. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ați învățat ceva nou sau totul era deja clar?

Scrieți în comentarii și mult succes la examene!

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt deduse .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

(abc… ) n = un n· b n · c n…

4. Gradul unui raport (fracție) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b ) n = un n / b n .

5. Când se ridică o putere la o putere, exponenții acestora sunt înmulțiți:

(a m ) n = a m n .

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul mijloace rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinile acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorul:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numarul radical:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în m ridica la m a-a putere este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reducem gradul rădăcinii în m extrageți rădăcina o dată și în același timp m puterea unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu este se va schimba:

Extinderea conceptului de grad. Până acum am considerat grade doar cu exponenți naturali; ci actiuni cu grade și rădăcini pot duce și la negativ, zeroŞi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr c un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit printr-o putere de același număr cu un exponent egal cu valoarea absolutăindicator negativ:

T acum formula a m: un n= a m - n poate fi folosit nu numai pentrum, mai mult decât n, dar și cu m, mai puțin decât n .

EXEMPLU o 4 :o 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Dacă vrem formulaa m : un n= a m - na fost corect cândm = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu un exponent fracționar. Pentru a construi număr real iar la puterea m/n , trebuie să extrageți rădăcina a n-a putere a lui m -a-a putere a acestui număr A:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii. orice număr.

De fapt, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr x, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 · x. Dar această egalitate apare atunci când orice număr x, ceea ce trebuia dovedit.

Cazul 3.

0 0 - orice număr.

într-adevăr,

Soluție Să luăm în considerare trei cazuri principale:

1) x = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

(De ce?).

2) când x> 0 obținem: x/x = 1, adică 1 = 1, ceea ce înseamnă

Ce x– orice număr; dar tinand cont ca in

În cazul nostru x> 0, răspunsul estex > 0 ;

3) când x < 0 получаем: – x/x= 1, adică de ex . –1 = 1, prin urmare,

În acest caz nu există soluție.

Astfel, x > 0.

Convertirea expresiilor cu rădăcini și puteri necesită adesea să mergeți înainte și înapoi între rădăcini și puteri. În acest articol ne vom uita la modul în care se fac astfel de tranziții, la ce stă la baza lor și la ce puncte apar cele mai des erorile. Vom oferi toate acestea cu exemple tipice cu o analiză detaliată a soluțiilor.

Navigare în pagină.

Tranziția de la puteri cu exponenți fracționari la rădăcini

Posibilitatea de a trece de la un grad cu exponent fracționar la rădăcină este dictată de însăși definiția gradului. Să ne amintim cum se determină: prin puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este număr natural, se numește a n-a rădăcină a unui m, adică unde a>0, m∈Z, n∈N. Puterea fracționată a lui zero este definită în mod similar , cu singura diferență că în acest caz m nu mai este considerat un număr întreg, ci unul natural, astfel încât împărțirea la zero nu are loc.

Astfel, gradul poate fi întotdeauna înlocuit cu rădăcină. De exemplu, puteți trece de la la, iar gradul poate fi înlocuit cu rădăcină. Dar nu ar trebui să treceți de la expresie la rădăcină, deoarece gradul inițial nu are sens (gradul numerelor negative nu este definit), în ciuda faptului că rădăcina are sens.

După cum puteți vedea, nu este absolut nimic complicat în tranziția de la puterile numerelor la rădăcini. Trecerea la rădăcinile puterilor cu exponenți fracționari, la baza cărora sunt expresii arbitrare, se realizează într-un mod similar. Rețineți că această tranziție este efectuată pe ODZ de variabile pentru expresia originală. De exemplu, expresia pe întreaga ODZ a variabilei x pentru această expresie poate fi înlocuită cu rădăcină . Și de la grad mergi la root , o astfel de înlocuire are loc pentru orice set de variabile x, y și z din ODZ pentru expresia originală.

Înlocuirea rădăcinilor cu puteri

Este posibilă și înlocuirea inversă, adică înlocuirea rădăcinilor cu puteri cu exponenți fracționari. De asemenea, se bazează pe egalitate, care în acest caz este folosită de la dreapta la stânga, adică în formă.

Pentru a pozitiv, tranziția indicată este evidentă. De exemplu, puteți înlocui gradul cu , și puteți trece de la rădăcină la grad cu un exponent fracționar de forma .

Iar pentru negativ a egalitatea nu are sens, dar rădăcina mai poate avea sens. De exemplu, rădăcinile au sens, dar nu pot fi înlocuite cu puteri. Deci, este chiar posibil să le transformi în expresii cu puteri? Este posibil dacă efectuați transformări preliminare, care constau în trecerea la rădăcinile cu numere nenegative sub ele, care sunt apoi înlocuite cu puteri cu exponenți fracționari. Vom arăta care sunt aceste transformări preliminare și cum să le realizăm.

În cazul unei rădăcini, puteți efectua următoarele transformări: . Și deoarece 4 este un număr pozitiv, ultima rădăcină poate fi înlocuită cu o putere. Și în al doilea caz determinarea rădăcinii impare a unui număr negativ−a (unde a este pozitiv), exprimată prin egalitate , vă permite să înlocuiți rădăcina cu o expresie în care rădăcina cubă a doi poate fi deja înlocuită cu un grad și va lua forma .

Rămâne să ne dăm seama cum rădăcinile sub care se află expresiile sunt înlocuite cu puteri care conțin aceste expresii în bază. Nu este nevoie să ne grăbim să-l înlocuim cu , am folosit litera A pentru a desemna o anumită expresie. Să dăm un exemplu pentru a explica ce înțelegem prin asta. Vreau doar să înlocuiesc rădăcina cu un grad, bazat pe egalitate. Dar o astfel de înlocuire este adecvată numai în condiția x−3≥0 și pentru valorile rămase ale variabilei x din ODZ (satisfăcând condiția x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Din cauza acestei aplicări inexacte a formulei, apar adesea erori atunci când se trece de la rădăcini la puteri. De exemplu, în manual se dă sarcina de a reprezenta o expresie sub forma unei puteri cu exponent rațional, iar răspunsul este dat, ceea ce ridică întrebări, deoarece condiția nu specifică constrângerea b>0. Și în manual există o trecere de la expresie , cel mai probabil prin următoarele transformări ale expresiei iraționale

la expresie. Cea mai recentă tranziție ridică, de asemenea, întrebări, deoarece restrânge DZ.

Apare o întrebare logică: „Cum se poate trece corect de la rădăcină la putere pentru toate valorile variabilelor din ODZ?” Această înlocuire se efectuează pe baza următoarelor afirmații:

Înainte de a justifica rezultatele înregistrate, dăm câteva exemple de utilizare a acestora pentru trecerea de la rădăcini la puteri. În primul rând, să revenim la expresie. Ar fi trebuit să fie înlocuit nu cu , ci cu (în acest caz m=2 este un întreg par, n=3 este un întreg natural). Un alt exemplu: .

Acum, justificarea promisă a rezultatelor.

Când m este un întreg impar și n este un întreg natural par, atunci pentru orice set de variabile din ODZ pentru expresie, valoarea expresiei A este pozitivă (dacă m<0 ) или неотрицательно (если m>0). De aceea, .

Să trecem la al doilea rezultat. Fie m un număr întreg impar pozitiv și n un număr natural impar. Pentru toate valorile variabilelor din ODZ pentru care valoarea expresiei A este nenegativă, și pentru care este negativ,

Următorul rezultat este dovedit în mod similar pentru numerele întregi negative și impare m și întregi naturale impare n. Pentru toate valorile variabilelor din ODZ pentru care valoarea expresiei A este pozitivă, și pentru care este negativ,

În sfârșit, ultimul rezultat. Fie m un întreg par, n orice număr natural. Pentru toate valorile variabilelor din ODZ pentru care valoarea expresiei A este pozitivă (dacă m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . Și pentru care este negativ, . Astfel, dacă m este un număr întreg par, n este orice număr natural, atunci pentru orice set de valori ale variabilelor din ODZ pentru expresie poate fi înlocuit cu .

Referințe.

1. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
2. Algebrăși a început analiză matematică. Clasa a XI-a: educațională. pentru invatamantul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; editat de A. B. Jiţcenko. – M.: Educație, 2009.- 336 p.: ill.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Excel folosește funcții încorporate și operatori matematici pentru a extrage rădăcina și a ridica un număr la o putere. Să ne uităm la exemple.

