Secretul meu
1. Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de arie egală. 2. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate
triunghi.
3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.
Proprietățile bisectoarelor triunghiului 1. Bisectoarea unui unghi este locus
puncte echidistante de laturile acestui unghi.
2. Bisectoarea unghiului intern al unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente: .
3. Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris în acest triunghi.
Proprietățile altitudinilor triunghiului 1. B triunghi dreptunghic înălțimea trasă de la vârf unghi drept
, îl împarte în două triunghiuri similare cu cel original. 
2. Într-un triunghi ascuțit, două dintre altitudinile sale le decupează pe cele similare de el
triunghiuri.
Proprietățile bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi
1. Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele acestui segment. Este adevărat și invers: fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.
2. Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare trasate pe laturile triunghiului este centrul cercului circumscris acestui triunghi.
Proprietatea liniei mediane a unui triunghi
Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătate din acea latură.
Asemănarea triunghiurilor Două triunghiuri asemănătoare dacă una dintre următoarele condiții, apelat
semne de asemănare:
· două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi;
· două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi, iar unghiurile formate de aceste laturi sunt egale;
· trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proportionale cu trei laturi ale altui triunghi.
În triunghiuri similare, liniile corespunzătoare (altitudini, mediane, bisectoare etc.) sunt proporționale.
Teorema sinusurilor
Teorema cosinusului= a 2+ b 2- 2c 2 bc
cos
1. Formulele ariei triunghiulare
Triunghiul liber a, b, c - laterale; - unghiul dintre laturi o Şi b ; - semiperimetrul; R- raza cercului circumscris; r- raza cercului înscris; S- pătrat; h a - 
înălțimea atrasă laterale; - unghiul dintre laturi.
lateral
S = ah a
S = ab sin = S
2. Triunghi dreptunghic
a, b - picioare; c- ipotenuză; h c -înălțimea trasă în lateral c.
S = ch c S = ab
3. Triunghi echilateral
Cadrilatere
Proprietățile unui paralelogram 
· laturile opuse sunt egale;
· unghiurile opuse sunt egale;
· diagonalele se împart la jumătate la punctul de intersecție;
· suma unghiurilor adiacente unei laturi este de 180°;
Suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor:
d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).
Un patrulater este un paralelogram dacă:
1. Cele două laturi opuse ale sale sunt egale și paralele.
2. Laturile opuse sunt egale în perechi.
3. Unghiurile opuse sunt egale în perechi.
4. Diagonalele se împart la jumătate la punctul de intersecție.
Proprietățile unui trapez
· ea linia mediană paralel cu bazele și egal cu jumătatea sumei acestora;
· dacă trapezul este isoscel, atunci diagonalele lui sunt egale, iar unghiurile de la bază sunt egale;
· dacă trapezul este isoscel, atunci se poate descrie un cerc în jurul lui;
· dacă suma bazelor este egală cu suma laturilor, atunci se poate înscrie în el un cerc.
Proprietăți dreptunghi
Diagonalele sunt egale.
Un paralelogram este dreptunghi dacă:
1. Unul dintre unghiurile sale este drept.
2. Diagonalele sale sunt egale.
Proprietățile unui romb
· toate proprietățile unui paralelogram;
Diagonalele sunt perpendiculare;
Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor sale.
1. Un paralelogram este un romb dacă:
2. Cele două laturi adiacente ale sale sunt egale.
3. Diagonalele sale sunt perpendiculare.
4. Una dintre diagonale este bisectoarea unghiului său.
Proprietățile unui pătrat
· toate colțurile pătratului sunt drepte;
· diagonalele unui pătrat sunt egale, reciproc perpendiculare, punctul de intersecție bisectează și bisectează colțurile pătratului.
Un dreptunghi este un pătrat dacă are caracteristicile unui romb.
Formule de bază
1. Orice patrulater convex 
d 1,d 2 - diagonale; - unghiul dintre ele; S- pătrat.
Mediana unui triunghi, la fel ca și înălțimea, servește ca parametru grafic care determină întregul triunghi, valoarea laturilor și unghiurilor sale. Trei valori: mediane, înălțimi și bisectoare - acesta este ca un cod de bare pe un produs, sarcina noastră este pur și simplu să-l putem număra.
Definiţie
Mediana este segmentul de linie care leagă înălțimea și mijlocul părții opuse. Un triunghi are trei vârfuri, ceea ce înseamnă că există trei mediane. Medianele nu coincid întotdeauna cu înălțimi sau bisectoare. Cel mai adesea acestea sunt segmente separate.
