Rezolvarea problemelor de matematică pentru elevi este adesea însoțită de multe dificultăți. Ajutați-l pe elev să facă față acestor dificultăți, precum și învățați-l să folosească ceea ce are cunoștințe teoretice atunci când rezolvați probleme specifice în toate secțiunile cursului disciplinei „Matematică” - scopul principal al site-ului nostru.

Când încep să rezolve probleme pe această temă, elevii ar trebui să fie capabili să construiască un punct pe un plan folosind coordonatele acestuia, precum și să găsească coordonatele unui punct dat.

Calculul distanței dintre două puncte A(x A; y A) și B(x B; y B) luate pe un plan se realizează folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), unde d este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe plan.

Dacă unul dintre capetele segmentului coincide cu originea coordonatelor, iar celălalt are coordonatele M(x M; y M), atunci formula de calcul a d va lua forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calculul distanței dintre două puncte pe baza coordonatelor date ale acestor puncte

Exemplul 1.

Aflați lungimea segmentului care leagă plan de coordonate punctele A(2; -5) și B(-4; 3) (Fig. 1).

Soluţie.

Enunţul problemei afirmă: x A = 2; x B = -4; y A = -5 și y B = 3. Aflați d.

Aplicând formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obținem:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calculul coordonatelor unui punct care este echidistant de trei puncte date

Exemplul 2.

Aflați coordonatele punctului O 1, care este echidistant de trei puncte A(7; -1) și B(-2; 2) și C(-1; -5).

Soluţie.

Din formularea condiţiilor problemei rezultă că O 1 A = O 1 B = O 1 C. Fie punctul dorit O 1 să aibă coordonate (a; b). Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Să creăm un sistem de două ecuații:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

După ce punem la pătrat părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor, scriem:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificând, să scriem

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

După ce am rezolvat sistemul, obținem: a = 2; b = -1.

Punctul O 1 (2; -1) este echidistant de cele trei puncte specificate în condiția care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Acest punct este centrul unui cerc care trece prin trei puncte date (Fig. 2).

3. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la o distanță dată de un punct dat

Exemplul 3.

Distanța de la punctul B(-5; 6) la punctul A situat pe axa Ox este 10. Găsiți punctul A.

Soluţie.

Din formularea condițiilor problemei rezultă că ordonata punctului A este egală cu zero și AB = 10.

Notând abscisa punctului A cu a, scriem A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obținem ecuația √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificand-o, avem

a 2 + 10a – 39 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații sunt a 1 = -13; și 2 = 3.

Obținem două puncte A 1 (-13; 0) și A 2 (3; 0).

Examinare:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambele puncte obținute sunt potrivite în funcție de condițiile problemei (Fig. 3).

4. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la aceeași distanță de două puncte date

Exemplul 4.

Găsiți un punct pe axa Oy care se află la aceeași distanță de punctele A (6, 12) și B (-8, 10).

Soluţie.

Fie coordonatele punctului cerut de condițiile problemei, situat pe axa Oy, O 1 (0; b) (în punctul situat pe axa Oy, abscisa este zero). Din condiția că O 1 A = O 1 B.

Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Avem ecuația √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) sau 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

După simplificare obținem: b – 4 = 0, b = 4.

Punctul O 1 (0; 4) cerut de condițiile problemei (Fig. 4).

5. Calculul coordonatelor unui punct care este situat la aceeași distanță de axele de coordonate și de un punct dat

Exemplul 5.

Găsiți punctul M situat pe planul de coordonate la aceeași distanță de axele de coordonate și de punctul A(-2; 1).

Soluţie.

Punctul M necesar, ca și punctul A(-2; 1), este situat în al doilea unghi de coordonate, deoarece este echidistant de punctele A, P 1 și P 2 (Fig. 5). Distanțele punctului M față de axele de coordonate sunt aceleași, prin urmare, coordonatele sale vor fi (-a; a), unde a > 0.

