Un polinom peste inelul de numere întregi se numește primitiv, dacă cel mai mare divizor comun al coeficienților săi este 1. Un polinom cu coeficienți raționali este reprezentat în mod unic ca produsul unui număr rațional pozitiv, numit conţinut polinom și polinom primitiv. Produsul polinoamelor primitive este un polinom primitiv. Din acest fapt rezultă că dacă un polinom cu coeficienți întregi este reductibil peste câmpul numerelor raționale, atunci este reductibil peste inelul numerelor întregi. Astfel, problema factorizării unui polinom în factori ireductibili în câmpul numerelor raționale se reduce la o problemă similară asupra inelului de numere întregi.
Fie un polinom cu coeficienți întregi și conținut 1 și fie rădăcina lui rațională. Să ne imaginăm rădăcina unui polinom ca o fracție ireductibilă. Polinom f(x) este reprezentată ca produs de polinoame primitive. Prin urmare,
A. numărătorul este divizorul,
B. numitor – divizor
C. pentru orice număr întreg k sens f(k) – un număr întreg care este divizibil fără rest cu ( bk-o).
Proprietățile enumerate ne permit să reducem problema găsirii rădăcinilor raționale ale unui polinom la o căutare finită. O abordare similară este utilizată în expansiunea polinomială f la factori ireductibili din domeniul numerelor raţionale folosind metoda Kronecker. Dacă un polinom f(x) grade n sunt date, atunci unul dintre factori are un grad nu mai mare decât n/2. Să notăm acest factor prin g(x). Deoarece toți coeficienții polinoamelor sunt numere întregi, atunci pentru orice număr întreg o sens f(o) este divizibil fără rest prin g(o). Să alegem m= 1+n/2 numere întregi distincte o eu, i=1,…,m. Pentru numere g(o i) există un număr finit de posibilități (numărul de divizori ai oricărui număr diferit de zero este finit), prin urmare există un număr finit de polinoame care pot fi divizori f(x). După ce am efectuat o căutare completă, fie vom arăta ireductibilitatea polinomului, fie o vom extinde în produsul a două polinoame. Aplicăm schema indicată fiecărui factor până când toți factorii devin polinoame ireductibile.
Ireductibilitatea unor polinoame asupra câmpului numerelor raționale poate fi stabilită folosind un criteriu Eisenstein simplu.
Lasă f(x) este un polinom peste inelul numerelor întregi. Dacă există un număr prim p, Ce
I. Toți coeficienții polinomului f(x), pe lângă coeficientul pentru gradul cel mai înalt, se împart în p
II. Coeficientul pentru gradul cel mai înalt nu este divizibil cu p
III. Membrul liber nu este împărțit în
Apoi polinomul f(x) este ireductibil în câmpul numerelor raționale.
De remarcat că criteriul Eisenstein dă conditii suficiente ireductibilitatea polinoamelor, dar nu este necesar. Deci polinomul este ireductibil în câmpul numerelor raționale, dar nu satisface criteriul Eisenstein.
Polinomul, după criteriul lui Eisenstein, este ireductibil. Prin urmare, peste câmpul numerelor raționale există polinom ireductibil grade n, Unde n orice număr natural mai mare decât 1.
Se spune că un câmp este închis algebric dacă orice polinom peste acest câmp nu este egal cu o constantă, are cel puțin o rădăcină. Din teorema lui Bezout rezultă imediat că peste un astfel de câmp orice polinom neconstant poate fi descompus într-un produs de factori liniari. În acest sens, câmpurile închise algebric sunt mai simple ca structură decât câmpurile închise nealgebric. Știm că în domeniul numerelor reale nu toată lumea trinom pătratic are o rădăcină, astfel câmpul ℝ nu este închis algebric. Se dovedește că el este puțin mai puțin de închidere algebrică. Cu alte cuvinte: după ce am rezolvat o problemă aparent particulară despre o ecuație, am rezolvat simultan toate celelalte ecuații polinomiale.
TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ALGEBREI. Orice polinom din câmpul ℂ care nu este egal cu o constantă are cel puțin o rădăcină complexă.
