Acest articol vorbește despre determinarea distanței de la un punct la un plan. Să o analizăm folosind metoda coordonatelor, care ne va permite să găsim distanța de la un punct dat în spațiul tridimensional. Pentru a consolida acest lucru, să ne uităm la exemple de mai multe sarcini.
Distanța de la un punct la un plan este găsită folosind distanța cunoscută de la un punct la un punct, unde unul dintre ele este dat, iar celălalt este o proiecție pe un plan dat.
Când un punct M 1 cu un plan χ este specificat în spațiu, atunci prin punct poate fi trasată o dreaptă perpendiculară pe plan. H1 este punct comun intersecțiile lor. Din aceasta obţinem că segmentul M 1 H 1 este o perpendiculară trasată din punctul M 1 pe planul χ, unde punctul H 1 este baza perpendicularei.
Definiția 1
Numiți distanța de la un punct dat la baza unei perpendiculare trasate dintr-un punct dat până la avion dat.
Definiția poate fi scrisă în diferite formulări.
Definiția 2
Distanța de la punct la plan este lungimea perpendicularei trasate dintr-un punct dat pe un plan dat.
Distanța de la punctul M 1 la planul χ se determină astfel: distanța de la punctul M 1 la planul χ va fi cea mai mică de la un punct dat la orice punct din plan. Dacă punctul H 2 este situat în planul χ și nu este egal cu punctul H 2, atunci obținem un triunghi dreptunghic de forma M 2 H 1 H 2 , care este dreptunghiular, unde există un picior M 2 H 1, M 2 H 2 – ipotenuza. Aceasta înseamnă că rezultă că M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 este considerat înclinat, care este trasat din punctul M 1 în planul χ. Avem că perpendiculara trasată dintr-un punct dat pe plan este mai mică decât cea înclinată trasată din punct către planul dat. Să ne uităm la acest caz în figura de mai jos.
Distanța de la un punct la un plan - teorie, exemple, soluții
Există o serie de probleme geometrice ale căror soluții trebuie să conțină distanța de la un punct la un plan. Pot exista diferite moduri de a identifica acest lucru. Pentru a rezolva, utilizați teorema lui Pitagora sau asemănarea triunghiurilor. Când, conform condiției, este necesar să se calculeze distanța de la un punct la un plan, specificată în sistem dreptunghiular coordonatele spațiului tridimensional sunt rezolvate prin metoda coordonatelor. Acest paragraf discută această metodă.
Conform condițiilor problemei, avem că este dat un punct din spațiul tridimensional cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) cu un plan χ este necesar să se determine distanța de la M 1 la planul χ. Pentru rezolvare sunt folosite mai multe metode de rezolvare.
Prima cale
Această metodă se bazează pe găsirea distanței de la un punct la un plan folosind coordonatele punctului H 1, care sunt baza perpendicularei de la punctul M 1 la planul χ. Apoi, trebuie să calculați distanța dintre M 1 și H 1.
Pentru a rezolva problema în al doilea mod, utilizați ecuația normală avion dat.
A doua cale
Prin condiție, avem că H 1 este baza perpendicularei, care a fost coborâtă din punctul M 1 în planul χ. Apoi determinăm coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1. Distanța necesară de la M 1 la planul χ se găsește prin formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, unde M 1 (x 1, y 1, z 1) şi H1 (x 2, y 2, z 2). Pentru a rezolva, trebuie să cunoașteți coordonatele punctului H 1.
Avem că H 1 este punctul de intersecție al planului χ cu dreapta a, care trece prin punctul M 1 situat perpendicular pe planul χ. Rezultă că este necesar să se alcătuiască o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat. Atunci vom putea determina coordonatele punctului H 1. Este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului.
Algoritm pentru găsirea distanței de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ:
Definiția 3
- întocmeşte o ecuaţie a dreptei a care trece prin punctul M 1 şi în acelaşi timp
- perpendicular pe planul χ;
- găsiți și calculați coordonatele (x 2 , y 2 , z 2) ale punctului H 1, care sunt puncte
- intersecția dreptei a cu planul χ ;
- calculați distanța de la M 1 la χ folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
A treia cale
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat O x y z există un plan χ, atunci obținem o ecuație normală a planului de forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. De aici obținem că distanța M 1 H 1 cu punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) trasat în planul χ, calculată prin formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Această formulă este valabilă, deoarece a fost stabilită datorită teoremei.
