Derivat

Calculul derivatei lui functie matematica(diferențierea) este o problemă foarte frecventă în rezolvarea matematicii superioare. Pentru funcțiile matematice simple (elementare), aceasta este o chestiune destul de simplă, deoarece tabelele de derivate pentru funcțiile elementare au fost compilate de mult timp și sunt ușor accesibile. Cu toate acestea, găsirea derivatei unei funcții matematice complexe nu este o sarcină banală și necesită adesea efort și timp semnificativ.

Găsiți derivate online

Serviciul nostru online vă permite să scăpați de calculele lungi și inutile găsiți derivate onlineîntr-o clipă. Mai mult, folosind serviciul nostru situat pe site www.site, puteți calcula derivat online cum de la funcţie elementară, și din cele foarte complexe care nu au o soluție analitică. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu altele sunt: ​​1) nu există cerințe stricte pentru metoda de introducere a unei funcții matematice pentru calcularea derivatei (de exemplu, atunci când introduceți funcția sinus x, o puteți introduce ca sin x sau sin (x) sau sin[x] etc. d.); 2) calculul derivat online are loc instantaneu în modul online si absolut gratuit; 3) vă permitem să găsiți derivata unei funcții orice comandă, schimbarea ordinii derivatei este foarte ușoară și de înțeles; 4) vă permitem să găsiți online derivata aproape oricărei funcții matematice, chiar și a celor foarte complexe care nu pot fi rezolvate de alte servicii. Răspunsul oferit este întotdeauna corect și nu poate conține erori.

Utilizarea serverului nostru vă va permite 1) să calculați derivatul online pentru dvs., eliminând calculele obositoare și consumatoare de timp în timpul cărora ați putea face o eroare sau o greșeală de tipar; 2) dacă calculați singur derivata unei funcții matematice, atunci vă oferim posibilitatea de a compara rezultatul obținut cu calculele serviciului nostru și de a vă asigura că soluția este corectă sau de a găsi o eroare care s-a strecurat; 3) folosiți serviciul nostru în loc să folosiți tabele de derivate ale funcțiilor simple, unde adesea este nevoie de timp pentru a găsi funcția dorită.

Tot ce trebuie să faci este găsiți derivate online- este să folosim serviciul nostru pe

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde x– orice număr real, adică x– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Astfel, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula derivată functie de putere arata ca , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate x din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei o logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De x.

Acum hai să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Şi x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru orice x din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și x- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt x, primim (aici x este o funcție și y– argumentul ei). adica și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Şi .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul cu derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formulele derivate inverse funcții trigonometrice.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, folosind formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Tot ce rămâne este să efectuăm transformările.

Deoarece intervalul arcsinus este intervalul , Asta (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.

Prin urmare, . Domeniul de definire al derivatei arcsinus este intervalul (-1; 1) .

Pentru arccosinus, totul se face exact în același mod:

Să găsim derivata arctangentei.

Pentru funcția inversă este .

Să exprimăm arctangenta în termeni de arccosin pentru a simplifica expresia rezultată.

Lasă arctgx = z, Atunci

Prin urmare,

Derivata cotangentei arcului se găsește într-un mod similar:

Vă prezentăm un tabel rezumativ pentru comoditate și claritate atunci când studiem subiectul.

Constanty = C Funcția de putere y = x p (x p) " = p x p - 1	Funcția exponențialăy = ax (a x) " = a x ln a În special, cânda = eavem y = e x (e x) " = e x
Funcția logaritmică (log a x) " = 1 x ln a În special, cânda = eavem y = log x (ln x) " = 1 x	Funcții trigonometrice (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Funcții trigonometrice inverse (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funcții hiperbolice (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Să analizăm cum au fost obținute formulele din tabelul specificat sau, cu alte cuvinte, vom demonstra derivarea formulelor derivate pentru fiecare tip de funcție.

Derivată a unei constante

Dovada 1

Pentru a deriva această formulă, luăm ca bază definiția derivatei unei funcții într-un punct. Folosim x 0 = x, unde x ia valoarea oricărui număr real sau, cu alte cuvinte, x este orice număr din domeniul funcției f (x) = C. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului ca ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vă rugăm să rețineți că expresia 0 ∆ x se încadrează sub semnul limită. Nu este incertitudinea „zero împărțit la zero”, deoarece numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Deci, derivata funcției constante f (x) = C este egală cu zero în întregul domeniu de definiție.

