Ce numere sunt iraționale? Număr irațional nu este un număr real rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție (ca un raport de două numere întregi), unde m- întreg, n- număr natural. Număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.
Număr irațional poate să nu aibă un sens exact. Doar în format 3.333333…. De exemplu, rădăcină pătrată dintre cele două, este un număr irațional.
Care număr este irațional? Număr irațional(spre deosebire de rațional) se numește fracție neperiodică zecimală infinită.
Multe irs numere raționale adesea notate cu majuscule Literă latinăîn stil îndrăzneț fără umbrire. Că.:
Aceste. Mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.
Proprietățile numerelor iraționale.
- Suma a 2 numere iraționale nenegative poate fi un număr rațional.
- Numerele iraționale definesc secțiunile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, din clasa inferioară care nu au număr mare, iar în partea de sus nu este mai puțin.
- Orice real număr transcendental este un număr irațional.
- Toate numere iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
- Mulțimea numerelor iraționale este densă peste tot pe linia numerică: între fiecare pereche de numere există un număr irațional.
- Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
- Mulțimea numerelor iraționale este infinită și este o mulțime din categoria a 2-a.
- Rezultatul fiecărei operații aritmetice cu numere raționale (cu excepția împărțirii cu 0) este un număr rațional. Rezultatul operațiilor aritmetice asupra numerelor iraționale poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.
- Suma unui număr rațional și a unui număr irațional va fi întotdeauna un număr irațional.
- Suma numerelor iraționale poate fi un număr rațional. De exemplu, lasa x irațional atunci y=x*(-1) de asemenea irațional; x+y=0, si numarul 0 rațional (dacă, de exemplu, adunăm rădăcina oricărui grad de 7 și minus rădăcina aceluiași grad de șapte, obținem numărul rațional 0).
Numere iraționale, exemple.
γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ
1.Dovezile sunt exemple de raționament deductiv și sunt diferite de argumentele inductive sau empirice. O dovadă trebuie să demonstreze că afirmația care se dovedește este întotdeauna adevărată, uneori prin enumerarea tuturor cazurilor posibile și arătând că afirmația este valabilă în fiecare dintre ele. O dovadă se poate baza pe fenomene sau cazuri evidente sau general acceptate cunoscute sub numele de axiome. Spre deosebire de aceasta, iraționalitatea „rădăcinii pătrate a doi” este dovedită.
2. Intervenția topologiei aici se explică prin însăși natura lucrurilor, ceea ce înseamnă că nu există o modalitate pur algebrică de a demonstra iraționalitatea, în special bazată pe numere raționale. Iată un exemplu, alegerea este a ta: 1 + 1/. 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 sau 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Dacă acceptați 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, care este considerată abordarea „algebrică”, atunci nu este deloc dificil să arătați că există n/m ∈ ℚ, care pe o secvență infinită este un număr irațional și finit. Aceasta sugerează că numerele iraționale sunt închiderea câmpului ℚ, dar aceasta se referă la o singularitate topologică.
Deci, pentru numerele Fibonacci, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Aceasta arată doar că există un homomorfism continuu ℚ → I, și se poate demonstra riguros că existența unui astfel de izomorfism nu este o consecință logică a axiomelor algebrice.
Înțelegerea numerelor, în special a numerelor naturale, este una dintre cele mai vechi „abilități” matematice. Multe civilizații, chiar și cele moderne, au atribuit numerelor anumite proprietăți mistice datorită importanței lor enorme în descrierea naturii. Deşi stiinta moderna iar matematica nu confirmă aceste proprietăți „magice”, importanța teoriei numerelor este incontestabilă.
Din punct de vedere istoric, au apărut mai întâi o varietate de numere naturale, apoi li s-au adăugat destul de repede fracții și numere iraționale pozitive. Numerele zero și negative au fost introduse după aceste submulțimi ale mulțimii numerelor reale. Ultimul set, set numere complexe, a apărut abia odată cu dezvoltarea științei moderne.
În matematica modernă, numerele nu sunt introduse în ordine istorică, deși destul de aproape de ea.
