Ecuația în diferențiale totale este ecuația. Ecuații diferențiale în diferențiale totale

Diferenţial numită ecuație a formei

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

unde partea stângă este diferența totală a oricărei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (acesta este ceea ce trebuie găsit la rezolvarea ecuațiilor din diferențiale complete) prin Fși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este că trebuie să existe un zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus.

În al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce confirmă că această ecuație diferențială este o ecuație în diferențiale totale. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții F destul de laborios și important stadiu inițial asigurați-vă că nu pierdem timpul.

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu F. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație diferențială totală, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Să ne amintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”:

care este o condiție pentru ca o ecuație diferențială dată să fie cu adevărat o ecuație diferențială totală.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație diferențială totală. Pentru expresia a fost diferența totală a unei funcții F(x, y) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la x iar derivata parțială în raport cu y un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală.

Pasul 2. Scrieți un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Integrați prima ecuație a sistemului - prin x (y F:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (x rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). În acest fel, funcția este restabilită F:

,
unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ - conform x) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

și într-o versiune alternativă - la prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm (alternativ)

Pasul 5. Rezultatul pasului 4 este integrarea și găsirea (alternativ, găsirea).

Pasul 6.Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. Constanta arbitrara C scris adesea după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel obținem solutie generala ecuație diferențialăîn diferențe complete. După cum am menționat deja, are forma F(x, y) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1.

Pasul 1. ecuație în diferențiale totale x un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. F:

Pasul 3. De x (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. y

Pasul 5.

Pasul 6. F. Constanta arbitrara C :
.

Ce eroare este cel mai probabil să apară aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați o integrală parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a unui produs de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a unui produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integralei, iar când se calculează derivata parțială față de una dintre variabile, cealaltă este de asemenea o constantă și derivata expresiei se găsește ca derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu constanta.

Printre ecuații în diferențiale totale Nu este neobișnuit să găsiți exemple cu o funcție exponențială. Acesta este următorul exemplu. Se remarcă și prin faptul că soluția sa folosește o opțiune alternativă.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la x un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm a doua ecuație a sistemului - prin y (x rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială F. Constanta arbitrara C scrie după semnul egal. Astfel obținem totalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor ne întoarcem de la o opțiune alternativă la cea principală.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 1. Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu x alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De x (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 4. Rezolvați ecuația diferențială

Pasul 2. Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția F:

Pasul 3. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De x (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția F:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Exemplul 5. Rezolvați ecuația diferențială

Având forma standard $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, în care partea stângă este diferența totală a unei funcții $F \left(x,y\right)$ se numește ecuație diferențială totală.

Ecuația în diferențiale totale poate fi întotdeauna rescrisă ca $dF\left(x,y\right)=0$, unde $F\left(x,y\right)$ este o funcție astfel încât $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Să integrăm ambele părți ale ecuației $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrala laturii din dreapta zero este egală cu o constantă arbitrară $C$. Astfel, soluția generală a acestei ecuații în formă implicită este $F\left(x,y\right)=C$.

Pentru ca o ecuație diferențială dată să fie o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient ca condiția $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ fii multumit. Dacă condiția specificată este îndeplinită, atunci există o funcție $F\left(x,y\right)$, pentru care putem scrie: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, din care obținem două relații : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ și $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Integram prima relatie $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ peste $x$ si obtinem $F\left(x,y\right)=\int P\ stânga(x,y\dreapta)\cdot dx +U\left(y\dreapta)$, unde $U\left(y\dreapta)$ -- funcţie arbitrară de la $y$.

Să o selectăm astfel încât a doua relație $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ să fie satisfăcută. Pentru a face acest lucru, diferențiem relația rezultată pentru $F\left(x,y\right)$ față de $y$ și echivalăm rezultatul cu $Q\left(x,y\right)$. Se obține: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\dreapta)$.

Soluția suplimentară este:

din ultima egalitate găsim $U"\left(y\right)$;
integrați $U"\left(y\right)$ și găsiți $U\left(y\right)$;
înlocuiți $U\left(y\right)$ în egalitatea $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ și în final obținem funcția $F\left(x,y\right)$.

Găsim diferența:

Integram $U"\left(y\right)$ peste $y$ si gasim $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Găsiți rezultatul: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Scriem soluția generală sub forma $F\left(x,y\right)=C$ și anume:

Găsiți o anumită soluție $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, unde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Soluția parțială are forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Arată cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale. Sunt date metode de rezolvare. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențe totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (x, y) din variabilele x, y:
.
În același timp.

Dacă se găseşte o astfel de funcţie U (x, y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală este:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei sale:
,
atunci este ușor să-l aduci în formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx.
(1) .

Apoi . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale (1) Pentru ca ecuația
(2) .

a fost o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient pentru ca relația să se țină:

Dovada În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de valori ale variabilelor x și y. Punctul x

0, y 0.
aparține și acestei zone. (1) Să demonstrăm necesitatea condiției (2) (x, y):
.
Lasă partea stângă a ecuației
;
.
este diferența unei funcții U
;
.
Apoi (2) Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci

Rezultă că ..
Condiție de necesitate (2) :
(2) .
dovedit. (x, y) Să demonstrăm suficiența condiției (2)
.
Să fie îndeplinită condiția (x, y) Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U
(3) ;
(4) .
că diferența sa este: (3) Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U 0 , care satisface ecuațiile:
;
;
(5) .
Să găsim o astfel de funcție. Să integrăm ecuația (2) :

.
prin x din x (4) va fi executat dacă
.
Integrați peste y din y 0 la y:
;
;
.
Înlocuiește în (5) :
(6) .
Deci, am găsit o funcție a cărei diferenţială
.
Suficiența a fost dovedită.

În formulă (6) , U (x 0 , y 0) este o constantă - valoarea funcției U (x, y)în punctul x În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de valori ale variabilelor x și y..

I se poate atribui orice valoare.

Cum se recunoaște o ecuație diferențială în diferențiale totale
(1) .
Luați în considerare ecuația diferențială: (2) :
(2) .
Pentru a determina dacă această ecuație este în diferențe totale, trebuie să verificați condiția

Dacă este valabil, atunci această ecuație este în diferențe totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație diferențială totală.

Exemplu
.

Verificați dacă ecuația este în diferențe totale:
, .
Aici

.
Diferențiem față de y, considerând constanta x:

.
Sa facem diferenta
,
Deoarece: Că ecuația dată

- în diferenţiale complete.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale în diferenţiale totale

Metoda de extracție diferențială secvențială Cele mai multe metoda simpla
rezolvarea ecuaţiei în diferenţiale totale este metoda de selecţie secvenţială a diferenţialului. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise sub formă diferențială: du ± dv = d;
(u ± v) v du + u dv = d;
;
.
(uv)

În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1
.

Rezolvați ecuația:
Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm: .
(P1)
;
;
;
;

.
Înlocuiește în Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm::
;
.

Rezolvăm ecuația izolând succesiv diferențiala.

Metoda de integrare succesivă (x, y)În această metodă căutăm funcția U
(3) ;
(4) .

, satisfacand ecuatiile: (3) Să integrăm ecuația
.
în x, având în vedere constanta y: Aici φ(y) (4) :
.
- o funcție arbitrară a lui y care trebuie determinată. Este constanta integrării. Înlocuiți în ecuație
.
De aici: Aici φ Integrând, găsim φ (x, y).

și, astfel, U

Exemplul 2
.

Rezolvați ecuația în diferențe totale:
, .
Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem următoarea notație: (x, y) Se caută funcția U
.
, a cărei diferenţială este partea stângă a ecuaţiei:
(3) ;
(4) .
Apoi: (3) Să integrăm ecuația
Să integrăm ecuația
.
(P2)

.
Diferențierea față de y: (4) :
;
.
Să înlocuim
.
Diferențierea față de y: Să integrăm ecuația:

.
Să integrăm:
U Integrala generală a ecuației:.
(x, y) = const

Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe
Funcția U definită de relația: dU = p,
(x, y) dx + q(x, y) dy (x 0 , y 0) poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x, y):
(7) .
Şi
(8) ,
Din moment ce (x 0 , y 0) atunci integrala depinde numai de coordonatele initialei (x, y) si finala (7) poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (8) puncte și nu depinde de forma curbei. Din
(9) .
gasim: 0 Aici x 0 și y (x 0 , y 0)- permanentă. Prin urmare U

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici integrarea se realizează mai întâi de-a lungul unui segment paralel cu axa y din punct (x 0 , y 0 ) la obiect (x 0 , y). (x 0 , y) la obiect (x, y) .

Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x 0 , y 0 ) poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x, y) Mai general, trebuie să reprezentați ecuația unei curbe care leagă punctele
sub forma parametrica: x 1 = s(t 1) ;;
sub forma parametrica: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

și integrează peste t (x 0 , y 0 ) poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele (x, y) din t
sub forma parametrica: la t. 1 = s(t 1) Cel mai simplu mod de a realiza integrarea este peste un segment de puncte de conectare;
. 0 = 0 În acest caz: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = y 0 + (y - y 0) t 1 t ;.
t = 0 dx 1 .
1 = (x - x 0) dt 1;

dy
1 = (y - y 0) dt 1

După înlocuire, obținem integrala peste t din

Această metodă

, duce însă la calcule destul de greoaie. Literatura folosita: V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.

În acest subiect, ne vom uita la metoda de reconstrucție a unei funcții din diferența sa totală și vom oferi exemple de probleme cu o analiză completă a soluției.

Se întâmplă ca ecuațiile diferențiale (DE) de forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 să conțină diferențiale complete ale unor funcții pe laturile stângi. Atunci putem găsi integrala generală a ecuației diferențiale dacă reconstruim mai întâi funcția din diferența sa totală.

Exemplul 1

Se consideră ecuația P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Partea stângă conține diferența unei anumite funcții

U(x, y) = 0

. Pentru a face acest lucru, condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x trebuie îndeplinită.
Diferenţialul total al funcţiei U (x, y) = 0 are forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ținând cont de condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x obținem:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformând prima ecuație din sistemul de ecuații rezultat, putem obține:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Putem găsi funcția φ (y) din a doua ecuație a sistemului obținut anterior:

∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Așa am găsit funcția dorită U (x, y) = 0.

Exemplul 2

Pe baza calculelor, putem concluziona că partea stângă a ecuației diferențiale inițiale este diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y este diferența totală a funcției U (x, y) = 0, atunci

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Să integrăm prima ecuație a sistemului în raport cu x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Acum diferențiam rezultatul rezultat în raport cu y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformând a doua ecuație a sistemului, obținem: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Aceasta înseamnă că
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

unde C este o constantă arbitrară.

Se obține: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Integrala generală a ecuației inițiale este x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Să ne uităm la o altă metodă pentru găsirea unei funcții folosind o diferenţială totală cunoscută. Implica utilizarea unei integrale curbilinii de la un punct fix (x 0, y 0) la un punct cu coordonate variabile (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

În astfel de cazuri, valoarea integralei nu depinde în niciun fel de calea integrării. Putem lua ca cale de integrare o linie întreruptă, ale cărei legături sunt situate paralel cu axele de coordonate.

Exemplul 3

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Rezultă că partea stângă a ecuației diferențiale este reprezentată de diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se calculeze integrală de linie din punct (1 ; 1) dx (x, y). Să luăm ca cale de integrare o linie întreruptă, a cărei secțiuni vor trece în linie dreaptă y = 1 de la punctul (1, 1) la (x, 1) și apoi de la punctul (x, 1) la (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Am obținut o soluție generală a unei ecuații diferențiale de forma x y - x y 2 + C = 0.

