Integrală nedefinită a logaritmului. Integrale complexe

Sunt luate în considerare în detaliu exemple de soluții de integrale pe părți, al căror integrand conține logaritmul, arcsinus, arctangent, precum și logaritmul puterii întregi și logaritmul polinomului.

Conţinut

Vezi și: Metoda de integrare pe părți
Tabelul integralelor nedefinite
Metode de calcul a integralelor nedefinite
Funcții elementare de bază și proprietățile lor

Formula de integrare pe părți

Mai jos, la rezolvarea exemplelor, se folosește formula de integrare pe părți:
;
.

Exemple de integrale care conțin logaritmi și funcții trigonometrice inverse

Iată exemple de integrale care sunt integrate prin părți:
, , , , , , .

La integrare, acea parte a integrandului care conține logaritmul sau funcțiile trigonometrice inverse se notează cu u, restul cu dv.

Mai jos sunt exemple cu soluții detaliate ale acestor integrale.

Exemplu simplu cu logaritm

Să calculăm integrala care conține produsul unui polinom și un logaritm:

Aici integrandul conține un logaritm. Efectuarea de substituții
u = ln x, dv = x 2 dx .
,
.

Apoi
.

.
Să integrăm pe părți.
.
Apoi

La sfârșitul calculelor, adăugați constanta C.

Exemplu de logaritm la puterea lui 2

Să luăm în considerare un exemplu în care integrandul include un logaritm la o putere întreagă. Astfel de integrale pot fi integrate și prin părți.
u = Efectuarea de substituții(ln x) 2
,
.

, dv = x dx .
.
Apoi
.

De asemenea, calculăm integrala rămasă pe părți:

Să înlocuim Un exemplu în care argumentul logaritmului este un polinom Integralele pot fi calculate prin părți, al căror integrand include un logaritm al cărui argument este un polinom, rațional sau
.

Să luăm în considerare un exemplu în care integrandul include un logaritm la o putere întreagă. Astfel de integrale pot fi integrate și prin părți.
u = funcţie iraţională. Ca exemplu, să calculăm o integrală cu un logaritm al cărui argument este un polinom.
Să integrăm pe părți.
,
.

ln( x 2 - 1)
.
, dv = x dx . Calculăm integrala rămasă: Nu scriem aici semnul modulului 2 - 1 > 0 ln | x 2 - 1|
.

, deoarece integrandul este definit la x

.
.

Să luăm în considerare un exemplu în care integrandul include un logaritm la o putere întreagă. Astfel de integrale pot fi integrate și prin părți.
u = Să înlocuim,
.
Să integrăm pe părți.
,
.

Exemplu arcsin< 1 Să luăm în considerare un exemplu de integrală al cărei integrand include arcsinusul. arcsin xÎn continuare, observăm că integrandul este definit pentru |x| ..

Să extindem semnul modulului sub logaritm, ținând cont de faptul că

1 - x > 0
.

Apoi
.
Şi
1 + x > 0 Exemplu de arc tangentă Să rezolvăm exemplul cu arctangent: Să selectăm întreaga parte a fracției: x;
.
Să integrăm:
.
În sfârșit avem.

Integrale complexe

Acest articol încheie subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le consider destul de complexe. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de integrare de bază. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde poți stăpâni subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnici și metode de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

Mai întâi vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv înlocuire variabilăÎn continuare, observăm că integrandul este definit pentru |x| integrare pe părți. Adică, într-un exemplu, două tehnici sunt combinate simultan. Și chiar mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu interesante și originale metoda de reducere a integralei la sine. Destul de multe integrale sunt rezolvate astfel.

Al treilea număr al programului va fi integrale din fracții complexe, care au trecut peste casa de casă în articolele anterioare.

În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală consumatoare de timp.

(2) În funcția integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat puneți funcția sub semnul diferențial.

(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că într-un logaritm puteți folosi paranteze mai degrabă decât un modul, deoarece .