Numere naturale $\mathbb(N)$
Setul de numere naturale este adesea notat ca $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ și este adesea completat cu zero pentru a denota $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definește operațiile de adunare (+) și înmulțire ($\cdot$) cu următoarele proprietăți pentru orice $a,b,c\în \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ multimea $\mathbb(N)$ este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutativitate
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativitate
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitate
5. $a\cdot 1=a$ este un element neutru pentru înmulțire
Deoarece mulțimea $\mathbb(N)$ conține un element neutru pentru înmulțire, dar nu pentru adunare, adăugarea unui zero la această mulțime asigură că include un element neutru pentru adunare.
Pe lângă aceste două operații, relațiile „mai puțin decât” ($
1. $a b$ tricotomie
2. dacă $a\leq b$ și $b\leq a$, atunci $a=b$ antisimetrie
3. dacă $a\leq b$ și $b\leq c$, atunci $a\leq c$ este tranzitiv
4. dacă $a\leq b$ atunci $a+c\leq b+c$
5. dacă $a\leq b$ atunci $a\cdot c\leq b\cdot c$
Numerele întregi $\mathbb(Z)$
Exemple de numere întregi:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rezolvarea ecuației $a+x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale cunoscute, iar $x$ este un număr natural necunoscut, necesită introducerea unei noi operații - scăderea(-). Dacă există un număr natural $x$ care satisface această ecuație, atunci $x=b-a$. Cu toate acestea, această ecuație particulară nu are neapărat o soluție pentru mulțimea $\mathbb(N)$, așa că considerațiile practice necesită extinderea setului de numere naturale pentru a include soluții la o astfel de ecuație. Aceasta duce la introducerea unui set de numere întregi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Deoarece $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, este logic să presupunem că operațiile introduse anterior $+$ și $\cdot$ și relațiile $ 1. $0+a=a+0=a$ există un element neutru pentru adăugare
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ există un număr opus $-a$ pentru $a$
Proprietatea 5.:
5. dacă $0\leq a$ și $0\leq b$, atunci $0\leq a\cdot b$
Mulțimea $\mathbb(Z)$ este de asemenea închisă sub operația de scădere, adică $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Numere raționale $\mathbb(Q)$
Exemple de numere raționale:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Acum luați în considerare ecuații de forma $a\cdot x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi cunoscute, iar $x$ este o necunoscută. Pentru ca soluția să fie posibilă, este necesar să se introducă operația de împărțire ($:$), iar soluția ia forma $x=b:a$, adică $x=\frac(b)(a)$ . Din nou apare problema că $x$ nu aparține întotdeauna lui $\mathbb(Z)$, așa că mulțimea numerelor întregi trebuie extinsă. Aceasta introduce mulțimea numerelor raționale $\mathbb(Q)$ cu elemente $\frac(p)(q)$, unde $p\in \mathbb(Z)$ și $q\in \mathbb(N)$. Mulțimea $\mathbb(Z)$ este o submulțime în care fiecare element $q=1$, deci $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ și operațiile de adunare și înmulțire se extind la această mulțime conform următoarele reguli, care păstrează toate proprietățile de mai sus pe mulțimea $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Împărțirea se introduce după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Pe mulțimea $\mathbb(Q)$, ecuația $a\cdot x=b$ are o soluție unică pentru fiecare $a\neq 0$ (împărțirea la zero este nedefinită). Aceasta înseamnă că există un element invers $\frac(1)(a)$ sau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\există \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Ordinea mulțimii $\mathbb(Q)$ poate fi extinsă după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1)
Mulțimea $\mathbb(Q)$ are o proprietate importantă: între oricare două numere raționale există infinite alte numere raționale, prin urmare, nu există două numere raționale adiacente, spre deosebire de mulțimile de numere naturale și întregi.