INVESTIGARE. Putem extinde orice polinom care nu este egal cu o constantă în câmpul numerelor complexe într-un produs al factorilor liniari:
Aici este coeficientul principal al polinomului; rădăcini complexe polinom - multiplicitățile lor. Egalitatea trebuie să fie satisfăcută
Dovada corolarului este o simplă inductie asupra gradului polinomului.
În alte domenii, situația nu este atât de bună în ceea ce privește descompunerea polinoamelor. Numim un polinom ireductibil dacă, în primul rând, nu este o constantă și, în al doilea rând, nu poate fi descompus într-un produs de polinoame de grade inferioare. Este clar că fiecare polinom liniar (pe orice câmp) este ireductibil. Corolarul poate fi reformulat astfel: polinoamele ireductibile peste câmpul numerelor complexe cu coeficient conducător unitar (cu alte cuvinte: unitar) se epuizează prin polinoame de forma ().
Descompunerea unui trinom pătratic este echivalentă cu prezența a cel puțin unei rădăcini. Transformând ecuația în formă, concluzionăm că rădăcina unui trinom pătrat există dacă și numai dacă discriminantul este pătratul unui element al câmpului K (aici presupunem că 2≠ 0 în câmpul K). De aici ajungem
OFERI. Un trinom pătrat peste un câmp K în care 2≠ 0 este ireductibil dacă și numai dacă nu are rădăcini în câmpul K. Acest lucru este echivalent cu faptul că discriminantul nu este pătratul niciunui element al câmpului K. În special , peste câmpul numerelor reale trinomul pătrat Ireductibil dacă și numai dacă.
Deci peste câmpul numerelor reale există cel puțin două tipuri de polinoame ireductibile: liniare și pătratice și discriminante negative. Rezultă că aceste două cazuri epuizează mulțimea de polinoame ireductibile peste ℝ.
TEOREMA. Putem descompune orice polinom din câmpul numerelor reale într-un produs de factori liniari și factori pătratici cu discriminanți negativi:
Aici sunt toate rădăcinile reale ale polinomului, multiplicitățile lor, toți discriminanții sunt mai mici decât zero și trinoamele pătratice sunt toate diferite.
Mai întâi demonstrăm lema
LEMMA. Dacă pentru oricare, atunci numărul conjugat este și rădăcina polinomului.
Dovada. Fie și o rădăcină complexă a unui polinom. Apoi
unde am folosit proprietățile mate. Prin urmare, . Astfel, este rădăcina polinomului. □
Demonstrarea teoremei. Este suficient să demonstrăm că orice polinom ireductibil din câmpul numerelor reale este fie liniar, fie pătratic cu un discriminant negativ. Fie un polinom ireductibil cu coeficient de conducere unitar. În cazul în care obținem imediat pentru unele reale. Să presupunem că. Să notăm cu orice rădăcină complexă a acestui polinom, care există conform teoremei fundamentale a algebrei numerelor complexe. Deoarece este ireductibil, atunci (vezi teorema lui Bezout). Apoi, după lemă, va fi o altă rădăcină a polinomului, diferită de.
Un polinom are coeficienți reali. În plus, se împarte conform teoremei lui Bezout. Deoarece este ireductibil și are un coeficient de conducere unitar, obținem egalitate. Discriminantul acestui polinom este negativ, deoarece altfel ar avea rădăcini reale.□
EXEMPLE. O. Să descompunăm polinomul în factori ireductibili. Printre divizorii termenului constant 6, căutăm rădăcinile polinomului. Ne asigurăm că 1 și 2 sunt rădăcini. Astfel polinomul este împărțit la. După ce ne-am împărțit, găsim
Expansiunea finală asupra câmpului, deoarece discriminantul trinomului pătrat este negativ și, prin urmare, nu poate fi extins în continuare peste câmpul numerelor reale. Obținem o expansiune a aceluiași polinom peste câmpul numerelor complexe dacă găsim rădăcinile complexe ale trinomului pătrat. Ei sunt esența. Apoi
Extinderea acestui polinom peste
B. Să ne extindem peste câmpurile numerelor reale și complexe. Deoarece acest polinom nu are rădăcini reale, el poate fi descompus în două trinoame pătrate cu discriminanți negativi
Deoarece nu se schimbă atunci când este înlocuit cu un polinom, atunci cu o astfel de înlocuire trinomul pătrat trebuie să intre și invers. De aici. Echivalând coeficienții pentru obținem În special, . Apoi din relația (obținută prin substituție extragem, și în final, . Deci,
Extinderea în câmpul numerelor reale.