Proprietățile medianelor
- Mediana unui triunghi isoscel trasat la bază coincide cu altitudinea și bisectoarea. ÎN triunghi echilateral toate medianele coincid cu bisectoare și înălțimi.
- Toate medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.
- O mediană împarte un triunghi în două triunghiuri cu arii egale, iar trei mediane împart un triunghi în 6 triunghiuri cu arii egale.
Triunghiurile ale căror arii sunt egale se numesc arie egală.
Orez. 1. Trei mediane formează 6 triunghiuri egale.
- Punctul de intersecție al medianelor le împarte într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.
- Mediana trasată la ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din ipotenuză.
Sarcini
Toate aceste proprietăți sunt ușor de reținut, sunt ușor de consolidat în practică. Pentru a înțelege mai bine subiectul, să rezolvăm câteva probleme:
- Într-un triunghi dreptunghic se cunosc catete care sunt egale cu a=3 și b=4. Aflați valoarea mediei m trasate la ipotenuza c.
Orez. 2. Desen pentru problema.
Pentru a găsi valoarea medianei, trebuie să găsim ipotenuza, deoarece mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta. Hipotenuza prin teorema lui Pitagora: $$a^2+b^2=c^2$$
$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$
Să aflăm valoarea medianei: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2.5$$ - numărul rezultat este valoarea medianei.
Medianele dintr-un triunghi nu sunt egale. Prin urmare, este imperativ să ne imaginăm exact ce valoare trebuie găsită.
- Se cunosc valorile laturilor dintr-un triunghi: a=7; b=8; c=9. Aflați valoarea medianei coborâte pe latura b.
Orez. 3. Desen pentru problema.
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați una dintre cele trei formule pentru a găsi mediana de-a lungul laturilor unui triunghi:
$$m^2 =(1\peste2)*(a^2+c^2-b^2)$$
După cum puteți vedea, principalul lucru aici este să vă amintiți coeficientul parantezelor și semnele laturilor. Semnele sunt cel mai ușor de reținut - partea în care este coborâtă mediana este întotdeauna scăzută. În cazul nostru este b, dar ar putea fi oricare altul.
Să înlocuim valorile în formulă și să găsim valoarea mediană: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$
$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - să lăsăm rezultatul ca rădăcină.
- ÎN triunghi isoscel mediana trasată la bază este 8, iar baza însăși este 6. Împreună cu celelalte două, această mediană împarte triunghiul în 6 triunghiuri. Găsiți aria fiecăruia dintre ele.
Medianele împart un triunghi în șase zone egale. Aceasta înseamnă că ariile triunghiurilor mici vor fi egale între ele. Este suficient să găsiți aria celui mai mare și să o împărțiți la 6.
Având în vedere o mediană trasată la bază, într-un triunghi isoscel este bisectoarea și altitudinea. Aceasta înseamnă că baza și înălțimea unui triunghi sunt cunoscute. Puteți găsi zona.
$$S=(1\peste2)*6*8=24$$
Aria fiecărui triunghi mic: $$(24\over6)=4$$
Ce am învățat?
Am învățat ce este o mediană. Am determinat proprietățile medianei și am găsit o soluție sarcini tipice. Am vorbit despre erorile de bază și am descoperit cum să ne amintim rapid și ușor formula pentru găsirea medianei prin laturile unui triunghi.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Evaluare medie: 4.7. Evaluări totale primite: 84.
Mediana unui triunghi- acesta este un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi.
Proprietățile medianelor triunghiulare
Secretul meu
2. Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului (centroid).
triunghi.
Lungimea medianei trase în lateral: ( demonstrație prin construirea unui paralelogram și folosind egalitatea într-un paralelogram de două ori suma pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor )
T1. Cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct M, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. Dat: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - mediane
∆ABC. Demonstrați: și
D-vo: Fie M punctul de intersecție al medianelor CC 1, AA 1 ale triunghiului ABC. Să notăm A 2 - mijlocul segmentului AM și C 2 - mijlocul segmentului CM. Atunci A 2 C 2 este linia de mijloc a triunghiului AMS. Mijloace, A 2 C 2|| AC
şi A2C2 = 0,5*AC. CU 1 O 1 - linia de mijloc a triunghiului ABC. Deci A 1 CU 1 || AC și A 1 CU 1 = 0,5*AC.