Exemplul 4

Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Deoarece ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, atunci condiția nu va fi îndeplinită. Aceasta înseamnă că partea stângă a ecuației diferențiale nu este diferența completă a funcției. Aceasta este o ecuație diferențială cu variabile separabile și alte soluții sunt potrivite pentru a o rezolva.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiție 8.4. Ecuația diferențială a formei

Unde
se numește ecuație diferențială totală.

Rețineți că partea stângă a unei astfel de ecuații este diferența totală a unei anumite funcții
.

În general, ecuația (8.4) poate fi reprezentată ca

În loc de ecuația (8.5), putem lua în considerare ecuația

a cărei soluție este integrala generală a ecuației (8.4). Astfel, pentru a rezolva ecuația (8.4) este necesar să găsim funcția
. În conformitate cu definiția ecuației (8.4), avem

(8.6)

Funcţie
vom căuta o funcție care îndeplinește una dintre aceste condiții (8.6):

Unde - o funcţie arbitrară independentă de .

Funcţie
este definită astfel încât a doua condiție a expresiei (8.6) să fie îndeplinită

(8.7)

Din expresia (8.7) se determină funcția
. Înlocuindu-l în expresia pentru
și obțineți integrala generală a ecuației inițiale.

Problema 8.3. Ecuația de integrare

Aici
.

Prin urmare, această ecuație aparține tipului de ecuații diferențiale în diferențiale totale. Funcţie
îl vom căuta în formă

Pe de alta parte,

În unele cazuri, starea
poate să nu fie îndeplinită.

Apoi astfel de ecuații sunt reduse la tipul luat în considerare prin înmulțirea cu așa-numitul factor de integrare, care, în cazul general, este doar o funcție sau .

Dacă o ecuație are un factor de integrare care depinde numai de , atunci este determinat de formula

unde este relația ar trebui să fie doar o funcție .

În mod similar, factorul integrator depinde doar de , este determinat de formula

unde este relația
ar trebui să fie doar o funcție .

Absența în relațiile date, în primul caz, a variabilei , iar în al doilea - variabila , sunt un semn al existenței unui factor integrator pentru o ecuație dată.

Problema 8.4. Reduceți această ecuație la o ecuație în diferențe totale.

Luați în considerare relația:

Subiectul 8.2. Ecuații diferențiale liniare

Definiția 8.5. Ecuație diferențială
se numeste liniar daca este liniar fata de functia dorita , derivatul său și nu conține produsul funcției dorite și derivata acesteia.

Forma generală a unei ecuații diferențiale liniare este reprezentată de următoarea relație:

(8.8)

Dacă în relaţia (8.8) partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește omogenă liniară. În cazul în care partea dreaptă
, atunci o astfel de ecuație se numește liniară neomogenă.

Să arătăm că ecuația (8.8) poate fi integrată în cuadraturi.

În prima etapă, considerăm o ecuație liniară omogenă.

O astfel de ecuație este o ecuație cu variabile separabile. într-adevăr,

;

Ultima relație determină soluția generală a liniarului ecuație omogenă.

Pentru a găsi o soluție generală a unei ecuații liniare neomogene, se utilizează metoda de variație a derivatei unei constante. Ideea metodei este că soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este în aceeași formă ca soluția ecuației omogene corespunzătoare, dar o constantă arbitrară înlocuit cu o anumită funcție
de determinat. Deci avem:

(8.9)

Substituind în relația (8.8) expresiile corespunzătoare
Şi
, primim

Înlocuind ultima expresie în relația (8.9), obținem integrala generală a ecuației liniare neomogene.

Astfel, soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este determinată de două pătraturi: soluția generală a unei ecuații liniare omogene și o soluție particulară a unei ecuații liniare neomogene.

Problema 8.5. Ecuația de integrare