Exemplul 1

Funcțiile constante sunt date:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Soluţie

Să descriem condițiile date. În prima funcție vedem derivata numărului natural 3. În exemplul următor, trebuie să luați derivata lui O, Unde O- orice număr real. Al treilea exemplu ne oferă derivata numărului irațional 4. 13 7 22, a patra este derivata lui zero (zero este un întreg). În cele din urmă, în al cincilea caz avem derivata fracției raționale - 8 7.

Răspuns: derivate funcții specificate este zero pentru orice real x(pe toată zona de definiție)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivată a unei funcții de putere

Să trecem la funcția putere și la formula derivatei sale, care are forma: (x p) " = p x p - 1, unde exponentul p este orice număr real.

Dovada 2

Să dăm o dovadă a formulei când exponentul este număr natural: p = 1, 2, 3, …

Ne bazăm din nou pe definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Pentru a simplifica expresia în numărător, folosim formula binomială a lui Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Astfel:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + , + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + .

Astfel, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere atunci când exponentul este un număr natural.

Dovada 3

Pentru a oferi dovezi pentru cazul când p- orice număr real, altul decât zero, folosim derivata logaritmică (aici ar trebui să înțelegem diferența față de derivata unei funcții logaritmice). Pentru a avea o înțelegere mai completă, este indicat să se studieze derivata unei funcții logaritmice și să se înțeleagă suplimentar derivata unei funcții implicite și derivata unei funcții complexe.

Să luăm în considerare două cazuri: când x pozitiv și când x negativ.

Deci x > 0. Atunci: x p > 0 . Să logaritmăm egalitatea y = x p la baza e și să aplicăm proprietatea logaritmului:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

În această etapă, am obținut o funcție specificată implicit. Să definim derivata sa:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Acum luăm în considerare cazul când x – număr negativ.

Dacă indicatorul p este un număr par, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Apoi x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Dacă p este un număr impar, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ultima tranziție este posibilă datorită faptului că dacă p este un număr impar, atunci p - 1 fie un număr par, fie zero (pentru p = 1), prin urmare, pentru negativ x egalitatea (- x) p - 1 = x p - 1 este adevărată.

Deci, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere pentru orice p real.

Exemplul 2

Funcții date:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinați derivatele lor.

Soluţie

Transformăm unele dintre funcțiile date în formă tabelară y = x p , pe baza proprietăților gradului, apoi folosim formula:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivată a unei funcții exponențiale

Dovada 4

Să derivăm formula derivată folosind definiția ca bază:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Avem incertitudine. Pentru a o extinde, să scriem o nouă variabilă z = a ∆ x - 1 (z → 0 ca ∆ x → 0). În acest caz, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pentru ultima tranziție a fost utilizată formula de tranziție la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Să ne amintim de a doua limită remarcabilă și apoi obținem formula pentru derivată functie exponentiala:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Exemplul 3

Funcțiile exponențiale sunt date:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Este necesar să găsiți derivatele lor.

Soluţie

Folosim formula pentru derivata funcției exponențiale și proprietățile logaritmului:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivată a unei funcții logaritmice

Dovada 5

Să oferim o dovadă a formulei pentru derivata unei funcții logaritmice pentru oricare xîn domeniul definiției și a oricăror valori admisibile ale bazei a a logaritmului. Pe baza definiției derivatei, obținem:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Din lanțul de egalități indicat este clar că transformările s-au bazat pe proprietatea logaritmului. Egalitatea lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e este adevărată în conformitate cu a doua limită remarcabilă.

Exemplul 4

Funcțiile logaritmice sunt date:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Este necesar să se calculeze derivatele lor.

Soluţie

Să aplicăm formula derivată:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Deci derivata logaritmul natural este unul împărțit la x.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice

Dovada 6

Să folosim câteva formule trigonometriceși prima limită remarcabilă pentru a deriva formula pentru derivata unei funcții trigonometrice.

Conform definiției derivatei funcției sinus, obținem:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula pentru diferența de sinusuri ne va permite să efectuăm următoarele acțiuni:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

În cele din urmă, folosim prima limită minunată:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Deci, derivata funcției sin x voinţă cos x.

Vom demonstra, de asemenea, formula pentru derivata cosinusului:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Aceste. derivata functiei cos x va fi – sin x.

Obținem formulele pentru derivatele tangentei și cotangentei pe baza regulilor de diferențiere:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivate ale funcţiilor trigonometrice inverse

Secțiunea derivată funcții inverse oferă informații cuprinzătoare despre demonstrarea formulelor pentru derivatele arcsinus, arccosin, arctangent și arccotangent, așa că nu vom duplica materialul aici.

Derivate ale funcțiilor hiperbolice

Dovada 7

Putem deriva formulele pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind regula de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter