Secretul meu
Unghiul este figura geometrică principală, pe care o vom analiza pe parcursul întregului subiect. Definiții, metode de setare, notare și măsurare a unghiului. Să ne uităm la principiile de evidențiere a colțurilor în desene. Întreaga teorie este ilustrată și are un număr mare de desene vizuale.Definiția 1 Colţ – o simplă figură importantă în geometrie. Unghiul depinde direct de definiția unei raze, care constă, la rândul său, din conceptele de bază ale unui punct, unei drepte și a unui plan. Pentru un studiu amănunțit, trebuie să aprofundați subiecte linie dreaptă pe un plan - informații necesare Şi.
avion - informații necesare
Conceptul de unghi începe cu conceptele de punct, plan și linie dreaptă descrise pe acest plan.
Definiția 2 Dată o linie dreaptă a pe plan. Să notăm un anumit punct O pe el. O linie dreaptă este împărțită de un punct în două părți, fiecare având un nume grindă , iar punctul O –.
începutul fasciculului Cu alte cuvinte, grinda sau pe jumătate drept -
este o parte a unei linii constând din puncte ale unei linii date situate pe aceeași parte față de punctul de plecare, adică punctul O. Desemnarea fasciculului este permisă în două variante: una sau două litere mici cu majuscule alfabet latin
. Când este desemnată cu două litere, fasciculul are un nume format din două litere. Să aruncăm o privire mai atentă asupra desenului.
Să trecem la conceptul de determinare a unui unghi.
Definiția 1 Definiția 3 este o figură situată în avion dat , format din două raze divergente care au o origine comună. Partea unghiulară este o rază vârf
– origine comună a laturilor.
Există un caz în care laturile unui unghi pot acționa ca o linie dreaptă.
Definiția 4 Când ambele laturi ale unui unghi sunt situate pe aceeași linie dreaptă sau laturile sale servesc ca semilinii suplimentare ale unei linii drepte, atunci un astfel de unghi se numește.
extins
Imaginea de mai jos arată un colț rotit.
Un punct de pe o dreaptă este vârful unui unghi. Cel mai adesea este desemnat prin punctul O. Un unghi în matematică este notat cu semnul „∠”. Când laturile unui unghi sunt desemnate prin mici latine, atunci pentru definiție corectă
Când desemnarea este cu majuscule, atunci, respectiv, laturile unghiului sunt denumite O A și O B. În acest caz, unghiul are un nume alcătuit din trei litere ale alfabetului latin, scrise pe rând, în centru cu un vârf - ∠ A O B și ∠ B O A. Există o desemnare sub formă de numere atunci când unghiurile nu au nume sau denumiri de litere. Mai jos este o imagine în care unghiurile sunt indicate în moduri diferite.
Un unghi împarte un plan în două părți. Dacă unghiul nu este rotit, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, celălalt - zona colțului exterior. Mai jos este o imagine care explică ce părți ale avionului sunt externe și care sunt interne.
Când este împărțită la un unghi dezvoltat pe un plan, oricare dintre părțile sale este considerată a fi regiunea interioară a unghiului dezvoltat.
Zona interioară a unghiului este un element care servește pentru a doua definiție a unghiului.
Definiția 5
Unghi numită figură geometrică formată din două raze divergente care au o origine comună și o zonă unghiulară internă corespunzătoare.
Această definiție este mai strictă decât cea anterioară, deoarece are mai multe condiții. Nu este indicat să luăm în considerare ambele definiții separat, deoarece un unghi este o figură geometrică transformată folosind două raze care emană dintr-un punct. Când este necesar să se efectueze acțiuni cu un unghi, atunci definiția înseamnă prezența a două raze cu început comun si zona interioara.
Definiția 6Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă există o latură comună, iar celelalte două sunt semilinii suplimentare sau formează un unghi drept.
Figura arată că unghiurile adiacente se completează unul pe celălalt, deoarece sunt o continuare unul celuilalt.
Definiția 7
Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile uneia sunt semilinii complementare ale celeilalte sau sunt continuare ale laturilor celeilalte. Imaginea de mai jos prezintă o imagine a unghiurilor verticale.