(5) Efectuăm o înlocuire inversă, exprimând „te” din înlocuirea directă:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în timpul soluției a trebuit să folosim chiar mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și destul de multă experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, aici sunt trei exemple pentru decizie independentă:

Exemplul 2

Găsi integrală nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, astfel încât soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2. Exemplele 3-4 au aceleași răspunsuri; Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales exemple de același tip? Deseori găsite în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când sub funcțiile arctangente, sinus, cosinus, exponențial și alte funcții există o rădăcină a funcţie liniară, trebuie să utilizați mai multe metode deodată. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coboare ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care poate fi luată într-un mod elementar. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Prin reducerea integralei la sine

O metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Sub rădăcină este un binom pătratic, iar încercarea de a integra acest exemplu poate da ceainicului o bătaie de cap ore în șir. O astfel de integrală este luată în părți și redusă la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala luată în considerare Literă latină si sa incepem sa rezolvam:

Să integrăm pe părți:

(1) Pregătiți funcția integrand pentru împărțirea termen cu termen.

(2) Împărțim termenul funcției integrand cu termen. Poate că nu este clar pentru toată lumea, dar o voi descrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum să ne uităm la începutul soluției:

Iar la final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala a fost redusă la sine!

Să echivalăm începutul și sfârșitul:

Deplasați-vă în partea stângă cu o schimbare de semn:

Și le mutăm pe cele două în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este rigoarea aici:

Nota: Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:

Astfel:

Constanta poate fi redesemnată prin . De ce poate fi redenumit? Pentru că încă o acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar cu renotare constantă este utilizat pe scară largă în ecuații diferențiale. Și acolo voi fi strict. Și aici permit o astfel de libertate doar pentru a nu vă încurca cu lucruri inutile și pentru a concentra atenția tocmai asupra metodei de integrare în sine.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției. Va fi o diferență cu răspunsul din exemplul anterior!

Dacă sub rădăcină pătrată situat trinom pătratic, atunci soluția în orice caz se rezumă la două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala . Tot ce trebuie să faci este mai întâi selectați un pătrat complet:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care face „fără consecințe”:
, rezultând integrala . Ceva familiar, nu?

Sau acest exemplu, cu un binom pătratic:
Selectați un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem integrala, care se rezolvă și folosind algoritmul deja discutat.

Să ne uităm la două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
– integrală a exponenţialului înmulţit cu sinus;
– integrală a exponenţialului înmulţit cu cosinus.

În integralele enumerate pe părți va trebui să integrați de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponențialul înmulțit cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala a fost redusă la sine. Echivalăm începutul și sfârșitul soluției:

O mutam în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala:

Gata. În același timp, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul din paranteze, iar între paranteze plasați sinusul și cosinusul într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai precis, la integrarea pe părți:

Am desemnat exponentul ca. Se pune întrebarea: este exponentul care trebuie notat întotdeauna cu? Nu neapărat. De fapt, în integrala considerată fundamental nu contează, ce înțelegem prin , am fi putut merge în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponențialul se transformă în sine (atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică putem desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul luat în considerare, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu folosind a doua metodă, răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte de a vă decide, gândiți-vă ce este mai avantajos în acest caz să desemnați ca , o funcție exponențială sau o funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor această lecție Este destul de ușor de verificat prin diferențiere!

Exemplele luate în considerare nu au fost cele mai complexe. În practică, integralele sunt mai frecvente acolo unde constanta este atât în exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni se vor încurca într-o astfel de integrală. Faptul este că există o mare probabilitate de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin nepăsare. În plus, există o mare probabilitate de eroare în semne, rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, rezultatul este adesea cam așa:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să înțelegi corect fracțiile:

Integrarea fracțiilor complexe

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar că dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătratic plus un „apendice” sub forma unui „X” în afara rădăcinii. O integrală de acest tip poate fi rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Să ne uităm la viața după înlocuire:

(1) După înlocuire reducem la numitor comun termeni sub rădăcină.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Numătorul și numitorul se reduc cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu o oarecare experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, se decide metoda de extracție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală are drept scop îndreptarea rezultatului: sub rădăcină aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici se adaugă o constantă la singurul „X”, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți în plus este să exprimați „x” de la înlocuirea care se efectuează:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătratic sub rădăcină, acest lucru nu schimbă metoda de soluție, va fi și mai simplu. Simțiți diferența:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost discutată la clasă Integrale ale funcțiilor iraționale.