Teorema
Dacă punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) este dat în spatiu tridimensional, având o ecuație normală a planului χ de forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, atunci distanța de la punctul la planul M 1 H 1 se calculează din formula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, deoarece x = x 1, y = y 1, z = z 1.
Dovada
Demonstrarea teoremei se reduce la găsirea distanței de la un punct la o dreaptă. De aici obținem că distanța de la M 1 la planul χ este modulul diferenței dintre proiecția numerică a vectorului rază M 1 cu distanța de la origine la planul χ. Atunci obținem expresia M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vectorul normal al planului χ are forma n → = cos α, cos β, cos γ, iar lungimea lui este egală cu unu, n p n → O M → este proiecția numerică a vectorului O M → = (x 1, y 1 , z 1) în direcţia determinată de vectorul n → .
Să aplicăm formula pentru calcularea vectorilor scalari. Apoi obținem o expresie pentru găsirea unui vector de forma n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , deoarece n → = cos α , cos β , cos γ · z și O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Forma coordonate a scrierii va lua forma n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , apoi M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema a fost demonstrată.
De aici obținem că distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ se calculează prin înlocuirea cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 în partea stângă a ecuației normale a planului în loc de coordonatele x, y, z x 1, y 1 și z 1, referitor la punctul M 1, luând valoarea absolută a valorii obţinute.
Să ne uităm la exemple de găsire a distanței de la un punct cu coordonate la un plan dat.
Exemplul 1
Calculați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10) până la planul 2 x - y + 5 z - 3 = 0.
Soluţie
Să rezolvăm problema în două moduri.
Prima metodă începe cu calcularea vectorului de direcție al dreptei a. Prin condiție, avem că ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 este o ecuație plană generală, iar n → = (2, - 1, 5) este vectorul normal al planului dat. Este folosit ca vector de direcție al unei drepte a, care este perpendiculară pe un plan dat. Ar trebui notat ecuație canonică o linie dreaptă în spațiu care trece prin M 1 (5, - 3, 10) cu un vector de direcție cu coordonatele 2, - 1, 5.
Ecuația va deveni x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
Punctele de intersecție trebuie determinate. Pentru a face acest lucru, combinați ușor ecuațiile într-un sistem pentru a trece de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două drepte care se intersectează. Acest punct să luăm H 1. Înțelegem asta
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
După care trebuie să activați sistemul
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Să ne întoarcem la regula soluției sistemului gaussian:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
Obținem că H 1 (1, - 1, 0).
Calculăm distanța de la un punct dat la plan. Luăm punctele M 1 (5, - 3, 10) și H 1 (1, - 1, 0) și obținem
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
A doua soluție este să aduceți mai întâi ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 la forma normală. Determinăm factorul de normalizare și obținem 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De aici derivăm ecuația planului 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Partea stângă a ecuației este calculată prin înlocuirea x = 5, y = - 3, z = 10 și trebuie să luați distanța de la M 1 (5, - 3, 10) la 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Obținem expresia:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Răspuns: 2 30.
Când planul χ este specificat printr-una dintre metodele din secțiunea privind metodele de specificare a unui plan, atunci trebuie mai întâi să obțineți ecuația planului χ și să calculați distanța necesară folosind orice metodă.
Exemplul 2
În spațiul tridimensional sunt specificate puncte cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Calculați distanța de la M 1 la planul A B C.
Soluţie
Mai întâi trebuie să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1).
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Rezultă că problema are o soluție similară celei precedente. Aceasta înseamnă că distanța de la punctul M 1 la planul A B C are o valoare de 2 30.
Răspuns: 2 30.
Găsirea distanței de la un punct dat de pe un plan sau de un plan la care sunt paralele este mai convenabilă prin aplicarea formulei M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Din aceasta obținem că ecuațiile normale ale planelor se obțin în mai multe etape.
Exemplul 3
Aflați distanța de la un punct dat cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) la plan de coordonate Despre x y z și planul definit de ecuația 2 y - 5 = 0.
Soluţie
Planul de coordonate O y z corespunde unei ecuații de forma x = 0. Pentru planul O y z este normal. Prin urmare, este necesar să înlocuiți valorile x = - 3 în partea stângă a expresiei și să luați valoarea absolută a distanței de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) la plan. Obținem o valoare egală cu - 3 = 3.
După transformare, ecuația normală a planului 2 y - 5 = 0 va lua forma y - 5 2 = 0. Apoi puteți găsi distanța necesară de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) până la planul 2 y - 5 = 0. Înlocuind și calculând, obținem 2 - 5 2 = 5 2 - 2.
