Modul în care se produce adunarea vectorială nu este întotdeauna clar pentru elevi. Copiii habar nu au ce se ascunde în spatele lor. Trebuie doar să vă amintiți regulile și să nu vă gândiți la esență. Prin urmare, tocmai principiile adunării și scăderii cantităților vectoriale necesită multe cunoștințe.

Adăugarea a doi sau mai mulți vectori rezultă întotdeauna în încă unul. Mai mult, va fi mereu la fel, indiferent de modul în care se găsește.

Cel mai adesea în curs şcolar geometria are în vedere adunarea a doi vectori. Se poate realiza după regula triunghiului sau paralelogramului. Aceste desene arată diferit, dar rezultatul acțiunii este același.

Cum are loc adunarea folosind regula triunghiului?

Este folosit când vectorii sunt necoliniari. Adică nu se află pe aceeași linie dreaptă sau pe cele paralele.

În acest caz, primul vector trebuie trasat dintr-un punct arbitrar. De la capătul său este necesar să se tragă paralel și egal cu al doilea. Rezultatul va fi un vector care începe de la începutul primului și se termină la sfârșitul celui de-al doilea. Modelul seamănă cu un triunghi. De aici și numele regulii.

Dacă vectorii sunt coliniari, atunci se poate aplica și această regulă. Doar desenul va fi amplasat de-a lungul unei linii.

Cum se realizează adunarea folosind regula paralelogramului?

Din nou? se aplică numai vectorilor necoliniari. Construcția se realizează după un principiu diferit. Deși începutul este același. Trebuie să lăsăm deoparte primul vector. Și de la începutul său - al doilea. Pe baza acestora, completați paralelogramul și trasați o diagonală de la începutul ambilor vectori. Acesta va fi rezultatul. Acesta este modul în care se realizează adăugarea vectorială conform regulii paralelogramului.

Până acum au fost două. Dar dacă sunt 3 sau 10? Utilizați următoarea tehnică.

Cum și când se aplică regula poligonului?

Dacă trebuie să efectuați adăugarea de vectori, al căror număr este mai mare de doi, nu vă fie teamă. Este suficient să le puneți pe toate deoparte secvențial și să conectați începutul lanțului cu sfârșitul său. Acest vector va fi suma necesară.

Ce proprietăți sunt valabile pentru operațiile cu vectori?

Despre vectorul zero. Care afirmă că atunci când se adaugă la acesta, se obține originalul.

Despre vectorul opus. Adică despre unul care are direcția opusă și mărimea egală. Suma lor va fi zero.

Despre comutativitatea adunării. Ce s-a cunoscut de atunci școală primară. Schimbarea pozițiilor termenilor nu modifică rezultatul. Cu alte cuvinte, nu contează ce vector să amâni primul. Răspunsul va fi în continuare corect și unic.

Despre asociativitatea adunării. Această lege vă permite să adăugați orice vector dintr-un triplu în perechi și să adăugați un al treilea la ei. Dacă scrieți asta folosind simboluri, obțineți următoarele:

primul + (al doilea + al treilea) = al doilea + (primul + al treilea) = al treilea + (primul + al doilea).

Ce se știe despre diferența vectorială?

Nu există o operație separată de scădere. Acest lucru se datorează faptului că este în esență adăugare. Numai celui de-al doilea dintre ei i se dă direcția opusă. Și apoi totul se face ca și cum s-ar lua în considerare adăugarea vectorilor. Prin urmare, practic nu se vorbește despre diferența lor.

Pentru a simplifica lucrul cu scăderea lor, se modifică regula triunghiului. Acum (la scăderea) al doilea vector trebuie pus deoparte de la începutul primului. Răspunsul va fi cel care leagă punctul final al minuendului cu același ca și subtraend. Deși îl puteți amâna așa cum este descris mai devreme, pur și simplu schimbând direcția celui de-al doilea.

Cum să găsiți suma și diferența vectorilor în coordonate?

Problema oferă coordonatele vectorilor și necesită aflarea valorilor acestora pentru rezultatul final. În acest caz, nu este nevoie să efectuați construcții. Adică, puteți folosi formule simple care descriu regula pentru adăugarea vectorilor. Arata asa:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Este ușor de observat că coordonatele trebuie doar să fie adăugate sau scăzute, în funcție de sarcina specifică.

Primul exemplu cu soluție

Stare. Dat un dreptunghi ABCD. Laturile sale sunt egale cu 6 și 8 cm Punctul de intersecție al diagonalelor este desemnat cu litera O. Este necesar să se calculeze diferența dintre vectorii AO și VO.

Soluţie. Mai întâi trebuie să desenați acești vectori. Ele sunt direcționate de la vârfurile dreptunghiului până la punctul de intersecție al diagonalelor.

Dacă te uiți cu atenție la desen, poți vedea că vectorii sunt deja combinați, astfel încât al doilea dintre ei să fie în contact cu sfârșitul primului. Doar că direcția lui este greșită. Ar trebui să înceapă din acest punct. Aceasta este dacă vectorii sunt adăugați, dar problema implică scăderea. Stop. Această acțiune înseamnă că trebuie să adăugați vectorul direcționat opus. Aceasta înseamnă că VO trebuie înlocuit cu OV. Și se dovedește că cei doi vectori au format deja o pereche de laturi din regula triunghiului. Prin urmare, rezultatul adunării lor, adică diferența dorită, este vectorul AB.

Și coincide cu latura dreptunghiului. Pentru a scrie răspunsul numeric, veți avea nevoie de următoarele. Desenați un dreptunghi pe lungime, astfel încât latura mai mare să fie orizontală. Începeți să numerotați vârfurile din stânga jos și mergeți în sens invers acelor de ceasornic. Atunci lungimea vectorului AB va fi egală cu 8 cm.

Răspuns. Diferența dintre AO și VO este de 8 cm.

Al doilea exemplu și soluția sa detaliată

Stare. Diagonalele rombului ABCD au 12 și 16 cm Punctul de intersecție a acestora este desemnat cu litera O. Calculați lungimea vectorului format din diferența dintre vectorii AO și BO.

Soluţie. Fie ca desemnarea vârfurilor rombului să fie aceeași ca în problema anterioară. Similar cu soluția din primul exemplu, se dovedește că diferența necesară este egală cu vectorul AB. Și lungimea lui este necunoscută. Rezolvarea problemei s-a rezumat la calcularea uneia dintre laturile rombului.

În acest scop, va trebui să luați în considerare triunghiul ABO. Este dreptunghiulară deoarece diagonalele unui romb se intersectează la un unghi de 90 de grade. Și picioarele sale sunt egale cu jumătate din diagonale. Adică 6 și 8 cm Latura căutată în problemă coincide cu ipotenuza din acest triunghi.

Pentru a-l găsi veți avea nevoie de teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei va fi egal cu suma numerelor 6 2 și 8 2. După pătrat, valorile obținute sunt: ​​36 și 64. Suma lor este 100. Rezultă că ipotenuza este egală cu 10 cm.

Răspuns. Diferența dintre vectorii AO și VO este de 10 cm.

Al treilea exemplu cu soluție detaliată

Stare. Calculați diferența și suma a doi vectori. Coordonatele lor sunt cunoscute: prima are 1 și 2, a doua are 4 și 8.

Soluţie. Pentru a găsi suma, va trebui să adăugați prima și a doua coordonată în perechi. Rezultatul vor fi numerele 5 și 10. Răspunsul va fi un vector cu coordonate (5; 10).

Pentru diferență, trebuie să scazi coordonatele. După efectuarea acestei acțiuni se vor obține numerele -3 și -6. Acestea vor fi coordonatele vectorului dorit.

Răspuns. Suma vectorilor este (5; 10), diferența lor este (-3; -6).

Al patrulea exemplu

Stare. Lungimea vectorului AB este de 6 cm, BC este de 8 cm. Cel de-al doilea este îndepărtat de la capătul primului la un unghi de 90 de grade. Calculaţi: a) diferenţa dintre modulele vectorilor VA şi BC şi modulul diferenţei dintre VA şi BC; b) suma acelorași module și modulul sumei.

Rezolvare: a) Lungimile vectorilor sunt deja date în problemă. Prin urmare, calcularea diferenței lor nu este dificilă. 6 - 8 = -2. Situația cu modulul de diferență este ceva mai complicată. Mai întâi trebuie să aflați care vector va fi rezultatul scăderii. În acest scop, trebuie lăsat deoparte vectorul VA, care este îndreptat către partea opusă AB. Apoi desenați vectorul BC de la capătul său, îndreptându-l în direcția opusă celei inițiale. Rezultatul scăderii este vectorul CA. Modulul său poate fi calculat folosind teorema lui Pitagora. Calculele simple duc la o valoare de 10 cm.

b) Suma modulelor vectorilor este egală cu 14 cm Pentru a găsi al doilea răspuns, va fi necesară o transformare. Vectorul BA este îndreptat invers față de cel dat - AB. Ambii vectori sunt direcționați din același punct. În această situație, puteți folosi regula paralelogramului. Rezultatul adunării va fi o diagonală și nu doar un paralelogram, ci un dreptunghi. Diagonalele sale sunt egale, ceea ce înseamnă că modulul sumei este același ca în paragraful anterior.

Raspuns: a) -2 si 10 cm; b) 14 și 10 cm.

Vector- un segment de linie direcționată, adică un segment pentru care se indică care dintre punctele sale de limită este începutul și care este sfârșitul.

Vector care începe la un punct A (\displaystyle A)și se termină într-un punct B (\displaystyle B) de obicei notat ca . Vectorii pot fi de asemenea notați cu mic cu litere latine cu o săgeată (uneori o liniuță) deasupra lor, de exemplu. Un alt mod obișnuit de a scrie este de a evidenția simbolul vectorial cu caractere aldine: a (\displaystyle \mathbf (a) ).

Un vector în geometrie este în mod natural comparat cu translația (translația paralelă), ceea ce clarifică în mod evident originea numelui său (lat. vector, purtător). Deci, fiecare segment direcționat definește în mod unic un transfer paralel de plan sau spațiu: să zicem, un vector A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) determină în mod firesc traducerea la care punctul A (\displaystyle A) va merge la punct B (\displaystyle B), de asemenea invers, transfer paralel, în care A (\displaystyle A) intră în B (\displaystyle B), definește un singur segment direcționat A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(singurul - dacă considerăm toate segmentele direcționate ale aceleiași direcții ca fiind egale și - adică, le considerăm ca ; într-adevăr, cu transfer paralel toate punctele sunt deplasate în aceeași direcție cu aceeași distanță, deci în această înțelegere A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overrightarrow (A_(3)B_(3)))=\dots )).

Interpretarea unui vector ca transfer ne permite să introducem o operație într-un mod natural și intuitiv evident - ca o alcătuire (aplicare secvențială) a două (sau mai multe) transferuri; același lucru este valabil și pentru operația de înmulțire a unui vector cu un număr.

Concepte de bază

Un vector este un segment direcționat construit din două puncte, dintre care unul este considerat început, iar celălalt sfârșit.

Coordonatele unui vector sunt definite ca diferența dintre coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit. De exemplu, pe plan de coordonate, dacă sunt date coordonatele de început și de sfârșit: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1)))Şi T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), atunci coordonatele vectoriale vor fi: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Lungimea vectorului V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) este distanța dintre două puncte T 1 (\displaystyle T_(1))Şi T 2 (\displaystyle T_(2)), este de obicei notat |

V → | = | T 2 − T 1 |

= | (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) |= (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle |(\overrightarrow (V))|=|T_(2)-T_(1)|=|(x_(2)- x_(1),y_(2)-y_(1))|=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)-y_(1))^( 2)))) Rolul zero între vectori este jucat de vectorul zero, al cărui început și sfârșit coincid T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1)=T_(2))

; lui, spre deosebire de alți vectori, nu i se atribuie nicio direcție.

Pentru reprezentarea în coordonate a vectorilor

mare valoare

are un concept proiecția vectorului pe axă segmentele dirijate (considerând ca distincte toate segmentele dirijate ale căror începuturi și sfârșituri nu coincid), ele iau doar o anumită modificare a acestei mulțimi (mulțime de factori), adică unele segmente dirijate sunt considerate egale dacă au aceeași direcție și lungime, deși pot avea început (și sfârșit) diferit, adică segmentele direcționate de aceeași lungime și direcție sunt considerate a reprezenta același vector; Astfel, fiecare vector se dovedește a avea o întreagă clasă corespunzătoare de segmente direcționate, identice ca lungime și direcție, dar care diferă ca început (și sfârșit).

Da, ei vorbesc despre "gratuit", "alunecare"Şi vectori „fixi”.. Aceste tipuri diferă prin conceptul de egalitate a doi vectori.

• Când se vorbește despre vectori liberi, ei identifică orice vector care are aceeași direcție și lungime;
• vorbind despre vectori de alunecare, ei adaugă că originile vectorilor de alunecare egali trebuie să coincidă sau să se afle pe aceeași linie dreaptă pe care se află segmentele direcționate reprezentând acești vectori (astfel încât unul să poată fi combinat cu o altă mișcare în direcția specificată de aceasta);
• vorbind despre vectori fiși, ei spun că sunt considerați egali doar vectorii ale căror direcții și origini coincid (adică în acest caz nu există factorizare: nu există doi vectori fiși cu origini diferite care ar fi considerați egali).

Oficial:

Ei spun asta vectori liberi A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))și sunt egale dacă există puncte E (\displaystyle E)Şi F (\displaystyle F) astfel încât patrulatere A B F E (\displaystyle ABFE)Şi C D F E (\displaystyle CDFE)- paralelograme.

Ei spun asta vectori de alunecare A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))Şi C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sunt egale dacă

Vectorii de alunecare sunt folosiți în special în mecanică. Cel mai simplu exemplu vector de alunecare în mecanică - forța care acționează asupra solid. Deplasarea originii vectorului forță de-a lungul dreptei pe care se află nu modifică momentul forței în raport cu niciun punct; transferul acestuia pe o altă linie dreaptă, chiar dacă nu modificați mărimea și direcția vectorului, poate provoca o modificare a momentului său (chiar și aproape întotdeauna o va face): prin urmare, la calcularea momentului, forța nu poate fi considerată ca fiind liberă. vector, adică nu poate fi considerat aplicat unui punct arbitrar al unui corp rigid.

Ei spun asta vectori fix A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))Şi C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sunt egale dacă punctele coincid în perechi A (\displaystyle A)Şi C (\displaystyle C), B (\displaystyle B)Şi D (\displaystyle D).

Un vector într-un caz este un segment direcționat, iar în alte cazuri, diferiți vectori sunt clase de echivalență diferite de segmente direcționate, determinate de o relație de echivalență specifică. Mai mult decât atât, relația de echivalență poate fi diferită, determinând tipul de vector („liber”, „fix”, etc.). Pur și simplu, în cadrul unei clase de echivalență, toate segmentele direcționate incluse în ea sunt tratate ca fiind complet egale și fiecare poate reprezenta în mod egal întreaga clasă.

Toate operațiile pe vectori (adunare, înmulțire cu un număr, scalari și opera de artă vectorială, calculul modulului sau lungimii, unghiul dintre vectori etc.) sunt definite în principiu identic pentru toate tipurile de vectori, diferența de tipuri se reduce în acest sens doar la faptul că pentru cei glisante și fixe se impune o restricție asupra posibilitatea de a efectua operații între doi vectori, având începuturi diferite (de exemplu, pentru doi vectori fiși, adăugarea este interzisă - sau lipsită de sens - dacă începuturile lor sunt diferite; totuși, pentru toate cazurile în care această operație este permisă - sau are sens - este este la fel ca pentru vectorii liberi). Prin urmare, adesea tipul de vector nu este explicit deloc, se presupune că este evident din context. Mai mult, în funcție de contextul problemei, același vector poate fi considerat fix, alunecant sau liber de exemplu, în mecanică, vectorii forțelor aplicate unui corp pot fi însumați indiferent de punctul de aplicare la găsirea rezultantei; (atât în ​​statică, cât și în dinamică atunci când se studiază mișcarea centrului de masă, modificările de impuls etc.), dar nu pot fi adăugate între ele fără a lua în considerare punctele de aplicare la calcularea cuplului (și în statică și dinamică) .

Relații între vectori

Reprezentarea coordonate

Când se lucrează cu vectori, este adesea introdus un anumit sistem de coordonate carteziene și coordonatele vectorului sunt determinate în el, descompunându-l în vectori de bază. Extinderea bazei poate fi reprezentat geometric folosind proiecții vectoriale pe axele de coordonate. Dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului vectorului, coordonatele vectorului însuși se obțin scăzând coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x - A x , B y - A y , B z - A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Vectorii unitar de coordonate, notați cu i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), corespunzătoare axelor x , y , z (\displaystyle x,y,z). Apoi vectorul a → (\displaystyle (\vec (a))) poate fi scris ca

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

Orice proprietate geometrică poate fi scris în coordonate, după care studiul trece de la geometric la algebric și este adesea simplificat. Opusul, în general vorbind, nu este în întregime adevărat: de obicei se obișnuiește să se spună că numai acele relații care au loc în orice Sistemul cartezian coordonate ( invariant).

Operații pe vectori

Modul vectorial

Modul vectorial A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) numit numărul egal cu lungimea segment A B (\displaystyle AB). Notat ca | A B → |

(\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|)

. Prin coordonate se calculează astfel:

|

a → |

= a x 2 + a y 2 + a z 2 (\displaystyle |(\vec (a))|=(\sqrt (a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^( 2)))) Adăugarea vectoruluiÎn reprezentarea în coordonate, vectorul sumă se obține prin însumarea coordonatelor corespunzătoare ale termenilor: a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z))) Pentru

construcție geometrică

vector sumă a → (\displaystyle (\vec (a))) c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. Regula triunghiului

Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea unui vector ca transfer. Este clar că rezultatul aplicării secvenţiale a două transferuri și un anumit punct va fi același cu aplicarea unui transfer deodată corespunzător acestei reguli. Pentru a adăuga doi vectori:

b → (\displaystyle (\vec (b)))

conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei coincide cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul său cu sfârșitul celui de-al doilea vector. A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în a → (\displaystyle (\vec (a))) regula liniei întrerupte Regula în trei puncte Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. Dacă segmentul ilustrează vector Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Regula poligonului

Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma n (\displaystyle n) vectors este un vector, începutul coincide cu începutul primului, iar sfârșitul coincide cu sfârșitul n (\displaystyle n)-th (adică reprezentat de un segment direcționat care închide polilinia). Denumită și regula liniei întrerupte.

Regula paralelogramului

Pentru a adăuga doi vectori a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. Conform regulii paralelogramului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, emanând din lor început comun. (Este ușor de observat că această diagonală coincide cu a treia latură a triunghiului când se folosește regula triunghiului).

Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumă ca fiind aplicat imediat în același punct la care sunt aplicați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori ca având o origine comună.

Modulul sumei vectoriale

Modulul sumei a doi vectori poate fi calculat folosind teorema cosinusului:

| a → + b → | a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată..

2 = |

a → | 2 + |

b → |

2 + 2 |

a → | a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)))şi vectorul diferenţei lor

Pentru a obține diferența în formă de coordonate, trebuie să scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

a → - b → = (a x - b x , a y - b y , a z - b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Pentru a obține vectorul diferențelor c → = a → - b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b)))începuturile vectorilor sunt legate prin începutul vectorului c → (\displaystyle (\vec (c))) va fi un sfârșit folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. iar sfârșitul este sfârșitul a → (\displaystyle (\vec (a))). Dacă scriem folosind puncte vectoriale, atunci A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Modul de diferență vectorială

Trei vectori a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), ca și în cazul adunării, formează un triunghi, iar expresia pentru modulul de diferență este similară:

|

a → − b → | 2 = | a → | a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi 2 + |

b → | folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. 2 − 2 | a → (\displaystyle (\vec (a))) a → |

| b → | cos ⁡ (a → , b →) , (\displaystyle |(\vec (a))-(\vec (b))|^(2)=|(\vec (a))|^(2)+| (\vec (b))|^(2)-2|(\vec (a))||(\vec (b))|\cos((\vec (a)),(\vec (b)) ),) Unde

cos ⁡ (a → , b →) (\displaystyle \cos((\vec (a)),(\vec (b))))

- cosinusul unghiului dintre vectori

b → . (\displaystyle (\vec (b)).)

Diferența față de formula pentru modulul sumei este în semnul din fața cosinusului, în acest caz, trebuie să monitorizați cu atenție ce unghi este luat (versiunea formulei pentru modulul sumei cu unghiul dintre; laturile unui triunghi atunci când se însumează conform regulii triunghiului nu diferă ca formă de această formulă pentru modulul diferenței, dar trebuie să aveți Rețineți că aici sunt luate unghiuri diferite: în cazul unei sume, unghiul este luate când vectorul

este purtată până la capătul vectorului

O mărime vectorială este indicată printr-o literă latină și o săgeată deasupra acestei litere. De exemplu:

Modulul vectorial este notat astfel:

sau - modulul vectorial ,

sau - modulul vectorial ,

sau - modulul vectorial ,

În figură (grafic), vectorul este reprezentat printr-un segment direcționat al unei linii drepte. Mărimea vectorului este egală cu lungimea segmentului direcționat pe o scară dată.

2.2. Acțiuni cu vectori

Operațiile matematice cu mărimi vectoriale sunt operații geometrice.

2.2.1 Comparație vectorială

Vectori egali. Doi vectori sunt egali daca au:

module egale,

aceleași direcții.

Vectori opuși. Doi vectori sunt opuși dacă au:

module egale,

directii opuse.

2.2.2 Adăugarea vectorului

Putem adăuga doi vectori geometric folosind regula paralelogramului și regula triunghiului.

Să fie dați doi vectori Şi (vezi poza). Să găsim suma acestor vectori +=. Cantitati Şi sunt vectorii componente, vector este vectorul rezultat.

Regula paralelogramului pentru adăugarea a doi vectori:

1. Să desenăm un vector .

2. Să desenăm un vector astfel încât începutul său să coincidă cu începutul vectorului ; unghiul dintre vectori este egal cu (vezi poza).

3. Până la capătul vectorului .

4. Până la capătul vectorului trageți o dreaptă paralelă cu vectorul .

Am construit un paralelogram. Laturile acestui paralelogram sunt vectorii componente Şi .

5. Desenați diagonala paralelogramului din punctul comun de origine al vectorului și începutul vectorului .

6. Modulul vectorului rezultat este egală cu lungimea diagonalei paralelogramului și este determinată de formula:

începutul vectorului coincide cu începutul vectorului și începutul vectorului (direcția vectorială prezentată în figură).

Regula triunghiului pentru adăugarea a doi vectori:

1. Să desenăm vectorii componente Şi astfel încât începutul vectorului coincide cu sfârșitul vectorului . În acest caz, unghiul dintre vectori este egal cu .

2. Vectorul rezultat este îndreptată astfel încât originea sa să coincidă cu originea vectorului , iar sfârșitul coincide cu sfârșitul vectorului .

3. Modulul vectorului rezultat se găsește prin formula:

2.2.3 Scăderea vectorilor

Scăderea vectorilor este inversul adunării:

Găsiți diferența vectorială și vector - este același lucru cu găsirea sumei unui vector și vector
, opus vectorului . Putem găsi vectorul de diferență geometric folosind regula paralelogramului sau regula triunghiului (vezi figura).

Regula paralelogramului.

Laturile unui paralelogram - vector și vector - ; diagonala paralelogramului - vector diferență
.

Regula triunghiului.

Vector de diferență conectează capătul vectorului și sfârșitul vectorului (începutul vectorului coincide cu sfârșitul vectorului ).

2.2.4 Înmulțirea unui vector cu un scalar

Fie vectorul dat și scalară. Să găsim produsul vectorului și vectorn scalar.

Ca rezultat al înmulțirii unui vector cu un scalar, obținem un nou vector :

Direcția vectorială la fel ca direcția vectorială la
.

Direcția vectorială opus direcției vectorului la
.

Modul vectorial de n ori mai mare decât modulul vectorului , Dacă
.

2.3. Produs punctat și încrucișat

2.3.1 Produs punctual

Din doi vectori Şi poti forma un scalar dupa regula:

Această expresie se numește produsul scalar al vectorilor Şi
, sau
.

Prin urmare, . =
.

Prin definiție, un produs scalar are următoarele proprietăți:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Produs încrucișat

Din doi vectori
Şi
puteți forma un nou vector:

, Unde

Modulul noului vector rezultat se găsește prin formula:

.

Această operație se numește produsul încrucișat al vectorilor Şi și este indicată de unul dintre simboluri
sau
.

Formula este de asemenea bine cunoscută

,

Unde - unghiul dintre vectori Şi .

Direcția vectorială poate fi găsit folosind următoarea tehnică. Combinăm mental axa longitudinală a brațului (șurub din dreapta, tirbușon) cu perpendiculara pe planul în care se află vectorii înmulțiți (în acest exemplu, vectorii Şi ). Apoi începem să rotim capul șurubului (mânerul tirbușonului) în direcția celei mai scurte rotații de la primul factor la al doilea, adică de la vector a vector . Direcția de mișcare a corpului elicei va fi direcția vectorului . Această tehnică se numește regulă cu șurub drept sau regulă cu bară (vezi poza).

Momentul forței, momentul unghiular etc. sunt exprimați în termeni de produs vectorial Când vorbim despre un vector, ne referim întotdeauna la componentele acestuia. Un vector, spre deosebire de un scalar, este definit de trei numere. Prin urmare, operațiuni precum adunarea, scăderea, produsele scalare și vectoriale sunt reduse la operații familiare cu componente.

Adunarea forțelor se realizează folosind regula adunării vectoriale. Sau așa-numita regulă a paralelogramului. Deoarece forța este descrisă ca un vector, adică este un segment, a cărui lungime arată valoarea numerică a forței, iar direcția indică direcția de acțiune a forței. Apoi se adaugă forțe, adică vectori, folosind însumarea geometrică a vectorilor.

Pe de altă parte, adăugarea forțelor înseamnă găsirea rezultantei mai multor forțe. Adică atunci când mai multe forțe diferite acționează asupra corpului. Diferite atât ca dimensiune, cât și ca direcție. Este necesar să se găsească forța rezultată care va acționa asupra corpului în ansamblu. În acest caz, puteți adăuga forțele în perechi folosind regula paralelogramului. Mai întâi adăugăm două forțe. Mai adăugăm unul la rezultatul lor. Și așa mai departe până când toate forțele sunt combinate.

Figura 1 - Regula paralelogramului.

Regula paralelogramului poate fi descrisă după cum urmează. Pentru două forțe care emană dintr-un punct și având între ele un unghi diferit de zero sau 180 de grade. Puteți construi un paralelogram. Prin mutarea începutului unui vector la sfârșitul altuia. Diagonala acestui paralelogram va fi rezultanta acestor forțe.

Dar puteți folosi și regula poligonului forței. În acest caz, punctul de plecare este selectat. Primul vector de forță care acționează asupra corpului iese din acest punct, apoi următorul vector este adăugat la capătul său folosind metoda transferului paralel. Și așa mai departe până când se obține un poligon de forță. În cele din urmă, rezultanta tuturor forțelor dintr-un astfel de sistem va fi un vector din punct de plecare până la sfârșitul ultimului vector.

Figura 2 - Poligon de forță.

Dacă un corp se mișcă sub influența mai multor forțe aplicate în diferite puncte ale corpului. Putem presupune că se mișcă sub acțiunea unei forțe rezultante aplicate centrului de masă al unui corp dat.

Odată cu adăugarea forțelor, pentru a simplifica calculele mișcării, se folosește și metoda de descompunere a forțelor. După cum sugerează și numele, esența metodei este că o forță care acționează asupra unui corp este descompusă în forțe componente. În acest caz, componentele forței au același efect asupra corpului ca forța inițială.

Descompunerea forțelor se realizează și după regula paralelogramului. Ele trebuie să iasă dintr-un punct. Din același punct din care iese forța de descompunere. De regulă, forța descompusă este reprezentată sub formă de proiecții pe axe perpendiculare. De exemplu, ca forța gravitației și forța de frecare care acționează asupra unui bloc situat pe un plan înclinat.

Figura 3 - Un bloc pe un plan înclinat.

Vector- un segment de linie direcționată, adică un segment pentru care se indică care dintre punctele sale de limită este începutul și care este sfârșitul.

Vector care începe la un punct A (\displaystyle A)și se termină într-un punct B (\displaystyle B) de obicei notat ca . Vectorii pot fi indicați și cu litere mici latine cu o săgeată (uneori o liniuță) deasupra lor, de exemplu. Un alt mod obișnuit de a scrie este de a evidenția simbolul vectorial cu caractere aldine: a (\displaystyle \mathbf (a) ).

Un vector în geometrie este în mod natural comparat cu translația (translația paralelă), ceea ce clarifică în mod evident originea numelui său (lat. vector, purtător). Deci, fiecare segment direcționat definește în mod unic un transfer paralel de plan sau spațiu: să zicem, un vector A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) determină în mod firesc traducerea la care punctul A (\displaystyle A) va merge la punct B (\displaystyle B), de asemenea invers, transfer paralel, în care A (\displaystyle A) intră în B (\displaystyle B), definește un singur segment direcționat A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))(singurul este dacă considerăm că toate segmentele direcționate din aceeași direcție sunt egale și - adică, le considerăm ca; într-adevăr, cu translație paralelă, toate punctele sunt deplasate în aceeași direcție cu aceeași distanță, deci în această înțelegere A 1 B 1 → = A 2 B 2 → = A 3 B 3 → = … (\displaystyle (\overrightarrow (A_(1)B_(1)))=(\overrightarrow (A_(2)B_(2)) )=(\overrightarrow (A_(3)B_(3)))=\dots )).

Interpretarea unui vector ca transfer ne permite să introducem o operație într-un mod natural și intuitiv evident - ca o alcătuire (aplicare secvențială) a două (sau mai multe) transferuri; același lucru este valabil și pentru operația de înmulțire a unui vector cu un număr.

Concepte de bază[ | ]

Un vector este un segment direcționat construit din două puncte, dintre care unul este considerat început, iar celălalt sfârșit.

Coordonatele unui vector sunt definite ca diferența dintre coordonatele punctelor sale de început și de sfârșit. De exemplu, pe un plan de coordonate, dacă sunt date coordonatele de început și de sfârșit: T 1 = (x 1 , y 1) (\displaystyle T_(1)=(x_(1),y_(1)))Şi T 2 = (x 2 , y 2) (\displaystyle T_(2)=(x_(2),y_(2))), atunci coordonatele vectoriale vor fi: V → = T 2 − T 1 = (x 2 , y 2) − (x 1 , y 1) = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1) (\displaystyle (\overrightarrow (V))=T_ (2)-T_(1)=(x_(2),y_(2))-(x_(1),y_(1))=(x_(2)-x_(1),y_(2)-y_ (1))).

Lungimea vectorului V → (\displaystyle (\overrightarrow (V))) este distanța dintre două puncte T 1 (\displaystyle T_(1))Şi T 2 (\displaystyle T_(2)), este de obicei notat |

V → | = | T 2 − T 1 |

Pentru reprezentarea în coordonate a vectorilor, conceptul este de mare importanță Rolul zero între vectori este jucat de vectorul zero, al cărui început și sfârșit coincid T 1 = T 2 (\displaystyle T_(1)=T_(2))

; lui, spre deosebire de alți vectori, nu i se atribuie nicio direcție. [ | ]

Pentru reprezentarea în coordonate a vectorilor

mare valoare [ | ]

are un concept proiecția vectorului pe axă segmentele dirijate (considerând ca distincte toate segmentele dirijate ale căror începuturi și sfârșituri nu coincid), ele iau doar o anumită modificare a acestei mulțimi (mulțime de factori), adică unele segmente dirijate sunt considerate egale dacă au aceeași direcție și lungime, deși pot avea început (și sfârșit) diferit, adică segmentele direcționate de aceeași lungime și direcție sunt considerate a reprezenta același vector; Astfel, fiecare vector se dovedește a avea o întreagă clasă corespunzătoare de segmente direcționate, identice ca lungime și direcție, dar care diferă ca început (și sfârșit).

Da, ei vorbesc despre "gratuit", "alunecare"Şi vectori „fixi”.. Aceste tipuri diferă prin conceptul de egalitate a doi vectori.

• Când se vorbește despre vectori liberi, ei identifică orice vector care are aceeași direcție și lungime;
• vorbind despre vectori de alunecare, ei adaugă că originile vectorilor de alunecare egali trebuie să coincidă sau să se afle pe aceeași linie dreaptă pe care se află segmentele direcționate reprezentând acești vectori (astfel încât unul să poată fi combinat cu o altă mișcare în direcția specificată de aceasta);
• vorbind despre vectori fiși, ei spun că sunt considerați egali doar vectorii ale căror direcții și origini coincid (adică în acest caz nu există factorizare: nu există doi vectori fiși cu origini diferite care ar fi considerați egali).

Oficial:

Ei spun asta vectori liberi A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))și sunt egale dacă există puncte E (\displaystyle E)Şi F (\displaystyle F) astfel încât patrulatere A B F E (\displaystyle ABFE)Şi C D F E (\displaystyle CDFE)- paralelograme.

Ei spun asta vectori de alunecare A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))Şi C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sunt egale dacă

Vectorii de alunecare sunt folosiți în special în mecanică. Cel mai simplu exemplu de vector de alunecare în mecanică este o forță care acționează asupra unui corp rigid. Deplasarea originii vectorului forță de-a lungul dreptei pe care se află nu modifică momentul forței în raport cu niciun punct; transferul acestuia pe o altă linie dreaptă, chiar dacă nu modificați mărimea și direcția vectorului, poate provoca o modificare a momentului său (chiar și aproape întotdeauna o va face): prin urmare, la calcularea momentului, forța nu poate fi considerată ca fiind liberă. vector, adică nu poate fi considerat aplicat unui punct arbitrar al unui corp rigid.

Ei spun asta vectori fix A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB)))Şi C D → (\displaystyle \ (\overrightarrow (CD))) sunt egale dacă punctele coincid în perechi A (\displaystyle A)Şi C (\displaystyle C), B (\displaystyle B)Şi D (\displaystyle D).

Un vector într-un caz este un segment direcționat, iar în alte cazuri, diferiți vectori sunt clase de echivalență diferite de segmente direcționate, determinate de o relație de echivalență specifică. Mai mult decât atât, relația de echivalență poate fi diferită, determinând tipul de vector („liber”, „fix”, etc.). Pur și simplu, în cadrul unei clase de echivalență, toate segmentele direcționate incluse în ea sunt tratate ca fiind complet egale și fiecare poate reprezenta în mod egal întreaga clasă.

Toate operațiile pe vectori (adunare, înmulțire cu un număr, produse scalare și vectoriale, calculul modulului sau lungimii, unghiul dintre vectori etc.) sunt, în principiu, definite identic pentru toate tipurile de vectori, diferența de tipuri este redusă în această privință numai că pentru cele în mișcare și fixe se impune o restricție asupra posibilității de a efectua operații între doi vectori care au începuturi diferite (de exemplu, pentru doi vectori fiși, adăugarea este interzisă - sau nu are sens - dacă începuturile lor sunt diferit, însă, pentru toate cazurile când această operație este permisă - sau are sens - este aceeași ca pentru vectorii liberi). Prin urmare, adesea tipul de vector nu este explicit deloc, se presupune că este evident din context. Mai mult, în funcție de contextul problemei, același vector poate fi considerat fix, alunecant sau liber de exemplu, în mecanică, vectorii forțelor aplicate unui corp pot fi însumați indiferent de punctul de aplicare la găsirea rezultantei; (atât în ​​statică, cât și în dinamică atunci când se studiază mișcarea centrului de masă, modificările de impuls etc.), dar nu pot fi adăugate între ele fără a lua în considerare punctele de aplicare la calcularea cuplului (și în statică și dinamică) .

Relații între vectori[ | ]

Reprezentarea coordonate[ | ]

Când se lucrează cu vectori, este adesea introdus un anumit sistem de coordonate carteziene și coordonatele vectorului sunt determinate în el, descompunându-l în vectori de bază. Extinderea bazei poate fi reprezentat geometric folosind proiecții vectoriale pe axele de coordonate. Dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului vectorului, coordonatele vectorului însuși se obțin scăzând coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului.