Când liniile drepte se intersectează, se obțin 4 perechi de unghiuri adiacente și 2 perechi de unghiuri verticale. Mai jos este prezentat în imagine.
Articolul prezintă definițiile unghiurilor egale și inegale. Să ne uităm la ce unghi este considerat mai mare, care este mai mic și alte proprietăți ale unghiului. Două cifre sunt considerate egale dacă, atunci când sunt suprapuse, coincid complet. Aceeași proprietate se aplică și pentru compararea unghiurilor.
Sunt date două unghiuri. Este necesar să ajungem la o concluzie dacă aceste unghiuri sunt egale sau nu.
Se știe că există o suprapunere a vârfurilor a două unghiuri și a laturilor primului unghi cu orice altă latură a celui de-al doilea. Adică, dacă există o coincidență completă atunci când unghiurile sunt suprapuse, laturile unghiurilor date se vor alinia complet, unghiurile egal.
Este posibil ca atunci când sunt suprapuse, părțile laterale să nu se alinieze, apoi colțurile inegal, mai mic din care constă dintr-un altul, și Mai mult conține un unghi complet diferit. Mai jos sunt unghiuri inegale care nu au fost aliniate atunci când au fost suprapuse.
Unghiurile drepte sunt egale.
Măsurarea unghiurilor începe cu măsurarea laturii unghiului măsurat și a zonei sale interioare, umplându-le cu unghiuri unitare și aplicându-le unul altuia. Este necesar să se numără numărul de unghiuri așezate, ele predetermină măsura unghiului măsurat.
Unitatea de unghi poate fi exprimată prin orice unghi măsurabil. Există unități de măsură general acceptate care sunt utilizate în știință și tehnologie. Ei sunt specializați în alte titluri.
Conceptul cel mai des folosit grad.
Definiția 8
Un grad numit unghi care are o sută optzecea parte a unui unghi drept.
Denumirea standard pentru un grad este „°”, apoi un grad este 1°. Prin urmare, un unghi drept este format din 180 de astfel de unghiuri de un grad. Toate colțurile disponibile sunt așezate strâns între ele, iar părțile laterale ale celuilalt sunt aliniate cu următoarea.
Se știe că numărul de grade dintr-un unghi este însăși măsura unghiului. Un unghi desfășurat are 180 de unghiuri stivuite în compoziția sa. Figura de mai jos prezintă exemple în care unghiul este așezat de 30 de ori, adică o șesime din desfășurat și de 90 de ori, adică jumătate.
Minutele și secundele sunt folosite pentru a măsura cu precizie unghiurile. Ele sunt utilizate atunci când valoarea unghiului nu este o desemnare a unui grad întreg. Aceste fracții de grad permit calcule mai precise.
Definiția 9
într-un minut numită o șaizecime de grad.
Definiția 10
Într-o secundă numit o şaizecime de minut.
Un grad conține 3600 de secunde. Minutele sunt desemnate cu """, iar secundele sunt "" Desemnarea are loc:
1 ° = 60 " = 3600 "", 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,
iar desemnarea pentru un unghi de 17 grade 3 minute și 59 secunde este 17 ° 3 "59"".
Definiția 11
Să dăm un exemplu de desemnare a gradului de măsură a unui unghi egal cu 17 ° 3 "59 ". Intrarea are o altă formă: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.
Pentru a măsura cu precizie unghiurile, utilizați acest lucru metru, ca un raportor. Când notăm unghiul ∠ A O B și măsura gradului său de 110 grade, se folosește o notație mai convenabilă ∠ A O B = 110 °, care spune „Unghiul A O B este egal cu 110 grade”.
În geometrie, măsura unghiului este folosită din intervalul (0, 180], iar în trigonometrie este arbitrară măsura gradului are un nume unghiuri de rotație. Valoarea unghiurilor este întotdeauna exprimată număr real. Unghi drept- Acesta este un unghi care are 90 de grade. Unghi ascuțit– un unghi care este mai mic de 90 de grade și bont- Mai mult.
Un unghi ascuțit este măsurat în intervalul (0, 90), iar un unghi obtuz - (90, 180). Trei tipuri de unghiuri sunt prezentate clar mai jos.