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la putere

(polinom la numitor)

Un tip mai rar de integrală, dar întâlnită totuși în exemple practice.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit corect). Această integrală este, de asemenea, una dintre cele care pot fi destul de frustrante dacă nu știi cum să rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată în părți:

Pentru o integrală a formei ( – număr natural) retras recurent formula de reducere:
, Unde – integrală cu un grad mai mic.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Dacă sub gradul este indivizibil trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin izolarea pătratului perfect, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se folosește metoda coeficienți incerti, iar integrandul este extins într-o sumă de fracții. Dar în practica mea există un astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am ratat acest caz în articol Integrale ale funcțiilor fracționale-raționale, îl voi omite acum. Dacă încă întâlniți o astfel de integrală, uitați-vă la manual - totul este simplu acolo. Nu cred că este indicat să includem materiale (chiar simple), probabilitatea de întâlnire care tinde spre zero.

Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe

Adjectivul „complex” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în grade înalte. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare folosite, tangenta și cotangenta sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus ne-am uitat substituție trigonometrică universală pentru a rezolva un anumit tip de integrale din funcții trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că utilizarea sa duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Să luăm în considerare un alt exemplu canonic, integrala unuia împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Aici puteți utiliza substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi soluția completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Utilizare formula trigonometrică sinusul unghiului dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: Împărțim la numitor și înmulțim cu .
(3) De către formula binecunoscuta la numitor transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(5) Luați integrala.

Pereche exemple simple pentru soluție independentă:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Notă: primul pas ar trebui să fie utilizarea formulei de reducere și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
etc.

Care este ideea metodei? Ideea este de a folosi transformări și formule trigonometrice pentru a organiza doar tangente și derivata tangentă în integrand. adica despre care vorbim despre inlocuire: . În exemplele 17-19 am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât ne-am descurcat cu o acțiune echivalentă - subsumând funcția sub semnul diferențial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, De exemplu:

pentru integrală – un număr întreg negativ PAR.

! Nota : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Să ne uităm la câteva sarcini mai semnificative bazate pe această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma puterilor sinusului și cosinusului: 2 – 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei:

(1) Să transformăm numitorul.
(2) Folosind formula binecunoscută, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este totuși mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Stai acolo, rundele campionatului sunt pe cale să înceapă =)

Adesea, integrandul conține un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care duce imediat la un gând deja familiar:

Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost deja discutat mai sus.

Câteva exemple creative pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, desigur, puteți reduce puterile sinusului și cosinusului și puteți utiliza o substituție trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este efectuată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Salut din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolul) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolul) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorÎn continuare, observăm că integrandul este definit pentru |x| Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, atunci vă rugăm să vizitați camera de depozitare a site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar, nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda de integrare pe părți rezolvă foarte sarcină importantă, vă permite să integrați unele funcții care lipsesc în tabel, lucru funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există acesta: – formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - vom lucra cu ea pe tot parcursul lecției (acum este mai ușor).

Și imediat lista la studio. Integralele următoarelor tipuri sunt luate pe părți:

1) , , – logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.

2) ,este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include, de asemenea, integrale, cum ar fi - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică aceasta este 97 la sută, sub integrală există o litera frumoasă „e”. ... articolul se dovedește oarecum liric, ah da... a venit primăvara.

3) , , sunt funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse („arcuri”), „arcuri” înmulțite cu un polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare.

Integrale ale logaritmilor

Exemplul 1

Clasic. Din când în când, această integrală poate fi găsită în tabele, dar nu este recomandabil să folosiți un răspuns gata făcut, deoarece profesorul are deficiență de vitamină de primăvară și va înjura din greu. Deoarece integrala luată în considerare nu este nicidecum tabelară - este luată în părți. Noi decidem:

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare prin părți:

Formula se aplică de la stânga la dreapta

Ne uităm în partea stângă: . Evident, în exemplul nostru (și în toate celelalte pe care le vom lua în considerare) ceva trebuie desemnat ca , iar ceva ca .

În integralele de tipul luat în considerare, logaritmul este întotdeauna notat cu.

Din punct de vedere tehnic, proiectarea soluției este implementată după cum scriem în coloană:

Adică am notat logaritmul ca și restul expresie integrand.

Etapa următoare: găsiți diferența:

Un diferențial este aproape același cu un derivat, am discutat deja despre cum să-l găsim în lecțiile anterioare.