A B → = (A B x , A B y , A B z) = (B x - A x , B y - A y , B z - A z) (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(AB_(x), AB_(y),AB_(z))=(B_(x)-A_(x),B_(y)-A_(y),B_(z)-A_(z)))

Vectorii unitar de coordonate, notați cu i → , j → , k → (\displaystyle (\vec (i)),(\vec (j)),(\vec (k))), corespunzătoare axelor x , y , z (\displaystyle x,y,z). Apoi vectorul a → (\displaystyle (\vec (a))) poate fi scris ca

a → = a x i → + a y j → + a z k → (\displaystyle (\vec (a))=a_(x)(\vec (i))+a_(y)(\vec (j))+a_(z) (\vec (k)))

Orice proprietate geometrică poate fi scrisă în coordonate, după care studiul din geometric devine algebric și este adesea simplificat. Opusul, în general, nu este în întregime adevărat: de obicei se obișnuiește să se spună că numai acele relații care sunt valabile în orice sistem de coordonate carteziene au o „interpretare geometrică” invariant).

Operații pe vectori[ | ]

Modul vectorial [ | ]

Modul vectorial A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) este un număr egal cu lungimea segmentului A B (\displaystyle AB). Notat ca | A B → |

(\displaystyle |(\overrightarrow (AB))|)

. Prin coordonate se calculează astfel:[ | ]

|

a → |

Pentru a construi geometric vectorul sumă a → + b → = (a x + b x , a y + b y , a z + b z) (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_ (y)+b_(y),a_(z)+b_(z))) Pentru

construcție geometrică[ | ]

vector sumă a → (\displaystyle (\vec (a))) c → = a → + b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b))) a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. Regula triunghiului

Regula triunghiului rezultă cel mai firesc din înțelegerea unui vector ca transfer. Este clar că rezultatul aplicării secvenţiale a două transferuri și un anumit punct va fi același cu aplicarea unui transfer deodată corespunzător acestei reguli. Pentru a adăuga doi vectori:

b → (\displaystyle (\vec (b)))[ | ]

conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei coincide cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului rezultat, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul său cu sfârșitul celui de-al doilea vector. A B → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))) Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în a → (\displaystyle (\vec (a))) regula liniei întrerupte Regula în trei puncte Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. Dacă segmentul ilustrează vector Această regulă poate fi generalizată direct și natural la adăugarea oricărui număr de vectori, transformându-se în a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))) .

Regula poligonului[ | ]

Începutul celui de-al doilea vector coincide cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea cu sfârșitul celui de-al doilea și așa mai departe, suma n (\displaystyle n) vectors este un vector, începutul coincide cu începutul primului, iar sfârșitul coincide cu sfârșitul n (\displaystyle n)-th (adică reprezentat de un segment direcționat care închide polilinia). Denumită și regula liniei întrerupte.

Regula paralelogramului[ | ]

Pentru a adăuga doi vectori a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. Conform regulii paralelogramului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât originile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, pornind de la originea lor comună. (Este ușor de observat că această diagonală coincide cu a treia latură a triunghiului când se folosește regula triunghiului).

Regula paralelogramului este deosebit de convenabilă atunci când este nevoie de a descrie vectorul sumă ca fiind aplicat imediat în același punct la care sunt aplicați ambii termeni - adică de a descrie toți cei trei vectori ca având o origine comună.

Modulul sumei vectoriale[ | ]

Modulul sumei a doi vectori poate fi calculat folosind teorema cosinusului:

| a → + b → | a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată..

2 = |

a → | 2 + |

b → |

2 + 2 |[ | ]

a → | a → , b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)))şi vectorul diferenţei lor

Pentru a obține diferența în formă de coordonate, trebuie să scădeți coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

a → - b → = (a x - b x , a y - b y , a z - b z) (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_ (y)-b_(y),a_(z)-b_(z)))

Pentru a obține vectorul diferențelor c → = a → - b → (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b)))începuturile vectorilor sunt legate prin începutul vectorului c → (\displaystyle (\vec (c))) va fi un sfârșit folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. iar sfârșitul este sfârșitul a → (\displaystyle (\vec (a))). Dacă scriem folosind puncte vectoriale, atunci A C → − A B → = B C → (\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Modul de diferență vectorială[ | ]

Trei vectori a → , b → , a → − b → (\displaystyle (\vec (a)),(\vec (b)),(\vec (a))-(\vec (b))), ca și în cazul adunării, formează un triunghi, iar expresia pentru modulul de diferență este similară:

|

a → − b → | 2 = | a → | a → (\displaystyle (\vec (a)))Şi 2 + |

b → | folosiți reguli (metode) diferite, dar toate dau același rezultat. Utilizarea uneia sau a alteia reguli este justificată de problema rezolvată. 2 − 2 | a → (\displaystyle (\vec (a))) a → |

Înmulțirea unui vector cu un număr[ | ]

Înmulțirea vectorială a → (\displaystyle (\vec (a))) pe număr α > 0 (\displaystyle \alpha >0), dă un vector codirecțional cu lungimea de α (\displaystyle \alpha) ori mai mult.
Înmulțirea vectorială a → (\displaystyle (\vec (a))) pe număr α < 0 {\displaystyle \alpha <0} , dă un vector direcționat opus cu o lungime de |α |