Din condiţiile problemei rezultă că MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

aceste. |-a| = a.

Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

MA = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Să facem o ecuație:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

După pătrare și simplificare avem: a 2 – 6a + 5 = 0. Rezolvați ecuația, găsiți a 1 = 1; și 2 = 5.

Obţinem două puncte M 1 (-1; 1) şi M 2 (-5; 5) care îndeplinesc condiţiile problemei.

6. Calculul coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță specificată față de axa absciselor (ordonate) și de la punctul dat

Exemplul 6.

Găsiți un punct M astfel încât distanța sa de la axa ordonatelor și de la punctul A(8; 6) să fie egală cu 5.

Soluţie.

Din conditiile problemei rezulta ca MA = 5 si abscisa punctului M este egala cu 5. Fie ordonata punctului M egala cu b, apoi M(5; b) (Fig. 6).

Conform formulei d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) avem:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Să facem o ecuație:

√(((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificând-o, obținem: b 2 – 12b + 20 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt b 1 = 2; b 2 = 10. În consecință, există două puncte care îndeplinesc condițiile problemei: M 1 (5; 2) și M 2 (5; 10).

Se știe că mulți studenți decizie independentă problemele necesită consultarea constantă asupra tehnicilor și metodelor de rezolvare a acestora. Adesea, un elev nu poate găsi o modalitate de a rezolva o problemă fără ajutorul unui profesor. Studentul poate primi sfaturile necesare pentru rezolvarea problemelor pe site-ul nostru.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să găsești distanța dintre două puncte dintr-un avion?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Matematică

§2. Coordonatele unui punct din plan

3. Distanța dintre două puncte.

Tu și cu mine putem vorbi acum despre puncte în limbajul numerelor. De exemplu, nu mai trebuie să explicăm: luați un punct care se află la trei unități la dreapta axei și la cinci unități sub axa. Este suficient să spunem simplu: luați ideea.

Am spus deja că acest lucru creează anumite avantaje. Deci, putem transmite prin telegraf un desen format din puncte, îl putem comunica unui computer, care nu înțelege deloc desenele, dar înțelege bine cifrele.

În paragraful anterior, am definit câteva seturi de puncte din plan folosind relații între numere. Acum să încercăm să traducem în mod consecvent alte concepte și fapte geometrice în limbajul numerelor.

Vom începe cu o sarcină simplă și comună.

Găsiți distanța dintre două puncte din avion.

Soluţie:
Ca întotdeauna, presupunem că punctele sunt date de coordonatele lor, iar apoi sarcina noastră este să găsim o regulă prin care să putem calcula distanța dintre puncte, cunoscându-le coordonatele. La derivarea acestei reguli, desigur, este permis să se recurgă la un desen, dar regula în sine nu ar trebui să conțină referințe la desen, ci ar trebui să arate doar ce acțiuni și în ce ordine trebuie efectuate pe numerele date - coordonatele. a punctelor – pentru a obține numărul dorit – distanța dintre puncte.

Poate că unii cititori vor găsi această abordare pentru rezolvarea problemei ciudată și exagerată. Ce este mai simplu, vor spune ei, punctele sunt date, chiar și prin coordonate. Desenați aceste puncte, luați o riglă și măsurați distanța dintre ele.

Această metodă uneori nu este atât de rea. Cu toate acestea, imaginați-vă din nou că aveți de-a face calculator. Nu are riglă și nu desenează, dar poate număra atât de repede încât nu este deloc o problemă pentru ea. Rețineți că problema noastră este formulată astfel încât regula de calcul a distanței dintre două puncte constă în comenzi care pot fi executate de o mașină.

Este mai bine să rezolvați mai întâi problema pusă pentru cazul special când unul dintre aceste puncte se află la originea coordonatelor. Începeți cu câteva exemple numerice: găsiți distanța de la originea punctelor; Și .

Nota. Utilizați teorema lui Pitagora.

Acum scrie formula generala pentru a calcula distanța unui punct de la origine.

Distanța unui punct de la origine este determinată de formula:

În mod evident, regula exprimată prin această formulă îndeplinește condițiile enunțate mai sus. În special, poate fi folosit în calcule pe mașini care pot înmulți numere, le pot adăuga și extrage rădăcini pătrate.

Acum să rezolvăm problema generală

Având în vedere două puncte dintr-un plan, găsiți distanța dintre ele.

Soluţie:
Să notăm cu , , , proiecțiile punctelor și pe axele de coordonate.

Să notăm punctul de intersecție al liniilor cu litera . Din triunghi dreptunghic Folosind teorema lui Pitagora obținem:

Dar lungimea segmentului este egală cu lungimea segmentului. Punctele și , se află pe axă și au coordonatele și, respectiv. Conform formulei obținute la paragraful 3 al paragrafului 2, distanța dintre ele este egală cu .

Argumentând în mod similar, aflăm că lungimea segmentului este egală cu . Înlocuind valorile găsite și în formula obținem.

În acest articol vom analiza modalități de a determina distanța de la punct la punct teoretic și folosind exemplul unor probleme specifice. Pentru început, să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Distanța dintre puncte este lungimea segmentului care le leagă, la scara existentă. Este necesar să setați o scară pentru a avea o unitate de lungime pentru măsură. Prin urmare, practic problema găsirii distanței dintre puncte se rezolvă folosind coordonatele acestora pe o linie de coordonate, într-un plan de coordonate sau spațiu tridimensional.

Date inițiale: linia de coordonate O x și un punct arbitrar A aflat pe ea. Orice punct de pe linie are un lucru număr real: să fie pentru punctul A acesta un anumit număr x A, este, de asemenea, coordonata punctului A.

În general, putem spune că lungimea unui anumit segment este evaluată în comparație cu un segment luat ca unitate de lungime pe o scară dată.

Dacă punctului A corespunde unui număr real întreg, prin așezarea succesivă de la punctul O la punct de-a lungul liniei drepte segmente O A - unități de lungime, putem determina lungimea segmentului O A din numărul total de segmente unitare puse deoparte.

De exemplu, punctul A corespunde numărului 3 - pentru a ajunge la el din punctul O, va trebui să concediați trei segmente de unitate. Dacă punctul A are coordonata - 4, segmentele de unitate sunt așezate într-un mod similar, dar într-o direcție diferită, negativă. Astfel, în primul caz, distanța O A este egală cu 3; în al doilea caz O A = 4.

Dacă punctul A are un număr rațional ca coordonată, atunci de la origine (punctul O) trasăm un număr întreg de segmente de unitate și apoi partea necesară. Dar din punct de vedere geometric nu este întotdeauna posibil să se facă o măsurătoare. De exemplu, pare dificil să reprezentați fracția 4 111 pe linia de coordonate.

Folosind metoda de mai sus, puneți-o pe o linie dreaptă număr iraționalși complet imposibil. De exemplu, când coordonata punctului A este 11. În acest caz, se poate trece la abstractizare: dacă coordonata dată a punctului A este mai mare decât zero, atunci O A = x A (numărul este luat ca distanță); dacă coordonata este mai mică decât zero, atunci O A = - x A . În general, aceste afirmații sunt adevărate pentru orice număr real x A.

Pentru a rezuma: distanța de la origine la punctul care corespunde unui număr real pe linia de coordonate este egală cu:

• 0 dacă punctul coincide cu originea;

• x A, dacă x A > 0;

• - x A dacă x A< 0 .

În acest caz, este evident că lungimea segmentului în sine nu poate fi negativă, prin urmare, folosind semnul modulului, scriem distanța de la punctul O la punctul A cu coordonatele x A: O A = x A

Următoarea afirmație va fi adevărată: distanța de la un punct la altul va fi egală cu modulul diferenței de coordonate. Aceste. pentru punctele A și B situate pe aceeași linie de coordonate pentru orice locație și având coordonatele corespunzătoare x AŞi x B: A B = x B - x A .