Patrulater A 2 C 1 A 1 C 2- un paralelogram, deoarece laturile sale opuse sunt A 1 CU 1 Şi A 2 C 2 egale și paralele. Prin urmare, A 2 M = MA 1 Şi C2M = MC 1 . Aceasta înseamnă că punctele A 2 o Mîmpărțiți mediana AA 2în trei părți egale, adică AM = 2MA 2. La fel ca CM = 2MC 1 . Deci, punctul M al intersecției a două mediane AA 2 o CC 2 triunghiul ABC împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. Se dovedește într-un mod complet similar că punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului.
Pe mediana AA 1 un astfel de punct este punctul M, deci punct Mși există punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1.
Astfel, n
T2. Demonstrați că segmentele care leagă centroidul cu vârfurile triunghiului îl împart în trei părți egale. Dat: ∆ABC, 
- mediana sa.
Dovedi: S AMB =S BMC =S AMC .Dovada. ÎN, au în comun. 
deoarece bazele lor sunt egale 
și înălțimea trasă de la vârf M, au în comun. Apoi
În mod similar se demonstrează că S AMB = S AMC . Astfel, S AMB = S AMC = S CMB.n
Bisectoare de triunghi. Teoreme legate de bisectoare de triunghi. Formule pentru găsirea bisectoarelor
Bisectoarea unghiului- o rază cu început la vârful unui unghi, împărțind unghiul în două unghiuri egale.
Bisectoarea unui unghi este locul punctelor din interiorul unghiului care sunt echidistante de laturile unghiului.
Proprietăți
1. Teorema bisectoarei: Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente
2. Bisectoare colțurile interne triunghiurile se intersectează într-un punct - incentrul - centrul cercului înscris în acest triunghi.
3. Dacă două bisectoare dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel (teorema Steiner-Lemus).
Calculul lungimii bisectoarei
l c - lungimea bisectoarei trase pe latura c,
a,b,c - laturile triunghiului opuse vârfurilor A,B,C respectiv,
p este semiperimetrul triunghiului,
a l , b l - lungimile segmentelor în care bisectoarea l c împarte latura c,
α,β,γ - unghiurile interioare ale triunghiului la vârfurile A,B,C respectiv,
h c este înălțimea triunghiului, coborâtă pe latura c.
Metoda zonei.
Caracteristicile metodei. Din nume rezultă că obiectul principal această metodă este zona. Pentru un număr de figuri, de exemplu pentru un triunghi, aria este pur și simplu exprimată prin diferite combinații de elemente ale figurii (triunghi). Prin urmare, o tehnică foarte eficientă este atunci când se compară diferite expresii pentru aria unei figuri date. În acest caz, apare o ecuație care conține elementele cunoscute și dorite ale figurii, prin rezolvarea cărora determinăm necunoscutul. Aici se manifestă principala caracteristică a metodei zonei - „face” o problemă algebrică dintr-o problemă geometrică, reducând totul la rezolvarea unei ecuații (și uneori a unui sistem de ecuații).
1) Metoda comparației: asociată cu un număr mare de formule S ale acelorași cifre
2) Metoda relației S: bazată pe probleme de suport de urme:
teorema lui Ceva
Fie punctele A", B", C" să se afle pe liniile BC, CA, AB ale triunghiului. Liniile AA", BB", CC" se intersectează într-un punct dacă și numai dacă 
Dovada.
Să notăm prin punctul de intersecție al segmentelor și . Să coborâm perpendicularele din punctele C și A pe dreapta BB 1 până când se intersectează cu ea în punctele K și, respectiv, L (vezi figura).
Deoarece triunghiurile au o latură comună, ariile lor sunt legate ca înălțimi trasate de această latură, adică AL și CK:
Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiurile dreptunghiulare și sunt similare în unghi ascuțit.
În mod similar, obținem 
o 
Să înmulțim aceste trei egalități:
Q.E.D.
Comentariu. Un segment (sau continuarea unui segment) care leagă vârful unui triunghi cu un punct situat pe partea opusă sau continuarea acestuia se numește ceviana.
Teorema ( teorema inversă Chevy). Fie punctele A", B", C" să se afle pe laturile BC, CA și, respectiv, AB ale triunghiului ABC. Fie satisfăcută relația 
Apoi segmentele AA",BB",CC" se intersectează într-un punct.
teorema lui Menelaus
teorema lui Menelaus. Fie că o dreaptă intersectează triunghiul ABC, cu C 1 punctul de intersecție cu latura AB, A 1 punctul de intersecție cu latura BC și B 1 punctul de intersecție cu prelungirea laturii AC. Apoi
Dovada
. Să tragem o dreaptă paralelă cu AB prin punctul C. Să notăm cu K punctul său de intersecție cu dreapta B 1 C 1 .
Triunghiurile AC 1 B 1 și CKB 1 sunt similare (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Prin urmare, 
Triunghiurile BC 1 A 1 și CKA 1 sunt de asemenea similare (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Mijloace,
Din fiecare egalitate exprimăm CK:
Unde 
Q.E.D.
Teorema (teorema inversă a lui Menelaus). Fie dat triunghiul ABC. Fie punctul C 1 să se afle pe latura AB, punctul A 1 pe latura BC și punctul B 1 pe continuarea laturii AC și să fie valabilă următoarea relație:
Atunci punctele A 1, B 1 și C 1 se află pe aceeași linie.
Triunghi - un poligon cu trei laturi, sau un închis linie întreruptă cu trei verigi, sau o figură formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă (vezi Fig. 1).
Elementele de bază ale triunghiului abc
Vârfurile – punctele A, B și C;
petreceri – segmentele a = BC, b = AC și c = AB care leagă vârfurile;
Unghiuri – α, β, γ formate din trei perechi de laturi. Unghiurile sunt adesea desemnate în același mod ca vârfurile, cu literele A, B și C.
Unghiul format de laturile unui triunghi și situat în zona sa interioară se numește unghi interior, iar cel adiacent acestuia este unghiul adiacent al triunghiului (2, p. 534).
Înălțimile, medianele, bisectoarele și liniile mediane ale unui triunghi
Pe lângă elementele principale dintr-un triunghi, sunt luate în considerare și alte segmente cu proprietăți interesante: înălțimi, mediane, bisectoare și linii mediane.
Înălţime
Înălțimile triunghiului- acestea sunt perpendiculare aruncate de la vârfurile triunghiului spre laturile opuse.
Pentru a reprezenta înălțimea, trebuie să efectuați următorii pași:
1) trageți o linie dreaptă care conține una dintre laturile triunghiului (dacă înălțimea este trasată de la vârful unui unghi ascuțit dintr-un triunghi obtuz);
2) de la vârful aflat opus liniei trasate, trageți un segment din punct până la această linie, făcând cu el un unghi de 90 de grade.
Se numește punctul în care altitudinea intersectează latura triunghiului baza de inaltime (vezi fig. 2).
Proprietățile altitudinilor triunghiului
Într-un triunghi dreptunghic, altitudinea trasată de la vârful unghiului drept îl împarte în două triunghiuri similare cu triunghiul original.
Într-un triunghi ascuțit, cele două altitudini ale sale separă triunghiuri similare de el.
Dacă triunghiul este acut, atunci toate bazele altitudinilor aparțin laturilor triunghiului, iar într-un triunghi obtuz, două altitudini cad pe continuarea laturilor.
Trei altitudini dintr-un triunghi ascuțit se intersectează într-un punct și acest punct se numește ortocentru triunghi.
Median
Medianele(din latină mediana – „mijloc”) - acestea sunt segmente care leagă vârfurile triunghiului cu punctele mijlocii ale laturilor opuse (vezi Fig. 3).
Pentru a construi mediana, trebuie să efectuați următorii pași:
1) găsiți mijlocul laturii;
2) conectați punctul care este mijlocul laturii triunghiului cu vârful opus cu un segment.
Proprietățile medianelor triunghiulare
Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de suprafață egală.
Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate centrul de greutate
Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.
Bisectoare
Bisectoare(din latinescul bis - de două ori și seko - cut) sunt segmentele de linie dreaptă închise în interiorul unui triunghi care traversează unghiurile acestuia (vezi Fig. 4).
Pentru a construi o bisectoare, trebuie să efectuați următorii pași:
1) construiește o rază care iese din vârful unghiului și o împarte în două părți egale (bisectoarea unghiului);
2) găsiți punctul de intersecție al bisectoarei unghiului triunghiului cu latura opusă;
3) selectați un segment care leagă vârful triunghiului cu punctul de intersecție din partea opusă.
Proprietățile bisectoarelor triunghiului
Bisectoarea unui unghi al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente.
Bisectoarele unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct se numește centrul cercului înscris.
Bisectoarele unghiurilor interne și externe sunt perpendiculare.