Exemple de funcție SQRT în Excel

Funcția SQRT încorporată returnează valoarea rădăcinii pătrate pozitive. În meniul Funcții, se află în categoria Matematică.

Sintaxa funcției: =ROOT(număr).

Singurul și necesar argument este un număr pozitiv pentru care funcția calculează rădăcina pătrată. Dacă argumentul are valoare negativă, Excel va returna eroarea #NUM!.

Puteți specifica o anumită valoare sau o referință la o celulă cu o valoare numerică ca argument.

Să ne uităm la exemple.

Funcția a returnat rădăcina pătrată a numărului 36. Argumentul este o valoare specifică.

Funcția ABS returnează valoarea absolută de -36. Utilizarea lui ne-a permis să evităm erorile la extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ.

Funcția a luat rădăcina pătrată a sumei lui 13 și valoarea celulei C1.



Funcția de exponențiere în Excel

Sintaxa funcției: =POWER(valoare, număr). Ambele argumente sunt necesare.

Valoarea este orice valoare numerică reală. Un număr este un indicator al puterii la care trebuie crescută o anumită valoare.

Să ne uităm la exemple.

În celula C2 - rezultatul punerii la pătrat a numărului 10.

Funcția a returnat numărul 100 ridicat la ¾.

Exponentiarea folosind operator

Pentru a ridica un număr la putere în Excel, puteți utiliza operatorul matematic „^”. Pentru a o introduce, apăsați Shift + 6 (cu aspectul tastaturii în limba engleză).

Pentru ca Excel să trateze informațiile introduse ca pe o formulă, semnul „=” este plasat mai întâi. Urmează numărul care trebuie ridicat la o putere. Iar după semnul „^” este valoarea gradului.

În loc de orice valoare a acestei formule matematice, puteți utiliza referințe la celule cu numere.

Acest lucru este convenabil dacă trebuie să construiți mai multe valori.

Copiind formula în întreaga coloană, am obținut rapid rezultatele ridicării numerelor din coloana A la a treia putere.

Extragerea a n-a rădăcini

ROOT este funcția rădăcină pătrată din Excel. Cum se extrage rădăcina gradelor 3, 4 și alte?

Să ne amintim una dintre legile matematice: a extrage a n-a rădăcină grade, este necesar să ridicați numărul la puterea 1/n.

De exemplu, pentru a extrage rădăcina cubă, ridicăm numărul la puterea de 1/3.

Să folosim formula pentru a extrage rădăcini de diferite grade în Excel.

Formula a returnat valoarea rădăcinii cubice a numărului 21. Pentru a ridica la o putere fracțională, a fost folosit operatorul „^”.

Adesea transformare și simplificare expresii matematice necesită o tranziție de la rădăcini la puteri și invers. Acest articol vorbește despre cum să convertiți o rădăcină într-un grad și înapoi. Se discută teorie, exemple practice și cele mai frecvente greșeli.

Tranziția de la puteri cu exponenți fracționari la rădăcini

Să presupunem că avem un număr cu un exponent al formei fracție comună- a m n . Cum se scrie o astfel de expresie ca rădăcină?

Răspunsul decurge din însăși definiția gradului!

Definiţie

Un număr pozitiv a la puterea m n este rădăcina n a numărului a m .

În acest caz, trebuie îndeplinită următoarea condiție:

a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Gradul fracționat numărul zero este definit în mod similar, dar în acest caz numărul m este luat nu ca un întreg, ci ca un număr natural, astfel încât împărțirea la 0 nu are loc:

0 m n = 0 m n = 0 .

În conformitate cu definiția, gradul a m n poate fi reprezentat ca rădăcină a m n .

De exemplu: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

Cu toate acestea, după cum sa menționat deja, nu trebuie să uităm de condițiile: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Astfel, expresia - 8 1 3 nu poate fi reprezentată în forma - 8 1 3, deoarece notația - 8 1 3 pur și simplu nu are sens - gradul numerelor negative nu este definit. Mai mult, rădăcina în sine - 8 1 3 are sens.

Trecerea de la grade cu expresii în exponenții de bază și fracționari se realizează în mod similar pe întregul interval de valori admisibile (denumite în continuare VA) ale expresiilor originale din baza gradului.

