Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivat din logaritmul natural de asemenea foarte simplu:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, vom folosi o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu functie complexa: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivata unei functii- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde x– orice număr real, adică x– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Astfel, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate x din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei o logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De x.

Acum să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Şi x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru orice x din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și x- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt x, primim (aici x este o funcție și y– argumentul ei). adica și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Şi .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul cu derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formulele derivate inverse funcții trigonometrice.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, folosind formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Tot ce rămâne este să efectuăm transformările.

Deoarece intervalul arcsinus este intervalul , Asta (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.

Prin urmare, . Domeniul de definire al derivatei arcsinus este intervalul (-1; 1) .

Pentru arccosinus, totul se face exact în același mod:

Să găsim derivata arctangentei.

Pentru funcția inversă este .

Să exprimăm arctangenta în termeni de arccosin pentru a simplifica expresia rezultată.

Lasă arctgx = z, Atunci

Prin urmare,

Derivata cotangentei arcului se găsește într-un mod similar:

Vă prezentăm un tabel rezumativ pentru comoditate și claritate atunci când studiem subiectul.

Constanty = C Funcția de putere y = x p (x p) " = p x p - 1	Funcția exponențialăy = ax (a x) " = a x ln a În special, cânda = eavem y = e x (e x) " = e x
Funcția logaritmică (log a x) " = 1 x ln a În special, cânda = eavem y = log x (ln x) " = 1 x	Funcții trigonometrice (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Funcții trigonometrice inverse (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Funcții hiperbolice (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Să analizăm cum au fost obținute formulele din tabelul specificat sau, cu alte cuvinte, vom demonstra derivarea formulelor derivate pentru fiecare tip de funcție.

Derivată a unei constante

Dovada 1

Pentru a deriva această formulă, luăm ca bază definiția derivatei unei funcții într-un punct. Folosim x 0 = x, unde x ia valoarea oricărui număr real sau, cu alte cuvinte, x este orice număr din domeniul funcției f (x) = C. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului ca ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vă rugăm să rețineți că expresia 0 ∆ x se încadrează sub semnul limită. Nu este incertitudinea „zero împărțit la zero”, deoarece numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Deci, derivata funcției constante f (x) = C este egală cu zero în întregul domeniu de definiție.

Exemplul 1

Funcțiile constante sunt date:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Soluţie

Să descriem condițiile date. În prima funcție vedem derivata numărului natural 3. În exemplul următor, trebuie să luați derivata lui O, Unde O- orice număr real. Al treilea exemplu ne oferă derivata numărului irațional 4. 13 7 22, a patra este derivata lui zero (zero este un întreg). În cele din urmă, în al cincilea caz avem derivata fracției raționale - 8 7.

Răspuns: derivate funcții specificate este zero pentru orice real x(pe toată zona de definiție)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivată a unei funcții de putere

Să trecem la funcția putere și la formula derivatei sale, care are forma: (x p) " = p x p - 1, unde exponentul p este oricare număr real.

Dovada 2

Iată dovada formulei când exponentul este un număr natural: p = 1, 2, 3, …

Ne bazăm din nou pe definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Pentru a simplifica expresia în numărător, folosim formula binomială a lui Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Astfel:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + , + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + .

Astfel, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere atunci când exponentul este un număr natural.

Dovada 3

Pentru a oferi dovezi pentru cazul când p- orice număr real, altul decât zero, folosim derivata logaritmică (aici ar trebui să înțelegem diferența față de derivata unei funcții logaritmice). Pentru a avea o înțelegere mai completă, este indicat să se studieze derivata unei funcții logaritmice și să se înțeleagă suplimentar derivata unei funcții implicite și derivata unei funcții complexe.

Să luăm în considerare două cazuri: când x pozitiv și când x negativ.

Deci x > 0. Atunci: x p > 0 . Să logaritmăm egalitatea y = x p la baza e și să aplicăm proprietatea logaritmului:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

În această etapă, am obținut o funcție specificată implicit. Să definim derivata sa:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Acum luăm în considerare cazul când x – număr negativ.

Dacă indicatorul p este un număr par, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Apoi x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Dacă p este un număr impar, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ultima tranziție este posibilă datorită faptului că dacă p este un număr impar, atunci p - 1 fie un număr par, fie zero (pentru p = 1), prin urmare, pentru negativ x egalitatea (- x) p - 1 = x p - 1 este adevărată.

Deci, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere pentru orice p real.

Exemplul 2

Funcții date:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinați derivatele lor.

Soluţie

Transformăm unele dintre funcțiile date în formă tabelară y = x p , pe baza proprietăților gradului, apoi folosim formula:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivată a unei funcții exponențiale

Dovada 4

Să derivăm formula derivată folosind definiția ca bază:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Avem incertitudine. Pentru a o extinde, să scriem o nouă variabilă z = a ∆ x - 1 (z → 0 ca ∆ x → 0). În acest caz, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pentru ultima tranziție a fost utilizată formula de tranziție la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Să ne amintim a doua limită remarcabilă și apoi obținem formula pentru derivata funcției exponențiale:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Exemplul 3

Funcțiile exponențiale sunt date:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Este necesar să găsiți derivatele lor.