Numere iraționale $\mathbb(I)$
Exemple de numere iraționale:
$\sqrt(2) \aproximativ 1,41422135...$
$\pi\aproximativ 3,1415926535...$
Întrucât între oricare două numere raționale există o infinitate de alte numere raționale, este ușor să concluzionați în mod eronat că mulțimea numerelor raționale este atât de densă încât nu este nevoie să o extindem în continuare. Până și Pitagora a făcut o asemenea greșeală la vremea lui. Cu toate acestea, contemporanii săi au infirmat deja această concluzie când au studiat soluțiile ecuației $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pe mulțimea numerelor raționale. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, este necesar să introducem conceptul de rădăcină pătrată, iar apoi soluția acestei ecuații are forma $x=\sqrt(2)$. O ecuație precum $x^2=a$, unde $a$ este un număr rațional cunoscut și $x$ este unul necunoscut, nu are întotdeauna o soluție pentru mulțimea numerelor raționale și, din nou, apare necesitatea extinderii set. Apare un set de numere iraționale, iar numere precum $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... aparțin acestei mulțimi.
Numere reale $\mathbb(R)$
Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale. Deoarece $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, este din nou logic să presupunem că operațiile și relațiile aritmetice introduse își păstrează proprietățile pe noua mulțime. Dovada formală a acestui lucru este foarte dificilă, astfel încât proprietățile menționate mai sus ale operațiilor și relațiilor aritmetice pe mulțimea numerelor reale sunt introduse ca axiome. În algebră, un astfel de obiect se numește câmp, deci se spune că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat.
Pentru ca definiția mulțimii numerelor reale să fie completă, este necesar să se introducă o axiomă suplimentară care să distingă mulțimile $\mathbb(Q)$ și $\mathbb(R)$. Să presupunem că $S$ este o submulțime nevidă a mulțimii de numere reale. Un element $b\in \mathbb(R)$ se numește limita superioară a unei mulțimi $S$ dacă $\forall x\in S$ deține $x\leq b$. Apoi spunem că mulțimea $S$ este mărginită mai sus. Cea mai mică limită superioară a mulțimii $S$ se numește supremum și se notează $\sup S$. Conceptele sunt introduse în mod similar limita inferioară, o mulțime mărginită mai jos și o infinită $\inf S$ . Acum axioma lipsă este formulată după cum urmează:
Orice submulțime nevidă și mărginită superioară a mulțimii de numere reale are un supremum.
De asemenea, se poate dovedi că câmpul numerelor reale definite în modul de mai sus este unic.
Numere complexe$\mathbb(C)$
Exemple de numere complexe:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ unde $i = \sqrt(-1)$ sau $i^2 = -1$
Mulțimea numerelor complexe reprezintă toate perechile ordonate de numere reale, adică $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, pe care operațiile de adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Există mai multe forme de scriere a numerelor complexe, dintre care cea mai comună este $z=a+ib$, unde $(a,b)$ este o pereche de numere reale, iar numărul $i=(0,1)$ se numește unitatea imaginară.
Este ușor de arătat că $i^2=-1$. Extinderea mulțimii $\mathbb(R)$ la mulțimea $\mathbb(C)$ ne permite să determinăm rădăcina pătrată a numere negative, care a fost motivul introducerii unui set de numere complexe. De asemenea, este ușor să arătăm că o submulțime a mulțimii $\mathbb(C)$, dată de $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, satisface toate axiomele pentru numerele reale, prin urmare $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, sau $R\subset\mathbb(C)$.
Structura algebrică a mulțimii $\mathbb(C)$ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire are următoarele proprietăți:
1. comutativitatea adunării și înmulțirii
2. asociativitatea adunării și înmulțirii
3. $0+i0$ - element neutru pentru adunare
4. $1+i0$ - element neutru pentru înmulțire
5. Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea
6. Există un singur invers atât pentru adunare, cât și pentru înmulțire.
Setul de numere iraționale este de obicei notat cu o literă mare I (\displaystyle \mathbb (I) )în stil îndrăzneț fără umbrire. Astfel: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), adică mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.
Existența numerelor iraționale, mai precis, a segmentelor incomensurabile cu un segment de unitate de lungime, era deja cunoscută de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii unui pătrat, ceea ce echivalează cu iraționalitatea lui. numărul.
YouTube enciclopedic
-
1 / 5
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Să presupunem contrariul: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rațional, adică reprezentat ca o fracție m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Unde m (\displaystyle m) este un număr întreg și n (\displaystyle n)- număr natural.