Răspuns: Distanța necesară de la M 1 (- 3, 2, - 7) la O y z are valoarea 3, iar la 2 y - 5 = 0 are valoarea 5 2 - 2.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Găsirea distanței de la un punct la un plan este o problemă comună care apare la rezolvarea diferitelor probleme de geometrie analitică de exemplu, această problemă se poate reduce la găsirea distanței dintre două drepte care se intersectează sau între o dreaptă și un plan paralel cu; ea.
Luați în considerare planul $β$ și punctul $M_0$ cu coordonatele $(x_0;y_0; z_0)$, nu aparținând avionului $β$.
Definiția 1
Cea mai scurtă distanță dintre un punct și un plan va fi perpendiculara trasată de la punctul $M_0$ la planul $β$.
Figura 1. Distanța de la un punct la un plan. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Mai jos discutăm cum să găsim distanța de la un punct la un plan folosind metoda coordonatelor.
Derivarea formulei pentru metoda coordonatelor de găsire a distanței de la un punct la un plan în spațiu
O perpendiculară din punctul $M_0$ care intersectează planul $β$ în punctul $M_1$ cu coordonatele $(x_1;y_1; z_1)$ se află pe o dreaptă al cărei vector direcție este vectorul normal al planului $β$. În acest caz, lungimea vectorului unitar $n$ este egală cu unu. În consecință, distanța de la $β$ la punctul $M_0$ va fi:
$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, unde $\vec(M_1M_0)$ este vectorul normal al planului $β$ și $\vec( n)$ este vectorul normal unitar al planului luat în considerare.
În cazul în care ecuația planului este dată în vedere generală$Ax+ Prin + Cz + D=0$, coordonatele vectorului normal al planului sunt coeficienții ecuației $\(A;B;C\)$, iar vectorul normal unitar în acest caz are coordonatele calculate prin următoarea ecuație:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.
Acum putem găsi coordonatele vectorului normal $\vec(M_1M_0)$:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.
De asemenea, exprimăm coeficientul $D$ folosind coordonatele unui punct situat în planul $β$:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
Coordonatele vectorului normal unitar din egalitatea $(2)$ pot fi substituite în ecuația planului $β$, atunci avem:
$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\stanga(4\dreapta)$
Egalitatea $(4)$ este o formulă pentru găsirea distanței de la un punct la un plan în spațiu.
Algoritm general pentru găsirea distanței de la punctul $M_0$ la un plan
- Dacă ecuația planului nu este specificată în forma generala, mai întâi trebuie să o aduceți la general.
- După aceasta este necesar să se exprime din ecuație generală plan, vectorul normal al unui plan dat prin punctul $M_0$ și un punct aparținând unui plan dat pentru aceasta trebuie să folosim egalitatea $(3)$;
- Următoarea etapă este căutarea coordonatelor vectorului normal unitar al planului folosind formula $(2)$.
- În cele din urmă, puteți începe să găsiți distanța de la un punct la un plan, acest lucru se face prin calcul produs punctual vectorii $\vec(n)$ și $\vec(M_1M_0)$.
PROBLEME C2 ALE EXAMENULUI DE STAT UNIFORM LA MATEMATICĂ PENTRU GĂSIREA DISTANȚA DE LA UN PUNCT LA UN AVION
Kulikova Anastasia Iurievna
Elev în anul 5, Departamentul de Matematică. analiză, algebră și geometrie EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga
Ganeeva Aigul Rifovna
conducător științific, Ph.D. ped. Științe, profesor asociat EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga
ÎN Teme de examen de stat unificat la matematică în ultimii ani apar probleme pentru a calcula distanța de la un punct la un plan. În acest articol, folosind exemplul unei probleme, luăm în considerare diverse metode aflarea distantei de la un punct la un plan. Metoda cea mai potrivită poate fi folosită pentru a rezolva diverse probleme. După ce ați rezolvat o problemă folosind o metodă, puteți verifica corectitudinea rezultatului folosind o altă metodă.
Definiţie. Distanța de la un punct la un plan care nu conține acest punct este lungimea segmentului perpendicular trasat din acest punct la planul dat.
Sarcină. Dan cuboid OBCUD.A. 1 B 1 C 1 D 1 cu laterale AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Găsiți distanța de la punct D a aviona ACD 1 .
1 cale. Folosind definiţie. Aflați distanța r( D, ACD 1) de la punct D a aviona ACD 1 (Fig. 1).
Figura 1. Prima metodă
Să ducem la îndeplinire D.H.⊥AC, prin urmare, prin teorema a trei perpendiculare D 1 H⊥ACŞi (DD 1 H)⊥AC. Să ducem la îndeplinire direct D.T. perpendicular D 1 H. Drept D.T. zace intr-un avion DD 1 H, prin urmare D.T.⊥A.C.. Prin urmare, D.T.⊥ACD 1.
ODC să găsim ipotenuza AC si inaltime D.H.
Dintr-un triunghi dreptunghic D 1 D.H. să găsim ipotenuza D 1 H si inaltime D.T.
Raspuns: .
Metoda 2.Metoda volumului (utilizarea unei piramide auxiliare). O problemă de acest tip poate fi redusă la problema calculării înălțimii unei piramide, unde înălțimea piramidei este distanța necesară de la un punct la un plan. Demonstrați că această înălțime este distanța necesară; găsiți volumul acestei piramide în două moduri și exprimați această înălțime.
Rețineți că atunci când această metodă nu este nevoie de a construi o perpendiculară dintr-un punct dat pe un plan dat.
Un cuboid este un paralelipiped ale cărui fețe sunt dreptunghiuri.
AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.
Distanța necesară va fi înălțimea h piramide ACD 1 D, coborât de sus D pe bază ACD 1 (Fig. 2).
Să calculăm volumul piramidei ACD 1 Dîn două moduri.
Când calculăm, în primul mod luăm ca bază ∆ ACD 1 atunci
Când calculăm în al doilea mod, luăm ca bază ∆ ACD, Atunci
Să echivalăm părțile drepte ale ultimelor două egalități și să obținem
Figura 2. A doua metodă
Din triunghiuri dreptunghiulare ACD, ADĂUGA 1 , CDD 1 găsiți ipotenuza folosind teorema lui Pitagora
ACD
Calculați aria triunghiului ACD 1 folosind formula lui Heron
Raspuns: .
3 căi. Metoda coordonatelor.
Să se acorde un punct M(x 0 ,y 0 ,z 0) și avion α , dat de ecuaţie topor+de+cz+d=0 într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Distanța de la punct M la planul α poate fi calculat folosind formula:
Să introducem un sistem de coordonate (Fig. 3). Originea coordonatelor într-un punct ÎN;
Drept AB- axa X, Drept Soare- axa y, Drept BB 1 - axa z.
Figura 3. A treia metodă
B(0,0,0), O(2,0,0), CU(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Lasă ox+de+ cz+ d=0 – ecuație plană ACD 1. Înlocuind coordonatele punctelor în ea O, C, D 1 obținem:
Ecuația plană ACD 1 va lua forma
Raspuns: .
4 moduri. Metoda vectorială.
Să introducem baza (Fig. 4) , .
Figura 4. A patra metodă
Determinarea distantei dintre: 1 - punct si plan; 2 - drept și plat; 3 - avioane; 4 - liniile drepte încrucișate sunt considerate împreună, deoarece algoritmul de soluție pentru toate aceste probleme este în esență același și constă din constructii geometrice, care trebuie efectuată pentru a determina distanța dintre dat prin punct A și planul α. Dacă există vreo diferență, aceasta constă doar în faptul că în cazurile 2 și 3, înainte de a începe rezolvarea problemei, ar trebui să marcați un punct arbitrar A pe dreapta m (cazul 2) sau pe planul β (cazul 3). distanțe dintre liniile de încrucișare, le închidem mai întâi în planuri paralele α și β și apoi determinăm distanța dintre aceste plane.
Să luăm în considerare fiecare dintre cazurile notate de rezolvare a problemelor.
1. Determinarea distanței dintre un punct și un plan.
Distanța de la un punct la un plan este determinată de lungimea unui segment perpendicular trasat de la un punct la plan.
Prin urmare, soluția la această problemă constă în efectuarea secvențială a următoarelor operații grafice:
1) din punctul A coborâm perpendiculara pe planul α (Fig. 269);
2) găsiți punctul M de intersecție al acestei perpendiculare cu planul M = a ∩ α;
3) determinați lungimea segmentului.
Dacă planul α pozitia generala, apoi pentru a coborî o perpendiculară pe acest plan, este necesar să se determine mai întâi direcția proiecțiilor orizontale și frontale ale acestui plan. Găsirea punctului de întâlnire al acestei perpendiculare cu planul necesită și construcții geometrice suplimentare.