Pentru a extinde acest polinom peste numere complexe, rezolvați ecuația sau. Este clar că vor exista rădăcini. Obținem toate rădăcinile diferite la. Prin urmare,
Extindere peste numere complexe. Ușor de calculat
și obținem o altă soluție la problema extinderii unui polinom peste câmpul numerelor reale.
Sfârșitul lucrării -
Acest subiect aparține secțiunii:
Algebra fundamentală și computerizată
Introducere.. cursul fundamental și algebră computerizată este destinat studenților care se specializează în matematică aplicată..
Dacă ai nevoie material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:
Ce vom face cu materialul primit:
Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:
| Tweet |
Toate subiectele din această secțiune:
N.I. Dubrovin
Spassky Settlement 2012 Cuprins Introducere. 4 Lista de simboluri și termeni. 5 1 Câteva despre BASIC. 6 2 Teoria multimilor naiva. 9
Un pic despre BASIC
Matematica se ocupă de obiecte precum numerele de natură diferită(natural, întreg, rațional, real, complex), polinoame de una și mai multe variabile, matrice
Teoria multimilor naiva
Un text matematic este format din definiții și enunțuri. Unele afirmații, în funcție de importanța și relația lor cu alte enunțuri, sunt numite unul dintre următorii termeni:
produse carteziene
O pereche ordonată, sau pur și simplu o pereche de elemente, este una dintre construcțiile fundamentale în matematică. Vă puteți imagina ca pe un raft cu două locuri - primul și al doilea. Foarte des în matematică nu este
Numerele naturale
Numerele (1,2,3,...), care pot fi obținute dintr-unul prin adunare, se numesc numere naturale și se notează cu ℕ. Descriere axiomatică numere naturale poate fi așa (vezi
Recursiune
De la axiomele N1-N3 la cele familiare tuturor școală primară operații de adunare și înmulțire a numerelor naturale, compararea numerelor naturale între ele și proprietăți ale formei „din inversarea locurilor termenilor, suma nu
Ordinea pe multimea numerelor naturale Divizibilitatea numerelor naturale Divizibilitatea numerelor întregi algoritmul lui Euclid Interpretarea matriceală a algoritmului euclidian Elemente de logică Forme expresive Algebră matriceală Determinanți Transformări plane liniare Numerele complexe Construirea câmpului numerelor complexe Conjugați numere complexe Un număr complex se numește conjugat cu, iar harta Să reprezentăm un număr complex ca vector. Lungimea acestui vector, i.e. mărimea se numește modulul unui număr complex și se notează. Vom numi cantitatea norma numărului uneori este mai convenabil să folosim e Regula (2) din paragraful ne dă dreptul de a determina exponentul unui număr pur imaginar: Într-adevăr, funcția astfel definită are următoarele proprietăți: & Un polinom liniar la are întotdeauna o rădăcină. Trinomul pătrat nu mai are întotdeauna rădăcini peste câmpul numerelor reale. Teorema relației de echivalență Fie „ ” o relație de echivalență pe mulțimea M. Pentru un element îl notăm prin clasa de echivalență. Apoi mulțimea M este împărțită într-o uniune de clase de echivalență; fiecare element din M la Orice număr complex specifică un punct din plan. Argumentele vor fi situate pe un plan complex, valorile funcției vor fi situate pe un alt plan complex. F(z) este funcția complexă a unei variabile complexe. Dintre funcțiile complexe ale unei variabile complexe se remarcă clasa funcțiilor continue. Def: o funcție complexă a unei variabile complexe se numește continuă dacă , astfel încât, .+< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше . Sensul geometric este următorul: Corolar: modulul unui polinom din domeniul numerelor complexe este o funcție continuă. Teorema 2: - un inel de polinoame cu coeficienți complexi, apoi astfel de valori care . Teorema 3. (despre creșterea nelimitată a modulului unui polinom): Teorema fundamentală a algebrei: Orice polinom din câmpul numerelor complexe nu de gradul 0 are cel puțin o rădăcină în câmpul numerelor complexe. (Vom folosi următoarele afirmații în demonstrație): D.: 1. Dacă a n =0, atunci z=0 este rădăcina lui f(z). 