Înmulțirea numerelor complexe. Numerele complexe

În timp ce adunarea și scăderea numerelor complexe este mai convenabil de făcut în formă algebrică, înmulțirea și împărțirea sunt mai ușor de făcut folosind forma trigonometrică a numerelor complexe.

Să luăm două numere complexe arbitrare date sub formă trigonometrică:

Înmulțind aceste numere, obținem:

Dar conform formulelor de trigonometrie

Astfel, la înmulțirea numerelor complexe, modulele acestora sunt înmulțite, iar argumentele

pliază în sus. Deoarece în acest caz modulele sunt convertite separat, iar argumentele - separat, efectuarea înmulțirii în formă trigonometrică este mai ușoară decât în formă algebrică.

Din egalitate (1) rezultă următoarele relații:

Deoarece împărțirea este acțiunea inversă a înmulțirii, obținem asta

Cu alte cuvinte, modulul unui cot este egal cu raportul dintre modulele dividendului și divizorului, iar argumentul coeficientului este diferența dintre argumentele dividendului și divizorului.

Să ne oprim acum sens geometricînmulțirea numerelor complexe. Formulele (1) - (3) arată că pentru a găsi produsul, trebuie mai întâi să creșteți modulul numărului de ori fără a-i schimba argumentul și apoi să creșteți argumentul numărului rezultat fără a-i schimba modulul. Prima dintre aceste operații înseamnă geometric homotezie față de punctul O cu un coeficient, iar a doua înseamnă o rotație față de punctul O cu un unghi egal cu Considerând aici un factor este constant și celălalt variabil, putem formula rezultatul. astfel: formula

Să luăm două numere complexe arbitrare date sub formă trigonometrică:

Înmulțind aceste numere, obținem:

Dar conform formulelor de trigonometrie

Astfel, la înmulțirea numerelor complexe, modulele acestora sunt înmulțite, iar argumentele

pliază în sus. Deoarece în acest caz modulele sunt convertite separat, iar argumentele - separat, efectuarea înmulțirii în formă trigonometrică este mai ușoară decât în formă algebrică.

Din egalitate (1) rezultă următoarele relații:

Deoarece împărțirea este acțiunea inversă a înmulțirii, obținem asta

Cu alte cuvinte, modulul unui cot este egal cu raportul dintre modulele dividendului și divizorului, iar argumentul coeficientului este diferența dintre argumentele dividendului și divizorului.

Să ne oprim acum asupra semnificației geometrice a înmulțirii numerelor complexe. Formulele (1) - (3) arată că pentru a găsi produsul, trebuie mai întâi să creșteți modulul numărului de ori fără a-i schimba argumentul și apoi să creșteți argumentul numărului rezultat fără a-i schimba modulul. Prima dintre aceste operații înseamnă geometric homotezie față de punctul O cu un coeficient, iar a doua înseamnă o rotație față de punctul O cu un unghi egal cu Considerând aici un factor este constant și celălalt variabil, putem formula rezultatul astfel: formula

Un număr complex este un număr de forma , unde și sunt numere reale, așa-numitele unitate imaginară. Numărul este sunat parte reala() număr complex, se numește numărul parte imaginară () număr complex.

Numerele complexe sunt reprezentate prin plan complex:

După cum am menționat mai sus, o literă denotă de obicei setul de numere reale. Multe sau numere complexe de obicei notat cu o literă „îngroșată” sau îngroșată. Prin urmare, litera trebuie plasată pe desen, indicând faptul că avem un plan complex.

Forma algebrică a unui număr complex. Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor complexe

Adunarea numerelor complexe

Pentru a adăuga două numere complexe, trebuie să adăugați părțile lor reale și imaginare:

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).

Pentru numerele complexe este valabilă regula primei clase: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

Scăderea numerelor complexe

Acțiunea este similară cu adăugarea, singura particularitate este că subtrahendul trebuie pus în paranteze, iar apoi parantezele trebuie deschise în modul standard cu o schimbare de semn:

z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)

Înmulțirea numerelor complexe

Egalitatea de bază a numerelor complexe:

Produsul numerelor complexe:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).

