Să considerăm un trapez curbat mărginit de axa Ox, curba y=f(x) și două drepte: x=a și x=b (Fig. 85). Să luăm o valoare arbitrară a lui x (doar nu a și nu b). Să-i dăm un increment h = dx și să considerăm o bandă delimitată de drepte AB și CD, axa Ox și arcul BD aparținând curbei luate în considerare. Vom numi această bandă o bandă elementară. Aria unei benzi elementare diferă de aria dreptunghiului ACQB prin triunghiul curbiliniu BQD, iar aria acestuia din urmă este mai mică decât aria dreptunghiului BQDM cu laturile BQ = =h= dx) QD=Ay și aria egală cu hAy = Ay dx. Pe măsură ce latura h scade, latura Du scade și concomitent cu h tinde spre zero. Prin urmare, aria BQDM este infinitezimală de ordinul doi. Aria unei benzi elementare este incrementul ariei, iar aria dreptunghiului ACQB, egală cu AB-AC ==/(x) dx> este diferența ariei. În consecință, găsim zona în sine prin integrarea diferenţialului acesteia. În cadrul figurii luate în considerare, variabila independentă l: se schimbă de la a la b, deci aria necesară 5 va fi egală cu 5= \f(x) dx. (I) Exemplul 1. Să calculăm aria mărginită de parabola y - 1 -x*, drepte X =--Fj-, x = 1 și axa O* (Fig. 86). la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aici f(x) = 1 - l?, limitele integrării sunt a = - și £ = 1, deci J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplul 2. Să calculăm aria limitată de sinusoida y = sinXy, axa Ox și linia dreaptă (Fig. 87). Aplicând formula (I), obținem A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Exemplul 3. Calculați aria limitată de arcul sinusoidei ^у = sin jc, închisă între două puncte de intersecție adiacente cu axa Ox (de exemplu, între origine și punctul cu abscisa i). Rețineți că din considerente geometrice este clar că această zonă va fi de două ori mai multă zonă exemplul anterior. Totuși, să facem calculele: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Într-adevăr, ipoteza noastră s-a dovedit a fi corectă. Exemplul 4. Calculați aria delimitată de sinusoid și de axa Ox la o perioadă (Fig. 88). Calculele preliminare sugerează că aria va fi de patru ori mai mare decât în ​​Exemplul 2. Totuși, după efectuarea calculelor, obținem „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Acest rezultat necesită clarificare. Pentru a clarifica esența problemei, calculăm și aria limitată de aceeași sinusoidă y = sin l: și axa Ox în intervalul de la l la 2i. Aplicând formula (I), obținem 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Astfel, vedem că această zonă s-a dovedit a fi negativă. Comparând-o cu aria calculată în exercițiul 3, constatăm că valorile lor absolute sunt aceleași, dar semnele sunt diferite. Dacă aplicăm proprietatea V (vezi Capitolul XI, § 4), obținem 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ceea ce sa întâmplat în acest exemplu nu este un accident. Întotdeauna aria situată sub axa Ox, cu condiția ca variabila independentă să se schimbe de la stânga la dreapta, se obține atunci când se calculează folosind integrale. În acest curs vom lua în considerare întotdeauna zonele fără semne. Prin urmare, răspunsul din exemplul tocmai discutat va fi: aria necesară este 2 + |-2| = 4. Exemplul 5. Să calculăm aria BAB prezentată în Fig. 89. Această zonă este limitată de axa Ox, parabola y = - xr și dreapta y - = -x+\. Aria unui trapez curbiliniu Aria necesară OAB este formată din două părți: OAM și MAV. Deoarece punctul A este punctul de intersecție al unei parabole și al unei drepte, vom găsi coordonatele acesteia prin rezolvarea sistemului de ecuații 3 2 Y = mx. (ne trebuie doar să găsim abscisa punctului A). Rezolvând sistemul, găsim l; = ~. Prin urmare, aria trebuie calculată în părți, primul pătrat. OAM și apoi pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. Adică, nu sunt luate în considerare linii precum tăietura unei ciuperci, a căror tulpină se potrivește bine în acest segment, iar capacul este mult mai lat.

Segmentele laterale pot degenera în puncte . Dacă vedeți o astfel de figură în desen, acest lucru nu ar trebui să vă încurce, deoarece acest punct își are întotdeauna valoarea pe axa „x”. Aceasta înseamnă că totul este în ordine cu limitele integrării.

Acum puteți trece la formule și calcule. Deci zona s trapezul curbat poate fi calculat folosind formula

Dacă f(x) ≤ 0 (graficul funcției este situat sub axă Bou), Asta zona unui trapez curbat poate fi calculat folosind formula

Există, de asemenea, cazuri când atât partea superioară cât și limita inferioară cifrele sunt funcții, respectiv y = f(x) Şi y = φ (x) , atunci aria unei astfel de cifre este calculată prin formula

. (3)

Rezolvarea problemelor împreună

Să începem cu cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (1).

Exemplul 1.Bou) și drept x = 1 , x = 3 .

Soluţie. Deoarece y = 1/x> 0 pe segment, atunci aria trapezului curbiliniu este găsită folosind formula (1):

.

Exemplul 2. Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției, linie x= 1 și axa x ( Bou ).

Soluţie. Rezultatul aplicării formulei (1):

Dacă atunci s= 1/2; dacă atunci s= 1/3 etc.

Exemplul 3. Găsiți aria figurii delimitată de graficul funcției, axa absciselor ( Bou) și drept x = 4 .

Soluţie. Figura corespunzătoare condițiilor problemei este un trapez curbiliniu în care segmentul din stânga a degenerat într-un punct. Limitele de integrare sunt 0 și 4. Deoarece, folosind formula (1) găsim aria trapezului curbiliniu:

.

Exemplul 4. Găsiți aria figurii, limitat de linii, , și situat în primul trimestru.

Soluţie. Pentru a folosi formula (1), să ne imaginăm aria figurii dată de condițiile exemplului ca suma ariilor triunghiului OABși trapez curbat ABC. Când se calculează aria unui triunghi OAB limitele integrării sunt abscisele punctelor OŞi O, iar pentru figură ABC- abscisele punctelor OŞi C (O este punctul de intersecție al dreptei O.A.și parabole și C- punctul de intersecție al parabolei cu axa Bou). Rezolvând împreună (ca sistem) ecuațiile unei drepte și ale unei parabole, obținem (abscisa punctului O) și (abscisa altui punct de intersecție a dreptei și a parabolei, care nu este necesară pentru soluție). În mod similar, obținem , (abscise de puncte CŞi D). Acum avem tot ce ne trebuie pentru a găsi aria unei figuri. Găsim:

Exemplul 5. Găsiți aria unui trapez curbat ACDB, dacă ecuația curbei CDși abscisele OŞi B 1 și respectiv 2.

Soluţie. Să exprimăm această ecuație a curbei prin joc: aria trapezului curbiliniu se găsește folosind formula (1):

.

Să trecem la cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (2).

Exemplul 6. Găsiți aria figurii delimitată de parabolă și de axa x ( Bou ).

Soluţie. Această cifră este situată sub axa x. Prin urmare, pentru a calcula aria sa, vom folosi formula (2). Limitele de integrare sunt abscisa și punctele de intersecție ale parabolei cu axa Bou. Prin urmare,

Exemplul 7. Găsiți aria cuprinsă între axa absciselor ( Bou) și două unde sinusoidale adiacente.

Soluţie. Zona acestei figuri poate fi găsită folosind formula (2):

.

Să găsim fiecare termen separat:

.

.

În sfârșit găsim zona:

.

Exemplul 8. Găsiți aria figurii cuprinsă între parabolă și curbă.

Soluţie. Să exprimăm ecuațiile de linii prin joc:

Aria conform formulei (2) se obtine ca

,

Unde oŞi b- abscisele punctelor OŞi B. Să le găsim rezolvând împreună ecuațiile:

În sfârșit găsim zona:

Și, în sfârșit, cazurile în care aria unei figuri poate fi calculată folosind formula (3).

Exemplul 9. Găsiți aria figurii cuprinsă între parabole Și .

În secțiunea anterioară despre parsare sens geometric integrală definită, am primit o serie de formule pentru calcularea ariei unui trapez curbiliniu:

S (G) = ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nenegativă y = f (x) pe intervalul [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pentru o funcție continuă și nepozitivă y = f (x) pe intervalul [ a ; b ] .

Aceste formule sunt aplicabile pentru rezolvarea unor probleme relativ simple. În realitate, de multe ori va trebui să lucrăm cu figuri mai complexe. În acest sens, vom dedica această secțiune unei analize a algoritmilor pentru calcularea ariei figurilor care sunt limitate de funcții în formă explicită, de exemplu. cum ar fi y = f(x) sau x = g(y).

Teorema

Fie definite şi continue funcţiile y = f 1 (x) şi y = f 2 (x) pe intervalul [ a ; b ] și f 1 (x) ≤ f 2 (x) pentru orice valoare x din [ a ; b ] . Apoi formula pentru calcularea ariei figurii G, mărginită de liniile x = a, x = b, y = f 1 (x) și y = f 2 (x) va arăta ca S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

O formulă similară va fi aplicabilă pentru aria unei figuri mărginite de liniile y = c, y = d, x = g 1 (y) și x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dovada

Să ne uităm la trei cazuri pentru care formula va fi valabilă.

În primul caz, ținând cont de proprietatea de aditivitate a ariei, suma ariilor figurii originale G și a trapezului curbiliniu G1 este egală cu aria figurii G2. Aceasta înseamnă că

Prin urmare, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Putem efectua ultima tranziție folosind a treia proprietate a integralei definite.

În al doilea caz, egalitatea este adevărată: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Ilustrația grafică va arăta astfel:

Dacă ambele funcții sunt nepozitive, obținem: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrația grafică va arăta astfel:

Să trecem la considerarea cazului general când y = f 1 (x) și y = f 2 (x) intersectează axa O x.

Punctele de intersecție notăm ca x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Aceste puncte despart segmentul [a; b ] în n părţi x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, unde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Prin urmare,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Putem face ultima tranziție folosind a cincea proprietate a integralei definite.

Să ilustrăm cazul general pe grafic.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x poate fi considerată dovedită.

Acum să trecem la analizarea exemplelor de calcul al ariei figurilor care sunt limitate de liniile y = f (x) și x = g (y).

Vom începe analiza oricăruia dintre exemple prin construirea unui grafic. Imaginea ne va permite să reprezentăm figuri complexe ca uniuni ale mai multor figuri simple. Dacă construirea de grafice și figuri pe ele vă provoacă dificultăți, puteți studia secțiunea de bază functii elementare, transformarea geometrică a graficelor de funcții, precum și construcția de grafice în timpul studiului unei funcții.

Exemplul 1

Este necesar să se determine aria figurii, care este limitată de parabola y = - x 2 + 6 x - 5 și linii drepte y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Soluţie

Să desenăm liniile pe grafic în Sistemul cartezian coordonate

Pe segmentul [ 1 ; 4 ] graficul parabolei y = - x 2 + 6 x - 5 este situat deasupra dreptei y = - 1 3 x - 1 2. În acest sens, pentru a obține răspunsul folosim formula obținută mai devreme, precum și metoda de calcul a integralei definite folosind formula Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Răspuns: S(G) = 13

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 2

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x + 2, y = x, x = 7.

Soluţie

În acest caz, avem o singură linie dreaptă situată paralelă cu axa x. Acesta este x = 7. Aceasta ne cere să găsim noi înșine a doua limită a integrării.

Să construim un grafic și să trasăm pe el liniile date în enunțul problemei.

Având graficul în fața ochilor, putem determina cu ușurință că limita inferioară de integrare va fi abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y = x și semi-parabola y = x + 2. Pentru a găsi abscisa folosim egalitățile:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Rezultă că abscisa punctului de intersecție este x = 2.

Vă atragem atenția asupra faptului că în exemplu generalîn desen, liniile y = x + 2, y = x se intersectează în punctul (2; 2), astfel încât astfel de calcule detaliate pot părea inutile. Am dat o soluție atât de detaliată aici doar pentru că în mai multe cazuri dificile soluția poate să nu fie atât de evidentă. Aceasta înseamnă că este întotdeauna mai bine să calculați coordonatele intersecției liniilor analitic.

Pe intervalul [ 2 ; 7] graficul funcției y = x este situat deasupra graficului funcției y = x + 2. Să aplicăm formula pentru a calcula suprafața:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Răspuns: S (G) = 59 6

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de graficele funcțiilor y = 1 x și y = - x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Să trasăm liniile pe grafic.

Să definim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor prin echivalarea expresiilor 1 x și - x 2 + 4 x - 2. Cu condiția ca x să nu fie zero, egalitatea 1 x = - x 2 + 4 x - 2 devine echivalentă cu ecuația de gradul trei - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 cu coeficienți întregi. Pentru a vă reîmprospăta memoria algoritmului pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, ne putem referi la secțiunea „Rezolvarea ecuațiilor cubice”.