2. dacă a n 0, atunci prin teorema 3, inegalitatea definește o regiune în plan complex care se află în afara cercului cu raza S. Nu există rădăcini în această regiune, deoarece prin urmare, rădăcinile polinomului f(z) ar trebui căutate în interiorul regiunii. Să luăm în considerare din T1. rezultă că f(z) este continuă. Conform teoremei lui Weierstrass, ea atinge minimul la un moment dat într-o regiune închisă, adică . Să arătăm că punctul este un punct minim. Deoarece 0 E, atunci, pentru că în afara regiunii E a valorii lui f-ii, atunci z 0 este punctul minim pe întregul plan complex. Să arătăm că f(z 0)=0. Să presupunem că nu este așa, atunci prin Lema lui d'Alembert, obținem o contradicție, deoarece z 0 punct minim. Închidere algebrică: Def: un câmp P se numește închis algebric dacă are cel puțin o rădăcină peste acest câmp. Teoremă: câmpul numerelor complexe este închis algebric. (d-urmează din teorema fundamentală a algebrei). Câmpurile numerelor raționale și reale nu sunt închise algebric. Descompunere: Teoremă: orice polinom din câmpul numerelor complexe de grad peste 1 poate fi descompus într-un produs de factori liniari. Corolarul 1. Un polinom de grad n peste câmpul numerelor complexe are exact n rădăcini. Următorul 2: orice polinom din câmpul numerelor complexe de grad mai mare decât 1 este întotdeauna reductibil. Def: numere de multiplicitate C\R, i.e. numerele de forma a+bi, unde b nu este egal cu 0, se numesc imaginare. 2. Polinoame peste un câmp. GCD a două polinoame și algoritmul euclidian. Descompunerea unui polinom într-un produs de factori ireductibili și unicitatea acestuia. Def. Polinom (polinom) în necunoscut X peste câmp R numit Suma algebrică a puterilor întregi nenegative X, luate cu oarecare coeficient din teren R. Unde este aiÎP sau Polinoamele se numesc egal, dacă coeficienții lor sunt egali pentru puterile corespunzătoare ale necunoscutelor. Se numește gradul unui polinom. cea mai mare valoare a indicatorului necunoscut, al cărui coeficient este diferit de zero. Indicat de: N(f(x))=n Mulțimea tuturor polinoamelor dintr-un câmp R notat cu: P[x]. Polinoamele de grad zero coincid cu elementele câmpului R, diferit de zero
este un polinom zero, gradul său este nedefinit. Operatii pe polinoame. 1. Adăugarea. Fie n³s, atunci , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s). <P[x],+> 2. Înmulțirea. Explorarea structurii algebrice<P[x],*> <P[x],*>- semigrup cu element de identitate (manoid) Legile distributive sunt îndeplinite, prin urmare,<P[x],+,*> este un inel comutativ cu identitate. Divizibilitatea polinoamelor AOD: polinom f(x), f(x)ОP[x], P– câmpul este divizibil cu un polinom g(x), g(x)≠0, g(x)ОP[x], dacă un astfel de polinom există h(x)ОP[x], că f(x)=g(x)h(x) Proprietăți de divizibilitate: Exemplu:, împărțiți la o coloană mcd =( x+3) Teorema împărțirii cu rest: Pentru orice polinoame f (x), g(x)ОP[x], există un singur polinom q(x) Și r(x) astfel încât f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) Idee de document: considerăm două cazuri existente n AOD: f (x) și g(x), f(x), g(x)ОP[x], h(x)ОP[x] numit GCD f (x) și g(x) Dacă algoritmul lui Euclid Să notăm procesul de împărțire secvențială f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1) g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2) r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3), etc. r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k) r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1) GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x) Ideea este o dovadă: arătăm că 1 ) f(x):(complet) d(x) Și g(x):(în întregime) d(x); 2) f(x):(în întregime) h(x) Și g(x):(complet) h(x) arătăm că d(x):( complet) h(x). Reprezentarea liniară a GCD T: dacă d(x) - mcd de polinoame f (x) și g(x), atunci există polinoame v (x) și u(x)ОP[x], Ce f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x). Def: f(x) și g(x)ОP[x] au întotdeauna divizori comuni, și anume polinoame de gradul zero, care coincid cu câmpul P dacă nu există alți divizori comuni, atunci f(x) și g(x) sunt coprimi; (desemnare: (f(x),g(x))=1) T: f (x) Și g(x) sunt relativ prime i.i.t.k. există polinoame v(x) și u(x)ОP[x] astfel încât f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. Proprietățile polinoamelor coprime AOD: Polinomul f(x), f(x)ОP[x] se numește dat peste câmpul P, dacă poate fi descompus în factori ale căror grade sunt mai mari decât 0 și mai mici decât gradul f(x), adică. f (x)=f 1 (x)f 2 (x), unde gradele f 1 și f 2 >0, Reductibilitatea polinoamelor depinde de domeniul în care sunt considerate. Un polinom este ireductibil (un polinom care nu poate fi factorizat în factori de grad inferior) peste câmpul Q și este reductibil peste câmpul R. Proprietățile polinoamelor ireductibile: 1) polinoame f (x)Şi p(x) sunt relativ prime 2) f(x):(în întregime) p(x)
Setul are o relație ordine liniară. Să spunem că n
Operația de împărțire nu este întotdeauna posibilă în domeniul numerelor naturale. Acest lucru ne dă dreptul de a introduce relația de divizibilitate: să presupunem că numărul n împarte numărul m dacă m=nk pentru un k∈ potrivit.
Să notăm cu -- inelul numerelor întregi. Termenul „inel” înseamnă că avem de-a face cu o mulțime R pe care sunt date două operații - adunarea și înmulțirea, respectând legi cunoscute.
Dată o pereche de numere întregi (m,n). Considerăm că n este un rest cu numărul 1. Primul pas al algoritmului euclidian este să împărțim m la n cu un rest, iar apoi să împărțim restul la restul nou obținut, până la acest nou obținut.
Să dăm o interpretare matriceală algoritmului euclidian (pentru matrice, vezi paragraful următor). Să rescriem șirul de diviziuni cu un rest sub formă de matrice: Înlocuind în fiecare
Matematicienii se ocupă de obiecte, cum ar fi, de exemplu, numere, funcții, matrici, drepte pe un plan etc. și, de asemenea, se ocupă de enunțuri. Un enunț este un fel de narațiune
Va fi expresia o afirmație? Nu, această înregistrare este o formă expresivă a unei variabile. Dacă înlocuim valori valide în loc de o variabilă, obținem diverse afirmații care
Algebra matriceală peste inelul R (R este inelul numerelor întregi, câmpul numerelor raționale, câmpul numerelor reale) este cel mai utilizat sistem algebric cu un set de operații
Determinantul unei matrice pătrate A este caracteristica sa numerică, notată cu sau. Să începem cu determinanții matricilor de dimensiuni mici 1,2,3: DEFINIȚIE. Pu
Se știe că orice transformare a planului ϕ, păstrând distanțe, este fie o translație paralelă la un vector, fie o rotație în jurul punctului O cu un unghi α, fie o simetrie față de dreapta.
În această secțiune studiem un singur câmp - câmpul numerelor complexe ℂ. Din punct de vedere geometric, este un plan, iar din punct de vedere algebric, este
De fapt, am construit deja câmpul numerelor complexe în paragraful anterior. Datorită importanței excepționale a domeniului numerelor complexe, vă prezentăm construcția directă a acestuia. Luați în considerare un spațiu cu
Câmpul numerelor complexe ne oferă o nouă proprietate - prezența unui automorfism continuu neidentic (izomorfism la sine).
Forma trigonometrică de scriere a numerelor complexe
Exponent complex
Rezolvarea ecuațiilor cuadratice
Fie un trinom pătrat peste câmpul numerelor complexe (). Convoi