Ca și suma, produsul numerelor complexe este comutabil, adică egalitatea este adevărată: .

Împărțirea numerelor complexe

Se efectuează împărțirea numerelor prin înmulțirea numitorului și numărătorului cu expresia conjugată a numitorului.

2 Întrebare. Plan complex. Modulul și argumentele numerelor complexe

Fiecare număr complex z = a + i*b poate fi asociat cu un punct cu coordonate (a;b), și invers, fiecare punct cu coordonate (c;d) poate fi asociat cu un număr complex w = c + i* d. Astfel, se stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele planului și mulțimea numerelor complexe. Prin urmare, numerele complexe pot fi reprezentate ca puncte pe un plan. Planul pe care sunt reprezentate numerele complexe este de obicei numit plan complex.

Cu toate acestea, mai des numerele complexe sunt descrise ca un vector cu început în punctul O, și anume, numărul complex z = a + i*b este reprezentat ca un vector cu rază a unui punct cu coordonate (a;b). În acest caz, imaginea numerelor complexe din exemplul anterior va fi astfel:

Imaginea sumei a două numere complexe este un vector egal cu suma vectorilor reprezentând numerele și . Cu alte cuvinte, atunci când se adună numere complexe, se adaugă și vectorii care le reprezintă.

Fie numărul complex z = a + i*b reprezentat printr-un vector cu rază. Apoi se numește lungimea acestui vector modul numărul z și se notează cu |z| .

Se numește unghiul format de vectorul rază al unui număr cu axa argument numere și se notează cu arg z. Argumentul numărului nu este determinat în mod unic, ci într-un multiplu de . Cu toate acestea, de obicei argumentul este specificat în intervalul de la 0 sau în intervalul de la -la. În plus, numărul are un argument nedefinit.

Folosind această relație, puteți găsi argumentul unui număr complex:

Mai mult, prima formulă este valabilă dacă imaginea numărului se află în primul sau al patrulea trimestru, iar a doua, dacă este în al doilea sau al treilea. Dacă , atunci numărul complex este reprezentat de un vector pe axa Oy și argumentul său este egal cu /2 sau 3*/2.

Să obținem o altă formulă utilă. Fie z = a + i*b. Apoi,

Definim produsul a doua numere complexe asemanator cu produsul numerelor reale si anume: produsul este considerat ca un numar format dintr-un multiplicand, la fel ca un factor este alcatuit dintr-o unitate.

Vectorul corespunzător unui număr complex cu modul și argument poate fi obținut dintr-un vector unitar a cărui lungime este egală cu unu și a cărui direcție coincide cu direcția pozitivă a axei OX, prin alungirea lui cu un factor și rotirea acestuia. aceasta de un factor direcție pozitivăîntr-un unghi

Produsul unui anumit vector de un vector este vectorul care se va obține dacă se aplică vectorului alungirea și rotația menționate mai sus, cu ajutorul căruia vectorul se obține dintr-un vector unitar, iar acesta din urmă corespunde evident cu o unitate reală.

Dacă modulele și argumentele sunt numere complexe corespunzătoare vectorilor, atunci produsul acestor vectori va corespunde în mod evident unui număr complex cu modul și argument . Ajungem astfel la următoarea definiție a produsului numerelor complexe:

Produsul a două numere complexe este un număr complex al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor și al cărui argument este egal cu suma argumentelor factorilor.

Astfel, în cazul în care numerele complexe sunt scrise în formă trigonometrică, vom avea

Să derivăm acum regula pentru alcătuirea unui produs pentru cazul în care numerele complexe nu sunt date în formă trigonometrică:

Folosind notația de mai sus pentru module și argumente ale factorilor, putem scrie

conform definiției înmulțirii (6):

și în sfârșit obținem

În cazul în care factorii sunt numere reale și produsul se reduce la produsul aag al acestor numere. În cazul egalității (7) dă

adică pătratul unității imaginare este egal cu

Calculând secvenţial puterile întregi pozitive, obţinem

și, în general, cu orice pozitiv general

Regula înmulțirii exprimată prin egalitate (7) poate fi formulată astfel: numerele complexe trebuie înmulțite ca polinoamele de litere, numărând

Dacă a este un număr complex, atunci se spune că numărul complex este conjugat cu a și este notat cu a. După formulele (3) avem din egalitate (7) rezultă

şi prin urmare

adică produsul numerelor complexe conjugate este egal cu pătratul modulului fiecăruia dintre ele.