Soluţie

Folosim formula pentru derivata funcției exponențiale și proprietățile logaritmului:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivată a unei funcții logaritmice

Dovada 5

Prezentăm o demonstrație a formulei pentru derivata unei funcții logaritmice pentru oricare xîn domeniul definiției și a oricăror valori admisibile ale bazei a a logaritmului. Pe baza definiției derivatei, obținem:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Din lanțul de egalități indicat este clar că transformările s-au bazat pe proprietatea logaritmului. Egalitatea lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e este adevărată în conformitate cu a doua limită remarcabilă.

Exemplul 4

Funcțiile logaritmice sunt date:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Este necesar să se calculeze derivatele lor.

Soluţie

Să aplicăm formula derivată:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Deci, derivata logaritmului natural este una împărțită la x.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice

Dovada 6

Să folosim câteva formule trigonometriceși prima limită remarcabilă pentru a deriva formula pentru derivata unei funcții trigonometrice.

Conform definiției derivatei funcției sinus, obținem:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula pentru diferența de sinusuri ne va permite să efectuăm următoarele acțiuni:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

În cele din urmă, folosim prima limită minunată:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Deci, derivata funcției sin x voinţă cos x.

Vom demonstra, de asemenea, formula pentru derivata cosinusului:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Aceste. derivat funcţiile cos x va fi – sin x.

Obținem formulele pentru derivatele tangentei și cotangentei pe baza regulilor de diferențiere:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivate ale funcţiilor trigonometrice inverse

Secțiunea derivată funcții inverse oferă informații cuprinzătoare despre demonstrarea formulelor pentru derivatele arcsinus, arccosin, arctangent și arccotangent, așa că nu vom duplica materialul aici.

Derivate ale funcțiilor hiperbolice

Dovada 7

Putem deriva formulele pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind regula de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

O funcție putere-exponențială este o funcție care are forma unei funcții de putere
y = u v ,
în care baza u și exponentul v sunt unele funcții ale variabilei x:
u = u (x); (x).
v = v Această funcție este numită și exponenţială

sau .
.
Rețineți că funcția putere-exponențială poate fi reprezentată în formă exponențială: De aceea se mai numește.

funcţie exponenţială complexă

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Calcul folosind derivată logaritmică
(2) ,
Să găsim derivata funcției putere-exponențială
unde și sunt funcții ale variabilei.
.
Pentru a face acest lucru, vom logaritm ecuația (2), folosind proprietatea logaritmului:
(3) .
Diferențierea față de variabila x: Aplicam reguli de diferențiere a funcțiilor complexe
;
.

si functioneaza:
.
Înlocuim în (3):
.

De aici
(1) .
Deci, am găsit derivata funcției putere-exponențială:
.
Dacă exponentul este constant, atunci .
.
Atunci derivata este egală cu derivata unei funcții de putere complexe:

Dacă baza gradului este constantă, atunci .

Atunci derivata este egală cu derivata funcției exponențiale complexe:
(2) ,
Când și sunt funcții ale lui x, atunci derivata funcției putere-exponențială este egală cu suma derivatelor puterii complexe și ale funcțiilor exponențiale.
(4) .

Calculul derivatei prin reducerea la o funcție exponențială complexă
.
Acum să găsim derivata funcției putere-exponențială

.
prezentându-l ca o funcție exponențială complexă:

Să diferențiem produsul:

Aplicăm regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:
.

Calculăm folosind derivata logaritmică. Să logaritmăm funcția originală:
(A1.1) .

Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Folosind formula derivată a produsului, avem:
.
Diferențiem (A1.1):
.
Din moment ce
,
Că
.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Conţinut

Vezi și: Funcția de putere și rădăcini, formule și grafic
Grafice ale funcției de putere

Formule de bază

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la puterea a m este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să luăm în considerare functie de putere din variabila x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata unei rădăcini de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
Apoi
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . 0 Să găsim derivata funcției (3) la x =
.

. 0 :
.
Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:

Să înlocuim x =
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .
Așa că am găsit:
Așa că am găsit:
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
(1) .
La , . 0 .

Acest rezultat se obține și din formula (1):< 0

Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x =
(3) .
Cazul x Luați în considerare din nou funcția (3): Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru
,
valori negative

variabila x. 3 Și anume, fie a un număr rațional. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă: 1 unde m și n sunt numere întregi care nu au un divizor comun.
.
Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x.

De exemplu, când n = și m = constanta a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x în următoarea formă:
.
Apoi,
.
Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici . Dar
.
De atunci
.
Apoi
.
Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
(1) .

Derivate de ordin superior

Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere
(3) .
Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.

Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.
În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea:
;

.

Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar are următoarea formă:
.

Rețineți că dacă a este număr natural , atunci derivata a n-a este constantă:
.
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
,
la .

Exemple de calculare a derivatelor

Exemplu

Aflați derivata funcției:
.

Să convertim rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Găsirea derivatelor puterilor:
;
.
Derivata constantei este zero:
.