Cum să înveți să rezolvi probleme de geometrie analitică?
Problemă tipică cu un triunghi pe un plan

Această lecție este creată despre abordarea ecuatorului dintre geometria planului și geometria spațiului. În acest moment, este nevoie de sistematizarea informațiilor acumulate și de a răspunde la o întrebare foarte importantă: cum să înveți să rezolvi probleme de geometrie analitică? Dificultatea este că poți veni cu un număr infinit de probleme de geometrie și niciun manual nu va conține toată multitudinea și varietatea de exemple. Acest lucru nu este derivata unei functii cu cinci reguli de diferențiere, un tabel și mai multe tehnici...

Există o soluție! Nu voi vorbi cu voce tare despre faptul că am dezvoltat un fel de tehnică grandioasă, cu toate acestea, în opinia mea, există o abordare eficientă a problemei luate în considerare, care permite chiar și unui ceainic complet să obțină rezultate bune și excelente. Cel puțin, algoritmul general de rezolvare a problemelor geometrice a luat contur foarte clar în capul meu.

CE TREBUIE SĂ ȘTIȚI ȘI SĂ POȚI FACE
pentru rezolvarea cu succes a problemelor de geometrie?

Nu există nicio scăpare din asta - pentru a nu împinge nasturi aleatoriu cu nasul, trebuie să stăpânești elementele de bază ale geometriei analitice. Prin urmare, dacă tocmai ați început să studiați geometria sau ați uitat-o ​​complet, vă rugăm să începeți cu lecția Vectori pentru manechine. Pe lângă vectori și acțiunile cu ei, trebuie să cunoașteți conceptele de bază ale geometriei plane, în special, ecuația unei drepte într-un planȘi . Geometria spațiului este prezentată în articole Ecuația plană, Ecuațiile unei drepte în spațiu, Probleme de bază pe o linie dreaptă și un plan și alte câteva lecții. Liniile curbe și suprafețele spațiale de ordinul doi stau oarecum depărtate și nu există atât de multe probleme specifice cu ele.

Să presupunem că elevul are deja cunoștințe și abilități de bază în rezolvarea celor mai simple probleme de geometrie analitică. Dar se întâmplă așa: citești enunțul problemei și... vrei să închizi totul cu totul, să o arunci într-un colț îndepărtat și să uiți de ea, ca un vis urât. Mai mult, acest lucru nu depinde în mod fundamental de nivelul calificărilor tale, din când în când întâlnesc sarcini pentru care soluția nu este evidentă. Ce să faci în astfel de cazuri? Nu trebuie să-ți fie frică de o sarcină pe care nu o înțelegi!

În primul rând, ar trebui instalat - Este aceasta o problemă „plată” sau spațială? De exemplu, dacă condiția include vectori cu două coordonate, atunci, desigur, aceasta este geometria unui plan. Și dacă profesorul l-a încărcat pe ascultătorul recunoscător cu o piramidă, atunci există în mod clar geometria spațiului. Rezultatele primului pas sunt deja destul de bune, pentru că am reușit să tăiem o cantitate imensă de informații inutile pentru această sarcină!

Doilea. Condiția vă va preocupa de obicei cu o figură geometrică. Într-adevăr, mergi pe coridoarele universității tale natale și vei vedea o mulțime de fețe îngrijorate.

În problemele „plate”, ca să nu mai vorbim de punctele și liniile evidente, cea mai populară figură este un triunghi. O vom analiza în detaliu. Urmează paralelogramul și mult mai puțin frecvente sunt dreptunghiul, pătratul, rombul, cercul și alte forme.

În problemele de spațiu, pot zbura aceleași figuri plate + avioanele în sine și piramidele triunghiulare comune cu paralelipipede.

Intrebarea a doua - Știți totul despre această figură? Să presupunem că condiția vorbește despre un triunghi isoscel și vă amintiți foarte vag ce fel de triunghi este acesta. Deschidem un manual școlar și citim despre un triunghi isoscel. Ce să faci... doctorul a spus un romb, asta înseamnă un romb. Geometria analitică este geometrie analitică, dar problema va fi rezolvată prin proprietățile geometrice ale figurilor în sine, cunoscut la noi din programa școlară. Dacă nu știi care este suma unghiurilor unui triunghi, poți suferi mult timp.