De exemplu, expresia x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 poate fi scrisă ca rădăcină pătrată a lui x 2 + 2 x + 1 - 4. Expresia la puterea x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 devine expresia x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 pentru tot x, y, z din ODZ a acestei expresii.

Înlocuirea inversă a rădăcinilor cu puteri, atunci când în loc de o expresie cu o rădăcină, sunt scrise expresii cu o putere, este de asemenea posibilă. Pur și simplu inversăm egalitatea din paragraful anterior și obținem:

Din nou, tranziția este evidentă pentru numere pozitive o. De exemplu, 7 6 4 = 7 6 4 sau 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

Pentru negativ a rădăcinile au sens. De exemplu - 4 2 6, - 2 3. Cu toate acestea, este imposibil să reprezinte aceste rădăcini sub formă de puteri - 4 2 6 și - 2 1 3.

Este chiar posibil să convertiți astfel de expresii cu puteri? Da, dacă faci niște modificări preliminare. Să ne gândim pe care.

Folosind proprietățile puterilor, puteți transforma expresia - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Deoarece 4 > 0, putem scrie:

În cazul unei rădăcini impare a unui număr negativ, putem scrie:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

Atunci expresia - 2 3 va lua forma:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Să înțelegem acum cum rădăcinile sub care sunt conținute expresiile sunt înlocuite cu puteri care conțin aceste expresii în bază.

Să notăm cu litera A o anumită expresie. Totuși, nu ne vom grăbi să reprezentăm A m n sub forma A m n . Să explicăm ce înseamnă aici. De exemplu, expresia x - 3 2 3, bazată pe egalitatea din primul paragraf, aș dori să o prezint sub forma x - 3 2 3. O astfel de înlocuire este posibilă numai pentru x - 3 ≥ 0, iar pentru restul x din ODZ nu este potrivită, deoarece pentru negativ a formula a m n = a m n nu are sens.

Astfel, în exemplul considerat, o transformare de forma A m n = A m n este o transformare care îngustează ODZ, iar din cauza aplicării incorecte a formulei A m n = A m n apar adesea erori.

Pentru a trece corect de la rădăcina A m n la puterea A m n , trebuie respectate câteva puncte:

• Dacă numărul m este întreg și impar, iar n este natural și par, atunci formula A m n = A m n este valabilă pentru întreaga ODZ a variabilelor.
• Dacă m este un număr întreg și impar, iar n este un natural și impar, atunci expresia A m n poate fi înlocuită:
  - pe A m n pentru toate valorile variabilelor pentru care A ≥ 0;
  - on - - A m n pentru toate valorile variabilelor pentru care A< 0 ;
• Dacă m este un număr întreg și par și n este orice număr natural, atunci A m n poate fi înlocuit cu A m n.

Să rezumăm toate aceste reguli într-un tabel și să dăm câteva exemple de utilizare a acestora.

Să revenim la expresia x - 3 2 3. Aici m = 2 este un număr întreg și par, iar n = 3 este un număr natural. Aceasta înseamnă că expresia x - 3 2 3 va fi scrisă corect sub forma:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

Să dăm un alt exemplu cu rădăcini și puteri.

Exemplu. Transformarea unei rădăcini într-o putere

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5

Să justificăm rezultatele prezentate în tabel. Dacă numărul m este întreg și impar, iar n este natural și par, pentru toate variabilele din ODZ din expresia A m n valoarea lui A este pozitivă sau nenegativă (pentru m > 0). De aceea A m n = A m n .

În a doua opțiune, când m este un număr întreg, pozitiv și impar, iar n este natural și impar, valorile lui A m n sunt separate. Pentru variabilele din ODZ pentru care A este nenegativ, A m n = A m n = A m n . Pentru variabilele pentru care A este negativ, obținem A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .

Să considerăm, în mod similar, următorul caz, când m este un număr întreg și par și n este orice număr natural. Dacă valoarea lui A este pozitivă sau nenegativă, atunci pentru astfel de valori ale variabilelor din ODZ A m n = A m n = A m n . Pentru negativ A obținem A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .

Astfel, în al treilea caz, pentru toate variabilele din ODZ putem scrie A m n = A m n .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter