Prisme diferite sunt diferite una de cealaltă. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi zona bazei prismei, va trebui să înțelegeți ce tip are.

Teoria generala

O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, baza sa poate fi orice poliedru - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale este faptul că acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate necesita cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori problemele implică înălțimea. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria de bază a unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre pe fețele de sus și de jos, atunci zonele lor vor fi egale.

Prismă triunghiulară

Are la baza o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, poate fi diferit. Dacă da, este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notația matematică arată astfel: S = ½ av.

Pentru a afla zona bazei în vedere generală, vor fi de folos formulele: Stârc și cel în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.

Prima formulă trebuie scrisă după cum urmează: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Această notație conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.

Al doilea: S = ½ n a * a.

Dacă doriți să aflați aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Există o formulă pentru aceasta: S = ¼ a 2 * √3.

Prismă patruunghiulară

Baza sa este oricare dintre patrulaturile cunoscute. Poate fi dreptunghi sau pătrat, paralelipiped sau romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = ab, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.

Când despre care vorbim despre o prismă patruunghiulară, atunci aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la temelie. S = a 2.

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n a. Se întâmplă să fie date latura unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: n a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea n este opusă acestui unghi.

Dacă la baza prismei există un romb, atunci pentru a-i determina aria veți avea nevoie de aceeași formulă ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar poți folosi și asta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.

Prismă pentagonală regulată

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să aibă un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este pentagon obișnuit, apoi poate fi împărțit în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.

Prismă hexagonală regulată

Conform principiului descris pentru o prismă pentagonală, este posibil să se împartă hexagonul bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria de bază a unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai că ar trebui înmulțit cu șase.

Formula va arăta astfel: S = 3/2 a 2 * √3.

Sarcini

Nr. 1. Având în vedere o linie dreaptă regulată, diagonala acesteia este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.

Soluţie. Baza prismei este un pătrat, dar latura sa este necunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (h). x 2 = d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 = a 2 + a 2. Astfel, rezultă că a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați aria bazei: 12 * 12 = 144 cm 2.

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori suprafața de bază și să multiplicați de patru ori zona laterală. Acesta din urmă poate fi găsit cu ușurință folosind formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei se dovedește a fi de 960 cm 2.

Răspuns. Aria bazei prismei este de 144 cm 2. Toata suprafata este de 960 cm2.

Nr. 2. Având în vedere La bază există un triunghi cu latura de 6 cm În acest caz, diagonala feței laterale este de 10 cm. Calculați ariile: baza și suprafața laterală.

Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza ei este triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat, înmulțit cu ¼ și cu rădăcina pătrată a lui 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm. Pentru a calcula suprafețele lor, trebuie doar să înmulțiți aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale a rănii se dovedește a fi de 180 cm 2.

Răspuns. Zone: baza - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.

Cu ajutorul acestei lecții video, toată lumea va putea să se familiarizeze independent cu subiectul „Conceptul de poliedru. Prismă. Suprafața prismei.” În timpul lecției, profesorul va vorbi despre ce anume forme geometrice, ca un poliedru și o prismă, va da definițiile corespunzătoare și va explica esența lor cu exemple specifice.

Cu ajutorul acestei lecții, toată lumea va putea să se familiarizeze independent cu subiectul „Conceptul de poliedru. Prismă. Suprafața prismei.”

Definiţie. O suprafață compusă din poligoane și care mărginește un anumit corp geometric va fi numită suprafață poliedrică sau poliedru.

Luați în considerare următoarele exemple de poliedre:

1. Tetraedru ABCD este o suprafață formată din patru triunghiuri: ABC, A.D.B., BDCŞi ADC(Fig. 1).

Orez. 1

2. Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este o suprafață formată din șase paralelograme (fig. 2).

Orez. 2

Elementele principale ale unui poliedru sunt fețele, muchiile și vârfurile.

Fețele sunt poligoane care alcătuiesc un poliedru.

Marginile sunt părțile laterale ale fețelor.

Vârfurile sunt capetele marginilor.

Luați în considerare un tetraedru ABCD(Fig. 1). Să indicăm elementele sale principale.

Margini: triunghiuri ABC, ADB, BDC, ADC.

Coaste: AB, AC, BC, DC, AD, BD.

Vârfurile: A, B, C, D.

Luați în considerare un paralelipiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig. 2).

Margini: paralelograme AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Coaste: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Vârfurile: A, B, C, D, A1,B1,C1,D1.

Un caz special important al unui poliedru este o prismă.

ABCA 1 ÎN 1 CU 1(Fig. 3).

Orez. 3

Triunghiuri egale ABCŞi A 1 B 1 C 1 situate în plane paralele α şi β astfel încât muchiile AA 1, BB 1, SS 1 paralel.

Adică ABCA 1 ÎN 1 CU 1- prismă triunghiulară dacă:

1) Triunghiuri ABCŞi A 1 B 1 C 1 sunt egali.

2) Triunghiuri ABCŞi A 1 B 1 C 1 situate în planuri paralele α și β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Coaste AA 1, BB 1, SS 1 paralel.

ABCŞi A 1 B 1 C 1- baza prismei.

AA 1, BB 1, SS 1- nervurile laterale ale prismei.

Dacă dintr-un punct arbitrar H 1 un plan (de exemplu, β) scade perpendiculara NN 1 față de planul α, atunci această perpendiculară se numește înălțimea prismei.

Definiţie. Dacă marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, atunci prisma se numește dreptă, în caz contrar se numește înclinată.

Luați în considerare o prismă triunghiulară ABCA 1 ÎN 1 CU 1(Fig. 4). Această prismă este dreaptă. Adică nervurile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

De exemplu, coastă AA 1 perpendicular pe plan ABC. Margine AA 1 este înălțimea acestei prisme.

Orez. 4

Rețineți că fața laterală AA 1 B 1 B perpendicular pe baze ABCŞi A 1 B 1 C 1, deoarece trece prin perpendiculară AA 1 la baze.

Acum luați în considerare o prismă înclinată ABCA 1 ÎN 1 CU 1(Fig. 5). Aici marginea laterală nu este perpendiculară pe planul bazei. Dacă este omis din punct A 1 perpendicular A 1 N pe ABC, atunci această perpendiculară va fi înălțimea prismei. Rețineți că segmentul UN este proiecția segmentului AA 1 la avion ABC.

Apoi unghiul dintre linia dreaptă AA 1 si avionul ABC este unghiul dintre o linie dreaptă AA 1 si ea UN proiecție pe un plan, adică un unghi A 1 AN.

Orez. 5

Luați în considerare o prismă patruunghiulară ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig. 6). Să vedem cum iese.

1) patrulater ABCD egal cu un patrulater A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Cadrilatere ABCDŞi A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Cadrilatere ABCDŞi A 1 B 1 C 1 D 1 situat astfel încât nervurile laterale să fie paralele, adică: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Definiţie. Diagonala unei prisme este un segment care leagă două vârfuri ale unei prisme care nu aparțin aceleiași fețe.

De exemplu, AC 1- diagonala unei prisme patrulatere ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definiţie. Dacă marginea laterală AA 1 perpendicular pe planul bazei, atunci o astfel de prismă se numește linie dreaptă.

Orez. 6

Un caz special al unei prisme patrulatere este paralelipipedul pe care îl cunoaștem. Paralelipiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prezentat în Fig. 7.

Să ne uităm la cum funcționează:

1) Bazele stau cifre egale. În acest caz - paralelograme egale ABCDŞi A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Paralelograme ABCDŞi A 1 B 1 C 1 D 1 se află în planuri paralele α și β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Paralelograme ABCDŞi A 1 B 1 C 1 D 1 dispuse astfel încât nervurile laterale să fie paralele între ele: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Orez. 7

Din punct de vedere A 1 să scăpăm perpendiculara UN la avion ABC. Segment A 1 N este inaltimea.

Să ne uităm la modul în care este structurată o prismă hexagonală (Fig. 8).

1) Baza conține hexagoane egale ABCDEFŞi A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Planuri ale hexagoanelor ABCDEFŞi A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralel, adică bazele se află în planuri paralele: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Hexagoane ABCDEFŞi A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 dispuse astfel încât toate nervurile laterale să fie paralele între ele: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Orez. 8

Definiţie. Dacă orice margine laterală este perpendiculară pe planul bazei, atunci o astfel de prismă hexagonală se numește dreptă.

Definiţie. O prismă dreaptă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

Luați în considerare o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 ÎN 1 CU 1.

