Toate numerele raționale pot fi reprezentate ca fracție comună. Acest lucru se aplică numerelor întregi (de exemplu, 12, –6, 0) și fracțiilor zecimale finite (de exemplu, 0,5; –3,8921) și fracțiilor zecimale periodice infinite (de exemplu, 0,11(23); –3 ,(87); )).

Cu toate acestea infinite zecimale neperiodice nu pot fi reprezentate ca fracții obișnuite. Asta sunt ei numere iraționale(adică irațional). Un exemplu de astfel de număr este numărul π, care este aproximativ egal cu 3,14. Cu toate acestea, nu se poate determina exact ceea ce este egal, deoarece după numărul 4 există o serie nesfârșită de alte numere în care nu se pot distinge perioade care se repetă. Mai mult, deși numărul π nu poate fi exprimat cu precizie, el are un specific sens geometric. Numărul π este raportul dintre lungimea oricărui cerc și lungimea diametrului său. Astfel, numerele iraționale există de fapt în natură, la fel ca numerele raționale.

Un alt exemplu de numere iraționale este rădăcini pătrate din numere pozitive. Numai extragerea rădăcinilor din numere dă valori raționale, de la alții - irațional. De exemplu, √4 = 2, adică rădăcina lui 4 este număr rațional. Dar √2, √5, √7 și multe altele au ca rezultat numere iraționale, adică pot fi extrase doar prin aproximare, rotunjirea la o anumită zecimală. În acest caz, fracția devine neperiodică. Adică, este imposibil să spunem exact și sigur care este rădăcina acestor numere.

Deci √5 este un număr situat între numerele 2 și 3, deoarece √4 = 2 și √9 = 3. De asemenea, putem concluziona că √5 este mai aproape de 2 decât de 3, deoarece √4 este mai aproape de √5 decât √9 până la √5. Într-adevăr, √5 ≈ 2,23 sau √5 ≈ 2,24.

Numerele iraționale se obțin și în alte calcule (și nu doar la extragerea rădăcinilor) și pot fi negative.

În legătură cu numerele iraționale, putem spune că indiferent de ce segment de unitate luăm pentru a măsura lungimea exprimată de un astfel de număr, nu o vom putea măsura cu siguranță.

În operațiile aritmetice, numerele iraționale pot participa împreună cu cele raționale. În același timp, există o serie de regularități. De exemplu, dacă într-o operație aritmetică sunt implicate numai numere raționale, atunci rezultatul este întotdeauna un număr rațional. Dacă doar cei iraționali participă la operație, atunci este clar dacă rezultatul va fi rațional sau număr irațional, este interzis.

De exemplu, dacă înmulțiți două numere iraționale √2 * √2, obțineți 2 - acesta este un număr rațional. Pe de altă parte, √2 * √3 = √6 este un număr irațional.

Dacă o operație aritmetică implică numere raționale și iraționale, atunci rezultatul va fi irațional. De exemplu, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

De ce este √17 – 4 un număr irațional? Să ne imaginăm că rezultatul este un număr rațional x. Atunci √17 = x + 4. Dar x + 4 este un număr rațional, deoarece am presupus că x este rațional. Numărul 4 este de asemenea rațional, deci x + 4 este rațional. Totuși, un număr rațional nu poate fi egal cu numărul irațional √17. Prin urmare, ipoteza că √17 – 4 dă un rezultat rațional este incorectă. Rezultatul unei operații aritmetice va fi irațional.

Cu toate acestea, există o excepție de la această regulă. Dacă înmulțim un număr irațional cu 0, obținem numărul rațional 0.