Treilea. ÎNTOTDEAUNA încercați să urmați desenul(pe o schiță/copie finală/mental), chiar dacă acest lucru nu este cerut de condiție. În problemele „plate”, Euclid însuși a ordonat să ridice o riglă și un creion - și nu numai pentru a înțelege starea, ci și în scopul autotestării. În acest caz, scara cea mai convenabilă este 1 unitate = 1 cm (2 celule de notebook). Să nu vorbim despre studenți și matematicieni neglijenți care se învârt în mormintele lor - este aproape imposibil să greșești în astfel de probleme. Pentru sarcini spațiale, efectuăm un desen schematic, care va ajuta și la analiza stării.

Un desen sau un desen schematic vă permite adesea să vedeți imediat modul de rezolvare a unei probleme. Desigur, pentru aceasta trebuie să cunoașteți fundamentul geometriei și să înțelegeți proprietățile formelor geometrice (a se vedea paragraful anterior).

Patrulea. Dezvoltarea unui algoritm de soluție. Multe probleme de geometrie sunt în mai multe etape, astfel încât soluția și designul său sunt foarte convenabile de descompus în puncte. Adesea, algoritmul vă vine imediat în minte după ce citiți condiția sau finalizați desenul. În caz de dificultăți, începem cu ÎNTREBAREA sarcinii. De exemplu, conform condiției „trebuie să construiți o linie dreaptă...”. Aici cea mai logică întrebare este: „Ce este suficient să știi pentru a construi această linie dreaptă?” Să presupunem că „cunoaștem ideea, trebuie să cunoaștem vectorul de direcție”. Adresăm următoarea întrebare: „Cum să găsim acest vector de direcție? Unde?" etc.

Uneori există o „bucă” - problema nu este rezolvată și gata. Motivele opririi pot fi următoarele:

– Decalaj serios în cunoștințele de bază. Cu alte cuvinte, nu știi și/sau nu vezi ceva foarte simplu.

– Necunoașterea proprietăților figurilor geometrice.

- Sarcina a fost dificilă. Da, se întâmplă. Nu are rost să aburi ore întregi și să strângi lacrimi într-o batistă. Cereți sfaturi de la profesorul dvs., colegii studenți sau adresați o întrebare pe forum. Mai mult, este mai bine să-și concretizezi afirmația - despre acea parte a soluției pe care nu o înțelegi. Un strigăt sub forma „Cum se rezolvă problema?” nu arată prea bine... și, mai ales, pentru propria ta reputație.

Etapa cinci. Noi decidem-verificam, decidem-verificam, decidem-verificam-da un raspuns. Este benefic să verificați fiecare punct al sarcinii imediat după ce este finalizat. Acest lucru vă va ajuta să identificați imediat eroarea. Desigur, nimeni nu interzice rezolvarea rapidă a întregii probleme, dar există riscul de a rescrie totul din nou (de multe ori mai multe pagini).

Acestea sunt, poate, toate considerentele principale care ar trebui urmate la rezolvarea problemelor.

Partea practică a lecției este prezentată în geometria plană. Vor fi doar două exemple, dar nu vor părea suficiente =)

Să trecem prin firul algoritmului pe care tocmai m-am uitat în mica mea lucrare științifică:

Exemplul 1

Sunt date trei vârfuri ale unui paralelogram. Găsiți partea de sus.

Să începem să înțelegem:

Pasul unu: Este evident că vorbim despre o problemă „plată”.

Pasul doi: Problema tratează un paralelogram. Toată lumea își amintește această cifră paralelogramă? Nu este nevoie să zâmbești, mulți oameni își primesc educația la 30-40-50 de ani sau mai mult, așa că chiar și faptele simple pot fi șterse din memorie. Definiția paralelogramului se găsește în Exemplul nr. 3 al lecției Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor.

Pasul trei: Să facem un desen pe care să marchem trei vârfuri cunoscute. Este amuzant că nu este dificil să construiți imediat punctul dorit:

Construirea lui este, desigur, bună, dar soluția trebuie formulată analitic.

Pasul patru: Dezvoltarea unui algoritm de soluție. Primul lucru care îmi vine în minte este că un punct poate fi găsit ca intersecția dreptelor. Nu le cunoaștem ecuațiile, așa că va trebui să ne ocupăm de această problemă:

1) Laturile opuse sunt paralele. Pe puncte Să găsim vectorul direcție al acestor laturi. Aceasta este cea mai simplă problemă care a fost discutată în clasă. Vectori pentru manechine.

Nota: este mai corect să spunem „ecuația unei drepte care conține o latură”, dar aici și mai departe, pentru concizie, voi folosi expresiile „ecuația unei laturi”, „vector de direcție al unei laturi” etc.

3) Laturile opuse sunt paralele. Folosind punctele, găsim vectorul direcție al acestor laturi.

4) Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție

În paragrafele 1-2 și 3-4, am rezolvat de fapt aceeași problemă de două ori, a fost discutată în exemplul nr. 3 al lecției; Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. A fost posibil să luați o rută mai lungă - mai întâi găsiți ecuațiile liniilor și abia apoi „trageți” vectorii de direcție din ele.

5) Acum se cunosc ecuațiile dreptelor. Rămâne doar să compuneți și să rezolvați sistemul corespunzător de ecuații liniare (vezi exemplele nr. 4, 5 din aceeași lecție Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan).

Ideea a fost găsită.

Sarcina este destul de simplă și soluția ei este evidentă, dar există o cale mai scurtă!

A doua soluție:

Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul lor de intersecție. Am marcat punctul, dar pentru a nu aglomera desenul, nu am desenat diagonalele în sine.

Să compunem ecuația laturii punct cu punct :

Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți mental sau pe o schiță coordonatele fiecărui punct în ecuația rezultată. Acum să găsim panta. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuația generală sub forma unei ecuații cu un coeficient de pantă:

Astfel, panta este:

În mod similar, găsim ecuațiile laturilor. Nu văd prea mult rost să descriu același lucru, așa că voi da imediat rezultatul final:

2) Aflați lungimea laturii. Aceasta este cea mai simplă problemă abordată în clasă. Vectori pentru manechine. Pentru puncte folosim formula:

Folosind aceeași formulă, este ușor să găsiți lungimile altor laturi. Verificarea se poate face foarte repede cu o riglă obișnuită.

Folosim formula .

Să găsim vectorii:

Astfel:

Apropo, pe parcurs am găsit lungimile laturilor.

Ca urmare:

Ei bine, pare a fi adevărat, pentru a fi convingător, poți atașa un raportor la colț.

Atenţie! Nu confundați unghiul unui triunghi cu unghiul dintre liniile drepte. Unghiul unui triunghi poate fi obtuz, dar unghiul dintre liniile drepte nu poate (vezi ultimul paragraf al articolului Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan). Cu toate acestea, pentru a găsi unghiul unui triunghi, puteți folosi și formulele din lecția de mai sus, dar rugozitatea este că acele formule dau întotdeauna un unghi ascuțit. Cu ajutorul lor, am rezolvat această problemă în schiță și am obținut rezultatul. Și pe exemplarul final ar trebui să notez scuze suplimentare, că .

4) Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta.

Sarcină standard, discutată în detaliu în exemplul nr. 2 al lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Din ecuația generală a dreptei Să scoatem vectorul ghid. Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Cum să afli înălțimea unui triunghi?

5) Să creăm o ecuație pentru înălțime și să găsim lungimea acesteia.

Nu există nicio scăpare de la definițiile stricte, așa că va trebui să furi dintr-un manual școlar:

Înălțimea triunghiului se numește perpendiculară trasată de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă.

Adică, este necesar să se creeze o ecuație pentru o perpendiculară trasată de la vârf la latură. Această sarcină este discutată în exemplele nr. 6, 7 ale lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Din Eq. elimina vectorul normal. Să compunem ecuația înălțimii folosind un punct și un vector de direcție:

Vă rugăm să rețineți că nu cunoaștem coordonatele punctului.

Uneori ecuația înălțimii se găsește din raportul coeficienților unghiulari ai dreptelor perpendiculare: . În acest caz, atunci: . Să compunem ecuația înălțimii folosind un punct și un coeficient unghiular (vezi începutul lecției Ecuația unei drepte pe un plan):

Lungimea înălțimii poate fi găsită în două moduri.

Există o cale giratorie:

a) găsiți – punctul de intersecție al înălțimii și al laturii;
b) aflați lungimea segmentului folosind două puncte cunoscute.

Dar în clasă Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan a fost luată în considerare o formulă convenabilă pentru distanța de la un punct la o linie. Se cunoaște punctul: , se cunoaște și ecuația dreptei: , Astfel:

6) Calculați aria triunghiului. În spațiu, aria unui triunghi este calculată în mod tradițional folosind produs vectorial al vectorilor, dar aici ni se dă un triunghi pe un plan. Folosim formula școlară:
– Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei sale și înălțimea acestuia.

În acest caz:

Cum să găsiți mediana unui triunghi?

7) Să creăm o ecuație pentru mediană.

Mediana unui triunghi numit segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

a) Aflați punctul - mijlocul laturii. Noi folosim formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment. Coordonatele capetelor segmentului sunt cunoscute: , apoi coordonatele mijlocului:

Astfel:

Să compunem punct cu punct ecuația mediană :

Pentru a verifica ecuația, trebuie să înlocuiți coordonatele punctelor în ea.

8) Aflați punctul de intersecție al înălțimii și medianei. Cred că toată lumea a învățat deja cum să efectueze acest element de patinaj artistic fără să cadă:

1. Ecuația laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari.
Atribuirea oferă coordonatele punctelor prin care trec aceste drepte, deci vom folosi ecuația unei drepte care trece prin două puncte date $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ înlocuiți și obțineți ecuațiile
ecuația dreptei AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ panta dreptei AB este egală cu \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
ecuația dreptei BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ panta dreptei BC este egală cu \ (k_( BC) = -7\)

2. Unghiul B în radiani cu o precizie de două cifre
Unghiul B este unghiul dintre liniile AB și BC, care se calculează prin formula $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$înlocuiește valorile coeficienților unghiulari dintre aceste linii și obțineți $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \aproximativ 0,79$$
3.Lungimea laturii AB
Lungimea laturii AB se calculează ca distanța dintre puncte și este egală cu \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Ecuația înălțimii CD și a lungimii acestuia.
Vom găsi ecuația înălțimii folosind formula unei drepte care trece printr-un punct dat C(4;13) într-o direcție dată - perpendiculară pe dreapta AB folosind formula \(y-y_0=k(x-x_0) \). Să găsim coeficientul unghiular de înălțime \(k_(CD)\) folosind proprietatea dreptelor perpendiculare \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) obținem $$k_(CD)= -\frac( 1)(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Inlocuim o dreapta in ecuatie, obtinem $$ y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Vom căuta lungimea înălțimii ca distanța de la punctul C(4;13) la linia dreaptă AB folosind formula $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ în numărător este ecuația dreptei AB, să o reducem la această formă \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , înlocuiți ecuația rezultată și coordonatele punctului în formula $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. Ecuația medianei AE și coordonatele punctului K, intersecția acestei mediane cu înălțimea CD.
Vom căuta ecuația medianei ca ecuație a unei drepte care trece prin două puncte date A(-6;8) și E, unde punctul E este punctul de mijloc dintre punctele B și C și coordonatele sale sunt găsite conform formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) înlocuiți coordonatele punctelor \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), atunci ecuația mediei AE va fi următorul $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Să găsim coordonatele punctului de intersecție al lui înălțimile și mediana, i.e. să găsim punctul lor comun Pentru a face acest lucru, vom crea ecuația de sistem $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \. frac(4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$ $$\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $ $$$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Coordonatele punctului de intersecție \(K(-\frac(1)(2); 7)\)

6. Ecuația unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AB.
Dacă linia dreaptă este paralelă, atunci coeficienții lor unghiulari sunt egali, adică \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), sunt cunoscute și coordonatele punctului \(K(-\frac(1)(2);7)\) , adică . pentru a găsi ecuația unei drepte, aplicăm formula pentru ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată \(y - y_0=k(x-x_0)\), înlocuim datele și obținem $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Coordonatele punctului M care este simetric cu punctul A în raport cu dreapta CD.
Punctul M se află pe dreapta AB, deoarece CD este înălțimea de pe această parte. Să găsim punctul de intersecție al lui CD și AB pentru a face acest lucru, rezolvăm sistemul de ecuații $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Coordonatele punctului D(-2;5). Conform condiției AD=DK, această distanță dintre puncte se găsește prin formula pitagoreică \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), unde AD și DK sunt ipotenuzele triunghiurilor dreptunghice egale, iar \(Δx =x_2-x_1\) și \(Δy=y_2-y_1\) sunt catetele acestor triunghiuri, i.e. să găsim catetele și să găsim coordonatele punctului M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), și \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), apoi coordonatele a punctului M va fi egal \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), și \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), am constatat că coordonatele punctului \( M(2;2)\)

Problema 1. Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC sunt date: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Aflați: 1) lungimea laturii AB; 2) ecuațiile laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari; 3) unghiul B în radiani cu o precizie de două cifre; 4) ecuația înălțimii CD și lungimea acesteia; 5) ecuația medianei AE și coordonatele punctului K de intersecție a acestei mediane cu înălțimea CD; 6) ecuația unei drepte care trece prin punctul K paralel cu latura AB; 7) coordonatele punctului M, situate simetric față de punctul A relativ la dreapta CD.

Soluţie:

1. Distanța d dintre punctele A(x 1 ,y 1) și B(x 2 ,y 2) este determinată de formula

Aplicând (1), găsim lungimea laturii AB:

2. Ecuația dreptei care trece prin punctele A(x 1 ,y 1) și B(x 2 ,y 2) are forma

(2)

Înlocuind coordonatele punctelor A și B în (2), obținem ecuația laturii AB:

După ce am rezolvat ultima ecuație pentru y, găsim ecuația laturii AB sub forma unei ecuații în linie dreaptă cu un coeficient unghiular:

unde

Înlocuind coordonatele punctelor B și C în (2), obținem ecuația dreptei BC:

3. Se știe că tangentei unghiului dintre două drepte, ai căror coeficienți unghiulari sunt respectiv egali, se calculează prin formula

Unghiul dorit B este format din drepte AB și BC ai căror coeficienți unghiulari se găsesc: Aplicând (3), obținem

Sau bucuros.

4. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată are forma

(4)

Înălțimea CD este perpendiculară pe latura AB. Pentru a afla panta înălțimii CD, folosim condiția de perpendicularitate a dreptelor. De atunci Înlocuind în (4) coordonatele punctului C și coeficientul unghiular de înălțime găsit, obținem

Pentru a afla lungimea înălțimii CD, determinăm mai întâi coordonatele punctului D - punctul de intersecție al dreptelor AB și CD. Rezolvarea sistemului împreună:

găsim i.e. D(8;0).

Folosind formula (1) găsim lungimea înălțimii CD:

5. Pentru a găsi ecuația mediei AE, determinăm mai întâi coordonatele punctului E, care este mijlocul laturii BC, folosind formulele de împărțire a unui segment în două părți egale:

Prin urmare,

Înlocuind coordonatele punctelor A și E în (2), găsim ecuația pentru mediana:

Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al înălțimii CD și medianei AE, rezolvăm împreună sistemul de ecuații

Găsim.

6. Deoarece linia dreaptă dorită este paralelă cu latura AB, coeficientul ei unghiular va fi egal cu coeficientul unghiular al dreptei AB. Înlocuind în (4) coordonatele punctului K găsit și coeficientul unghiular obținem

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Deoarece dreapta AB este perpendiculară pe dreapta CD, punctul dorit M, situat simetric față de punctul A față de dreapta CD, se află pe dreapta AB. În plus, punctul D este punctul de mijloc al segmentului AM. Folosind formulele (5), găsim coordonatele punctului dorit M:

Triunghiul ABC, înălțimea CD, mediana AE, linia dreaptă KF și punctul M sunt construite în sistemul de coordonate xOy din Fig. 1.

Sarcina 2. Creați o ecuație pentru locul punctelor ale căror distanțe la un punct dat A(4; 0) și la o dreaptă dată x=1 sunt egale cu 2.

Soluţie:

În sistemul de coordonate xOy, construim punctul A(4;0) și dreapta x = 1. Fie M(x;y) un punct arbitrar al locației geometrice dorite a punctelor. Să coborâm perpendiculara MB pe dreapta dată x = 1 și să determinăm coordonatele punctului B. Deoarece punctul B se află pe dreapta dată, abscisa sa este egală cu 1. ordonata punctului B este egală cu ordonata punctului M Prin urmare, B(1;y) (Fig. 2).

Conform condițiilor problemei |MA|: |MV| = 2. Distante |MA| și |MB| găsim din formula (1) a problemei 1:

Pătratând părțile stânga și dreaptă, obținem

Ecuația rezultată este o hiperbolă în care semiaxa reală este a = 2, iar semiaxa imaginară este

Să definim focarele unei hiperbole. Pentru o hiperbolă este valabilă următoarea egalitate: Prin urmare, și sunt focarele hiperbolei. După cum puteți vedea, punctul dat A(4;0) este focalizarea dreaptă a hiperbolei.

Să determinăm excentricitatea hiperbolei rezultate:

Ecuațiile asimptotelor hiperbolelor au forma și . Prin urmare, sau și sunt asimptote ale unei hiperbole. Înainte de a construi o hiperbolă, îi construim asimptotele.

Problema 3. Creați o ecuație pentru locusul punctelor echidistante de punctul A(4; 3) și dreapta y = 1. Reduceți ecuația rezultată la forma sa cea mai simplă.