Dacă bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi intersectează extensia laturii opuse, atunci ADBD=ACBC.
Bisectoarele unui unghi intern și a două unghiuri externe ale unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct este centrul unuia dintre cele trei cercuri ale acestui triunghi.
Bazele bisectoarelor a două unghiuri interne și unul extern ale unui triunghi se află pe aceeași linie dreaptă dacă bisectoarea unghiului extern nu este paralelă cu latura opusă a triunghiului.
Dacă bisectoarele unghiurilor externe ale unui triunghi nu sunt paralele cu laturile opuse, atunci bazele lor se află pe aceeași linie dreaptă.
Gomel Conferința științifică și practică a școlarilor despre matematică, aplicațiile ei și tehnologia de informație"Căutare"
Rezumat pe tema:
„Medianele unui triunghi”
Elevi:
Clasa de stat 9".
institutii de invatamant
„Orașul Gomel
Gimnaziul multidisciplinar nr 14"
Morozova Elizaveta
Hodosovskaia Alesya
supraveghetor stiintific-
Profesor de matematică cea mai înaltă categorie
Safonova Alla Viktorovna
Gomel 2009
Introducere
1. Medianele unui triunghi și proprietățile lor
2. Descoperirea matematicianului german G. Leibniz
3. Aplicarea medianelor în statistici matematice
4. Medianele unui tetraedru
5. Şase dovezi ale teoremei mediane
Concluzie
Lista surselor și literaturii utilizate
Aplicație
Introducere
Geometria începe cu un triunghi. De două milenii, triunghiul este un simbol al geometriei, dar nu este un simbol. Un triunghi este un atom al geometriei.
Triunghiul este inepuizabil - noile sale proprietăți sunt în mod constant descoperite. Pentru a spune despre toate proprietățile sale cunoscute, aveți nevoie de un volum comparabil ca volum cu volumul Marea Enciclopedie. Vrem să vorbim despre mediana unui triunghi și proprietățile sale, precum și despre utilizarea medianelor.
În primul rând, amintiți-vă că mediana unui triunghi este un segment care leagă vârfurile triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medianele au multe proprietăți. Dar ne vom uita la o proprietate și la 6 dovezi diferite ale acesteia. Cele trei mediane se intersectează într-un punct, care se numește centroid (centrul de masă) și sunt împărțite într-un raport de 2:1.
Există mediane nu numai ale unui triunghi, ci și ale unui tetraedru. Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centroidul (punctul de intersecție al medianelor) feței opuse se numește mediana tetraedrului. Vom lua în considerare și proprietatea medianelor unui tetraedru.
Medianele sunt folosite în statistica matematică. De exemplu, pentru a găsi valoarea medie a unui anumit set de numere.
1. Medianele unui triunghi și proprietățile lor
După cum știți, medianele unui triunghi sunt segmentele care leagă vârfurile sale cu punctele lor de mijloc. laturi opuse. Toate cele trei mediane se intersectează într-un punct și îl împart într-un raport de 1:2.
Punctul de intersecție al medianelor este și centrul de greutate al triunghiului. Dacă agățați un triunghi de carton la punctul de intersecție al medianelor sale, acesta va fi într-o stare de echilibru
Este curios că toate cele șase triunghiuri în care fiecare triunghi este împărțit la mediane au aceleași arii.
Medianele unui triunghi prin laturile sale se exprimă după cum urmează:
, , .Dacă două mediane sunt perpendiculare, atunci suma pătratelor laturilor pe care sunt omise este de 5 ori pătratul celei de-a treia laturi.
Să construim un triunghi ale cărui laturi sunt egale cu medianele triunghiului dat, atunci medianele triunghiului construit vor fi egale cu 3/4 din laturile triunghiului inițial.
Să numim acest triunghi primul, triunghiul din medianele sale - al doilea, triunghiul din medianele celui de-al doilea - al treilea etc. Atunci triunghiurile cu numere impare (1,3, 5, 7,...) sunt similare unul față de celălalt și triunghiurile cu numere pare ( 2, 4, 6, 8,...) sunt de asemenea asemănătoare între ele.
Suma pătratelor lungimilor tuturor medianelor unui triunghi este egală cu ¾ din suma pătratelor lungimilor laturilor sale.