Orice măsură de grad a oricărui unghi are aceeași valoare. Un unghi mai mare are în mod corespunzător o măsură de grad mai mare decât unul mai mic. Măsura gradului unui unghi este suma tuturor gradelor disponibile colțurile interne. Mai jos este o figură care arată unghiul AOB, format din unghiurile AOC, COD și DOB. În detaliu arată astfel: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135°.
Pe baza acestui fapt, putem concluziona că sumă toată lumea colțurile adiacente egal cu 180 de grade, pentru că toate formează un unghi drept.
Rezultă că orice unghiurile verticale sunt egale. Dacă luăm asta ca exemplu, constatăm că unghiurile A O B și C O D sunt verticale (în desen), atunci perechile de unghiuri A O B și B O C, C O D și B O C sunt considerate adiacente. În acest caz, egalitatea ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° împreună cu ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° sunt considerate unic adevărate. Prin urmare avem că ∠ A O B = ∠ C O D . Mai jos este un exemplu de imagine și denumirea capturilor verticale.
Pe lângă grade, minute și secunde, se folosește o altă unitate de măsură. Se numește radian. Cel mai adesea poate fi găsit în trigonometrie atunci când se notează unghiurile poligoanelor. Cum se numeste un radian?
Definiția 12
Un unghi radian numit unghi central, care are raza unui cerc egală cu lungimea arcului.
În figură, radianul este reprezentat ca un cerc, unde există un centru, indicat printr-un punct, cu două puncte de pe cerc legate și transformate în raze O A și O B. Prin definiție, acest triunghi A O B este echilateral, ceea ce înseamnă lungimea arcului A B este egală cu lungimile razelor O B și O A.
Denumirea unghiului este considerată „rad”. Adică, scrierea a 5 radiani este abreviată ca 5 rad. Uneori puteți găsi o notație numită pi. Radianii nu depind de lungimea unui cerc dat, deoarece figurile au o anumită limitare prin unghi și arcul său cu centrul situat la vârful unghiului dat. Sunt considerate similare.
Radianii au aceeași semnificație ca și grade, doar că diferența este în mărimea lor. Pentru a determina acest lucru, este necesar să împărțiți lungimea arcului calculată a unghiului central la lungimea razei acestuia.
În practică ei folosesc transformarea gradelor în radiani și a radianilor în grade pentru rezolvarea mai convenabilă a problemelor. Acest articol conține informații despre legătura dintre măsura gradului și radian, unde puteți studia în detaliu conversiile de la grade la radiani și invers.
Pentru o reprezentare vizuală și convenabilă a arcurilor și colțurilor, se folosesc desene. Nu este întotdeauna posibil să descrieți și să marcați corect acest sau acel unghi, arc sau nume. Unghiurile egale sunt desemnate cu același număr de arce, iar unghiurile inegale cu un număr diferit. Desenul arată desemnarea corectă a unghiurilor acute, egale și inegale.
Când trebuie marcate mai mult de 3 colțuri, sunt utilizate simboluri speciale de arc, cum ar fi ondulate sau zimțate. Nu este atât de important. Mai jos este o imagine care arată denumirea lor.
Simbolurile unghiulare trebuie păstrate simple pentru a nu interfera cu alte semnificații. La rezolvarea unei probleme, se recomandă evidențierea doar a unghiurilor necesare soluționării, pentru a nu aglomera întregul desen. Acest lucru nu va interfera cu soluția și dovada și va oferi, de asemenea, un aspect estetic desenului.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Măsura gradului de unghi- Asta număr pozitiv, arătând de câte ori un grad și părțile sale se potrivesc în unghi.
Cuvântul „unghi” are interpretări diferite. În geometrie, un unghi este o parte a unui plan mărginită de două raze care ies dintr-un punct, așa-numitul vârf. Atunci când sunt luate în considerare unghiurile drepte, ascuțite și drepte, se înțelege unghiurile geometrice.
Ca oricare forme geometrice, unghiurile pot fi comparate. În domeniul geometriei, nu este greu astăzi să descriem că un unghi este mai mare sau mai mic în comparație cu altul.
Unitatea de măsură pentru unghiuri este un grad - 1/180 dintr-un unghi rotit.
Fiecare unghi are o măsură de grad mai mare decât zero. Un unghi drept corespunde la 180 de grade. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma tuturor gradelor de măsură a unghiurilor în care unghiul inițial poate fi împărțit prin raze.
Din orice rază la un plan dat, puteți face un unghi cu o măsură a gradului de cel mult 180 de grade. Măsura unui unghi plan, care face parte dintr-un semiplan, este o măsură de grad a unui unghi care are laturi similare. Măsura planului unghiului care conține semiplanul se notează cu numărul 360 - ?, unde? este gradul de măsură a unui unghi plan complementar.
Un unghi drept este întotdeauna egal cu 90 de grade, un unghi obtuz este mai mic de 180 de grade, dar mai mult de 90, iar un unghi ascuțit nu depășește 90 de grade.
Pe lângă măsura gradului de unghi, există o măsură radian. În planimetrie, lungimea unui arc de cerc este desemnată ca L, raza este r, iar unghiul central corespunzător este desemnat ?.. Relația dintre acești parametri arată astfel: ? = L/r.
Măsura gradului de unghi. Măsura radianilor unghiului. Transformarea gradelor în radiani și invers.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
În lecția anterioară am învățat cum să măsuram unghiurile pe un cerc trigonometric. Învățați cum să numărați unghiurile pozitive și negative. Am învățat cum să desenăm un unghi mai mare de 360 de grade. Este timpul să vă dați seama cum să măsurați unghiurile. Mai ales cu numărul „Pi”, care se străduiește să ne încurce în sarcini dificile, da...
Problemele standard de trigonometrie cu numărul „Pi” sunt bine rezolvate. Memoria vizuală ajută. Dar orice abatere de la șablon este un dezastru! Pentru a evita căderea - înţelege necesar. Ceea ce vom face acum cu succes. Adică, vom înțelege totul!
Aşa, ce unghiurile conteaza? ÎN curs şcolar trigonometria folosește două măsuri: gradul de măsură a unghiului linie dreaptă pe un plan - informații necesare măsura unghiului radian. Să ne uităm la aceste măsuri. Fără aceasta, nu există nicăieri în trigonometrie.
Măsura gradului de unghi.
Ne-am obișnuit cumva cu grade. Cel puțin am trecut de geometrie... Și în viață întâlnim adesea sintagma „întors la 180 de grade”, de exemplu. O diplomă, pe scurt, este un lucru simplu...
Da? Răspunde-mi atunci ce este o diploma? Ce, nu merge imediat? Asta este...
Gradele au fost inventate în Babilonul antic. A fost cu mult timp în urmă... acum 40 de secole... Și le-a venit o idee simplă. Am luat și am împărțit cercul în 360 părţi egale. 1 grad este 1/360 dintr-un cerc. Asta e tot. L-ar fi putut sparge în 100 de bucăți. Sau 1000. Dar l-au împărțit în 360. Apropo, de ce exact 360? Cum este 360 mai bun decât 100? 100 pare să fie cumva mai lin... Încercați să răspundeți la această întrebare. Sau slab împotriva Babilonul antic?
Undeva în același timp, în Egiptul antic au fost chinuiți de o altă întrebare. De câte ori este lungimea unui cerc mai mare decât lungimea diametrului său? Și l-au măsurat așa, și așa... Totul s-a dovedit a fi puțin mai mult de trei. Dar cumva s-a dovedit umplut, neuniform... Dar ei, egiptenii, nu sunt de vină. După ei, au suferit încă 35 de secole. Până când s-au dovedit în sfârșit că oricât de fin ai tăia un cerc în bucăți egale, din astfel de bucăți poți face netezi lungimea diametrului este imposibilă... În principiu, este imposibil. Ei bine, de câte ori circumferința este mai mare decât diametrul a fost stabilit, desigur. Aproximativ. 3.1415926... ori.
Acesta este numărul „Pi”. Atât de zbuciumat, atât de zdruncinat. După virgulă există un număr infinit de numere fără nicio ordine... Astfel de numere se numesc iraționale. Acest lucru, apropo, înseamnă că din bucăți egale de cerc diametrul netezi nu plia. Nu.