Soluţie: Fie M(x; y) unul dintre punctele locului geometric dorit al punctelor. Să aruncăm perpendiculara MB din punctul M la această dreaptă y = 1 (Fig. 3). Să determinăm coordonatele punctului B. Evident, abscisa punctului B este egală cu abscisa punctului M, iar ordonata punctului B este egală cu 1, adică B(x; 1). Conform condițiilor problemei |MA|=|MV|. În consecință, pentru orice punct M(x;y) aparținând locului geometric dorit al punctelor, următoarea egalitate este adevărată:

Ecuația rezultată definește o parabolă cu un vârf în punct Pentru a aduce ecuația parabolei la forma sa cea mai simplă, să setăm și y + 2 = Y, atunci ecuația parabolei ia forma:

Instrucţiuni

Vi se acordă trei puncte. Să le notăm ca (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Se presupune că aceste puncte sunt vârfurile unora triunghi. Sarcina este de a crea ecuații ale laturilor sale - mai precis, ecuații ale acelor drepte pe care se află aceste laturi. Aceste ecuații ar trebui să arate astfel:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Astfel, trebuie să găsiți valorile unghiulare k1, k2, k3 și deplasările b1, b2, b3.

Găsiți o dreaptă care trece prin punctele (x1, y1), (x2, y2). Dacă x1 = x2, atunci linia dorită este verticală și ecuația sa este x = x1. Dacă y1 = y2, atunci linia este orizontală și ecuația sa este y = y1. În general, aceste coordonate nu vor corespunde între ele.

Înlocuind coordonatele (x1, y1), (x2, y2) în ecuația generală a dreptei, se obține un sistem de două ecuații liniare: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 Scădeți o ecuație din cealaltă și rezolvați ecuația rezultată pentru k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, deci k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Înlocuind ceea ce ați găsit în oricare dintre ecuațiile originale, găsiți expresia pentru b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Deoarece știm deja că x2 ≠ x1, putem simplifica expresia înmulțind y1 cu (x2 - x1)/(x2 - x1). Apoi pentru b1 veți obține următoarea expresie: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Verificați dacă al treilea dintre punctele date se află pe linia găsită. Pentru a face acest lucru, înlocuiți (x3, y3) în ecuația rezultată și vedeți dacă egalitatea este valabilă. Dacă se observă, așadar, toate cele trei puncte se află pe aceeași dreaptă, iar triunghiul degenerează într-un segment.

În același mod ca cel descris mai sus, deduceți ecuații pentru liniile care trec prin punctele (x2, y2), (x3, y3) și (x1, y1), (x3, y3).

Forma finală a ecuațiilor pentru laturile unui triunghi dată de coordonatele vârfurilor este: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1) );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Pentru a găsi ecuații petreceri triunghi, în primul rând, trebuie să încercăm să rezolvăm întrebarea cum să găsim ecuația unei drepte pe un plan dacă vectorul său de direcție s(m, n) și un punct M0(x0, y0) aparținând dreptei sunt cunoscute.

Instrucţiuni

Luați un punct arbitrar (variabil, flotant) М(x, y) și construiți un vector М0M =(x-x0, y-y0) (scrieți și М0M(x-x0, y-y0)), care va fi evident coliniar (paralel ) prin k s. Apoi, putem concluziona că coordonatele acestor vectori sunt proporționale, deci putem crea o dreaptă canonică: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Acest raport va fi folosit în rezolvarea problemei.

Toate acțiunile ulterioare sunt determinate pe baza metodei .1-a metoda. Un triunghi este dat de coordonatele celor trei vârfuri ale sale, care în geometria școlară este dată de lungimile celor trei vârfuri ale sale. petreceri(vezi fig. 1). Adică, condiția conține punctele M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Ele corespund vectorilor lor de rază) OM1, 0M2 și OM3 cu aceleași coordonate ca și punctele. A primi ecuații petreceri s M1M2 necesită vectorul său de direcție M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) și oricare dintre punctele M1 sau M2 (aici se ia punctul cu indicele inferior).

Deci pentru petreceri y M1M2 ecuația canonică a dreptei (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Acționând pur inductiv, putem scrie ecuații restul petreceri.Pentru petreceri s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Pentru petreceri s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

a 2-a metoda. Triunghiul este definit de două puncte (la fel ca înainte M1(x1, y1) și M2(x2, y2)), precum și vectorii unitari ai direcțiilor celorlalte două petreceri. Pentru petreceri s M2M3: p^0(m1, n1). Pentru M1M3: q^0(m2, n2). Prin urmare pentru petreceri s M1M2 va fi la fel ca în prima metodă: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Pentru petreceri s М2М3 ca punct (x0, y0) al canonicului ecuații(x1, y1), iar vectorul direcție este p^0(m1, n1). Pentru petreceri s M1M3, (x2, y2) este luat ca punct (x0, y0), vectorul de direcție este q^0(m2, n2). Astfel, pentru M2M3: ecuația (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 Pentru M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video pe tema

Sfat 3: Cum să găsiți înălțimea unui triunghi dacă sunt date coordonatele punctelor

Înălțimea este segmentul de linie dreaptă care leagă partea de sus a figurii cu partea opusă. Acest segment trebuie să fie perpendicular pe latură, astfel încât numai unul poate fi desenat din fiecare vârf înălţime. Deoarece există trei vârfuri în această figură, există același număr de înălțimi. Dacă un triunghi este dat de coordonatele vârfurilor sale, lungimea fiecărei înălțimi poate fi calculată, de exemplu, folosind formula pentru găsirea ariei și calcularea lungimii laturilor.

Instrucţiuni

Începeți prin a calcula lungimile laturilor triunghi. Desemnat coordonate figuri ca aceasta: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) și C(X₃,Y₃,Z₃). Apoi puteți calcula lungimea laturii AB folosind formula AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Pentru celelalte două părți, acestea vor arăta astfel: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) și AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y3)2 + (Z1-Z3)2). De exemplu, pentru triunghi cu coordonatele A(3,5,7), B(16,14,19) și C(1,2,13) ​​​​lungimea laturii AB va fi √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Lungimile laturilor BC și AC, calculate în același mod, vor fi √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 și √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Cunoașterea lungimilor celor trei laturi obținute în pasul anterior este suficientă pentru a calcula aria triunghi(S) conform formulei lui Heron: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). De exemplu, înlocuind în această formulă valorile obținute din coordonate triunghi-eșantion din pasul anterior, aceasta va da valoarea: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

În funcție de zonă triunghi, calculate în pasul precedent, iar lungimile laturilor obținute în pasul al doilea, se calculează înălțimile pentru fiecare dintre laturi. Deoarece aria este egală cu jumătate din produsul înălțimii și lungimea laturii pe care este desenată, pentru a afla înălțimea, împărțiți aria dublată la lungimea laturii dorite: H = 2*S/a. Pentru exemplul folosit mai sus, înălțimea coborâtă pe latura AB va fi 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, înălțimea către latura BC va avea lungimea de 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, iar pentru latura AC această valoare va fi egală cu 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Surse:

• punctele date găsiți aria triunghiului

Sfat 4: Cum să folosiți coordonatele vârfurilor unui triunghi pentru a găsi ecuațiile laturilor sale

În geometria analitică, un triunghi pe un plan poate fi definit într-un sistem de coordonate carteziene. Cunoscând coordonatele vârfurilor, puteți crea ecuații pentru laturile triunghiului. Acestea vor fi ecuațiile a trei drepte care, intersectându-se, formează o figură.

Sarcina 1

57. Sunt date vârfurile triunghiului ABC. Găsi

) lungimea laturii AB;

) ecuațiile laturilor AB și AC și coeficienții lor unghiulari;

) unghiul intern A;

) ecuația medianei trasă din vârful B;

) ecuația înălțimii CD și lungimea acesteia;

) ecuația unui cerc pentru care înălțimea CD este diametrul și punctele de intersecție ale acestui cerc cu latura AC;

) ecuația bisectoarei unghiului intern A;

) aria triunghiului ABC;

) un sistem de inegalități liniare care definește triunghiul ABC.

Faceți un desen.

A(7, 9); B(-2, -3); C(-7, 7)

Soluţie:

1) Să aflăm lungimea vectorului

= (x b -x o )2+ (y b -y o )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - lungimea laturii AB

2) Să găsim ecuația laturii AB

Ecuația unei drepte care trece prin puncte

Oh O ; la V ) și B(x O ; la V ) în general

Să substituim coordonatele punctelor A și B în această ecuație a dreptei

=

=

=

S AB = (- 3, - 4) se numește vectorul direcției dreptei AB. Acest vector este paralel cu dreapta AB.

4(x - 7) = - 3(y - 9)

4x + 28 = - 3y + 27

4x + 3y + 1 = 0 - ecuația dreptei AB

Dacă ecuația se scrie sub forma: y = X - atunci putem izola coeficientul unghiular al acestuia: k 1 =4/3

Vectorul N AB = (-4, 3) se numește vectorul normal al dreptei AB.