Să punem la pătrat presupusa egalitate:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Săgeată la dreapta m^(2)=2n^(2)).Poveste
Antichitate
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. [ ] .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care includea un număr întreg de ori în orice segment. ] .
Nu există date exacte despre care număr a fost dovedit irațional de Hippasus. Potrivit legendei, el a găsit-o studiind lungimile laturilor pentagramei. Prin urmare, este rezonabil să presupunem că aceasta a fost raportul de aur [ ] .
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a provocat matematica pitagoreică problema serioasa, distrugând ipoteza care stă la baza întregii teorii că numere și obiecte geometrice unite si nedespartite.
Definiția unui număr irațional
Numerele iraționale sunt acele numere care în notație zecimală reprezintă nesfârșite fracții zecimale neperiodice.
Deci, de exemplu, numerele obținute prin luarea rădăcinii pătrate a numerelor naturale sunt iraționale și nu sunt pătrate ale numerelor naturale. Dar nu toate numerele iraționale sunt obținute prin extracție rădăcini pătrate, deoarece numărul „pi” obținut prin împărțire este, de asemenea, irațional și este puțin probabil să îl obțineți atunci când încercați să extrageți rădăcina pătrată a unui număr natural.
Proprietățile numerelor iraționale
Spre deosebire de numerele scrise ca zecimale infinite, numai numerele iraționale sunt scrise ca zecimale infinite neperiodice.
Suma a două numere iraționale nenegative poate ajunge să fie un număr rațional.
Numerele iraționale definesc tăieturile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, în clasa inferioară a cărora nu există cel mai mare număr, iar în clasa superioară nu există unul mai mic.
Orice număr transcendental real este irațional.
Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
Mulțimea numerelor iraționale de pe o linie este situată dens, iar între oricare dintre numerele sale există cu siguranță un număr irațional.
Mulțimea numerelor iraționale este infinită, nenumărabilă și este o mulțime din categoria a 2-a.
Când efectuați orice operație aritmetică pe numere raționale, cu excepția împărțirii cu 0, rezultatul va fi un număr rațional.
Când adăugați un număr rațional la un număr irațional, rezultatul este întotdeauna un număr irațional.
Când adunăm numere iraționale, putem ajunge la un număr rațional.
Mulțimea numerelor iraționale nu este par.Cifrele nu sunt iraționale
Uneori este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă un număr este irațional, mai ales în cazurile în care numărul are forma zecimal sau ca expresie numerică, rădăcină sau logaritm.
Prin urmare, nu va fi de prisos să știm care numere nu sunt iraționale. Dacă urmăm definiția numerelor iraționale, atunci știm deja că numerele raționale nu pot fi iraționale.
Numerele iraționale nu sunt:
În primul rând, toate numerele naturale;
În al doilea rând, numere întregi;
În al treilea rând, fracții comune;
În al patrulea rând, diverse numere mixte;
În al cincilea rând, acestea sunt fracții zecimale periodice infinite.În plus față de toate cele de mai sus, un număr irațional nu poate fi nicio combinație de numere raționale care este realizată de semnele operațiilor aritmetice, cum ar fi +, -, , :, deoarece în acest caz rezultatul a două numere raționale va fi, de asemenea, un număr rațional.
Acum să vedem ce numere sunt iraționale:
Știți de existența unui fan club unde fanii acestui misterios fenomen matematic caută din ce în ce mai multe informații despre Pi, încercând să-i dezvăluie misterul? Orice persoană care știe pe de rost un anumit număr de numere Pi după virgulă poate deveni membru al acestui club;
Știați că în Germania, sub protecția UNESCO, există palatul Castadel Monte, datorită proporțiilor cărora puteți calcula Pi. Regele Frederic al II-lea a dedicat întreg palatul acestui număr.
Se pare că au încercat să folosească numărul Pi în timpul construcției Turnul Babel. Dar, din păcate, acest lucru a dus la prăbușirea proiectului, deoarece la acel moment calculul exact al valorii lui Pi nu era suficient studiat.
Cântăreața Kate Bush a înregistrat pe noul său disc o melodie numită „Pi”, în care s-au auzit o sută douăzeci și patru de numere din celebra serie de numere 3, 141….
