Ce este argumentul și creșterea funcției. Curs de prelegeri

Lasă X– argument (variabilă independentă); y=y(x)– funcția.

Să luăm o valoare fixă a argumentului x=x 0 și calculați valoarea funcției y 0 =y(x 0 ) . Acum să setăm în mod arbitrar creştere (schimbarea) argumentului și denotă-l  X ( X poate fi de orice semn).

Argumentul de creștere este un punct X 0 +  X. Să presupunem că conține și o valoare a funcției y=y(x 0 +  X)(vezi poza).

Astfel, cu o modificare arbitrară a valorii argumentului, se obține o modificare a funcției, care este numită creştere valorile functiei:

și nu este arbitrară, ci depinde de tipul funcției și de valoare
.

Argumentul și incrementele de funcție pot fi final, adică exprimate ca numere constante, caz în care sunt numite uneori diferențe finite.

În economie, incrementele finite sunt considerate destul de des. De exemplu, tabelul prezintă date despre lungimea rețelei feroviare a unui anumit stat. Evident, creșterea în lungime a rețelei se calculează scăzând valoarea anterioară din cea ulterioară.

Vom considera lungimea rețelei feroviare ca o funcție, al cărei argument va fi timpul (ani).

Lungimea căii ferate la 31 decembrie, mii km.	Creştere	Creștere medie anuală

În sine, o creștere a unei funcții (în acest caz, lungimea rețelei feroviare) nu caracterizează bine schimbarea funcției. În exemplul nostru, din faptul că 2,5>0,9 nu se poate concluziona că rețeaua a crescut mai rapid în 2000-2003 ani decât în 2004 ex., deoarece incrementul 2,5 se referă la o perioadă de trei ani și 0,9 - în doar un an. Prin urmare, este destul de natural ca o creștere a unei funcții să conducă la o schimbare de unitate a argumentului. Incrementul argumentului aici este puncte: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Obținem ceea ce se numește în literatura economică crestere medie anuala.

Puteți evita operația de reducere a incrementului la unitatea de modificare a argumentului dacă luați valorile funcției pentru valorile argumentului care diferă cu unul, ceea ce nu este întotdeauna posibil.

În analiza matematică, în special în calculul diferențial, sunt considerate incremente infinitezimale (IM) ale argumentului și funcției.

Diferențierea unei funcții a unei variabile (derivată și diferențială) Derivată a unei funcții

Creșteri de argument și funcție la un punct X 0 pot fi considerate mărimi infinitezimale comparabile (vezi subiectul 4, compararea BM), adică. BM de același ordin.

Atunci raportul lor va avea o limită finită, care este definită ca derivată a funcției în t X 0 .

Limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul BM al argumentului la un punct x=x 0 numit derivat funcţionează la un punct dat.

Desemnarea simbolică a unui derivat printr-o contur (sau mai bine zis, cu cifra romană I) a fost introdusă de Newton. De asemenea, puteți utiliza un indice, care arată cu ce variabilă este calculată derivata, de exemplu, . O altă notație propusă de fondatorul calculului derivatelor, matematicianul german Leibniz, este de asemenea utilizată pe scară largă:
. Veți afla mai multe despre originea acestei denumiri în secțiune Diferenţial de funcţie şi diferenţial de argument.

Acest număr este estimat viteză modificări ale funcției care trec printr-un punct
.

Hai să instalăm sens geometric derivata unei functii intr-un punct. În acest scop, vom reprezenta grafic funcția y=y(x)și marcați pe el punctele care determină schimbarea y(x)între ele

Tangenta la graficul unei functii intr-un punct M 0
vom avea în vedere poziţia limită a secantei M 0 M dat fiind
(punct M alunecă de-a lungul graficului unei funcții până la un punct M 0 ).

Să luăm în considerare
. Evident,
.

Dacă punctul M direct de-a lungul graficului funcției spre punct M 0 , apoi valoarea
va tinde către o anumită limită, pe care o notăm
. În același timp.

Unghiul limită  coincide cu unghiul de inclinare al tangentei trasate la graficul functiei incl. M 0 , deci derivata
egal numeric panta tangenta în punctul specificat.

semnificația geometrică a derivatei unei funcții într-un punct.

Astfel, putem scrie ecuațiile tangente și normale ( normal - aceasta este o dreaptă perpendiculară pe tangenta) pe graficul funcției la un moment dat X 0 :

Tangenta - .

Normal -
.

Interesante sunt cazurile în care aceste linii sunt situate orizontal sau vertical (vezi Subiectul 3, cazuri speciale de poziție a unei linii pe un plan). Apoi,

Dacă
;

Dacă
.

Definiția derivatei se numește diferenţiere funcții.

 Dacă funcţia este într-un punct X 0 are o derivată finită, atunci se numește diferentiabilîn acest moment. O funcție care este diferențiabilă în toate punctele unui anumit interval se numește diferențiabilă pe acest interval.

 Teorema . Dacă funcţia y=y(x) diferentiabil incl. X 0 , atunci este continuă în acest moment.

Astfel, continuitate– o condiție necesară (dar nu suficientă) pentru diferențiabilitatea unei funcții.

1. increment de argument și increment de funcție.

Să fie dată funcția. Să luăm două valori ale argumentului: initial și modificat, care este de obicei notat
, Unde - cantitatea cu care argumentul se modifică la trecerea de la prima valoare la a doua, se numește increment de argument.

Valorile argumentului și corespund unor valori specifice funcției: inițială si schimbat
, magnitudine , prin care valoarea funcției se modifică atunci când argumentul se schimbă după valoare, este apelată creșterea funcției.

2. conceptul de limită a unei funcţii într-un punct.

Număr numită limita funcției
cu tendinta de a , dacă pentru orice număr
există un astfel de număr
că în fața tuturor
, satisfacerea inegalitatii
, inegalitatea va fi satisfăcută
.

A doua definiție: Un număr se numește limita unei funcții așa cum tinde să , dacă pentru orice număr există o vecinătate a punctului astfel încât pentru oricare din această vecinătate . Desemnat
.

3. infinit de mari și infinitezimale funcții într-un punct. La nesfârșit funcție mică la un punct – o funcție a cărei limită, atunci când tinde către un punct dat, este egală cu zero. O funcție infinit de mare într-un punct este o funcție a cărei limită atunci când tinde către un punct dat este egală cu infinitul.

4. teoreme de bază despre limite și consecințe din acestea (fără dovezi).

consecință: factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:

Dacă secvenţele şi atunci converge și limita șirului este diferită de zero

consecință: factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită.

11. dacă există limite ale funcţiilor
Şi
iar limita funcției este diferită de zero,

atunci există și o limită a raportului lor, egală cu raportul limitelor funcțiilor și:

12. dacă
, Asta
, este adevărat și invers.

13. Teoremă asupra limitei unei secvențe intermediare. Dacă secvenţele
convergente, și
Şi
Că

5. limita unei funcţii la infinit.

Numărul a se numește limita unei funcții la infinit (pentru x care tinde spre infinit) dacă pentru orice succesiune care tinde spre infinit
corespunde unei succesiuni de valori care tind către număr O.

6. limite succesiune de numere.

Număr O se numește limita unei secvențe de numere dacă pentru oricare număr pozitiv vor exista număr natural N, astfel încât pentru toți n> N inegalitatea este valabilă
.

Din punct de vedere simbolic, aceasta este definită după cum urmează:
corect .

Faptul că numărul O este limita secvenței, notată după cum urmează:

7.numărul „e”. logaritmi naturali.

Număr "e" reprezintă limita secvenței de numere, n- al-lea membru al căruia
, adică

Logaritm natural – logaritm cu o bază e. se notează logaritmii naturali
fără a preciza un motiv.

Număr
vă permite să treceți de la logaritmul zecimal la cel natural și înapoi.

, se numește modulul de tranziție de la logaritmi naturali la zecimală.

8. limite minunate
,

Prima limită remarcabilă:

astfel la

prin teorema limită a secvenței intermediare

a doua limită remarcabilă:

Pentru a demonstra existența unei limite
folosiți lema: pentru orice număr real
Şi
inegalitatea este adevărată
(2) (la
sau
inegalitatea se transformă în egalitate.)

Secvența (1) poate fi scrisă după cum urmează:

Acum luați în considerare o secvență auxiliară cu un termen comun
Să ne asigurăm că scade și este mărginit mai jos:
Dacă
, apoi succesiunea scade. Dacă
, atunci șirul este mărginit mai jos. Să arătăm asta:

datorită egalității (2)

adică
sau
. Adică, secvența este în scădere și, din moment ce șirul este mărginită mai jos. Dacă o secvență este descrescătoare și este mărginită mai jos, atunci are o limită. Apoi

are o limită și o secvență (1), deoarece

Şi
.

L. Euler a numit această limită .

9. limite unilaterale, discontinuitate a funcției.

numărul A este limita din stânga dacă pentru orice succesiune este valabilă următoarele: .

numărul A este limita dreaptă dacă pentru orice succesiune este valabilă următoarele: .

Dacă la punct O aparținând domeniului de definire a funcției sau a limitei acesteia, se încalcă condiția de continuitate a funcției, apoi punctul O se numește punct de discontinuitate sau discontinuitate a unei funcții dacă, după cum tinde punctul

12. suma termenilor de infinit descrescator progresie geometrică. Progresia geometrică este o succesiune în care raportul dintre termenii următori și anterior rămâne neschimbat, acest raport fiind numit numitorul progresiei. Suma primului n membrii progresiei geometrice se exprimă prin formula
Această formulă este convenabilă de utilizat pentru o progresie geometrică descrescătoare - o progresie în care valoarea absolută a numitorului său este mai mică decât zero. - primul membru; - numitorul de progresie; - numărul membrului luat al secvenței. Suma unei progresii descrescătoare infinite este numărul la care suma primilor termeni ai unei progresii descrescătoare se apropie la nesfârșit atunci când numărul crește la infinit.
Că. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare este egală cu .

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $(x,y)$ de valori a două variabile independente dintr-un domeniu este asociată o anumită valoare $z$, atunci $z$ se spune că este o funcție a două variabile $(x,y) $. Notație: $z=f(x,y)$.

În raport cu funcția $z=f(x,y)$, să luăm în considerare conceptele de incrementări generale (totale) și parțiale ale unei funcții.

Fie dată o funcție $z=f(x,y)$ din două variabile independente $(x,y)$.

Nota 1

Deoarece variabilele $(x,y)$ sunt independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $x$ un increment de $\Delta x$, păstrând în același timp valoarea variabilei $y$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $x$. Desemnare:

În mod similar, vom da variabilei $y$ un increment de $\Delta y$, păstrând în același timp valoarea variabilei $x$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $y$. Desemnare:

Daca argumentului $x$ i se da incrementul $\Delta x$, iar argumentului $y$ i se da incrementul $\Delta y$, atunci obtinem increment complet funcţie dată$z=f(x,y)$. Desemnare:

Astfel avem:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 1

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 2

Calculați incrementul parțial și total al funcției $z=xy$ în punctul $(1;2)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Prin urmare,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Nota 2

Creșterea totală a unei anumite funcții $z=f(x,y)$ nu este egală cu suma incrementelor sale parțiale $\Delta _(x) z$ și $\Delta _(y) z$. Notație matematică: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Exemplul 3

Verificați observațiile de afirmație pentru funcție

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obținut în exemplul 1)

Să găsim suma incrementelor parțiale ale unei funcții date $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definiția 2

Dacă pentru fiecare triplă $(x,y,z)$ de valori a trei variabile independente dintr-un domeniu este asociată o anumită valoare $w$, atunci $w$ este o funcție a trei variabile $(x, y,z)$ în această zonă.

Notație: $w=f(x,y,z)$.

Definiția 3

Dacă pentru fiecare set $(x,y,z,...,t)$ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare $w$, atunci se spune că $w$ este o funcție a variabilele $(x,y, z,...,t)$ din această zonă.

Notație: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z,... ,t )$ cu $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - increment parțial al funcției $w =f (x,y,z,...,t)$ cu $t$.

Exemplul 4

Scrieți funcții de creștere parțială și totală

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Exemplul 5

Calculați incrementul parțial și total al funcției $w=xyz$ în punctul $(1;2;1)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ cu $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Prin urmare,

\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

CU punct geometric Din punct de vedere al vederii, incrementul total al funcției $z=f(x,y)$ (prin definiție $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) este egală cu incrementul aplicației graficului funcției $z =f(x,y)$ la trecerea de la punctul $M(x,y)$ la punctul $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig. 1).

Figura 1.

Definiția 1

În raport cu funcția $z=f(x,y)$, să luăm în considerare conceptele de incrementări generale (totale) și parțiale ale unei funcții.

Fie dată o funcție $z=f(x,y)$ din două variabile independente $(x,y)$.

Nota 1

Deoarece variabilele $(x,y)$ sunt independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să dăm variabilei $x$ un increment de $\Delta x$, păstrând în același timp valoarea variabilei $y$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $x$. Desemnare:

În mod similar, vom da variabilei $y$ un increment de $\Delta y$, păstrând în același timp valoarea variabilei $x$ neschimbată.

Atunci funcția $z=f(x,y)$ va primi un increment, care va fi numit increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de variabila $y$. Desemnare:

Dacă argumentului $x$ i se dă un increment $\Delta x$, iar argumentului $y$ îi este dat un increment $\Delta y$, atunci incrementul complet al funcției date $z=f(x,y)$ se obtine. Desemnare:

Astfel avem:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 1

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ față de $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Exemplul 2

Calculați incrementul parțial și total al funcției $z=xy$ în punctul $(1;2)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ peste $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - increment parțial al funcției $z=f(x,y)$ cu $y$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - increment total al funcției $z=f(x,y)$.

Prin urmare,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Nota 2

Exemplul 3

Verificați observațiile de afirmație pentru funcție

Soluţie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obținut în exemplul 1)

Să găsim suma incrementelor parțiale ale unei funcții date $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definiția 2

Notație: $w=f(x,y,z)$.

Definiția 3

Notație: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină incremente parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z,... ,t )$ cu $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - increment parțial al funcției $w =f (x,y,z,...,t)$ cu $t$.

Exemplul 4

Scrieți funcții de creștere parțială și totală

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Exemplul 5

Calculați incrementul parțial și total al funcției $w=xyz$ în punctul $(1;2;1)$ pentru $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Delta z=0,1$.

Soluţie:

Prin definiția incrementului parțial găsim:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ cu $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - increment parțial al funcției $w=f(x,y,z)$ peste $z$;

Prin definiția incrementului total găsim:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - increment total al funcției $w=f(x,y,z)$.

Prin urmare,

Din punct de vedere geometric, incrementul total al funcției $z=f(x,y)$ (prin definiție $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) este egal cu incrementul aplicației funcției grafice $z=f(x,y)$ când treceți de la punctul $M(x,y)$ la punctul $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig. 1).

Figura 1.