Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare. Rezolvarea ecuațiilor de gradul superior Rezolvarea ecuațiilor de gradul 5 cu soluție

În secolul al XVI-lea, matematicienii au dat peste numere complexe aproape întâmplător (vezi capitolul 11). LA secolul al XVIII-lea numerele complexe au fost considerate o extensie a câmpului numerelor reale, dar lucrul cu ele a condus totuși la o eroare de paritate, așa cum în marea lucrare a lui Leonard E. privind teoria numerelor, Arithmetical Investigations (1801), a evitat utilizarea așa-numitelor " numere imaginare" Mi se pare că cea mai importantă parte a acestei lucrări este prima demonstrație a teoremei fundamentale a algebrei. Gauss și-a dat seama cât de importantă era această teoremă, producând câteva dovezi suplimentare în anii următori. În 1849, a reelaborat prima versiune, de data aceasta folosind numere complexe. În termeni moderni, putem spune că pentru orice ecuație polinomială finită cu coeficienți reali sau complexi, toate rădăcinile sale vor fi reale sau numere complexe. Astfel, obținem un răspuns negativ la întrebarea de lungă durată dacă soluția ecuațiilor polinomiale necesită ordin înalt creând numere de ordin mai mare decât cele complexe.

Una dintre cele mai spinoase probleme din algebra din acea vreme a fost întrebarea dacă polinomul de ordinul al cincilea, quintica, putea fi rezolvat prin metode algebrice, adică folosind un număr finit de pași algebrici. În zilele noastre, în școală, se predau formula pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, iar din secolul al XVI-lea se cunosc metode similare pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea (Capitolul 11). Dar nu a fost găsită o singură metodă pentru chintice. Teorema fundamentală a algebrei poate părea că susține perspectiva unui răspuns pozitiv, dar de fapt pur și simplu garantează că există soluții, nu spune nimic despre existența formulelor care dau soluții exacte (metode numerice și grafice aproximative existau deja până atunci ). Și apoi au apărut două genii matematice cu o soartă tragică.

Niels Henrik Abel (1802–1829) s-a născut într-o familie numeroasă și săracă care trăiește într-un mic sat din Norvegia, o țară devastată de ani lungi de război cu Anglia și Suedia. Profesorul, care era bine dispus față de băiat, i-a dat cursuri particulare, dar după moartea tatălui său, la vârsta de optsprezece ani, în ciuda faptului că vârstă fragedăși sănătatea fragilă, Abel a fost nevoit să-și întrețină familia. În 1824, a publicat un articol științific în care afirma că quintica nu este rezolvabilă prin mijloace algebrice, așa cum este, într-adevăr, orice polinom de ordin superior. Abel credea că acest articol îi va servi drept bilet către lumea științifică și l-a trimis lui Gauss de la Universitatea din Göttingen. Din păcate, Gauss nu a apucat niciodată să taie paginile cu un cuțit (orice cititor trebuia să facă asta în acele zile) și nu a citit articolul. În 1826, guvernul norvegian a oferit în sfârșit fonduri pentru ca Abel să călătorească prin Europa. De teamă că comunicarea personală cu Gauss nu i-ar aduce prea multă bucurie, matematicianul a decis să nu viziteze Göttingen și a plecat în schimb la Berlin. Acolo s-a împrietenit cu August Leopold Krelle (1780–1855), un matematician, arhitect și inginer care a consiliat Ministerul Prusac al Educației în probleme de matematică. Krell intenționa să înființeze Journal of Pure and Applied Mathematics. Așa că Abel a avut ocazia să-și răspândească opera și să publice multe, mai ales în primele numere ale Jurnalului, care au început imediat să fie considerate foarte prestigioase și autoritare. publicație științifică. Norvegianul a publicat acolo o versiune extinsă a dovezii sale că quintica este indecidabilă prin metode algebrice. Și apoi a plecat la Paris. Această călătorie l-a supărat foarte mult pe Abel, pentru că practic nu a primit sprijinul de care avea nevoie de la matematicienii francezi. El a devenit apropiat de Augustin Louis Cauchy (1789–1857), care era principalul luminat la acea vreme. analiză matematică, dar avea un caracter foarte complex. După cum a spus însuși Abel, „Cauchy este nebun și nu se poate face nimic în privința asta, deși în prezent el este singurul care este capabil de orice în matematică”. Dacă încercăm să justificăm manifestările de lipsă de respect și neglijare care emană de la Gauss și Cauchy, putem spune că quintica a obținut o anumită faimă și a atras atenția atât a matematicienilor respectați, cât și a originaliștilor. Abel s-a întors în Norvegia, unde a suferit din ce în ce mai mult de tuberculoză. El a continuat să-și trimită lucrarea la Crelle, dar a murit în 1829, fără să știe cât de mult se consolidase reputația sa în lumea științifică. La două zile după moartea sa, Abel a primit o ofertă de a ocupa un post științific la Berlin.

Abel a arătat că orice polinom de peste ordinul al patrulea nu poate fi rezolvat folosind radicali precum rădăcini pătrate, rădăcini cubice sau de ordin superior. Cu toate acestea, condițiile explicite în care aceste polinoame puteau fi rezolvate în cazuri speciale și metoda de rezolvare a acestora au fost formulate de Galois. Évariste Galois (1811–1832) a trăit o viață scurtă și plină de evenimente. Era un matematician incredibil de talentat. Galois era neiertător față de cei pe care îi considera mai puțin talentați decât el și, în același timp, ura nedreptatea socială. Nu a arătat nicio aptitudine pentru matematică până când a citit Elementele de geometrie a lui Legendre (publicată în 1794, această carte a fost principalul manual pentru următoarele sute de ani). Apoi a devorat literalmente restul lucrărilor lui Legendre și, mai târziu, Abel. Entuziasmul, încrederea în sine și intoleranța lui au dus la consecințe cu adevărat teribile în relațiile sale cu profesorii și examinatorii. Galois a participat la un concurs pentru a intra la École Polytechnique, leagănul matematicii franceze, dar a picat examenul din lipsă de pregătire. De ceva vreme după ce a întâlnit un nou profesor care i-a recunoscut talentul, a reușit să-și țină temperamentul sub control. În martie 1829, Galois a publicat prima sa lucrare despre fracțiile continue, pe care o considera cea mai semnificativă lucrare. A trimis un mesaj despre descoperirile sale Academiei de Științe, iar Cauchy a promis că le va prezenta, dar a uitat. Mai mult, pur și simplu a pierdut manuscrisul.

Al doilea eșec al lui Galois de a intra la École Polytechnique a devenit parte a folclorului matematic. Era atât de obișnuit să țină constant idei matematice complexe în cap, încât a fost înfuriat de sâcâiala meschină a examinatorilor. Întrucât examinatorii au avut dificultăți în înțelegerea explicațiilor sale, el a aruncat o gumă de șters în față unuia dintre ei. La scurt timp după aceasta, tatăl său a murit, sinucidendu-se ca urmare a intrigilor bisericești. O revoltă a izbucnit practic la înmormântarea lui. În februarie 1830, Galois a scris următoarele trei lucrări, trimițându-le la Academia de Științe pentru Marele Premiu la Matematică. Joseph Fourier, pe atunci secretar al academiei, a murit fără să le citească, iar după moartea sa articolele nu au fost găsite printre lucrările sale. Un asemenea torent de dezamăgire ar fi copleșit pe oricine. Galois s-a răzvrătit împotriva celor de la putere pentru că a simțit că nu-i recunosc meritele și i-au distrus tatăl. S-a cufundat cu capul înainte în politică, devenind un republican înflăcărat - nu cea mai înțeleaptă decizie din Franța în 1830. Într-o ultimă încercare, el a trimis o lucrare științifică celebrului fizician și matematician francez Simeon Denis Poisson (1781–1840), care a răspuns cerând dovezi suplimentare.

Acesta a fost ultimul pahar. În 1831, Galois a fost arestat de două ori - mai întâi pentru că ar fi cerut asasinarea regelui Ludovic Filip, iar apoi pentru a-l proteja - autoritățile s-au temut de o rebeliune republicană! De data aceasta a fost condamnat la șase luni de închisoare sub acuzația falsă de purtare ilegală a uniformă a batalionului de artilerie desființat la care se alăturase. Eliberat condiționat, a început să lucreze care l-a dezgustat la fel de mult ca orice altceva în viață. În scrisorile sale către prietenul său devotat, Chevalier, se simte dezamăgirea lui. La 29 mai 1832, a acceptat o provocare la duel, motivele pentru care nu sunt pe deplin înțelese. „Am căzut victima unei cochete necinstite. Viața mea s-a stins într-o ceartă mizerabilă”, scrie el în „Scrisoare către toți republicanii”. Cel mai mult lucrare celebră Galois a fost schițat cu o noapte înainte de duelul fatal. În margine sunt împrăștiate plângeri: „Nu mai am timp, nu mai am timp”. A fost nevoit să lase în seama altora prezentarea detaliată a pașilor intermediari care nu erau esențiali pentru înțelegerea ideii principale. Trebuia să pună pe hârtie baza descoperirilor sale - originile a ceea ce se numește acum teorema lui Galois. El și-a încheiat testamentul cerându-i lui Chevalier „să apeleze la Jacobi și Gauss să-și dea opinia publică, nu în ceea ce privește corectitudinea, ci importanța acestor teoreme”. Dis de dimineață, Galois a mers să-și întâlnească rivalul. Au fost nevoiți să tragă de la o distanță de 25 de pași. Galois a fost rănit și a murit la spital a doua zi dimineață. Avea doar douăzeci de ani.

Galois a construit pe lucrarea lui Lagrange și Cauchy, dar a dezvoltat mai mult metoda generala. A fost extrem de realizare importantăîn domeniul rezolvării chinticelor. Omul de știință a acordat mai puțină atenție ecuațiilor originale sau interpretării grafice și s-a gândit mai mult la natura rădăcinilor înseși. Pentru a simplifica, Galois a luat în considerare doar așa-numitele chintice ireductibile, adică cele care nu puteau fi factorizate sub formă de polinoame de ordin inferior (cum am spus, pentru orice ecuație polinomială de până la ordinul al patrulea există formule pentru găsirea lor). rădăcini). Deloc polinom ireductibil cu coeficienți raționali este un polinom care nu poate fi extins în polinoame mai simple având coeficienți raționali. De exemplu, (x 5 - 1) poate fi factorizat (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1),în timp ce (x 5 - 2) Ireductibil. Scopul lui Galois a fost de a determina condițiile în care toate soluțiile unei ecuații polinomiale ireductibile generale pot fi găsite în termeni de radicali.

Cheia soluției este că rădăcinile oricărui ireductibil ecuație algebrică nu sunt independente, ele pot fi exprimate una prin alta. Aceste relații au fost formalizate într-un grup de toate permutările posibile, așa-numitul grup de simetrie a rădăcinii - pentru o chintică, acest grup conține 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemente. Algoritmii matematici ai teoriei Galois sunt foarte complexi și, cel mai probabil, parțial ca urmare a acestui fapt, au fost inițial greu de înțeles. Dar odată ce nivelul de abstractizare i-a permis să treacă de la soluțiile algebrice ale ecuațiilor la structura algebrică a grupurilor asociate acestora, Galois a fost capabil să prezică solubilitatea unei ecuații pe baza proprietăților unor astfel de grupuri. Mai mult decât atât, teoria sa a oferit și o metodă prin care aceste rădăcini ar putea fi găsite. Cât despre chintice, matematicianul Joseph Liouville (1809–1882), care în 1846 a publicat cea mai mare parte a lucrării lui Galois în Journal of Pure and Applied Mathematics, a remarcat că tânărul om de știință a dovedit o „teoremă frumoasă” și pentru a „să Dacă o ecuație ireductibilă a gradului inițial este rezolvabilă în termeni de radicali, este necesar și suficient ca toate rădăcinile ei să fie funcții raționale oricare dintre ele”. Deoarece acest lucru este imposibil pentru o chintică, nu poate fi rezolvat folosind radicali.

În trei ani lumea matematică a pierdut două dintre cele mai strălucitoare noi ale sale. Au urmat acuzații reciproce și cercetarea sufletească, iar Abel și Galois au obținut recunoașterea binemeritată, dar numai postum. În 1829, Carl Jacobi, prin Legendre, a aflat despre manuscrisul „pierdut” al lui Abel, iar în 1830 a izbucnit un scandal diplomatic când consulul norvegian la Paris a cerut să fie găsit articolul compatriotului său. Cauchy a găsit în cele din urmă articolul, doar ca să-l piardă din nou de editorii academiei! În același an, Abel a primit Marele Premiu la Matematică (împărtășit cu Jacobi) - dar era deja mort. În 1841, a fost publicată biografia lui. În 1846, Liouville a editat unele dintre manuscrisele lui Galois pentru publicare și, în introducere, și-a exprimat regretul că academia a respins inițial lucrarea lui Galois din cauza complexității sale - „claritatea prezentării este într-adevăr necesară atunci când autorul conduce cititorul de pe drumurile bătute în sălbatici neexplorate. teritorii”. El continuă: „Galois nu mai este! Să nu cădem în critici inutile. Să lăsăm deoparte neajunsurile și să ne uităm la avantaje! Fructe viata scurta Galois se încadrează în doar șaizeci de pagini. Editorul unui jurnal de matematică pentru candidații la École Normale și École Polytechnique a comentat cazul Galois după cum urmează: „Un candidat cu inteligență ridicată a fost eliminat de un examinator cu mai multe nivel scăzut gândire. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis."

În primul rând, a doua pagină a acestei lucrări nu este împovărată cu nume, prenume, descrieri ale statutului social, titluri și elegii în cinstea unui prinț zgârcit, al cărui portofel va fi deschis cu ajutorul acestor tămâie - cu amenințarea de a se închide. atunci când laudele se termină. Nu veți vedea aici laude respectuoase, scrise cu litere de trei ori mai mari decât textul în sine, adresate celor care au poziție înaltăîn știință, unui patron înțelept – ceva obligatoriu (aș spune inevitabil) pentru cineva la douăzeci de ani care vrea să scrie ceva. Nu spun nimănui de aici că îi datorez sfaturile și sprijinul pentru tot binele care iese din munca mea. Nu spun asta pentru că ar fi o minciună. Dacă ar fi să menționez pe vreunul dintre cei mari din societate sau din știință (diferența dintre aceste două clase de oameni este aproape imperceptibilă în prezent), jur că nu ar fi un semn de recunoștință. Lor le datorez că am publicat atât de târziu primul dintre aceste două articole și că toate acestea le-am scris în închisoare - un loc care cu greu poate fi considerat potrivit pentru reflecția științifică și sunt adesea uimit de reținerea și capacitatea mea de a păstra gura mea inchisa in raport cu zoile prosti si malefice. Cred că pot folosi cuvântul „zoiles” fără teama de a fi acuzat de improprietate, deoarece așa îi numesc adversarii. Nu am de gând să scriu aici despre cum și de ce am fost trimis la închisoare, dar trebuie să spun că manuscrisele mele de cele mai multe ori pur și simplu s-au pierdut în dosarele domnilor membri ai academiei, deși, de fapt, nu îmi pot imagina așa ceva. indiscreția din partea oamenilor care sunt responsabili de moartea lui Abel. După părerea mea, oricine ar dori să fie comparat cu acest genial matematician. Este suficient să spun că articolul meu despre teoria ecuațiilor a fost trimis Academiei de Științe în februarie 1830, că extrase din acesta au fost trimise în februarie 1829, dar nimic din acestea nu a fost tipărit și chiar manuscrisul s-a dovedit a fi imposibil de reveni.

Galois, prefață inedită, 1832

Clasă: 9

Obiective principale:

Întăriți conceptul unei întregi ecuații raționale de gradul al treilea.
Formulați metodele de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare (n > 3).
Predați metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de ordin superior.
Pentru a învăța cum să determinați cel mai mult mod eficient deciziile lui.

Forme, metode și tehnici pedagogice care sunt folosite de profesor în lecție:

Sistem de predare curs-seminar (prelegeri - explicarea materialului nou, seminarii - rezolvarea problemelor).
Tehnologiile informației și comunicării (sondaj frontal, lucru oral cu clasa).
Învățare diferențiată, forme de grup și individuale.
Utilizarea metodei cercetării în predarea orientată spre dezvoltare aparate matematiceși abilitățile de gândire ale fiecărui elev în parte.
Material imprimat– individual scurt rezumat lecție (concepte de bază, formule, enunțuri, material de curs condensat sub formă de diagrame sau tabele).

Planul lecției:

Moment organizatoric.
Scopul etapei: includerea elevilor în activități educaționale, determinați cadrul de conținut al lecției.
Actualizarea cunoștințelor elevilor.
Scopul etapei: actualizarea cunoștințelor elevilor cu privire la subiecte conexe studiate anterior
Studiind subiect nou(curs). Scopul etapei: formularea metodelor de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare (n > 3)
Rezumând.
Scopul etapei: evidențierea din nou a punctelor cheie din materialul studiat în lecție.
Teme pentru acasă.
Scopul etapei: a formula teme pentru acasă pentru elevi.

Rezumatul lecției

1. Moment organizatoric.

Formularea temei de lecție: „Ecuațiile puterilor superioare. Metode de rezolvare a acestora.”

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

Sondaj teoretic – conversație. Repetarea unor informații studiate anterior din teorie. Elevii formulează definiții de bază și formulează teoremele necesare. Dați exemple pentru a demonstra nivelul de cunoștințe dobândite anterior.

Conceptul de ecuație cu o variabilă.
Conceptul de rădăcină a unei ecuații, soluția unei ecuații.
Concept ecuație liniară cu o variabilă, conceptul de ecuație pătratică cu o variabilă.
Conceptul de echivalență a ecuațiilor, ecuații-consecințe (conceptul de rădăcini străine), tranziție nu prin consecință (cazul pierderii rădăcinilor).
Conceptul de întreg expresie rațională cu o variabilă.
Conceptul unei întregi ecuații raționale n gradul. Forma standard a unei întregi ecuații raționale. Întreaga ecuație rațională redusă.
Trecerea la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
Conceptul de polinom n gradul de la x. teorema lui Bezout. Corolare din teorema lui Bezout. Teoreme rădăcinilor ( Z -rădăcini și-rădăcini) a unei întregi ecuații raționale cu coeficienți întregi (reduși, respectiv nereduși).
Schema lui Horner.

3. Studierea unui subiect nou.

Vom lua în considerare întreaga ecuație rațională n-a-a putere de formă standard cu o variabilă necunoscută x:Pn(x)= 0, unde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n gradul de la x, o n ≠ 0. Dacă o n = 1 atunci o astfel de ecuație se numește ecuație rațională cu număr întreg redus n gradul. Să luăm în considerare astfel de ecuații pentru diferite valori nși enumerați principalele metode de rezolvare a acestora.

n= 1 – ecuație liniară.

n= 2 – ecuație pătratică. Formula discriminantă. Formula pentru calcularea rădăcinilor. teorema lui Vieta. Selectarea unui pătrat complet.

n = 3 – ecuația cubică.

Metoda de grupare.

Exemplu: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Ecuație cubică reciprocă a formei topor 3 + bx 2 + bx + o= 0. Rezolvăm combinând termeni cu aceiași coeficienți.

Exemplu: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că căutarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile folosind un anumit algoritm în conformitate cu teorema despre Corolare din teorema lui Bezout. Teoreme rădăcinilor (-rădăcinile întregii ecuații raționale date cu coeficienți întregi.

Exemplu: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Ecuația este dată. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3; + 5; + 15). Să aplicăm schema lui Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	concluzie
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 x 15 – 15 = 0	1 – rădăcină
	x 2	x 1	x 0

Primim ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. La aplicarea acestei metode, este necesar să subliniem că căutarea în acest caz este finită și selectăm rădăcinile folosind un anumit algoritm în conformitate cu teorema despre -rădăcini și-rădăcinile unei ecuații raționale întregi nereduse cu coeficienți întregi.

Exemplu: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Ecuația este neredusă. Să notăm divizorii termenului liber ( + 1; + 3). Să notăm divizorii coeficientului la cea mai mare putere a necunoscutului. ( + 1; + 3; + 9) În consecință, vom căuta rădăcini printre valori ( + 1; + ; + ; + 3). Să aplicăm schema lui Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	concluzie
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – nu o rădăcină
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – nu o rădăcină
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	rădăcină
	x 2	x 1	x 0

Primim ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Pentru ușurință de calcul atunci când selectați Q -rădăcini Poate fi convenabil să faceți o schimbare a variabilei, să mergeți la ecuația dată și să selectați Z -rădăcini.

Dacă termenul inactiv este 1

.

Dacă puteți folosi un înlocuitor al formularului y = kx

.

Formula Cardano. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cubice - aceasta este formula Cardano. Această formulă este asociată cu numele matematicienilor italieni Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557) și Scipione del Ferro (1465–1526). Această formulă depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.

n= 4 – ecuația gradului al patrulea.

Metoda de grupare.

Exemplu: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Metoda de înlocuire variabilă.

Ecuația biquadratică a formei topor 4 + bx 2 + s = 0 .

Exemplu: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Înlocuire y = x 2. De aici y 1 = 4, y 2 = -9. De aceea x 1,2 = + 2 .

Ecuația reciprocă a gradului al patrulea al formei topor 4 + bx 3+c x 2 + bx + o = 0.

Rezolvăm combinând termeni cu aceiași coeficienți prin înlocuirea formei

topor 4 + bx 3 + cx 2 – bx + o = 0.

Ecuația recurentă generalizată de gradul al patrulea al formei topor 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

Înlocuire generală. Câteva înlocuiri standard.

Exemplul 3 . Înlocuirea vederii generale(urmează din tipul de ecuație specifică).

n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q n = 3.

Formula generala. Există o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea. Această formulă este asociată cu numele lui Ludovico Ferrari (1522–1565). Această formulă depășește domeniul de aplicare al cursului nostru.

n > 5 – ecuații ale gradului cinci și superior.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Z pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel discutat mai sus pentru n = 3.

Ecuație cu coeficienți întregi. Selectarea rădăcinilor Q pe baza teoremei. Schema lui Horner. Algoritmul este similar cu cel discutat mai sus pentru n = 3.

Ecuații simetrice. Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcină x= -1 și după factorizarea în factori găsim că un factor are forma ( x+ 1), iar al doilea factor este o ecuație reciprocă de grad par (gradul său este cu unul mai mic decât gradul ecuației inițiale). Orice ecuație reciprocă de grad par împreună cu o rădăcină a formei x = φ conţine şi rădăcina speciei. Folosind aceste afirmații, rezolvăm problema scăzând gradul ecuației studiate.

Metoda de înlocuire variabilă. Utilizarea omogenității.

Nu există o formulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al cincilea (acest lucru a fost demonstrat de matematicianul italian Paolo Ruffini (1765–1822) și de matematicianul norvegian Niels Henrik Abel (1802–1829)) și de grade superioare (acest lucru a fost demonstrat de către Matematicianul francez Evariste Galois (1811–1832) )).

Să reamintim încă o dată că în practică este posibil să se utilizeze combinatii metodele enumerate mai sus. Este convenabil să treceți la un set de ecuații de grade inferioare prin factorizarea ecuației inițiale.
În afara domeniului discuției noastre de astăzi sunt cele utilizate pe scară largă în practică. metode grafice rezolvarea ecuaţiilor şi metode de rezolvare aproximativă ecuații de grade superioare.

Există situații în care ecuația nu are rădăcini R.

Folosind proprietatea monotonității funcțiilor

4. Rezumând.

Rezumat: Acum am stăpânit metodele de bază pentru rezolvarea diferitelor ecuații de grade superioare (pentru n > 3). Sarcina noastră este să învățăm cum să folosim eficient algoritmii enumerați mai sus. În funcție de tipul de ecuație, va trebui să învățăm să stabilim care metodă de soluție într-un caz dat este cea mai eficientă, precum și să aplicăm corect metoda aleasă.

5. Tema pentru acasă.

: paragraful 7, p. 164–174, nr. 33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Subiecte posibile pentru rapoarte sau rezumate pe această temă:

Formula Cardano
Metoda grafica de rezolvare a ecuatiilor. Exemple de soluții.
Metode de rezolvare aproximativă a ecuațiilor.

Analiza învățării elevilor și a interesului față de subiect:

Experiența arată că interesul studenților este trezit în primul rând de posibilitatea de a selecta Corolare din teorema lui Bezout. Teoreme rădăcinilor (-rădăcini și -rădăcini și-rădăcinile ecuațiilor folosind un algoritm destul de simplu folosind schema lui Horner. Elevii sunt, de asemenea, interesați de diferite tipuri standard de înlocuire a variabilelor, care pot simplifica semnificativ tipul de problemă. Metodele de rezolvare grafică prezintă de obicei un interes deosebit. În acest caz, puteți analiza suplimentar probleme folosind o metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor; discuta vedere generală grafica pentru polinoame de 3, 4, 5 grade; analizați modul în care numărul de rădăcini ale ecuațiilor de gradul 3, 4, 5 este legat de aspectul graficului corespunzător. Mai jos este o listă de cărți în care puteți găsi informații suplimentare despre acest subiect.

Referinte:

Vilenkin N.Ya.şi alţii „Algebră. Manual pentru elevii clasei a IX-a studiu aprofundat Matematică” – M., Educație, 2007 – 367 p.
Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„În spatele paginilor unui manual de matematică. Aritmetică. Algebră. Clasa 10-11” – M., Educație, 2008 – 192 p.
Vygodsky M.Ya.„Manual de matematică” – M., AST, 2010 – 1055 p.
Galitsky M.L.„Colecție de probleme în algebră. Tutorial pentru clasele 8-9 cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 p.
Zvovich L.I.şi alţii „Algebra şi începuturile analizei. 8-11 clase Un manual pentru școli și clase cu studii avansate de matematică” - M., Bustard, 1999 - 352 p.
Zvavich L.I., Averianov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Teme de matematică pentru pregătirea pentru examenul scris în clasa a IX-a” - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 p.
Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Teste de subiect pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Probe tematice pentru sistematizarea cunoștințelor în matematică” partea 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 p.
Ivanov A.P.„Teste și testeîn matematică. Manual de instruire.” – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 p.
Leibson K.L.„Culegere de sarcini practice la matematică. Partea 2–9 clase” – M., MTSNM, 2009 – 184 p.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebră. Capitole suplimentare la manual școlar clasa a IX-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii.” – M., Educație, 2006 – 224 p.
Mordkovich A.G."Algebră. Studiu aprofundat. clasa a 8-a. Manual” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
Savin A.P. “Dicţionar enciclopedic tânăr matematician” - M., Pedagogie, 1985 - 352 p.
Survillo G.S., Simonov A.S. “Materiale didacticeîn algebră pentru clasa a 9-a cu studiu aprofundat al matematicii” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 p.
Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități în curs şcolar matematician. Prelegeri 1–4” – M., 1 septembrie 2006 – 88 p.
Chulkov P.V.„Ecuații și inegalități la cursul de matematică școlară.

Prelegeri 5–8” – M., 1 septembrie 2009 – 84 p. Să luăm în considerare

rezolvarea ecuaţiilor cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.

Gradul ecuației P(x) = 0 este gradul polinomului P(x), adică. cea mai mare dintre puterile termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.

Deci, de exemplu, ecuația (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 are gradul al cincilea, deoarece in urma operatiilor de deschidere a parantezelor si aducere a unora asemanatoare obtinem ecuatia echivalenta x 5 – 2x 3 + 3 = 0 de gradul al cincilea.

Să ne amintim regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare decât doi.

1. Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia: Polinom gradul al n-lea

2. are un număr de rădăcini care nu depășește n, iar rădăcinile de multiplicitate m apar exact de m ori.

3. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

5. Polinomul redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul trei

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d este posibil unul din două lucruri: fie este descompus în produsul a trei binoame

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), sau se descompune în produsul unui binom și trinom pătratic P 3 (x) = a(x – α)(x 2 + βx + γ).

7. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi extins în produsul a două trinoame pătrate.

8. Un polinom f(x) este divizibil cu un polinom g(x) fără rest dacă există un polinom q(x) astfel încât f(x) = g(x) · q(x). Pentru a împărți polinoamele, se folosește regula „divizării colțurilor”.

9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu un binom (x – c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcina lui P(x) (Corolarul teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcini reale ale polinomului

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Rezolvarea exemplelor

Exemplul 1.

Aflați restul diviziunii P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 prin (x – 1/3).

Soluţie.

Prin corolar teoremei lui Bezout: „Rămânul unui polinom împărțit la un binom (x – c) este egal cu valoarea polinomului lui c.” Să găsim P(1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2.

Împărțiți cu un „colț” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Soluţie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 – x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grad superior

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile este deja familiară din exemplu ecuații biquadratice. Constă în faptul că pentru rezolvarea ecuației f(x) = 0 se introduce o nouă variabilă (substituție) t = x n sau t = g(x) și se exprimă f(x) prin t, obținându-se o nouă ecuație r (t). Apoi rezolvând ecuația r(t), se găsesc rădăcinile:

(t 1, t 2, …, t n). După aceasta se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Soluţie:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substituție inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, din a doua: 0 și -1.

2. Factorizarea prin grupare și formule de înmulțire prescurtate

Urzeală această metodă De asemenea, nu este nou și constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori este necesar să folosiți câteva tehnici artificiale.

Exemplul 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Soluţie.

Să ne imaginăm - 3x 2 = -2x 2 – x 2 și grupați:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 sau x 2 + x – 3 = 0.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Metoda factorizării coeficienți incerti

Esența metodei este că polinomul original este factorizat cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoamele sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri, se găsesc coeficienții de expansiune necunoscuți.

Exemplul 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Soluţie.

Un polinom de gradul 3 poate fi extins în produsul factorilor liniari și pătratici.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

După ce am rezolvat sistemul:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, adică

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Răspuns: -1; -2.

4. Metoda de selectare a unei rădăcini folosind coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Fiecare rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

2) Pentru ca fracția ireductibilă p/q (p este un număr întreg, q este un număr natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0, și q să fie un divizor natural al coeficientului principal.

Exemplul 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Soluţie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu – 2, vom găsi alte rădăcini folosind diviziunea colțului, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.