Orez. 9

Prismă triunghiulară ABCA 1 ÎN 1 CU 1- regulat, asta înseamnă că bazele conțin triunghiuri regulate, adică toate laturile acestor triunghiuri sunt egale. De asemenea, această prismă este dreaptă. Aceasta înseamnă că marginea laterală este perpendiculară pe planul bazei. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Deci, dacă o prismă triunghiulară ABCA 1 ÎN 1 CU 1- este corect, atunci:

1) Muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei, adică este înălțimea: AA 1 ⊥ ABC.

2) La bază se află triunghi regulat: ∆ABC- corect.

Definiţie. Suprafața totală a unei prisme este suma ariilor tuturor fețelor sale. Desemnat S plin.

Definiţie. Suprafața laterală este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Desemnat partea S.

Prisma are două baze. Atunci aria suprafeței totale a prismei este:

S plin = S lateral + 2S principal.

Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

Vom efectua demonstrația folosind exemplul unei prisme triunghiulare.

Dat: ABCA 1 ÎN 1 CU 1- prismă dreaptă, adică AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Dovedi: Latura S = P principal ∙ h.

Orez. 10

Dovada.

Prismă triunghiulară ABCA 1 ÎN 1 CU 1- drept, asta înseamnă AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - dreptunghiuri.

Să găsim aria suprafeței laterale ca suma ariilor dreptunghiurilor AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

Latura S = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P principal ∙ h.

Primim Latura S = P principal ∙ h, Q.E.D.

Ne-am familiarizat cu poliedre, prisme și soiurile sale. Am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei prisme. În lecția următoare vom rezolva problemele cu prisme.

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi instituţiile de învăţământ(nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și extinsă - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : bolnav.
2. Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru învățământul general instituţiile de învăţământ/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ediția a 6-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p. :il.

1. IClass().
2. Shkolo.ru ().
3. Scoala veche ().
4. WikiHow().

1. Care este numărul minim de fețe pe care le poate avea o prismă? Câte vârfuri și muchii are o astfel de prismă?
2. Există vreo prismă care are exact 100 de muchii?
3. Nerva laterală este înclinată față de planul de bază la un unghi de 60°. Aflați înălțimea prismei dacă marginea laterală este de 6 cm.
4. Într-o prismă triunghiulară dreptunghiulară, toate muchiile sunt egale. Aria suprafeței sale laterale este de 27 cm 2. Aflați aria suprafeței totale a prismei.

O prismă este o figură geometrică volumetrică destul de simplă. Cu toate acestea, unii școlari au probleme la determinarea proprietăților sale de bază, a căror cauză, de regulă, este asociată cu terminologia utilizată incorect. În acest articol ne vom uita la ce tipuri de prisme există, cum se numesc și, de asemenea, vom descrie în detaliu o prismă pătrangulară obișnuită.

Prismă în geometrie

Studiul figurilor tridimensionale este o sarcină a stereometriei - o parte importantă a geometriei spațiale. În stereometrie, o prismă este înțeleasă ca o figură care este formată prin transferul paralel al unui poligon plat arbitrar la o anumită distanță în spațiu. Transfer paralel implică o mișcare în care rotația în jurul unei axe, perpendicular pe plan poligonul este complet exclus.

Te-ar putea interesa:

Ca urmare a metodei descrise de obținere a unei prisme, se formează o figură, limitată de două poligoane de aceeași dimensiune, situate în planuri paralele și un anumit număr de paralelograme. Numărul lor coincide cu numărul laturilor (vârfurilor) poligonului. Poligoane identice sunt numite baze ale prismei, iar suprafața lor este aria bazelor. Paralelogramele care leagă două baze formează o suprafață laterală.

Elementele unei prisme și teorema lui Euler

De când figură volumetrică este un poliedru, adică format dintr-o mulțime de plane care se intersectează, apoi se caracterizează printr-un anumit număr de vârfuri, muchii și fețe. Toate sunt elemente ale unei prisme.

La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Leonhard Euler a stabilit o legătură între numărul de elemente de bază ale unui poliedru. Această relație este scrisă prin următoarea formulă simplă:

Număr de muchii = numărul de vârfuri + numărul de fețe - 2

Această egalitate este valabilă pentru orice prismă. Să dăm un exemplu de utilizare a acestuia. Să presupunem că există o corectă prismă pătrangulară. Este prezentat în figura de mai jos.

Se poate observa că numărul de vârfuri pentru acesta este 8 (4 pentru fiecare bază patruunghiulară). Numărul de laturi, sau fețe, este 6 (2 baze și 4 dreptunghiuri laterale). Atunci numărul de margini pentru acesta va fi egal cu:

Număr de muchii = 8 + 6 - 2 = 12

Clasificare completă a prismelor

Este important să înțelegeți această clasificare, astfel încât să nu vă confundați ulterior în terminologie și să utilizați formulele corecte pentru a calcula, de exemplu, suprafața sau volumul figurilor.

Pentru orice prismă de formă arbitrară se pot distinge 4 trăsături care o vor caracteriza. Să le enumerăm:

• În funcție de numărul de unghiuri ale poligonului de la bază: triunghiular, pentagonal, octogonal și așa mai departe.
• Tip poligon. Poate fi corect sau greșit. De exemplu, triunghi dreptunghic este incorectă și echilaterală este corectă.
• După tipul de convexitate a unui poligon. Poate fi concav sau convex. Cele mai frecvente sunt prismele convexe.
• La unghiurile dintre baze și paralelogramele laterale. Dacă toate aceste unghiuri sunt egale cu 90o, atunci vorbesc despre o prismă dreaptă, dacă nu toate sunt drepte, atunci o astfel de cifră se numește oblică;

Dintre toate aceste puncte, aș dori să mă opresc mai detaliat asupra ultimului. O prismă dreaptă se mai numește și prismă dreptunghiulară. Acest lucru se datorează faptului că pentru ea paralelogramele sunt dreptunghiuri în cazul general (în unele cazuri pot fi pătrate).

De exemplu, figura de mai sus prezintă o figură dreptunghiulară sau dreaptă pentagonală concavă.

Baza acestei prisme este un patrulater regulat, adică un pătrat. Figura de mai sus a arătat deja cum arată această prismă. Pe lângă cele două pătrate care îl limitează sus și jos, include și 4 dreptunghiuri.

Să notăm latura bazei unei prisme patrulatere obișnuite cu litera a, iar lungimea marginii sale laterale o vom nota cu litera c. Această lungime este și înălțimea figurii. Apoi, aria întregii suprafețe a acestei prisme va fi exprimată prin formula:

S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)

Aici primul termen reflectă contribuția bazelor la suprafața totală, al doilea termen este aria suprafeței laterale.

Luând în considerare notațiile introduse pentru lungimile laturilor, scriem formula pentru volumul figurii luate în considerare:

Adică, volumul este calculat ca produsul dintre suprafața bazei pătrate și lungimea marginii laterale.

Figura cub

Toată lumea cunoaște această figură tridimensională ideală, dar puțini au crezut că este o prismă patruunghiulară obișnuită, a cărei latură este egală cu lungimea laturii bazei pătrate, adică c = a.

Pentru un cub, formulele pentru suprafața totală și volumul iau forma:

Deoarece un cub este o prismă formată din 6 pătrate identice, orice pereche paralelă a acestora poate fi considerată o bază.

Un cub este o figură extrem de simetrică, care în natură este realizată sub formă rețele cristaline multe materiale metalice și cristale ionice. De exemplu, zăbrelele de aur, argint, cupru și sare de masă sunt cubice.

Definiţie.

Acesta este un hexagon, ale cărui baze sunt două pătrate egale, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale

Coastă laterală- este latura comună a două fețe laterale adiacente

Înălțimea prismei- acesta este un segment perpendicular pe bazele prismei

Diagonala prismei- un segment care leagă două vârfuri ale bazelor care nu aparțin aceleiași fețe

Planul diagonal- un plan care trece prin diagonala prismei și marginile sale laterale

Secțiune diagonală- limitele de intersectie a prismei si a planului diagonal. Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi

Secțiune perpendiculară (secțiune ortogonală)- aceasta este intersecția unei prisme și a unui plan desenat perpendicular pe marginile sale laterale

Elemente ale unei prisme patruunghiulare regulate

Figura prezintă două prisme patrulatere regulate, care sunt indicate prin literele corespunzătoare:

• Bazele ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt egale și paralele între ele
• Fețe laterale AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C și CC 1 D 1 D, fiecare fiind dreptunghi
• Suprafața laterală - suma ariilor tuturor fețelor laterale ale prismei
• Suprafața totală - suma suprafețelor tuturor bazelor și fețelor laterale (suma suprafeței și bazelor laterale)
• Nerve laterale AA 1, BB 1, CC 1 și DD 1.
• Diagonala B 1 D
• Diagonala bazei BD
• Secțiunea diagonală BB 1 D 1 D
• Secțiune perpendiculară A 2 B 2 C 2 D 2.

Proprietățile unei prisme patruunghiulare regulate

• Bazele sunt două pătrate egale
• Bazele sunt paralele între ele
• Fețele laterale sunt dreptunghiuri
• Marginile laterale sunt egale între ele
• Fețele laterale sunt perpendiculare pe baze
• Coastele laterale sunt paralele între ele și egale
• Secțiune perpendiculară perpendiculară pe toate nervurile laterale și paralelă cu bazele
• Unghiuri de secțiune perpendiculară - drepte
• Secțiunea transversală diagonală a unei prisme patrulatere obișnuite este un dreptunghi
• Perpendiculară (secțiune ortogonală) paralelă cu bazele

Formule pentru o prismă patruunghiulară obișnuită

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor

La rezolvarea problemelor pe tema " prismă patruunghiulară regulată" înseamnă că:

Prisma corectă- o prismă la baza căreia se află poligon regulat, iar nervurile laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei. Adică, o prismă patruunghiulară obișnuită conține la bază pătrat. (vezi mai sus proprietățile unei prisme patrulatere regulate) Nota. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (secțiunea stereometrie - prismă). Iată probleme care sunt greu de rezolvat. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. Pentru a indica acțiunea de recuperare rădăcină pătrată simbolul este folosit în rezolvarea problemelor√ .

Sarcină.

Într-o prismă pătrangulară obișnuită, aria bazei este de 144 cm 2 și înălțimea este de 14 cm Aflați diagonala prismei și aria totală a suprafeței.

Soluţie.
Un patrulater regulat este un pătrat.
În consecință, latura bazei va fi egală

√144 = 12 cm.
De unde diagonala bazei unei prisme dreptunghiulare regulate va fi egală cu
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonala unei prisme regulate formează un triunghi dreptunghic cu diagonala bazei și înălțimea prismei. În consecință, conform teoremei lui Pitagora, diagonala unei prisme pătrangulare regulate va fi egală cu:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Răspuns: 22 cm

Sarcină

Determinați suprafața totală a unei prisme patrulatere obișnuite dacă diagonala acesteia este de 5 cm și diagonala feței sale laterale este de 4 cm.

Soluţie.
Deoarece baza unei prisme pătraunghiulare obișnuite este un pătrat, găsim latura bazei (notată cu a) folosind teorema lui Pitagora:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Înălțimea feței laterale (notată cu h) va fi atunci egală cu:

H2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Suprafața totală va fi egală cu suma suprafeței laterale și de două ori suprafața de bază

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Răspuns: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

O prismă este o figură geometrică tridimensională, ale cărei caracteristici și proprietăți sunt studiate în licee. De regulă, atunci când se studiază, sunt luate în considerare cantități precum volumul și suprafața. În acest articol vom discuta o întrebare ușor diferită: vom prezenta o metodă pentru determinarea lungimii diagonalelor unei prisme folosind exemplul unei figuri patrulatere.

Ce formă se numește prismă?

În geometrie, este dată următoarea definiție a unei prisme: este o figură tridimensională delimitată de două laturi identice poligonale care sunt paralele între ele și un anumit număr de paralelograme. Figura de mai jos prezintă un exemplu de prismă corespunzătoare această definiție.

Vedem că cele două pentagoane roșii sunt egale între ele și sunt în două plane paralele. Cinci paralelograme roz conectează aceste pentagoane într-un obiect solid - o prismă. Cele două pentagoane se numesc bazele figurii, iar paralelogramele sale sunt fețele laterale.

Prismele pot fi drepte sau oblice, numite și dreptunghiulare sau oblice. Diferența dintre ele constă în unghiurile dintre bază și marginile laterale. Pentru o prismă dreptunghiulară, toate aceste unghiuri sunt egale cu 90 o.

Pe baza numărului de laturi sau vârfuri ale poligonului de la bază, ele vorbesc despre prisme triunghiulare, pentagonale, patrulatere și așa mai departe. În plus, dacă acest poligon este regulat, iar prisma în sine este dreaptă, atunci o astfel de figură se numește regulată.

Prisma prezentată în figura anterioară este una pentagonală înclinată. Mai jos este o prismă dreaptă pentagonală, care este regulată.

Toate calculele, inclusiv metoda de determinare a diagonalelor prismelor, sunt efectuate în mod convenabil special pentru cifre corecte.

Ce elemente caracterizează o prismă?

Elementele unei figuri sunt componentele care o formează. În special pentru o prismă, se pot distinge trei tipuri principale de elemente:

• blaturi;
• margini sau laturi;
• coaste

Fețele sunt considerate a fi bazele și planurile laterale, reprezentând paralelograme în cazul general. Într-o prismă, fiecare latură este întotdeauna una din două tipuri: fie este un poligon, fie un paralelogram.

Marginile unei prisme sunt acele segmente care limitează fiecare parte a figurii. Asemenea fețelor, marginile vin și în două tipuri: cele aparținând bazei și suprafeței laterale sau cele aparținând doar suprafeței laterale. Există întotdeauna de două ori mai multe dintre primele decât cele din urmă, indiferent de tipul de prismă.

Vârfurile sunt punctele de intersecție a trei muchii ale prismei, dintre care două se află în planul bazei, iar a treia aparține celor două fețe laterale. Toate vârfurile prismei sunt în planurile bazelor figurii.

Numerele elementelor descrise sunt conectate într-o singură egalitate, care are următoarea formă:

P = B + C - 2.

Aici P este numărul de muchii, B - vârfuri, C - laturi. Această egalitate se numește teorema lui Euler pentru poliedru.

Figura prezintă o prismă regulată triunghiulară. Toată lumea poate număra că are 6 vârfuri, 5 laturi și 9 muchii. Aceste cifre sunt în concordanță cu teorema lui Euler.

Diagonalele prismelor

După proprietăți precum volumul și suprafața, în problemele de geometrie întâlnim adesea informații despre lungimea unei anumite diagonale a figurii în cauză, care fie este dată, fie trebuie găsită folosind alți parametri cunoscuți. Să luăm în considerare ce diagonale are o prismă.

Toate diagonalele pot fi împărțite în două tipuri:

1. Întins în planul fețelor. Ele conectează vârfuri neadiacente fie ale unui poligon la baza unei prisme, fie ale unui paralelogram pe suprafața laterală. Valoarea lungimilor unor astfel de diagonale este determinată pe baza cunoașterii lungimii muchiilor corespunzătoare și a unghiurilor dintre ele. Pentru a determina diagonalele paralelogramelor, se folosesc întotdeauna proprietățile triunghiurilor.
2. Prisme aflate în interiorul volumului. Aceste diagonale conectează vârfurile diferite ale două baze. Aceste diagonale sunt complet în interiorul figurii. Lungimile lor sunt oarecum mai dificil de calculat decât pentru tipul anterior. Metoda de calcul presupune luarea în considerare a lungimii nervurilor și a bazei, precum și a paralelogramelor. Pentru prisme drepte și regulate, calculul este relativ simplu, deoarece se realizează folosind teorema lui Pitagora și proprietățile funcțiilor trigonometrice.

Diagonalele laturilor unei prisme dreptunghiulare

Figura de mai sus arată patru prisme drepte identice, iar parametrii marginilor acestora sunt dați. Pe prismele Diagonala A, Diagonala B și Diagonala C, linia roșie întreruptă arată diagonalele a trei fețe diferite. Deoarece prisma este o linie dreaptă cu o înălțime de 5 cm, iar baza ei este reprezentată de un dreptunghi cu laturile de 3 cm și 2 cm, nu este greu să găsiți diagonalele marcate. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați teorema lui Pitagora.

Lungimea diagonalei bazei prismei (Diagonala A) este egală cu:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Pentru fața laterală a prismei, diagonala este egală (vezi Diagonala B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

În cele din urmă, lungimea unei alte diagonale laterale este (vezi Diagonala C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Lungimea diagonală interioară

Acum să calculăm lungimea diagonalei prismei patrulatere, care este prezentată în figura anterioară (Diagonala D). Acest lucru nu este atât de greu de făcut dacă observi că este ipotenuza unui triunghi în care catetele vor fi înălțimea prismei (5 cm) și diagonala D A prezentată în figura din stânga sus (Diagonala A). Apoi obținem:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Prismă patruunghiulară obișnuită

Diagonala unei prisme regulate, a cărei bază este un pătrat, se calculează în același mod ca în exemplul de mai sus. Formula corespunzătoare este:

D = √(2*a 2 +c 2).

Unde a și c sunt lungimile laturii bazei și, respectiv, marginii laterale.

Rețineți că în calcule am folosit doar teorema lui Pitagora. Pentru a determina lungimile diagonalelor prismelor regulate cu un număr mare de vârfuri (pentagonale, hexagonale și așa mai departe), este deja necesar să folosiți funcții trigonometrice.