Să notăm și formule evidente

Din formulele (4) și (7) rezultă imediat că adunarea și înmulțirea numerelor complexe respectă legea comutativă, adică suma nu depinde de ordinea termenilor, iar produsul nu depinde de ordinea termenilor. factori. Nu este greu de verificat valabilitatea legilor combinaționale și distributive, exprimate prin următoarele identități:

Lăsăm cititorului să facă acest lucru.

Rețineți, în sfârșit, că produsul mai multor factori va avea un modul egal cu produsul modulelor factorilor și un argument egal cu suma argumentelor factorilor. Astfel, produsul numerelor complexe va fi egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Produsul a două numere complexe este asemănător cu produsul a două numere reale și anume: produsul este considerat ca un număr format dintr-un multiplicand, la fel cum un factor este alcătuit dintr-o unitate. Vectorul corespunzător unui număr complex cu modul r și argument j poate fi obținut dintr-un vector unitar a cărui lungime este egală cu unu și a cărui direcție coincide cu direcția pozitivă a axei OX, prin alungirea lui de r ori și rotirea lui în direcție pozitivă printr-un unghi j. Produsul unui anumit vector a 1 de un vector a 2 este vectorul care se obține dacă vectorului a 1 se aplică alungire și rotație, cu ajutorul căruia se obține vectorul a 2 dintr-un vector unitar, iar acesta din urmă corespunde evident unei unităţi reale. Dacă (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) sunt modulele și argumentele numerelor complexe corespunzătoare vectorilor a 1 și a 2, atunci produsul acestor vectori va corespunde în mod evident unui număr complex cu modulul r 1 r 2 și argumentul (j 1 + j 2). Astfel, produsul a două numere complexe este un număr complex al cărui modul este egal cu produsul modulelor factorilor și al cărui argument este egal cu suma argumentelor factorilor.

În cazul în care numerele complexe sunt scrise în formă trigonometrică, avem

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.

În cazul (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi, folosind notația modulelor și argumentele factorilor, putem scrie:

a 1 = r 1 cos? 1; b 1 = r 1 sin? 1; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 = r 2 sin? 2;

conform definiției înmulțirii:

x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 păcat? 1 r 2 păcat? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 păcat? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2 ,

si in final obtinem:

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.

În cazul b 1 = b 2 = 0, factorii sunt numere reale a 1 și a 2 și produsul se reduce la produsul a 1 a 2 al acestor numere. În cazul în care

a 1 = a 2 = 0 și b 1 = b 2 = 1,

egalitate (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I dă: i???i = i 2 = -1, adică pătratul unității imaginare este -1. Calculând succesiv puterile întregi pozitive i, obținem:

i2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i6 = -1; ...

și, în general, pentru orice k pozitiv:

i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i

Regula înmulțirii exprimată prin egalitatea (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I poate fi formulat astfel: numerele complexe trebuie înmulțite ca polinoame alfabetice, numărând i 2 = -1.

Din formulele de mai sus rezultă imediat că adunarea și înmulțirea numerelor complexe se supun legii comutative, i.e. suma nu depinde de ordinea termenilor, iar produsul nu depinde de ordinea factorilor. Nu este greu de verificat validitatea legilor combinaționale și distributive, exprimate prin următoarele identități:

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

Produsul mai multor factori va avea un modul egal cu produsul modulelor factorilor și un argument egal cu suma argumentelor factorilor. Astfel, produsul numerelor complexe va fi egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu: numere complexe date z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Găsi:

a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z1z2.

a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (aici se ține cont că i 2 = - 1).

Exemplu: urmați acești pași:

a) (2 + 3i)2; b) (3-5i)2; c) (5 + 3i) 3 .

a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; întrucât i 2 = - 1 și i 3 = - i, obținem (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.

Exemplu: efectuați acțiuni

a) (5 + 3i)(5 - 3i); b) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).

a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.