Acum găsim funcția. Pentru a găsi funcția trebuie să o integrați partea dreaptă egalitate mai mică:

Acum deschidem soluția noastră și construim partea dreaptă a formulei: .
Apropo, iată o mostră a soluției finale cu câteva note:

Singurul punct al lucrării este că am schimbat imediat și , deoarece este obișnuit să scrieți factorul înainte de logaritm.

După cum puteți vedea, aplicarea formulei de integrare prin părți a redus soluția noastră la două integrale simple.

Vă rugăm să rețineți că în unele cazuri imediat după aplicarea formulei, o simplificare se realizează în mod necesar sub integrala rămasă - în exemplul luat în considerare, am redus integrandul la „x”.

Să verificăm. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați derivata răspunsului:

S-a obținut funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrala a fost rezolvată corect.

În timpul testului, am folosit regula de diferențiere a produsului: . Și asta nu este o coincidență.

Formula de integrare pe părți si formula – acestea sunt două reguli reciproc inverse.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită.

Integrandul este produsul dintre un logaritm și un polinom.
Să decidem.

Încă o dată voi descrie în detaliu procedura de aplicare a regulii, în alte exemple va fi prezentat mai pe scurt, iar dacă întâmpinați dificultăți în a o rezolva pe cont propriu, trebuie să reveniți la primele două exemple ale lecției.

După cum sa menționat deja, este necesar să se noteze logaritmul (faptul că este o putere nu contează). Notăm prin restul expresie integrand.

Scriem in coloana:

Mai întâi găsim diferența:

Aici folosim regula de diferențiere functie complexa . Nu întâmplător, chiar la prima lecție a subiectului Integrală nedefinită. Exemple de soluții M-am concentrat pe faptul că, pentru a stăpâni integralele, trebuie să „puneți mâna pe” derivate. Va trebui să vă ocupați de derivate de mai multe ori.

Acum găsim funcția, pentru aceasta integrăm partea dreaptă egalitate mai mică:

Pentru integrare am folosit cea mai simplă formulă tabelară

Acum totul este gata pentru aplicarea formulei . Deschideți cu un asterisc și „construiți” soluția în conformitate cu partea dreaptă:

Sub integrală avem din nou un polinom pentru logaritm! Prin urmare, soluția este din nou întreruptă și se aplică a doua oară regula integrării pe părți. Nu uitați că în situații similare logaritmul este întotdeauna notat.

Ar fi bine dacă până acum ați ști să găsiți pe cale orală cele mai simple integrale și derivate.

(1) Nu vă confundați cu semnele! Foarte des, minusul este pierdut aici, de asemenea, rețineți că minusul se referă la tuturor paranteză , iar aceste paranteze trebuie extinse corect.

(2) Deschideți parantezele. Simplificam ultima integrala.

(3) Luăm ultima integrală.

(4) „Păptănând” răspunsul.

Necesitatea aplicării regulii integrării pe părți de două ori (sau chiar de trei ori) nu apare foarte rar.

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită.

Acest exemplu se rezolvă prin schimbarea variabilei (sau înlocuirea acesteia sub semnul diferenţial)! De ce nu - poți încerca să-l iei în părți, se va dovedi a fi un lucru amuzant.

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită.

Dar această integrală este integrată de părți (fracția promisă).

Acestea sunt exemple pe care le puteți rezolva singur, soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Se pare că în exemplele 3 și 4 integranții sunt similari, dar metodele de rezolvare sunt diferite! Aceasta este principala dificultate în stăpânirea integralelor - dacă alegeți metoda greșită de rezolvare a unei integrale, atunci puteți să o jucați ore întregi, ca la un puzzle adevărat. Prin urmare, cu cât rezolvați mai multe integrale, cu atât mai bine, cu atât testul și examenul vor fi mai ușor. În plus, în al doilea an vor exista ecuații diferențiale, iar fără experiență în rezolvarea integralelor și derivatelor nu este nimic de făcut acolo.

În ceea ce privește logaritmii, acest lucru este probabil mai mult decât suficient. Ca o parte, îmi pot aminti și că studenții la inginerie folosesc logaritmi pentru a numi sânii feminini =). Apropo, este util să cunoaștem pe de rost grafica principalului functii elementare: sinus, cosinus, arctangent, exponențial, polinoame de gradul al treilea, al patrulea etc. Nu, desigur, un prezervativ pe glob
Nu o voi întinde, dar acum vă veți aminti multe din secțiune Diagrame și funcții =).

Integrale ale unei exponențiale înmulțite cu un polinom

Regula generală:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită.

Folosind un algoritm familiar, integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți cu integrala, atunci ar trebui să reveniți la articol Metoda modificării variabilei în integrală nedefinită.

Singurul lucru pe care îl puteți face este să modificați răspunsul:

Dar dacă tehnica ta de calcul nu este foarte bună, atunci cea mai profitabilă opțiune este să o lași ca răspuns sau chiar

Adică exemplul se consideră rezolvat atunci când se ia ultima integrală. Nu va fi o greșeală, este o altă problemă că profesorul vă poate cere să simplificați răspunsul.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Această integrală este integrată de două ori pe părți. O atenție deosebită trebuie acordată semnelor - este ușor să vă confundați în ele, ne amintim, de asemenea, că aceasta este o funcție complexă.

Nu mai este nimic de spus despre expozant. Pot doar să adaug că exponențialul și logaritmul natural sunt funcții reciproc inverse, acesta sunt eu pe tema graficelor distractive ale matematicii superioare =) Oprește-te, oprește-te, nu-ți face griji, lectorul este treaz.

Integrale ale funcțiilor trigonometrice înmulțite cu un polinom

Regula generala: căci denotă întotdeauna un polinom

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită.

Să integrăm pe părți:

Hmmm, ... și nu e nimic de comentat.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

Un alt exemplu cu o fracție. Ca și în cele două exemple anterioare, for denotă un polinom.

Să integrăm pe părți:

Dacă aveți dificultăți sau neînțelegeri în găsirea integralei, vă recomand să participați la lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Sugestie: Înainte de a utiliza metoda integrării prin părți, ar trebui să utilizați o formulă trigonometrică care transformă produsul a două funcții trigonometrice într-o singură funcție. Formula poate fi folosită și la aplicarea metodei de integrare pe părți, oricare este mai convenabil pentru dvs.

Asta este probabil tot în acest paragraf. Din anumite motive, mi-am amintit de o linie din imnul de fizică și matematică „Și graficul sinusoidal merge val după val de-a lungul axei absciselor”...

Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse.
Integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse înmulțite cu un polinom

Regula generala: denotă întotdeauna funcția trigonometrică inversă.

Permiteți-mi să vă reamintesc că funcțiile trigonometrice inverse includ arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. De dragul conciziei înregistrării, le voi numi „arcuri”

Integrale ale logaritmilor

Integrare pe părți. Exemple de soluții

Soluţie.

De exemplu.

Calculați integrala:

Folosind proprietățile integralei (liniaritate), ᴛ.ᴇ. , o reducem la o integrală tabelară, obținem asta

Bună din nou. Astăzi, în lecție, vom învăța cum să integrăm pe părți. Metoda de integrare pe părți este una dintre pietrele de temelie ale calculului integral. În timpul testelor sau examenelor, studenților li se cere aproape întotdeauna să rezolve următoarele tipuri de integrale: integrala cea mai simplă (vezi articolulIntegrală nedefinită. Exemple de soluții ) sau o integrală prin înlocuirea unei variabile (vezi articolulMetoda modificării variabilei într-o integrală nedefinită ) sau integrala este doar activată metoda integrarii prin piese.

Ca întotdeauna, ar trebui să aveți la îndemână: Tabelul integralelorÎn continuare, observăm că integrandul este definit pentru |x| Tabelul derivatelor. Dacă încă nu le aveți, vă rugăm să vizitați depozitul site-ului meu: Formule și tabele matematice. Nu mă voi sătura să repet - este mai bine să tipăriți totul. Voi încerca să prezint tot materialul în mod consecvent, simplu și clar, nu există dificultăți deosebite în integrarea părților.

Ce problemă rezolvă metoda integrării pe părți? Metoda integrării pe părți rezolvă o problemă foarte importantă, vă permite să integrați unele funcții care nu sunt în tabel; lucru funcții și, în unele cazuri, chiar și coeficiente. După cum ne amintim, nu există o formulă convenabilă: . Dar există aceasta: - formula de integrare pe părți în persoană. Știu, știu, ești singurul - vom lucra cu ea pe tot parcursul lecției (acum este mai ușor).