Soluția problemei este simplificată dacă planul α ocupă o anumită poziție față de planurile de proiecție. În acest caz, atât proiecția perpendicularei, cât și găsirea punctului de întâlnire a acesteia cu planul sunt efectuate fără construcții auxiliare suplimentare.
EXEMPLU 1. Determinați distanța de la punctul A la planul α care se proiectează frontal (Fig. 270).
SOLUŢIE. Prin A” realizăm proiecție orizontală perpendiculară l" ⊥ h 0α, iar prin A" - proiecția sa frontală l" ⊥ f 0α. Se marchează punctul M" = l" ∩ f 0α. Deoarece AM || π 2, atunci [A" M"] == |. AM|=d.
Din exemplul luat în considerare, este clar cât de simplu se rezolvă problema atunci când avionul ocupă o poziție de proiectare. Prin urmare, dacă în datele sursă este specificat un plan de poziție generală, atunci înainte de a continua cu soluția, planul trebuie mutat într-o poziție perpendiculară pe orice plan de proiecție.
EXEMPLU 2. Determinați distanța de la punctul K la planul specificat de ΔАВС (Fig. 271).
1. Transferăm planul ΔАВС în poziția de proiectare *. Pentru a face acest lucru, trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 3 /π 1: direcția noii axe x 1 este aleasă perpendicular pe proiecția orizontală a planului orizontal al triunghiului.
2. Proiectați ΔABC pe un nou plan π 3 (planul ΔABC este proiectat pe π 3, în [ C " 1 B " 1 ]).
3. Proiectați punctul K pe același plan (K" → K" 1).
4. Prin punctul K" 1 trasăm (K" 1 M" 1)⊥ segmentul [C" 1 B" 1 ]. Distanța necesară d = |K" 1 M" 1 |
Soluția problemei este simplificată dacă planul este definit prin urme, deoarece nu este nevoie să desenați proiecții ale liniilor de nivel.
EXEMPLU 3. Determinați distanța de la punctul K la planul α, specificată de urme (Fig. 272).
* Cea mai rațională modalitate de a transfera planul triunghiular în poziția de proiectare este înlocuirea planurilor de proiecție, deoarece în acest caz este suficient să construiți o singură proiecție auxiliară.
SOLUŢIE. Înlocuim planul π 1 cu planul π 3, pentru aceasta desenăm o nouă axă x 1 ⊥ f 0α. Pe h 0α marchem un punct arbitrar 1" și determinăm noua proiecție orizontală a acestuia pe planul π 3 (1" 1). Prin punctele X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) și 1" 1 desenăm h 0α 1. Determinăm noua proiecție orizontală a punctului K → K" 1. Din punctul K" 1 coborâm perpendiculara pe h 0α 1 și marcam punctul de intersecție cu h 0α 1 - M" 1. Lungimea segmentului K" 1 M" 1 va indica distanța necesară.
2. Determinarea distanței dintre o dreaptă și un plan.
Distanța dintre o dreaptă și un plan este determinată de lungimea unui segment perpendicular scăpat dintr-un punct arbitrar al dreptei către plan (vezi Fig. 248).
Prin urmare, soluția problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α nu este diferită de exemplele discutate în paragraful 1 pentru determinarea distanței dintre un punct și un plan (vezi Fig. 270 ... 272). Ca punct, puteți lua orice punct aparținând dreptei m.
3. Determinarea distanței dintre avioane.
Distanța dintre planuri este determinată de mărimea segmentului perpendicular scăpat dintr-un punct luat pe un plan în alt plan.
Din această definiție rezultă că algoritmul de rezolvare a problemei găsirii distanței dintre planele α și β diferă de un algoritm similar de rezolvare a problemei determinării distanței dintre dreapta m și planul α doar în aceea că linia m trebuie să aparțină planului α. , adică pentru a determina distanța dintre planele α și β urmează:
1) luați o dreaptă m în planul α;
2) selectați un punct arbitrar A pe dreapta m;
3) din punctul A, coborâți perpendiculara l pe planul β;
4) determinați punctul M - punctul de întâlnire al perpendicularei l cu planul β;
5) determinați dimensiunea segmentului.
În practică, este recomandabil să se folosească un algoritm de soluție diferit, care va diferi de cel dat doar prin faptul că, înainte de a trece cu primul pas, planurile ar trebui să fie transferate în poziția de proiecție.
Includerea acestei operații suplimentare în algoritm simplifică execuția tuturor celorlalte puncte fără excepție, ceea ce duce în cele din urmă la o soluție mai simplă.