Rădăcina acestei ecuații este x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Împărțind expresia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 la binomul x - 1, obținem: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Putem găsi rădăcinile rămase din ecuația x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Am găsit intervalul x ∈ 1; 3 + 13 2, în care figura G este cuprinsă deasupra liniei albastre și sub linia roșie. Acest lucru ne ajută să determinăm aria figurii:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Răspuns: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Exemplul 4

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de curbele y = x 3, y = - log 2 x + 1 și de axa absciselor.

Soluţie

Să trasăm toate liniile pe grafic. Putem obține graficul funcției y = - log 2 x + 1 din graficul y = log 2 x dacă îl poziționăm simetric față de axa x și îl mutăm cu o unitate în sus. Ecuația axei x este y = 0.

Să marchem punctele de intersecție ale dreptelor.

După cum se poate observa din figură, graficele funcțiilor y = x 3 și y = 0 se intersectează în punctul (0; 0). Acest lucru se întâmplă deoarece x = 0 este singura rădăcină reală a ecuației x 3 = 0.

x = 2 este singura rădăcină a ecuației - log 2 x + 1 = 0, deci graficele funcțiilor y = - log 2 x + 1 și y = 0 se intersectează în punctul (2; 0).

x = 1 este singura rădăcină a ecuației x 3 = - log 2 x + 1 . În acest sens, graficele funcțiilor y = x 3 și y = - log 2 x + 1 se intersectează în punctul (1; 1). Ultima afirmație poate să nu fie evidentă, dar ecuația x 3 = - log 2 x + 1 nu poate avea mai mult de o rădăcină, deoarece funcția y = x 3 este strict crescătoare, iar funcția y = - log 2 x + 1 este strict în scădere.

Soluția ulterioară implică mai multe opțiuni.

Opțiunea #1

Ne putem imagina figura G ca suma a două trapeze curbilinii situate deasupra axei x, primul fiind situat mai jos. linia mediană pe segmentul x ∈ 0; 1, iar al doilea este sub linia roșie pe segmentul x ∈ 1; 2. Aceasta înseamnă că aria va fi egală cu S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opțiunea nr. 2

Figura G poate fi reprezentată ca diferența a două figuri, dintre care prima este situată deasupra axei x și sub linia albastră pe segmentul x ∈ 0; 2, iar al doilea între liniile roșii și albastre de pe segmentul x ∈ 1; 2. Acest lucru ne permite să găsim zona după cum urmează:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

În acest caz, pentru a găsi aria va trebui să utilizați o formulă de forma S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fapt, liniile care delimitează figura pot fi reprezentate ca funcții ale argumentului y.

Să rezolvăm ecuațiile y = x 3 și - log 2 x + 1 în raport cu x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Obținem zona necesară:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Răspuns: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Exemplul 5

Este necesar să se calculeze aria figurii, care este limitată de liniile y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Soluţie

Vom trasa o linie pe grafic cu o linie roșie, dat de functie y = x. Vom desena linia y = - 1 2 x + 4 în albastru, iar linia y = 2 3 x - 3 în negru.

Să marchem punctele de intersecție.

Să găsim punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor y = x și y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Verificați: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nu Este soluția ecuației x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 este soluția ecuației ⇒ (4; 2) punctul de intersecție i y = x și y = - 1 2 x + 4

Să găsim punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y = x și y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verificați: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 este soluția ecuației ⇒ (9 ; 3) punctul a s y = x și y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Nu există o soluție a ecuației

Să găsim punctul de intersecție al dreptelor y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punctul de intersecție y = - 1 2 x + 4 și y = 2 3 x - 3

Metoda nr. 1

Să ne imaginăm aria figurii dorite ca suma suprafețelor figurilor individuale.

Atunci aria figurii este:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr. 2

Aria figurii originale poate fi reprezentată ca suma a altor două figuri.

Apoi rezolvăm ecuația dreptei relativ la x și numai după aceea aplicăm formula de calcul a ariei figurii.

y = x ⇒ x = y 2 linie roșie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linie neagră y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Deci zona este:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.

Răspuns: S (G) = 11 3

Rezultate

Pentru a găsi aria unei figuri care este limitată de linii date, trebuie să construim linii pe un plan, să găsim punctele lor de intersecție și să aplicăm formula pentru a găsi aria. În această secțiune, am examinat cele mai comune variante de sarcini.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter