Pătrate forme geometrice- valori numerice care le caracterizează dimensiunea în spațiu bidimensional. Această valoare poate fi măsurată în unități de sistem și non-sistem. Deci, de exemplu, o unitate de suprafață nesistemică este o sută, un hectar. Acesta este cazul dacă suprafața care se măsoară este o bucată de pământ. Unitatea de unitate de suprafață a sistemului este pătratul lungimii. În sistemul SI se acceptă în general că unitatea de suprafață a unei suprafețe plane este metru pătrat. În GHS, unitatea de suprafață este exprimată ca un centimetru pătrat.

Formulele de geometrie și zone sunt indisolubil legate. Această legătură constă în faptul că calculul suprafețelor figuri plate se bazează tocmai pe aplicarea lor. Pentru multe figuri, sunt derivate mai multe opțiuni din care sunt calculate dimensiunile lor pătrate. Pe baza datelor din enunțul problemei, putem determina cea mai simplă soluție posibilă. Acest lucru va facilita calculul și va reduce probabilitatea erorilor de calcul la minimum. Pentru a face acest lucru, luați în considerare principalele zone ale figurilor din geometrie.

Formulele pentru găsirea ariei oricărui triunghi sunt prezentate în mai multe opțiuni:

1) Aria unui triunghi se calculează de la baza a și înălțimea h. Baza este considerată a fi partea figurii pe care este coborâtă înălțimea. Atunci aria triunghiului este:

2) Aria unui triunghi dreptunghic se calculează în același mod dacă ipotenuza este considerată baza. Dacă luăm piciorul ca bază, atunci aria triunghiului dreptunghic va fi egală cu produsul picioarelor înjumătățite.

Formulele pentru calcularea ariei oricărui triunghi nu se termină aici. O altă expresie conține laturile a,bși o funcție sinusoidală a unghiului γ dintre a și b. Valoarea sinusului se găsește în tabele. O poți afla și folosind un calculator. Atunci aria triunghiului este:

Folosind această egalitate, puteți verifica, de asemenea, că aria unui triunghi dreptunghic este determinată prin lungimile catetelor. Deoarece unghiul γ este un unghi drept, deci aria unui triunghi dreptunghic se calculează fără a se înmulți cu funcția sinus.

3) Luați în considerare caz special - triunghi regulat, a cărui latură a este cunoscută după condiție sau a cărei lungime poate fi găsită în soluție. Nu se mai știe nimic despre figura din problema de geometrie. Atunci cum să găsești zona în această condiție? În acest caz, se aplică formula pentru aria unui triunghi obișnuit:

Dreptunghi

Cum să găsiți aria unui dreptunghi și să utilizați dimensiunile laturilor care au un vârf comun? Expresia pentru calcul este:

Dacă trebuie să utilizați lungimile diagonalelor pentru a calcula aria unui dreptunghi, atunci veți avea nevoie de o funcție a sinusului unghiului format atunci când se intersectează. Această formulă pentru aria unui dreptunghi este:

Pătrat

Aria unui pătrat este determinată ca a doua putere a lungimii laturii:

Dovada rezultă din definiția că un pătrat este dreptunghi. Toate laturile care formează un pătrat au aceleași dimensiuni. Prin urmare, calcularea ariei unui astfel de dreptunghi se reduce la înmulțirea unul cu celălalt, adică la a doua putere a laturii. Și formula pentru calcularea ariei unui pătrat va lua forma dorită.

Aria unui pătrat poate fi găsită într-un alt mod, de exemplu, dacă utilizați diagonala:

Cum se calculează aria unei figuri care este formată dintr-o parte a unui plan delimitată de un cerc? Pentru a calcula suprafața, formulele sunt:

Paralelogram

Pentru un paralelogram, formula conține dimensiunile liniare ale laturii, înălțimea și operația matematică - înmulțire. Dacă înălțimea este necunoscută, atunci cum să găsiți aria paralelogramului? Există o altă modalitate de a calcula. Va fi necesară o anumită valoare, care va lua functie trigonometrica unghiul format partidele adiacente, precum și lungimile acestora.

Formulele pentru aria unui paralelogram sunt:

Romb

Cum să găsiți aria unui patrulater numit romb? Aria unui romb este determinată folosind simplu operatii matematice cu diagonale. Dovada se bazează pe faptul că segmentele diagonale din d1 și d2 se intersectează în unghi drept. Din tabelul sinusurilor se vede ca pt unghi drept această funcție este egală cu unu. Prin urmare, aria unui romb se calculează după cum urmează:

Zona unui romb poate fi găsită și în alt mod. Nici acest lucru nu este greu de demonstrat, având în vedere că laturile sale au aceeași lungime. Apoi înlocuiți produsul lor într-o expresie similară pentru un paralelogram. La urma urmei, un caz special al acestei figuri este un romb. Aici γ - colț interior romb Aria unui romb se determină după cum urmează:

Trapez

Cum să găsiți aria unui trapez prin bazele (a și b), dacă problema indică lungimile acestora? Aici, fără o valoare cunoscută a lungimii înălțimii h, nu va fi posibil să se calculeze aria unui astfel de trapez. Deoarece această valoare conține expresia pentru calcul:

Dimensiune pătrată trapez dreptunghiular poate fi calculată și în același mod. Se ține cont de faptul că într-un trapez dreptunghiular se îmbină conceptele de înălțime și latură. Prin urmare, pentru un trapez dreptunghiular, trebuie să specificați lungimea laturii laterale în loc de înălțime.

Cilindru și paralelipiped

Să luăm în considerare ceea ce este necesar pentru a calcula suprafața întregului cilindru. Aria acestei figuri este o pereche de cercuri numite baze și o suprafață laterală. Cercurile care formează cercuri au raza lungimii egale cu r. Pentru aria unui cilindru are loc următorul calcul:

Cum să găsiți aria unui paralelipiped care constă din trei perechi de fețe? Măsurătorile sale se potrivesc cu perechea specifică. Fețele opuse au aceiași parametri. Mai întâi, găsiți S(1), S(2), S(3) - dimensiunile pătrate ale fețelor inegale. Atunci aria suprafeței paralelipipedului este:

Inel

Două cercuri cu un centru comun formează un inel. De asemenea, limitează zona inelului. În acest caz, ambele formule de calcul iau în considerare dimensiunile fiecărui cerc. Primul dintre ele, calculând aria inelului, conține razele R mai mari și r mai mici. Mai des sunt numite externe și interne. În a doua expresie, aria inelului este calculată prin diametrele D mai mari și d mai mici. Astfel, aria inelului este razele cunoscute calculat astfel:

Aria inelului, folosind lungimile diametrelor, se determină după cum urmează:

Poligon

Cum să găsiți aria unui poligon a cărui formă nu este regulată? Formula generala Nu există astfel de cifre pentru zonă. Dar dacă ea este înfățișată pe plan de coordonate, de exemplu, ar putea fi hârtie în carouri, atunci cum să găsiți suprafața în acest caz? Aici folosesc o metodă care nu necesită măsurarea aproximativă a cifrei. Ei fac asta: dacă găsesc puncte care cad în colțul celulei sau au coordonate întregi, atunci doar ele sunt luate în considerare. Pentru a afla apoi care este zona, folosește formula dovedită de Peake. Este necesar să adăugați numărul de puncte situate în interiorul liniei întrerupte cu jumătate din punctele aflate pe ea și să scădeți unul, adică se calculează astfel:

unde B, G sunt numărul de puncte situate în interiorul și, respectiv, pe întreaga linie întreruptă.

Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (o parte din suprafață limitată buclă închisă a acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

1. Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
   Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
   
2. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
   
3. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
   Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
   
unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

1. Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
   Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale.
2. Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
   Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
   

   S=	1	2
   	2

unde S este aria pătratului,
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule cu arii de paralelogram

1. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
   Aria unui paralelogram
2. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
   Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
   

   a b sin α

unde S este aria paralelogramului,
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

1. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
   Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
2. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
   Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
3. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
   Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formule ale zonei trapezoidale

1. Formula lui Heron pentru trapez

   Unde S este aria trapezului,
   - lungimile bazelor trapezului,
   - lungimile laturilor trapezului,
   

Calcularea ariei unei figuri- acesta este poate unul dintre cele mai multe sarcini complexe teoria zonei. În geometria școlii, ei te învață să găsești zonele formelor geometrice de bază, cum ar fi, de exemplu, un triunghi, romb, dreptunghi, trapez, cerc etc. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Atunci când rezolvați astfel de probleme este foarte convenabil să utilizați calculul integral.

Definiţie.

Trapez curbiliniu numiți o figură G mărginită de dreptele y = f(x), y = 0, x = a și x = b, iar funcția f(x) este continuă pe segmentul [a; b] și nu își schimbă semnul de pe el (Fig. 1). Pătrat trapez curbat poate fi notat cu S(G).

Integrala definită ʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe intervalul [a; b] și este aria trapezului curbat corespunzător.

Adică, pentru a găsi aria figurii G, limitat de linii y = f(x), y = 0, x = a și x = b, trebuie să calculați integrală definităʃ a b f(x)dx.

Astfel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria unui trapez curbat poate fi găsită folosind formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exemplul 1.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3; y = 1; x = 2.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este arătată prin hașurare orez. 2.

Aria necesară este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbiliniu DACE și pătratul DABE.

Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:

(y = x 3,
(y = 1.

Astfel, avem x 1 = 1 – limita inferioară și x = 2 – limita superioară.

Deci, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unități pătrate).

Raspuns: 11/4 mp. unitati

Exemplul 2.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = √x; y = 2; x = 9.

Soluţie.

Liniile date formează figura ABC, care este limitată mai sus de graficul funcției

y = √x, iar mai jos este un grafic al funcției y = 2. Figura rezultată este afișată prin hașura în orez. 3.

Aria necesară este S = ʃ a b (√x – 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm sistemul a două ecuații:

(y = √x,
(y = 2.

Astfel, avem că x = 4 = a - aceasta este limita inferioară.

Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unități pătrate).

Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati

Exemplul 3.

Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Soluţie.

Să reprezentăm grafic funcția y = x 3 – 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la x = ±2/√3 ≈ 1,1 – puncte critice.

Dacă trasăm punctele critice pe dreapta numerică și aranjam semnele derivatei, aflăm că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

dacă x = 0, atunci y = 0, ceea ce înseamnă că A(0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;

dacă y = 0, atunci x 3 – 4x = 0 sau x(x 2 – 4) = 0, sau x(x – 2)(x + 2) = 0, de unde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).

Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.

Liniile date formează figura OAB, care este afișată prin hașurare orez. 4.

Deoarece funcția y = x 3 – 4x ia (0; 2) valoare negativă, Asta

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Avem: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, de unde S = 4 sq. unitati

Răspuns: S = 4 mp. unitati

Exemplul 4.

Aflați aria figurii delimitată de parabola y = 2x 2 – 2x + 1, dreptele x = 0, y = 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 = 2.

Soluţie.

Mai întâi, să creăm o ecuație pentru tangenta la parabola y = 2x 2 – 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ = 2.

Deoarece derivata y’ = 4x – 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y’(2) = 6.

Să aflăm ordonata punctului tangentei: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y – 5 = 6(x ​​– 2) sau y = 6x – 7.

Să construim o figură delimitată de linii:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) – cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 – 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B(1/2; 1/2).

Deci, figura a cărei zonă trebuie determinată este afișată prin hașurare orez. 5.

Avem: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Să găsim coordonatele punctului D din condiția:

6x – 7 = 0, adică x = 7/6, ceea ce înseamnă DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Astfel,

S ADBC ​​​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mp. unitati

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unități pătrate).

În cele din urmă obținem: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unități pătrate).

Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati

Ne-am uitat la exemple găsirea ariilor figurilor mărginite de linii date . Pentru solutie de succes Pentru astfel de sarcini, trebuie să fiți capabil să construiți linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați o formulă pentru a găsi zona, ceea ce implică prezența abilităților în calcularea anumitor integrale.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Pentru a rezolva probleme de geometrie, trebuie să cunoașteți formule - cum ar fi aria unui triunghi sau aria unui paralelogram - precum și tehnici simple pe care le vom acoperi.

Mai întâi, să învățăm formulele pentru zonele figurilor. Le-am adunat special într-o masă convenabilă. Printează, învață și aplică!

Desigur, nu toate formulele de geometrie sunt în tabelul nostru. De exemplu, pentru a rezolva probleme de geometrie și stereometrie în partea a doua profil Examenul de stat unificatÎn matematică, se folosesc și alte formule pentru aria unui triunghi. Cu siguranță vă vom spune despre ele.

Dar dacă trebuie să găsiți nu aria unui trapez sau a unui triunghi, ci aria unei figuri complexe? Există căi universale! Le vom arăta folosind exemple din banca de activități FIPI.

1. Cum să găsiți aria unei figuri nestandard? De exemplu, un patrulater arbitrar? O tehnică simplă - să împărțim această cifră în cele despre care știm totul și să îi găsim aria - ca suma suprafețelor acestor cifre.

Împărțiți acest patrulater cu o linie orizontală în două triunghiuri cu o bază comună egală cu . Înălțimile acestor triunghiuri sunt egale Și . Atunci aria patrulaterului este egală cu suma ariilor celor două triunghiuri: .

Raspuns: .

2. În unele cazuri, aria unei figuri poate fi reprezentată ca diferența unor zone.

Nu este atât de ușor să calculezi cu ce sunt egale baza și înălțimea acestui triunghi! Dar putem spune că aria sa este egală cu diferența dintre ariile unui pătrat cu o latură și trei triunghiuri dreptunghiulare. Ii vezi in poza? Primim: .

Raspuns: .

3. Uneori, într-o sarcină, trebuie să găsiți zona nu a întregii figuri, ci a unei părți a acesteia. De obicei, vorbim despre aria unui sector - o parte a unui cerc. Găsiți aria unui sector al unui cerc cu raza a cărui lungime a arcului este egală cu .

În această imagine vedem o parte dintr-un cerc. Aria întregului cerc este egală cu . Rămâne să aflăm care parte a cercului este reprezentată. Deoarece lungimea întregului cerc este egală (din moment ce ), iar lungimea arcului unui sector dat este egală , prin urmare, lungimea arcului este de câteva ori mai mică decât lungimea întregului cerc. Unghiul la care se sprijină acest arc este, de asemenea, un factor mai mic decât un cerc complet (adică grade). Aceasta înseamnă că aria sectorului va fi de câteva ori mai mică decât aria întregului cerc.