Vectorul N AB = (-4, 3) este perpendicular pe dreapta AB.

În mod similar, găsim ecuația laturii AC

=

=

=

S AC = (- 7, - 1) - vector de direcție al părții AC

(x - 7) = - 7(y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - ecuația laturii AC

y = = x + 8 de unde panta k 2 = 1/7

Vectorul N A.C. = (- 1, 7) - vector normal al liniei AC.

Vectorul N A.C. = (- 1, 7) este perpendicular pe dreapta AC.

3) Să găsim unghiul A

Să notăm formula pentru produsul scalar al vectorilor Şi

* = *cos ∟A

Pentru a găsi unghiul A, este suficient să găsiți cosinusul acestui unghi. Din formula anterioară scriem expresia pentru cosinusul unghiului A

cos ∟A =

Aflarea produsului scalar al vectorilor Şi

= (x V - X O ; la V - y O ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x Cu - X O ; la Cu - y O ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Lungimea vectorului = 15 (găsit mai devreme)

Să aflăm lungimea vectorului

= (x CU -x O )2+ (y Cu -y o )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14,14 - lungimea laturii AC

Atunci cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) Să găsim ecuația medianei BE trasă din punctul B în latura AC

Ecuația mediană în formă generală

Acum trebuie să găsiți vectorul de direcție al dreptei BE.

Să construim triunghiul ABC la paralelogramul ABCD, astfel încât acea latură AC să fie diagonala ei. Diagonalele dintr-un paralelogram sunt împărțite în jumătate, adică AE = EC. Prin urmare, punctul E se află pe dreapta BF.

Vectorul BE poate fi luat ca vector de direcție al dreptei BE , pe care o vom găsi.

= +

= (x c - X b ; la c - y b ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Să substituim în ecuație

Să înlocuim coordonatele punctului C (-7; 7)

(x + 7) = 2(y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - ecuația medianei BE

Deoarece punctul E este mijlocul laturii AC, coordonatele sale

X e = (x O + x Cu )/2 = (7 - 7)/2 = 0

la e = (y O + y Cu )/2 = (9 + 7)/2 = 8

Coordonatele punctului E (0; 8)

5) Să găsim ecuația pentru înălțimea CD și lungimea acesteia

Ecuația generală

Este necesar să se găsească vectorul de direcție al dreptei CD

Linia CD este perpendiculară pe dreapta AB, prin urmare, vectorul direcție al dreptei CD este paralel cu vectorul normal al dreptei AB

CD ‖AB

Adică, vectorul normal al dreptei AB poate fi luat ca vector de direcție al dreptei CD

Vector AB gasit mai devreme: AB (-4, 3)

Să înlocuim coordonatele punctului C, (- 7; 7)

(x + 7) = - 4(y - 7)

x + 21 = - 4y + 28

x + 4y - 7 = 0 - ecuația înălțimii C D

Coordonatele punctului D:

Punctul D aparține dreptei AB, prin urmare, coordonatele punctului D(x d . y d ) trebuie să satisfacă ecuația dreptei AB găsită mai devreme

Punctul D aparține dreptei CD, prin urmare, coordonatele punctului D(x d . y d ) trebuie să satisfacă ecuația dreptei CD,

Să creăm un sistem de ecuații pe baza acestuia

Coordonatele D(1; 1)

Aflați lungimea liniei drepte CD

= (x d -x c )2+ (y d -y c )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - lungimea liniei drepte CD

6) Aflați ecuația unui cerc cu diametrul CD

Este evident că linia dreaptă CD trece prin originea coordonatelor deoarece ecuația sa este -3x - 4y = 0, prin urmare, ecuația unui cerc poate fi scrisă sub forma

(x - a) 2 + (y - b) 2= R 2- ecuația unui cerc cu centrul în punctul (a; b)

Aici R = СD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

Centrul cercului O (a; b) se află în mijlocul segmentului CD. Să-i găsim coordonatele:

X 0= a = = = - 3;

y 0= b = = = 4

Ecuația cercului:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Să găsim intersecția acestui cerc cu latura AC:

punctul K aparține atât cercului, cât și dreptei AC

x + 7y - 56 = 0 - ecuația dreptei AC găsită mai devreme.

Să creăm un sistem

Astfel, obținem ecuația pătratică

la 2- 750у +2800 = 0

la 2- 15у + 56 = 0

=

la 1 = 8

la 2= 7 - punctul corespunzător punctului C

deci coordonatele punctului H:

x = 7*8 - 56 = 0