Să considerăm un trapez curbat mărginit de axa Ox, curba y=f(x) și două drepte: x=a și x=b (Fig. 85). Să luăm o valoare arbitrară a lui x (doar nu a și nu b). Să-i dăm un increment h = dx și să considerăm o bandă delimitată de drepte AB și CD, axa Ox și arcul BD aparținând curbei luate în considerare. Vom numi această bandă o bandă elementară. Aria unei benzi elementare diferă de aria dreptunghiului ACQB prin triunghiul curbiliniu BQD, iar aria acestuia din urmă este mai mică decât aria dreptunghiului BQDM cu laturile BQ = =h= dx) QD=Ay și aria egală cu hAy = Ay dx. Pe măsură ce latura h scade, latura Du scade și concomitent cu h tinde spre zero. Prin urmare, aria BQDM este infinitezimală de ordinul doi. Aria unei benzi elementare este incrementul ariei, iar aria dreptunghiului ACQB, egală cu AB-AC ==/(x) dx> este diferența ariei. În consecință, găsim zona în sine prin integrarea diferenţialului acesteia. În cadrul figurii luate în considerare, variabila independentă l: se modifică de la a la b, deci aria necesară 5 va fi egală cu 5= \f(x) dx. (I) Exemplul 1. Să calculăm aria mărginită de parabola y - 1 -x*, drepte X =--Fj-, x = 1 și axa O* (Fig. 86). la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aici f(x) = 1 - l?, limitele integrării sunt a = - și £ = 1, deci J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplul 2. Să calculăm aria limitată de sinusoida y = sinXy, axa Ox și linia dreaptă (Fig. 87). Aplicând formula (I), obținem A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Exemplul 3. Calculați aria limitată de arcul sinusoidei ^у = sin jc, închisă între două puncte de intersecție adiacente cu axa Ox (de exemplu, între origine și punctul cu abscisa i). Rețineți că din considerente geometrice este clar că această zonă va fi de două ori mai multă zonă exemplul anterior. Totuși, să facem calculele: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Într-adevăr, ipoteza noastră s-a dovedit a fi corectă. Exemplul 4. Calculați aria delimitată de sinusoid și de axa Ox la o perioadă (Fig. 88). Calculele preliminare sugerează că aria va fi de patru ori mai mare decât în ​​Exemplul 2. Totuși, după efectuarea calculelor, obținem „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Acest rezultat necesită clarificare. Pentru a clarifica esența problemei, calculăm și aria limitată de aceeași sinusoidă y = sin l: și axa Ox în intervalul de la l la 2i. Aplicând formula (I), obținem 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Astfel, vedem că această zonă s-a dovedit a fi negativă. Comparând-o cu aria calculată în exercițiul 3, constatăm că valorile lor absolute sunt aceleași, dar semnele sunt diferite. Dacă aplicăm proprietatea V (vezi Capitolul XI, § 4), obținem 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ceea ce sa întâmplat în acest exemplu nu este un accident. Întotdeauna aria situată sub axa Ox, cu condiția ca variabila independentă să se schimbe de la stânga la dreapta, se obține atunci când se calculează folosind integrale. În acest curs vom lua în considerare întotdeauna zonele fără semne. Prin urmare, răspunsul din exemplul tocmai discutat va fi: aria necesară este 2 + |-2| = 4. Exemplul 5. Să calculăm aria BAB prezentată în Fig. 89. Această zonă este limitată de axa Ox, parabola y = - xr și dreapta y - = -x+\. Aria unui trapez curbiliniu Aria necesară OAB este formată din două părți: OAM și MAV. Deoarece punctul A este punctul de intersecție al unei parabole și al unei drepte, vom găsi coordonatele acesteia prin rezolvarea sistemului de ecuații 3 2 Y = mx. (ne trebuie doar să găsim abscisa punctului A). Rezolvând sistemul, găsim l; = ~. Prin urmare, aria trebuie calculată în părți, primul pătrat. OAM și apoi pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)