2. Descoperirea matematicianului german G. Leibniz
Renumit matematician german G. Leibniz a descoperit un fapt remarcabil: suma distanțelor pătrate de la un punct arbitrar din plan la vârfurile unui triunghi situat în acest plan este egală cu suma distanțelor pătrate de la punctul de intersecție al medianelor la vârfurile acestuia, adăugată pentru a tripla pătratul distanței de la punctul de intersecție al medianelor până la punctul selectat.
Din această teoremă rezultă că punctul de pe plan pentru care suma distanțelor pătrate până la vârfurile unui triunghi dat este minimă este punctul de intersecție al medianelor acestui triunghi.
În același timp, suma minimă a distanțelor până la vârfurile triunghiului (și nu pătratele acestora) va fi pentru punctul din care fiecare latură a triunghiului este vizibilă la un unghi de 120°, dacă niciunul dintre unghiurile triunghiului triunghiul este mai mare de 120° (punctul Fermat), iar pentru vârful unghi obtuz dacă este mai mare de 120°.
Din teorema lui Leibniz și afirmația anterioară este ușor de găsit distanța d de la punctul de intersecție al medianelor până la centrul cercului circumscris. Într-adevăr, conform teoremei lui Leibniz, această distanță este egală cu rădăcina pătrată a unei treimi din diferența dintre suma pătratelor distanțelor de la centrul cercului circumscris la vârfurile triunghiului și suma.
Pătratele distanțelor de la punctul de intersecție al medianelor la vârfurile triunghiului. Înțelegem asta
.Punct M intersecția medianelor triunghiului ABC este singurul punct al triunghiului pentru care suma vectorilor MA,M.B.și MS egal cu zero. Coordonatele punctului M(față de axele arbitrare) sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale vârfurilor triunghiului. Din aceste afirmații putem obține o demonstrație a teoremei mediane.
3. Aplicarea medianelor în statistica matematică
Medianele există nu numai în geometrie, ci și în statistica matematică. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea medie a unui anumit set de numere
, , ..., a p. Puteți, desigur, să luați ca medie media aritmeticăDar uneori este incomod. Să spunem că trebuie să determinăm înălțimea medie a elevilor de clasa a doua din Moscova. Să intervievăm la întâmplare 100 de școlari și să le înregistrăm înălțimea. Dacă unul dintre băieți spune în glumă că înălțimea lui este un kilometru, atunci media aritmetică a numerelor scrise va fi prea mare. Este mult mai bine să luați ca medie median numere
, ..., a p.Să presupunem că există un număr impar de numere și să le aranjam în ordine nedescrescătoare. Numărul de pe locul din mijloc se numește mediana mulțimii. De exemplu, mediana mulțimii de numere 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 este 2 (și media aritmetică este mult mai mare - este 6).
4. Medianele unui tetraedru
Se pare că putem vorbi despre mediane nu numai pentru un triunghi, ci și pentru un tetraedru. Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centroidul (punctul de intersecție al medianelor) feței opuse se numește median tetraedru. La fel ca medianele unui triunghi, medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct, centrul de masă sau centroidul tetraedrului, dar raportul în care se împart în acest punct este diferit - 3:1, numărând de la vârfuri. Același punct se află pe toate segmentele care leagă punctele medii ale muchiilor opuse ale tetraedrului, bimedianii săi, și le împarte în jumătate. Acest lucru poate fi dovedit, de exemplu, din considerente mecanice prin plasarea greutăților de unitate de masă la fiecare dintre cele patru vârfuri ale tetraedrului.
5. Şase dovezi ale teoremei mediane
S-a remarcat de mult timp că este mai util să te familiarizezi cu soluții diferite pentru o singură problemă decât cu soluții similare la diferite probleme. Una dintre teoreme, care, la fel ca multe alte teoreme clasice ale geometriei elementare, admite mai multe dovezi instructive, este
Teorema asupra medianelor unui triunghi. Medianele, B și C ale unui triunghiABCse intersectează la un punct M, iar fiecare dintre ele este împărțit de acest punct în relație 2:1, numărând de sus:A.M.: M= B.M.: M= CM.: M=2. (1)
În toate dovezile date mai jos, cu excepția celei de-a șasea, stabilim doar atât mediana B trece prin punctul M, care împarte mediana A în raport 2:1. Dacă în argumentul corespunzător înlocuim segmentul ÎN pentru un segment CU , atunci obținem asta CU trece prin M. Acest lucru va dovedi că toate cele trei mediane se intersectează la un moment dat M,şi AM:M - 2. Deoarece toate medianele sunt egale, putem înlocui O pe ÎN sau SS 1 de aceea urmează (1).