Și imediat lista la studio. Integralele următoarelor tipuri sunt luate pe părți:

1) , – logaritm, logaritm înmulțit cu un polinom.

2) , este o funcție exponențială înmulțită cu un polinom. Aceasta include și integrale precum - o funcție exponențială înmulțită cu un polinom, dar în practică aceasta este 97 la sută, sub integrală există o literă frumoasă ʼʼеʼʼ. ... articolul se dovedește oarecum liric, ah da... a venit primăvara.

3) , – funcții trigonometrice înmulțite cu un polinom.

4) , – funcții trigonometrice inverse (‘arcuri’), ‘arcuri’, înmulțite cu vreun polinom.

Unele fracții sunt, de asemenea, luate în părți, vom lua în considerare și exemplele corespunzătoare.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Întrerupem soluția pentru explicații intermediare.

Folosim formula de integrare prin părți:

Integrale de logaritmi - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Integrale ale logaritmilor” 2017, 2018.

Antiderivată și integrală

1. Antiderivat. Funcția F(x) se numește antiderivată pentru funcția f (x) pe intervalul X dacă pentru orice x din X este valabilă egalitatea F"(x)=f(x).

T.7.13 (Dacă F(x) este o antiderivată pentru o funcție f(x) pe intervalul X, atunci funcția f(x) are infinit de antiderivate și toate aceste antiderivate au forma F (x) + C, unde C este o constantă arbitrară (proprietatea principală a antiderivatei).

2. Tabelul antiderivatelor. Având în vedere că găsirea unei antiderivate este operația inversă de diferențiere și pornind de la tabelul derivatelor, obținem următorul tabel al antiderivate (pentru simplitate, tabelul arată o antiderivată F(x), și nu vedere generală antiderivate F(x) + C:

Antiderivat

Funcția antiderivată și logaritmică

Funcția logaritmică, inversul funcției exponențiale. L. f. notat cu

este numită valoarea sa y, corespunzătoare valorii argumentului x logaritmul natural numerele x. Prin definiție, relația (1) este echivalentă

(e este un număr Neper). Deoarece ey > 0 pentru orice y real, atunci L.f. este definită numai pentru x > 0. Într-un sens mai general, L. f. apelați funcția

logaritmul integral al puterii antiderivative

unde a > 0 (a? 1) este o bază arbitrară de logaritmi. Cu toate acestea, în analiză matematică funcția InX este de o importanță deosebită; funcția logaX este redusă la ea folosind formula:

unde M = 1/In a. L. f. - una dintre principalele funcţii elementare; graficul său (Fig. 1) se numește logaritmică. Proprietățile de bază ale L. f. urmați din proprietățile corespunzătoare ale funcției exponențiale și ale logaritmilor; de exemplu, L. f. satisface ecuația funcțională

Pentru - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Multe integrale sunt exprimate în termeni de funcții liniare; De exemplu

L. f. apare constant în analiza matematică și în aplicațiile acesteia.

L. f. era bine cunoscut de matematicienii secolului al XVII-lea. Pentru prima dată, dependenţa dintre mărimile variabile, exprimată prin L. f., a fost considerată de J. Napier (1614). El a reprezentat relația dintre numere și logaritmii lor folosind două puncte care se deplasează de-a lungul liniilor paralele (Fig. 2). Unul dintre ei (Y) se deplasează uniform, începând de la C, iar celălalt (X), începând de la A, se deplasează cu o viteză proporțională cu distanța sa până la B. Dacă punem SU = y, XB = x, atunci, conform această definiție,

dx/dy = - kx, de unde.

L. f. pe plan complex este o funcție cu mai multe valori (cu valori infinite) definită pentru toate valorile argumentului z? 0 este notat cu Lnz. Ramura cu o singură valoare a acestei funcții, definită ca

Inz = In?z?+ i arg z,

unde arg z este argumentul numărului complex z, care se numește valoarea principală a funcției liniare. Avem

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Toate semnificațiile lui L. f. pentru negativ: z reale sunt numere complexe. Prima teorie satisfăcătoare a lui L. f. în plan complex a fost dat de L. Euler (1749), care a pornit de la definiţie