Pentru utilizare practică, se obișnuiește să se rețină doar două cifre după virgulă zecimală. Amintiți-vă:
Deoarece înțelegem că circumferința unui cerc este mai mare decât diametrul său de ori „Pi”, este logic să ne amintim formula pentru circumferința unui cerc:
Unde L- circumferința și d- diametrul acestuia.
Util în geometrie.
Pentru educatie generala Voi adăuga că numărul „Pi” nu se găsește doar în geometrie... În diverse ramuri ale matematicii, și mai ales în teoria probabilităților, acest număr apare constant! De la sine. Dincolo de dorințele noastre. Ca aceasta.
Dar să revenim la grade. V-ați dat seama de ce în Babilonul antic cercul era împărțit în 360 de părți egale? Și nu până la 100, de exemplu? Nu? BINE. Îți dau o versiune. Nu îi puteți întreba pe vechii babilonieni... Pentru construcție sau, să zicem, astronomie, este convenabil să împărțiți cercul în părți egale. Acum află cu ce numere este divizibil complet 100, și care - 360? Și în ce versiune a acestor divizori complet- Mai mult? Această diviziune este foarte convenabilă pentru oameni. Dar...
După cum sa dovedit mult mai târziu decât Babilonul Antic, nu tuturor le plac diplomele. Matematicii superioare nu-i plac... Matematica superioară este o doamnă serioasă, organizată după legile naturii. Și această doamnă declară: „Astăzi ai rupt cercul în 360 de părți, mâine îl vei sparge în 100, poimâine în 245... Și ce să fac nu, chiar...” Trebuia să ascult. Nu poți păcăli natura...
A trebuit să introducem o măsură a unghiului care nu depindea de invențiile umane. Faceți cunoștință cu - radian!
Măsura radianilor unghiului.
Ce este un radian? Definiția radianului se bazează încă pe un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul care taie un arc dintr-un cerc a cărui lungime este ( L) este egală cu lungimea razei ( R). Să ne uităm la poze.
Un unghi atât de mic, este aproape inexistent... Mutăm cursorul peste imagine (sau atingem poza de pe tabletă) și vedem cam una radian. L = R
Simți diferența?
Un radian este mult mai mult de un grad. De câte ori?
Să ne uităm la următoarea poză. Pe care am desenat un semicerc. Unghiul desfășurat este, în mod natural, de 180°.
Acum voi tăia acest semicerc în radiani! Plasăm cursorul peste imagine și vedem că 180° se potrivește cu 3 radiani și jumătate.
Cine poate ghici cu ce este egală această coadă!?
Da! Aceasta coada este 0.1415926.... Buna ziua, numarul "Pi", inca nu te-am uitat!
Într-adevăr, 180° grade conține 3,1415926... radiani. După cum înțelegeți, să scrieți 3.1415926 tot timpul... este incomod. Prin urmare, în loc de acest număr infinit, ei scriu întotdeauna simplu:
Dar pe internet numărul
Este incomod să scrii... De aceea îi scriu numele în text - „Pi”. Nu te confuzi, bine?...
Acum putem scrie o egalitate aproximativă într-un mod complet semnificativ:
Sau egalitate exactă:
Să stabilim câte grade sunt într-un radian. Cum? Uşor! Dacă există 180° de grade în 3,14 radiani, atunci sunt de 3,14 ori mai puține într-un radian! Adică împărțim prima ecuație (formula este, de asemenea, o ecuație!) la 3.14:
Acest raport este util de reținut Un radian este de aproximativ 60°. În trigonometrie, de multe ori trebuie să estimați și să evaluați situația. Aici aceste cunoștințe ajută foarte mult.
Dar principala abilitate a acestui subiect este transformarea gradelor în radiani și invers.
Dacă unghiul este dat în radiani cu numărul „Pi”, totul este foarte simplu. Știm că „Pi” radiani = 180°. Deci, înlocuim radianii cu „Pi” - 180°. Obținem unghiul în grade. Reducem ceea ce este redus, iar răspunsul este gata. De exemplu, trebuie să aflăm câți gradeîn unghiul „Pi”/2 radian? Deci scriem:
Sau, o expresie mai exotică:
Ușor, nu?
Traducerea inversă este puțin mai complicată. Dar nu mult. Dacă unghiul este dat în grade, trebuie să ne dăm seama cu ce un grad este egal în radiani și să înmulțim acel număr cu numărul de grade. Cât este egal cu 1° în radiani?
Ne uităm la formulă și realizăm că dacă 180° = „Pi” radiani, atunci 1° este de 180 de ori mai mic. Sau, cu alte cuvinte, împărțim ecuația (o formulă este și o ecuație!) la 180. Nu este nevoie să reprezentăm „Pi” ca 3.14, oricum se scrie întotdeauna cu o literă. Constatăm că un grad este egal cu:
Asta este. Înmulțim numărul de grade cu această valoare și obținem unghiul în radiani. De exemplu:
Sau, similar:
După cum puteți vedea, într-o conversație pe îndelete cu digresiuni lirice, s-a dovedit că radianii sunt foarte simpli. Iar traducerea nu este nicio problemă... Iar „Pi” este un lucru cu totul tolerabil... Deci de unde confuzia!?
Voi dezvălui secretul. Cert este că în funcțiile trigonometrice simbolul grade este scris. Întotdeauna. De exemplu, sin35°. Acesta este sinusul 35 grade . Și icoana radian ( bucuros) - nu scris! Este subînțeles. Ori matematicienii au fost copleșiți de lene, ori altceva... Dar s-au hotărât să nu scrie. Dacă nu există simboluri în interiorul cotangentei sinusoidale, atunci unghiul este în radiani ! De exemplu, cos3 este cosinusul lui trei radiani .
Acest lucru duce la confuzie... O persoană vede „Pi” și crede că este 180°. Întotdeauna și peste tot. Apropo, asta funcționează. Deocamdată, exemplele sunt standard. Dar „Pi” este un număr! Cifra este 3,14, dar nu grade! Acesta este radiani „Pi” = 180°!
Încă o dată: „Pi” este un număr! 3.14. Irațional, dar un număr. La fel ca 5 sau 8. Puteți, de exemplu, să faceți despre pașii „Pi”. Trei pași și încă puțin. Sau cumpărați „Pi” kilograme de bomboane. Dacă un vânzător educat se întâlnește cu...
„Pi” este un număr! Ce, te-am enervat cu fraza asta? Ai înțeles deja totul cu mult timp în urmă? BINE. Să verificăm. Spune-mi, care număr este mai mare?
Sau ce este mai putin?
Aceasta este una dintr-o serie de întrebări ușor nestandardizate care te pot duce în stupoare...
Dacă și tu ai căzut în stupoare, amintește-ți vraja: „Pi” este un număr! 3.14. În primul sinus se spune clar că unghiul este în grade! Prin urmare, este imposibil să înlocuiți „Pi” cu 180°! Gradele „Pi” sunt de aproximativ 3,14°. Prin urmare, putem scrie:
Nu există notații în al doilea sinus. Deci, acolo - radiani! Aici înlocuirea „Pi” cu 180° va funcționa foarte bine. Convertind radiani în grade, așa cum este scris mai sus, obținem:
Rămâne să comparăm aceste două sinuri. Ce. ai uitat cum? Folosind un cerc trigonometric, desigur! Desenați un cerc, desenați unghiuri aproximative de 60° și 1,05°. Să vedem ce sinusuri au aceste unghiuri. Pe scurt, totul este descris ca la sfârșitul subiectului despre cercul trigonometric. Pe un cerc (chiar și cel strâmb!) se va vedea clar că păcat60° semnificativ mai mult decât sin1.05°.
Vom face exact același lucru cu cosinus. Pe cerc vom desena unghiuri de aproximativ 4 gradeși 4 radian(Ați uitat cu ce este aproximativ egal cu 1 radian?). Cercul va spune totul! Desigur, cos4 este mai mic decât cos4°.
Să exersăm utilizarea măsurilor de unghi.
Convertiți aceste unghiuri din grade în radiani:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
Ar trebui să obțineți aceste valori în radiani (într-o ordine diferită!)
| 0 | ||||
Apropo, am evidențiat în mod special răspunsurile în două rânduri. Ei bine, să ne dăm seama care sunt colțurile din prima linie? Cel puțin în grade, cel puțin în radiani?
Da! Acestea sunt axele sistemului de coordonate! Dacă te uiți la cercul trigonometric, atunci latura în mișcare a unghiului cu aceste valori se potriveste exact pe axe. Aceste valori trebuie cunoscute. Și am notat unghiul de 0 grade (0 radiani) din motive întemeiate. Și apoi unii oameni pur și simplu nu pot găsi acest unghi pe un cerc... Și, în consecință, se confundă în funcțiile trigonometrice ale lui zero... Un alt lucru este că poziția laturii în mișcare la zero grade coincide cu poziția la 360°, deci sunt complet coincidențe pe cercul din apropiere.
În a doua linie sunt și unghiuri speciale... Acestea sunt 30°, 45° și 60°. Și ce este atât de special la ei? Nimic special. Singura diferență dintre aceste unghiuri și toate celelalte este că ar trebui să știți despre aceste unghiuri Toate. Și unde sunt situate și care sunt aceste unghiuri? funcții trigonometrice. Să spunem valoarea sin100° nu trebuie sa stii. O păcat45°- Te rog fii atât de amabil! Acestea sunt cunoștințe obligatorii, fără de care nu există nimic de făcut în trigonometrie... Dar mai multe despre asta în lecția următoare.
Între timp, să continuăm antrenamentele. Convertiți aceste unghiuri din radian în grade:
Ar trebui să obțineți rezultate ca acestea (în dezordine):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
A funcționat? Atunci putem presupune că transformând grade în radiani și înapoi- nu mai este problema ta.) Dar translatarea unghiurilor este primul pas către înțelegerea trigonometriei. Acolo trebuie să lucrați și cu sinusuri și cosinusuri. Și cu tangente și cotangente...
Al doilea pas puternic este capacitatea de a determina poziția oricărui unghi pe un cerc trigonometric. Atât în grade, cât și în radiani. Îți voi oferi indicii plictisitoare despre această abilitate pe parcursul trigonometriei, da...) Dacă știi totul (sau crezi că știi totul) despre cercul trigonometric și măsurarea unghiurilor pe cercul trigonometric, poți să-l verifici. Rezolvați aceste sarcini simple:
1. În ce sfert se încadrează unghiurile:
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
Uşor? Să continuăm:
2. În ce sfert se încadrează colțurile:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Nici o problemă? Ei bine, uite...)
3. Puteți așeza colțurile în sferturi:
Ai putea? Ei bine, dai..)
4. Pe ce axe va cădea colțul:
si colt:
Este si usor? Hm...)
5. În ce sfert se încadrează colțurile:
Și a funcționat!? Ei bine, atunci chiar nu știu...)
6. Stabiliți în ce sfert se încadrează colțurile:
1, 2, 3 și 20 de radiani.
Voi da un răspuns doar la ultima întrebare (este puțin complicată) a ultimei sarcini. Un unghi de 20 de radiani va cădea în primul trimestru.
Nu voi da restul răspunsurilor, nu din lăcomie.) Simply, if you nu m-am hotarat ceva te îndoiești de asta ca rezultat, sau cheltuit pentru sarcina nr. 4 mai mult de 10 secunde, esti prost orientat intr-un cerc. Aceasta va fi problema ta în toată trigonometrie. Este mai bine să scapi de ea (problema, nu trigonometrie!) imediat. Acest lucru se poate face în subiectul: Lucrări practice cu cercul trigonometric din secțiunea 555.
Spune cum să rezolvi astfel de sarcini simplu și corect. Ei bine, aceste sarcini au fost rezolvate, desigur. Și a patra sarcină a fost rezolvată în 10 secunde. Da, s-a decis că oricine o poate face!
Dacă sunteți absolut încrezător în răspunsurile dvs. și nu sunteți interesat de modalități simple și fără probleme de a lucra cu radiani, nu trebuie să vizitați 555. Nu insist.)
O bună înțelegere este un motiv suficient de bun pentru a merge mai departe!)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Curs: Mărimea unghiului, măsura gradului unghiului, corespondența dintre mărimea unghiului și lungimea arcului de cerc
Măsurarea unghiului este cantitatea cu care o rază deviază față de poziția inițială.
Măsura unui unghi poate fi măsurată în două mărimi: grade și radiani, de unde și denumirea unităților - grad și radian măsura unghiului.