Materialul din acest articol oferă informații inițiale despre numere iraționale. Mai întâi vom da definiția numerelor iraționale și o vom explica. Mai jos dăm exemple de numere iraționale. În cele din urmă, să ne uităm la câteva abordări pentru a afla dacă număr dat irațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere iraționale

Când studiem zecimale, am luat în considerare separat zecimale infinite neperiodice. Astfel de fracții apar atunci când se măsoară lungimi zecimale ale segmentelor care sunt incomensurabile cu un segment unitar. De asemenea, am observat că fracțiile zecimale neperiodice infinite nu pot fi convertite în fracții obișnuite (vezi conversia fracțiilor ordinare în zecimale și invers), prin urmare, aceste numere nu sunt numere raționale, ele reprezintă așa-numitele numere iraționale.

Așa că ajungem la definirea numerelor iraționale.

Definiţie.

Se numesc numere care reprezintă infinite fracții zecimale neperiodice în notație zecimală numere iraționale.

Definiția enunțată ne permite să dăm exemple de numere iraționale. De exemplu, fracția zecimală neperiodică infinită 4,10110011100011110000... (numărul de unu și zero crește de fiecare dată cu unul) este un număr irațional. Să dăm un alt exemplu de număr irațional: −22,353335333335... (numărul de trei trei care separă opt crește de fiecare dată cu doi).

Trebuie remarcat faptul că numerele iraționale se găsesc destul de rar sub formă de fracții zecimale neperiodice nesfârșite. Ele se găsesc de obicei sub forma , etc., precum și sub formă de litere special introduse. Cel mai mult exemple celebre Numerele iraționale din această notație sunt rădăcina pătrată aritmetică a lui doi, numărul „pi” π=3,141592..., numărul e=2,718281... și numărul de aur.

Numerele iraționale pot fi definite și în termeni de numere reale, care combină numerele raționale și iraționale.

Definiţie.

Numere iraționale sunt numere reale care nu sunt numere raționale.

Este acest număr irațional?

Când numărul nu este dat în formular zecimal, și sub forma unei rădăcini, logaritm etc., apoi a răspunde la întrebarea dacă este irațional este destul de dificil în multe cazuri.

Fără îndoială, atunci când răspundem la întrebarea pusă, este foarte util să știm care numere nu sunt iraționale. Din definiția numerelor iraționale rezultă că numerele iraționale nu sunt numere raționale. Astfel, numerele iraționale NU sunt:

• fracții zecimale periodice finite și infinite.

De asemenea, orice compoziție de numere raționale legate prin semnele operațiilor aritmetice (+, −, ·, :) nu este un număr irațional. Acest lucru se datorează faptului că suma, diferența, produsul și câtul a două numere raționale este un număr rațional. De exemplu, valorile expresiilor și sunt numere raționale. Aici observăm că dacă astfel de expresii conțin un singur număr irațional dintre numerele raționale, atunci valoarea întregii expresii va fi un număr irațional. De exemplu, în expresie numărul este irațional, iar numerele rămase sunt raționale, prin urmare este un număr irațional. Dacă ar fi un număr rațional, atunci ar urma raționalitatea numărului, dar nu este rațional.

Dacă expresia care specifică numărul conține mai multe numere iraționale, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice, numerele π, e etc., atunci se cere să se dovedească iraționalitatea sau raționalitatea unui număr dat în fiecare caz specific. Cu toate acestea, există o serie de rezultate deja obținute care pot fi utilizate. Să le enumerăm pe cele principale.

S-a dovedit că o rădăcină k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub rădăcină este puterea k a unui alt întreg, în alte cazuri, o astfel de rădăcină specifică un număr irațional; De exemplu, numerele și sunt iraționale, deoarece nu există un întreg al cărui pătrat este 7 și nu există un întreg a cărui creștere la puterea a cincea dă numărul 15. Și numerele nu sunt iraționale, deoarece și .

În ceea ce privește logaritmii, uneori este posibil să se demonstreze iraționalitatea lor folosind metoda contradicției. Ca exemplu, să demonstrăm că log 2 3 este un număr irațional.

Să presupunem că log 2 3 este un număr rațional, nu irațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită m/n. şi permiteţi-ne să scriem următorul lanţ de egalităţi: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă număr impar, iar pe partea dreaptă – chiar. Așa că am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră s-a dovedit a fi incorectă și asta a demonstrat că log 2 3 este un număr irațional.

Rețineți că lna pentru orice a rațional pozitiv și non-un este un număr irațional. De exemplu, și sunt numere iraționale.

De asemenea, se dovedește că numărul e a pentru orice rațional diferit de zero a este irațional și că numărul π z pentru orice număr întreg diferit de zero z este irațional. De exemplu, numerele sunt iraționale.

Numerele iraționale sunt, de asemenea, trigonometrice funcţii păcat, cos , tg și ctg pentru orice valoare rațională și diferită de zero a argumentului. De exemplu, sin1 , tan(−4) , cos5,7 sunt numere iraționale.

Există și alte rezultate dovedite, dar ne vom limita la cele deja enumerate. De asemenea, trebuie spus că atunci când se demonstrează rezultatele de mai sus, teoria asociată cu numere algebriceŞi numerele transcendentale.

În concluzie, observăm că nu trebuie să tragem concluzii pripite cu privire la iraționalitatea numerelor date. De exemplu, pare evident că un număr irațional într-un grad irațional este un număr irațional. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Pentru a confirma faptul afirmat, vă prezentăm gradul. Se știe că - este un număr irațional și, de asemenea, s-a dovedit că - este un număr irațional, dar este un număr rațional. De asemenea, puteți da exemple de numere iraționale, a căror sumă, diferența, produsul și coeficientul sunt numere raționale. Mai mult, raționalitatea sau iraționalitatea numerelor π+e, π−e, π·e, π π, π e și multe altele nu au fost încă dovedite.

Referințe.

• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru invatamantul general instituții / [N. Da. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.

Înțelegerea numerelor, în special a numerelor naturale, este una dintre cele mai vechi „abilități” matematice. Multe civilizații, chiar și cele moderne, au atribuit numerelor anumite proprietăți mistice datorită importanței lor enorme în descrierea naturii. Deşi stiinta moderna iar matematica nu confirmă aceste proprietăți „magice”, importanța teoriei numerelor este incontestabilă.

Din punct de vedere istoric, au apărut mai întâi o varietate de numere naturale, apoi li s-au adăugat destul de repede fracții și numere iraționale pozitive. Zero și numere negative au fost introduse după aceste submulţimi ale mulţimii numerelor reale. Ultimul set, set numere complexe, a apărut abia odată cu dezvoltarea științei moderne.

În matematica modernă, numerele nu sunt introduse în ordine istorică, deși destul de aproape de ea.

Numere naturale $\mathbb(N)$

Setul de numere naturale este adesea notat ca $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ și este adesea completat cu zero pentru a denota $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definește operațiile de adunare (+) și înmulțire ($\cdot$) cu următoarele proprietăți pentru orice $a,b,c\în \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ multimea $\mathbb(N)$ este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutativitate
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativitate
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitate
5. $a\cdot 1=a$ este un element neutru pentru înmulțire

Deoarece mulțimea $\mathbb(N)$ conține un element neutru pentru înmulțire, dar nu pentru adunare, adăugarea unui zero la această mulțime asigură că include un element neutru pentru adunare.

Pe lângă aceste două operații, relațiile „mai puțin decât” ($

1. $a b$ tricotomie
2. dacă $a\leq b$ și $b\leq a$, atunci $a=b$ antisimetrie
3. dacă $a\leq b$ și $b\leq c$, atunci $a\leq c$ este tranzitiv
4. dacă $a\leq b$ atunci $a+c\leq b+c$
5. dacă $a\leq b$ atunci $a\cdot c\leq b\cdot c$

Numerele întregi $\mathbb(Z)$

Exemple de numere întregi:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Rezolvarea ecuației $a+x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale cunoscute, iar $x$ este un număr natural necunoscut, necesită introducerea unei noi operații - scăderea(-). Dacă există un număr natural $x$ care satisface această ecuație, atunci $x=b-a$. Cu toate acestea, această ecuație particulară nu are neapărat o soluție pentru mulțimea $\mathbb(N)$, așa că considerațiile practice necesită extinderea setului de numere naturale pentru a include soluții la o astfel de ecuație. Aceasta duce la introducerea unui set de numere întregi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Deoarece $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, este logic să presupunem că operațiile introduse anterior $+$ și $\cdot$ și relațiile $ 1. $0+a=a+0=a$ există un element neutru pentru adăugare
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ există un număr opus $-a$ pentru $a$

Proprietatea 5.:
5. dacă $0\leq a$ și $0\leq b$, atunci $0\leq a\cdot b$

Mulțimea $\mathbb(Z)$ este de asemenea închisă sub operația de scădere, adică $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Numere raționale $\mathbb(Q)$

Exemple de numere raționale:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Acum luați în considerare ecuații de forma $a\cdot x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi cunoscute, iar $x$ este o necunoscută. Pentru ca soluția să fie posibilă, este necesar să se introducă operația de împărțire ($:$), iar soluția ia forma $x=b:a$, adică $x=\frac(b)(a)$ . Din nou apare problema că $x$ nu aparține întotdeauna lui $\mathbb(Z)$, așa că mulțimea numerelor întregi trebuie extinsă. Aceasta introduce mulțimea numerelor raționale $\mathbb(Q)$ cu elemente $\frac(p)(q)$, unde $p\in \mathbb(Z)$ și $q\in \mathbb(N)$. Mulțimea $\mathbb(Z)$ este o submulțime în care fiecare element $q=1$, deci $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ și operațiile de adunare și înmulțire se extind la această mulțime conform următoarele reguli, care păstrează toate proprietățile de mai sus pe mulțimea $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Împărțirea se introduce după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Pe mulțimea $\mathbb(Q)$, ecuația $a\cdot x=b$ are o soluție unică pentru fiecare $a\neq 0$ (împărțirea la zero este nedefinită). Aceasta înseamnă că există un element invers $\frac(1)(a)$ sau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\există \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Ordinea mulțimii $\mathbb(Q)$ poate fi extinsă după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1)

Mulțimea $\mathbb(Q)$ are o proprietate importantă: între oricare două numere raționale există infinite alte numere raționale, prin urmare, nu există două numere raționale adiacente, spre deosebire de mulțimile de numere naturale și întregi.

Numere iraționale $\mathbb(I)$

Exemple de numere iraționale:
$\sqrt(2) \aproximativ 1,41422135...$
$\pi\aproximativ 3,1415926535...$

Întrucât între oricare două numere raționale există o infinitate de alte numere raționale, este ușor să concluzionați în mod eronat că mulțimea numerelor raționale este atât de densă încât nu este nevoie să o extindem în continuare. Până și Pitagora a făcut o asemenea greșeală la vremea lui. Cu toate acestea, contemporanii săi au infirmat deja această concluzie când au studiat soluțiile ecuației $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pe mulțimea numerelor raționale. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, este necesar să introducem conceptul de rădăcină pătrată, iar apoi soluția acestei ecuații are forma $x=\sqrt(2)$. O ecuație precum $x^2=a$, unde $a$ este un număr rațional cunoscut și $x$ este unul necunoscut, nu are întotdeauna o soluție pentru mulțimea numerelor raționale și, din nou, apare necesitatea extinderii set. Apare un set de numere iraționale, iar numere precum $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... aparțin acestei mulțimi.

Numere reale $\mathbb(R)$

Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale. Deoarece $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, este din nou logic să presupunem că operațiile și relațiile aritmetice introduse își păstrează proprietățile pe noua mulțime. Dovada formală a acestui lucru este foarte dificilă, astfel încât proprietățile menționate mai sus ale operațiilor și relațiilor aritmetice pe mulțimea numerelor reale sunt introduse ca axiome. În algebră, un astfel de obiect se numește câmp, deci se spune că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat.

Pentru ca definiția mulțimii numerelor reale să fie completă, este necesar să se introducă o axiomă suplimentară care să distingă mulțimile $\mathbb(Q)$ și $\mathbb(R)$. Să presupunem că $S$ este o submulțime nevidă a mulțimii de numere reale. Un element $b\in \mathbb(R)$ se numește limita superioară a unei mulțimi $S$ dacă $\forall x\in S$ deține $x\leq b$. Apoi spunem că mulțimea $S$ este mărginită mai sus. Cea mai mică limită superioară a mulțimii $S$ se numește supremum și se notează $\sup S$. Conceptele sunt introduse în mod similar limita inferioară, o mulțime mărginită mai jos și o infinită $\inf S$ . Acum axioma lipsă este formulată după cum urmează:

Orice submulțime nevidă și mărginită superioară a mulțimii de numere reale are un supremum.
De asemenea, se poate dovedi că câmpul numerelor reale definite în modul de mai sus este unic.

Numere complexe$\mathbb(C)$

Exemple de numere complexe:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ unde $i = \sqrt(-1)$ sau $i^2 = -1$

Mulțimea numerelor complexe reprezintă toate perechile ordonate de numere reale, adică $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, pe care operațiile de adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Există mai multe forme de scriere a numerelor complexe, dintre care cea mai comună este $z=a+ib$, unde $(a,b)$ este o pereche de numere reale, iar numărul $i=(0,1)$ se numește unitatea imaginară.

Este ușor de arătat că $i^2=-1$. Extinderea mulțimii $\mathbb(R)$ la mulțimea $\mathbb(C)$ permite determinarea rădăcinii pătrate a numerelor negative, care a fost motivul pentru introducerea mulțimii de numere complexe. De asemenea, este ușor să arătăm că o submulțime a mulțimii $\mathbb(C)$, dată de $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, satisface toate axiomele pentru numerele reale, prin urmare $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, sau $R\subset\mathbb(C)$.

Structura algebrică a mulțimii $\mathbb(C)$ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire are următoarele proprietăți:
1. comutativitatea adunării și înmulțirii
2. asociativitatea adunării și înmulțirii
3. $0+i0$ - element neutru pentru adunare
4. $1+i0$ - element neutru pentru înmulțire
5. Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea
6. Există un singur invers atât pentru adunare, cât și pentru înmulțire.

Am arătat deja mai devreme că $1\frac25$ este aproape de $\sqrt2$. Dacă ar fi exact egal cu $\sqrt2$, . Atunci raportul este $\frac(1\frac25)(1)$, care poate fi transformat într-un raport întreg $\frac75$ înmulțind partea de sus și de jos a fracției cu 5 și ar fi valoarea dorită.

Dar, din păcate, $1\frac25$ nu este valoarea exactă a $\sqrt2$. Un răspuns mai precis, $1\frac(41)(100)$, ne oferă relația $\frac(141)(100)$. Obținem o acuratețe și mai mare atunci când echivalăm $\sqrt2$ cu $1\frac(207)(500)$. În acest caz, raportul în numere întregi va fi egal cu $\frac(707)(500)$. Dar $1\frac(207)(500)$ nu este valoarea exactă a rădăcinii pătrate a lui 2. Matematicienii greci au petrecut mult timp și efort pentru a calcula valoarea exactă a lui $\sqrt2$, dar nu au reușit niciodată. Ei nu au putut reprezenta raportul $\frac(\sqrt2)(1)$ ca raport al numerelor întregi.

În cele din urmă, marele matematician grec Euclid a demonstrat că oricât de mult crește acuratețea calculelor, este imposibil să se obțină valoarea exactă a $\sqrt2$. Nu există nicio fracție care, la pătrat, să rezulte în 2. Ei spun că Pitagora a fost primul care a ajuns la această concluzie, dar aceasta fapt inexplicabil Omul de știință a fost atât de uimit încât s-a jurat și a depus un jurământ de la studenții săi că va păstra secretă această descoperire. Cu toate acestea, este posibil ca aceste informații să nu fie adevărate.

Dar dacă numărul $\frac(\sqrt2)(1)$ nu poate fi reprezentat ca un raport de numere întregi, atunci niciun număr care să conțină $\sqrt2$, de exemplu $\frac(\sqrt2)(2)$ sau $\frac De asemenea, (4)(\sqrt2)$ nu poate fi reprezentat ca un raport al numerelor întregi, deoarece toate astfel de fracții pot fi convertite în $\frac(\sqrt2)(1)$ înmulțit cu un anumit număr. Deci $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Sau $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, care poate fi convertit prin înmulțirea de sus și de jos cu $\sqrt2$ pentru a obține $\frac(4) (\sqrt2)$. (Ar trebui să ne amintim că indiferent de numărul $\sqrt2$, dacă îl înmulțim cu $\sqrt2$ obținem 2.)

Deoarece numărul $\sqrt2$ nu poate fi reprezentat ca raport de numere întregi, se numește număr irațional. Pe de altă parte, toate numerele care pot fi reprezentate ca raport de numere întregi sunt numite raţional.

Toate numerele întregi și fracționale, atât pozitive, cât și negative, sunt raționale.

După cum sa dovedit, majoritatea rădăcini pătrate sunt numere iraționale. Numai numerele dintr-o serie au rădăcini pătrate raționale numere pătrate. Aceste numere sunt numite și pătrate perfecte. Numerele raționale sunt, de asemenea, fracții formate din aceste pătrate perfecte. De exemplu, $\sqrt(1\frac79)$ este un număr rațional deoarece $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ sau $1\frac13$ (4 este rădăcina rădăcina pătrată a lui 16, iar 3 este rădăcina pătrată a lui 9).

Numerele naturale

Definiția numerelor naturale este numere întregi numere pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Acestea sunt numerele:

Aceasta este o serie naturală de numere.
Este zero un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Există set infinit numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.
Care este cel mai mare număr natural? Este imposibil de indicat, deoarece există un număr infinit de numere naturale.

Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunând numerele naturale a și b:

Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:

c este întotdeauna un număr natural.

Diferența numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă minuend este mai mare decât subtraend, atunci diferența numerelor naturale este un număr natural, altfel nu este.

Coeficientul numerelor naturale nu este întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b

unde c este un număr natural, aceasta înseamnă că a este divizibil cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este câtul.

Împărțitorul unui număr natural este un număr natural cu care primul număr este divizibil cu un întreg.

Fiecare număr natural este divizibil cu unul și cu el însuși.

Numerele naturale prime sunt divizibile numai cu unul și cu ele însele. Aici ne referim la împărțit în întregime. Exemplu, numerele 2; 3; 5; 7 este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.

Unul nu este considerat număr prim.

Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple de numere compuse:

Unul nu este considerat un număr compus.

Mulțimea numerelor naturale este formată din unu, numere prime și numere compuse.

Se notează mulțimea numerelor naturale Literă latină N.

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:

proprietate comutativă a adunării

proprietate asociativă a adunării

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietate comutativă a înmulțirii

proprietatea asociativă a înmulțirii

(ab) c = a (bc);

proprietatea distributivă a înmulțirii

A (b + c) = ab + ac;

numere întregi

Numerele întregi sunt numerele naturale, zero și opusele numerelor naturale.

Opusul numerelor naturale sunt numerele întregi negative, de exemplu:

1; -2; -3; -4;...

Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.

Numere raționale

Numerele raționale sunt numere întregi și fracții.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Din exemple, este clar că orice număr întreg este o fracție periodică cu perioada zero.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m este un număr întreg număr, n natural număr. Să ne imaginăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție.