§ 1 Sistemul de coordonate: definiție și modalitate de construcție

În această lecție ne vom familiariza cu conceptele de „sistem de coordonate”, „plan de coordonate”, „axe de coordonate” și vom învăța cum să construim puncte pe un plan folosind coordonatele.

Să luăm o dreaptă de coordonate x cu punctul de origine O, o direcție pozitivă și un segment unitar.

Prin originea coordonatelor, punctul O al dreptei de coordonate x, trasăm o altă linie de coordonate y, perpendiculară pe x, setăm direcția pozitivă în sus, segmentul unitar este același. Astfel, am construit un sistem de coordonate.

Să dăm o definiție:

Două drepte de coordonate reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct, care este originea coordonatelor fiecăreia dintre ele, formează un sistem de coordonate.

§ 2 Axa de coordonate și planul de coordonate

Liniile drepte care formează un sistem de coordonate se numesc axe de coordonate, fiecare având propriul nume: linia de coordonate x este axa absciselor, linia de coordonate y este axa ordonatelor.

Planul pe care este selectat sistemul de coordonate se numește plan de coordonate.

Sistemul de coordonate descris se numește dreptunghiular. Este adesea numit sistemul de coordonate carteziene în onoarea filozofului și matematicianului francez René Descartes.

Fiecare punct de pe planul de coordonate are două coordonate, care pot fi determinate prin scăderea perpendicularelor din punctul de pe axa de coordonate. Coordonatele unui punct dintr-un plan sunt o pereche de numere, dintre care primul număr este abscisa, al doilea număr este ordonata. Abscisa este perpendiculară pe axa x, ordonata este perpendiculară pe axa y.

Să marchem punctul A pe planul de coordonate și să desenăm perpendiculare din acesta pe axele sistemului de coordonate.

De-a lungul perpendicularei pe axa absciselor (axa x), determinăm abscisa punctului A, este egală cu 4, ordonata punctului A - de-a lungul perpendicularei pe axa ordonatelor (axa y) este 3. Coordonatele din punctul nostru sunt 4 și 3. A (4;3). Astfel, coordonatele pot fi găsite pentru orice punct din planul de coordonate.

§ 3 Construirea unui punct pe un plan

Cum se construiește un punct pe un plan cu coordonate date, de ex. Folosind coordonatele unui punct din plan, determinați-i poziția? În acest caz, efectuăm pașii în ordine inversă. Pe axele de coordonate găsim puncte corespunzătoare coordonatelor date, prin care trasăm drepte perpendiculare pe axele x și y. Punctul de intersecție al perpendicularelor va fi cel dorit, adică. un punct cu coordonate date.

Să terminăm sarcina: construim punctul M (2;-3) pe planul de coordonate.

Pentru a face acest lucru, găsiți un punct cu coordonata 2 pe axa x și trageți o linie dreaptă perpendiculară pe axa x prin acest punct. Pe axa ordonatelor găsim un punct cu coordonata -3, prin el trasăm o dreaptă perpendiculară pe axa y. Punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare va fi punctul dat M.

Acum să ne uităm la câteva cazuri speciale.

Să marchem punctele A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) pe planul de coordonate.

Abcisele acestor puncte sunt egale cu 0. Figura arată că toate punctele sunt pe axa ordonatelor.

În consecință, punctele ale căror abscise sunt egale cu zero se află pe axa ordonatelor.

Să schimbăm coordonatele acestor puncte.

Rezultatul va fi A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). În acest caz, toate ordonatele sunt egale cu 0, iar punctele sunt pe axa x.

Aceasta înseamnă că punctele ale căror ordonate sunt egale cu zero se află pe axa absciselor.

Să ne uităm la încă două cazuri.

Pe planul de coordonate, marcați punctele M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Este ușor de observat că toate abscisele punctelor sunt aceleași. Dacă aceste puncte sunt conectate, obțineți o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor și perpendiculară pe axa absciselor.

Concluzia sugerează de la sine: punctele care au aceeași abscisă se află pe aceeași linie dreaptă, care este paralelă cu axa ordonatelor și perpendiculară pe axa absciselor.

Dacă schimbați coordonatele punctelor M, N, P, obțineți M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Ordonatele punctelor vor fi aceleași. În acest caz, dacă legați aceste puncte, obțineți o dreaptă paralelă cu axa absciselor și perpendiculară pe axa ordonatelor.

Astfel, punctele având aceeași ordonată se află pe aceeași dreaptă paralelă cu axa absciselor și perpendiculară pe axa ordonatelor.

În această lecție v-ați familiarizat cu conceptele de „sistem de coordonate”, „plan de coordonate”, „axe de coordonate - axa absciselor și axa ordonatelor”. Am învățat cum să găsim coordonatele unui punct pe un plan de coordonate și am învățat cum să construim puncte pe plan folosind coordonatele acestuia.

Lista literaturii folosite:

1. Matematică. Clasa a 6-a: planuri de lecție pentru manualul lui I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-compilator L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009.
2. Matematică. Clasa a VI-a: manual pentru elevii instituţiilor de învăţământ general. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematică. clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov și alții/editat de G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Academia Rusă de Științe, Academia Rusă de Educație. - M.: „Iluminismul”, 2010
4. Manual de matematică - http://lyudmilanik.com.ua
5. Manual pentru elevii din școala secundară http://shkolo.ru

O linie dreaptă este complet definită dacă se cunosc două puncte care îi aparțin. Pentru a construi o dreaptă folosind ecuația ei, este necesar, folosind această ecuație, să găsiți coordonatele celor două puncte ale sale. Trebuie amintit cu fermitate că, dacă un punct aparține unei linii, atunci coordonatele acestui punct satisfac ecuația dreptei.

Când construiți o dreaptă în practică folosind ecuația ei, graficul cel mai precis va fi obținut atunci când coordonatele celor două puncte luate pentru a o construi sunt numere întregi.

1. Dacă o dreaptă este definită de ecuația generală Topor + De + C= 0 și , atunci cel mai simplu mod de a-l construi este de a determina punctele de intersecție ale dreptei cu axele de coordonate.

Să indicăm cum să determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale unei drepte cu axele de coordonate. Coordonatele punctului de intersecție a dreptei cu axa Bou se regăsesc din următoarele considerente: ordonatele tuturor punctelor situate pe axă Bou, sunt egale cu zero. În ecuația dreptei se presupune că y este egal cu zero, iar din ecuația rezultată se găsește x. Valoare găsită xși este abscisa punctului de intersecție a dreptei cu axa Bou. Dacă se dovedește că x = o, apoi coordonatele punctului de intersecție a dreptei cu axa Bou va fi ( o, 0).

Pentru a determina coordonatele punctului de intersecție a unei linii cu o axă Oi, ei motivează astfel: abscisele tuturor punctelor situate pe axă Oi, sunt egale cu zero. Luând linia dreaptă în ecuație x egal cu zero, din ecuația rezultată o determinăm y. Valoare găsită y si va fi ordonata de intersectie a dreptei cu axa Oi. Dacă se dovedește, de exemplu, că y = b, apoi punctul de intersecție al dreptei cu axa Oi are coordonatele (0, b).

Exemplu. Direct 2 x + y- 6 = 0 traversează axa Bou la punctul (3, 0). Într-adevăr, luând în considerare această ecuație y= 0, ajungem să determinăm x ecuația 2 x- 6 = 0, de unde x = 3.

Pentru a determina punctul de intersecție al acestei linii cu axa Oi, puneți în ecuația dreptei x= 0. Obținem ecuația y- 6 = 0, din care rezultă că y= 6. Astfel, linia dreaptă intersectează axele de coordonate în punctele (3, 0) și (0, 6).

Dacă în ecuaţia generală a dreptei C= 0, atunci linia dreaptă definită de această ecuație trece prin origine. Astfel, unul dintre punctele sale este deja cunoscut, iar pentru a construi o linie dreaptă, nu rămâne decât să găsești încă unul dintre punctele sale. Abscisă x acest punct este stabilit arbitrar, iar ordonata y găsit din ecuația unei drepte.

Exemplu. Direct 2 x - 4y= 0 trece prin origine. Determinăm al doilea punct al dreptei luând, de exemplu, x= 2. Apoi pentru a determina y obținem ecuația 2*2 - 4 y = 0; 4y = 4; y= 1. Deci, linia 2 x - 4y= 0 trece prin punctele (0, 0) și (2, 1).

Dacă linia este dată de ecuație y = kx + b cu coeficientul unghiular, atunci valoarea segmentului este deja cunoscută din această ecuație b, tăiată de o dreaptă pe axa ordonatelor, iar pentru a construi o dreaptă rămâne de determinat coordonatele unui singur punct care aparține acestei drepte. Dacă în Ec. y = kx + b, atunci este cel mai ușor să determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptei cu axa Bou. S-a indicat mai sus cum se face acest lucru.

Dacă în ecuație y = kx + b b= 0, atunci linia dreaptă trece prin originea coordonatelor și, astfel, un punct care îi aparține este deja cunoscut. Pentru a găsi un alt punct, ar trebui să dai x orice valoare și determinați valoarea directă din ecuație y, corespunzătoare acestei valori x.

Exemplu. Linia dreaptă trece prin origine și punctul (2, 1), de când x= 2 din ecuația ei.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat O(x 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct O(x 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: O(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte OŞi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Oîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații cu pantă

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei linii este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei drepte sunt date în formă generală

O 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

O 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea coeficienților lor unghiulari:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții pentru coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn, i.e.

• Două drepte de coordonate reciproc perpendiculare care se intersectează în punctul O - originea referinței, formă sistem de coordonate dreptunghiular, numit și sistem de coordonate carteziene.
• Se numește planul pe care este ales sistemul de coordonate plan de coordonate. Liniile de coordonate sunt numite axele de coordonate. Axa orizontală este axa absciselor (Ox), axa verticală este axa ordonatelor (Oy).
• Axele de coordonate împart planul de coordonate în patru părți - sferturi. Numerele de serie ale sferturilor sunt de obicei numărate în sens invers acelor de ceasornic.
• Orice punct din planul de coordonate este specificat de coordonatele sale - abscisa si ordonata. De exemplu, A(3; 4). Citiți: punctul A cu coordonatele 3 și 4. Aici 3 este abscisa, 4 este ordonata.

I. Construcția punctului A(3; 4).

Abscisă 3 arată că de la începutul numărătorii inverse - punctele O trebuie mutate la dreapta 3 segment de unitate, apoi puneți-l 4 segment de unitate și pune un punct.

Acesta este punctul A(3; 4).

Construcția punctului B(-2; 5).

De la zero ne deplasăm la stânga 2 un singur segment și apoi în sus 5 segmente unice.

Să punem capăt ÎN.

De obicei, se ia un segment de unitate 1 celulă.

II. Construiți puncte în planul de coordonate xOy:

A (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Determinați coordonatele punctelor construite: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);B(-2; 0);

C(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).

Să arătăm cum se transformă liniile dacă semnul modulului este introdus în ecuația pentru specificarea dreptei.

Să avem ecuația F(x;y)=0(*)

· Ecuația F(|x|;y)=0 specifică o dreaptă simetrică față de ordonată. Dacă această dreaptă, dată de ecuația (*), a fost deja construită, atunci lăsăm o parte a dreptei la dreapta axei ordonatelor și apoi o completăm simetric la stânga.

· Ecuația F(x;|y|)=0 specifică o dreaptă simetrică față de axa absciselor. Dacă această linie, dată de ecuația (*), a fost deja construită, atunci lăsăm o parte din linie deasupra axei x și apoi o completăm simetric de jos.

· Ecuația F(|x|;|y|)=0 specifică o dreaptă simetrică față de axele de coordonate. Dacă linia specificată de ecuația (*) a fost deja construită, atunci lăsăm o parte din linie în primul trimestru și apoi o completăm într-o manieră simetrică.

Luați în considerare următoarele exemple

Exemplul 1.

Să avem o dreaptă dată de ecuația:

(1), unde a>0, b>0.

Construiți drepte date de ecuațiile:

Soluţie:

Mai întâi, vom construi linia originală, iar apoi, folosind recomandările, vom construi liniile rămase.

X

la

O

b

(1)

(2)

b

-o

o

y

x

x

y

o

(3)

-b

b

x

y

-o

X

-o

b

(5)

o

-b

Exemplul 5

Desenați pe planul de coordonate aria definită de inegalitate:

Soluţie:

Mai întâi construim granița regiunii, dată de ecuația:

| (5)

În exemplul anterior, avem două linii paralele care împart planul de coordonate în două zone:

Zona dintre linii

Zona din afara liniilor.

Pentru a ne selecta zona, să luăm un punct de control, de exemplu, (0;0) și să îl înlocuim în această inegalitate: 0≤1 (corect)® aria dintre linii, inclusiv chenarul.

Vă rugăm să rețineți că, dacă inegalitatea este strictă, atunci granița nu este inclusă în regiune.

Să salvăm acest cerc și să construim unul care este simetric față de axa ordonatelor. Să salvăm acest cerc și să construim unul care este simetric față de axa absciselor. Să salvăm acest cerc și să construim unul care este simetric față de axa absciselor. și axele ordonate. Ca rezultat, obținem 4 cercuri. Rețineți că centrul cercului este în primul sfert (3;3), iar raza este R=3.

la

-3

X