Măsura gradului de unghi
Măsura gradului face posibilă estimarea câte grade, minute sau secunde sunt plasate într-un anumit unghi.
Unghiurile în grade sunt calculate din punctul de vedere că rotația completă a fasciculului este de 360°. O jumătate de viraj de 180° este un unghi drept, un sfert - 90° este un unghi drept etc.
Măsura radianilor unghiului
Acum să ne dăm seama care este măsura radianilor unui unghi. După cum știm din fizică, există unități suplimentare. De exemplu, pentru a măsura temperatura, unitatea principală este Kelvin, iar unitatea suplimentară este Celsius. Pentru a măsura lungimea folosim metri, dar britanicii folosesc picioare. Această listă continuă și continuă. Ideea este să înțelegeți că, pe lângă măsura gradului de unghi, există și o măsură radian, care are și dreptul de a exista.
Pentru a determina măsura radianilor unui unghi, se folosește un cerc. Se crede că măsura radianilor este lungimea arcului de cerc descrisă de unghiul central.
Amintiți-vă că un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului, iar razele se sprijină pe un arc.
Deci, un unghi de 1 rad are o măsură a gradului de 57,3°. Este descrisă fie măsura în radian a unui unghi numere naturale, sau folosind numărul π ≈ 3,14.
Pentru geometrie este mai convenabil să se folosească măsura gradului de unghi, dar pentru trigonometrie folosesc măsura radianilor.
Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vârful unghiului și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului (Fig. 14). Dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare, atunci unghiul se numește unghi dezvoltat.
Un unghi se desemnează fie prin indicarea vârfului său, fie prin indicarea laturilor sale, fie prin indicarea a trei puncte: vârful și două puncte pe laturile unghiului. Cuvântul „unghi” este uneori înlocuit
Simbolul Unghiului din Figura 14 poate fi desemnat în trei moduri:
Se spune că o rază c trece între laturile unui unghi dacă începe de la vârful său și intersectează un segment cu capete pe laturile unghiului.
În figura 15, raza c trece între laturile unghiului pe măsură ce intersectează segmentul
În cazul unui unghi drept, orice rază care emană din vârful său și diferită de laturile sale trece între laturile unghiului.
Unghiurile se măsoară în grade. Dacă luați un unghi drept și îl împărțiți în 180 de unghiuri egale, măsura gradului fiecăruia dintre aceste unghiuri se numește grad.
Proprietățile de bază ale măsurării unghiului sunt exprimate în următoarea axiomă:
Fiecare unghi are o anumită măsură de grad mai mare decât zero. Unghiul de rotire este de 180°. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.
Aceasta înseamnă că dacă o rază c trece între laturile unui unghi, atunci unghiul este egal cu suma unghiurilor
Măsura gradului unui unghi se găsește folosind un raportor.
Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Se numește un unghi mai mic de 90° unghi ascuțit. Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.
Să formulăm principala proprietate de a pune deoparte colțurile.
Din orice semi-linie, într-un semiplan dat, puteți pune un unghi cu o măsură dată de grad mai mică de 180° și doar unul.
Luați în considerare semilinia a. Îl prelungim pt punct de plecare A. Linia dreaptă rezultată împarte planul în două semiplane. Figura 16 arată cum, folosind un raportor, să se traseze un unghi cu o măsură de grad dată de 60° de la o semilinie la semiplanul superior.
T. 1. 2. Dacă două unghiuri dintr-o semi-linie dată sunt puse într-un semiplan, atunci latura unghiului mai mic, diferită de semi-linia dată, trece între laturile unghiului mai mare.
Fie unghiurile așezate dintr-o semi-linie dată a într-un semiplan și unghiul să fie mai mic decât unghiul . Teorema 1. 2 afirmă că raza trece între laturile unghiului (Fig. 17).
Bisectoarea unui unghi este raza care emană din vârful său, trece între laturi și împarte unghiul la jumătate. În figura 18, raza este bisectoarea unghiului
În geometrie există conceptul de unghi plan. Un unghi plan este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană dintr-un punct. Aceste raze se numesc laturile unghiului. Există două unghiuri plane cu laturi date. Ele sunt numite suplimentare. În figura 19, unul dintre unghiurile plane cu laturile a și este umbrit.