EXEMPLU 1. Determinați distanța dintre planele α și β (Fig. 273).
SOLUŢIE. Trecem de la sistemul xπ 2 /π 1 la x 1 π 1 /π 3. În ceea ce privește noul plan π 3, planurile α și β ocupă o poziție proeminentă, prin urmare distanța dintre noile urme frontale f 0α 1 și f 0β 1 este cea dorită.
În practica ingineriei, este adesea necesar să se rezolve problema construcției unui plan paralel cu un plan dat și îndepărtat de acesta la o anumită distanță. Exemplul 2 de mai jos ilustrează soluția unei astfel de probleme.
EXEMPLU 2. Este necesar să se construiască proiecții ale unui plan β paralel cu un plan dat α (m || n), dacă se știe că distanța dintre ele este d (Fig. 274).
1. În planul α desenăm drepte orizontale arbitrare h (1, 3) și linii frontale f (1,2).
2. Din punctul 1 refacem perpendiculara l pe planul α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").
3. Pe perpendiculara l notăm un punct arbitrar A.
4. Determinați lungimea segmentului - (poziția indică pe diagramă direcția metric nedistorsionată a dreptei l).
5. Așezați segmentul = d pe linia dreaptă (1"A 0) din punctul 1".
6. Marcați pe proiecțiile l" și l" punctele B" și B", corespunzătoare punctului B 0.
7. Prin punctul B desenăm planul β (h 1 ∩ f 1). Pentru β || α, este necesar să se respecte condiția h 1 || h și f 1 || f.
4. Determinarea distanței dintre liniile care se intersectează.
Distanța dintre liniile care se intersectează este determinată de lungimea perpendicularei cuprinse între planurile paralele cărora le aparțin liniile care se intersectează.
Pentru a desena plane reciproc paralele α și β prin drepte care se intersectează m și f, este suficient să trasăm prin punctul A (A ∈ m) o dreaptă p paralelă cu dreapta f și prin punctul B (B ∈ f) o dreaptă k paralelă cu dreapta m . Dreptele care se intersectează m și p, f și k definesc planele reciproc paralele α și β (vezi Fig. 248, e). Distanța dintre planele α și β este egală cu distanța necesară dintre liniile de încrucișare m și f.
O altă modalitate de a determina distanța dintre liniile care se intersectează poate fi propusă, și anume utilizarea unui fel de metodă de transformare proiecții ortogonale una dintre liniile de trecere este transferată în poziția de proiectare. În acest caz, o proiecție a dreptei degenerează într-un punct. Distanța dintre noile proiecții ale liniilor de încrucișare (punctul A" 2 și segmentul C" 2 D" 2) este cea necesară.
În fig. 275 prezintă o soluție la problema determinării distanței dintre liniile de încrucișare a și b, date segmente [AB] și [CD]. Soluția se efectuează în următoarea secvență:
1. Mutați una dintre liniile drepte de încrucișare (a) într-o poziție paralel cu planulπ 3; pentru a face acest lucru, se deplasează de la sistemul de planuri de proiecție xπ 2 /π 1 la noul x 1 π 1 /π 3, axa x 1 este paralelă cu proiecția orizontală a dreptei a. Determinați a" 1 [A" 1 B" 1 ] și b" 1.
2. Prin înlocuirea planului π 1 cu planul π 4, translatăm dreapta
iar la poziţia a" 2, perpendicular pe planul π 4 (noua axă x 2 este desenată perpendicular pe a" 1).
3. Construiți o nouă proiecție orizontală a dreptei b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].
4. Distanța de la punctul A" 2 la linia dreaptă C" 2 D" 2 (segmentul (A" 2 M" 2 ] (este cel necesar).
Trebuie avut în vedere că transferul uneia dintre liniile de trecere în poziția de proiectare nu este altceva decât transferul planurilor de paralelism, în care liniile a și b pot fi închise, tot în poziția de proiectare.
De fapt, prin mutarea liniei a într-o poziție perpendiculară pe planul π 4, ne asigurăm că orice plan care conține dreapta a este perpendicular pe planul π 4, inclusiv planul α definit de liniile a și m (a ∩ m, m | |. b). Dacă tragem acum o dreaptă n, paralelă cu a și dreapta care se intersectează cu b, atunci obținem planul β, care este al doilea plan de paralelism, care conține dreptele care se intersectează a și b. Din moment ce β || α, atunci β ⊥ π 4 .