Date inițiale: punctele A și B situate pe planul în sistem dreptunghiular coordonatele O x y cu coordonatele date: A (x A, y A) și B (x B, y B).

Să trasăm perpendiculare prin punctele A și B pe axele de coordonate O x și O y și să obținem ca rezultat punctele de proiecție: A x, A y, B x, B y. Pe baza locației punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni:

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero;

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O x (axa absciselor), atunci punctele coincid și | A B | = | A y B y | . Deoarece distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței coordonatelor lor, atunci A y B y = y B - y A și, prin urmare, A B = A y B y = y B - y A.

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O y (axa ordonatelor) - prin analogie cu paragraful anterior: A B = A x B x = x B - x A

Dacă punctele A și B nu se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, vom găsi distanța dintre ele derivând formula de calcul:

Vedem că triunghiul A B C este dreptunghiular în construcție. În acest caz, A C = A x B x și B C = A y B y. Folosind teorema lui Pitagora, creăm egalitatea: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , iar apoi o transformăm: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Să tragem o concluzie din rezultatul obținut: distanța de la punctul A la punctul B din plan se determină prin calcul folosind formula folosind coordonatele acestor puncte

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula rezultată confirmă, de asemenea, afirmațiile formate anterior pentru cazurile de coincidență a punctelor sau situații în care punctele se află pe linii drepte perpendiculare pe axe. Deci, dacă punctele A și B coincid, egalitatea va fi adevărată: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pentru o situație în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pentru cazul în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa ordonatelor:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Date inițiale: un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z cu puncte arbitrare situate pe el cu coordonatele date A (x A, y A, z A) și B (x B, y B, z B). Este necesar să se determine distanța dintre aceste puncte.

Să luăm în considerare cazul general când punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Să desenăm plane perpendiculare pe axele de coordonate prin punctele A și B și să obținem punctele de proiecție corespunzătoare: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanța dintre punctele A și B este diagonala paralelipipedului rezultat. Conform construcției măsurătorilor acestui paralelipiped: A x B x , A y B y și A z B z

Din cursul geometriei știm că pătratul diagonalei unui paralelipiped este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia. Pe baza acestei afirmații, obținem egalitatea: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Folosind concluziile obținute mai devreme, scriem următoarele:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Să transformăm expresia:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula pentru determinarea distantei dintre punctele din spatiu va arata asa:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula rezultată este valabilă și pentru cazurile în care:

Punctele coincid;

Ele se află pe o axă de coordonate sau pe o linie dreaptă paralelă cu una dintre axele de coordonate.

Exemple de rezolvare a problemelor privind găsirea distanței dintre puncte

Exemplul 1

Date inițiale: sunt date o linie de coordonate și puncte care se află pe ea cu coordonatele date A (1 - 2) și B (11 + 2). Este necesar să se găsească distanța de la punctul de origine O la punctul A și dintre punctele A și B.

Soluţie

1. Distanța de la punctul de referință la punct este egală cu modulul coordonatei acestui punct, respectiv O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Definim distanta dintre punctele A si B ca fiind modulul diferentei dintre coordonatele acestor puncte: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Răspuns: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemplul 2

Date inițiale: un sistem de coordonate dreptunghiular și două puncte situate pe el sunt date A (1, - 1) și B (λ + 1, 3). λ este un număr real. Este necesar să găsiți toate valorile acestui număr la care distanța A B va fi egală cu 5.

Soluţie

Pentru a afla distanța dintre punctele A și B, trebuie să utilizați formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Înlocuind valorile coordonatelor reale, obținem: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

De asemenea, folosim condiția existentă ca A B = 5 și atunci egalitatea va fi adevărată:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Răspuns: A B = 5 dacă λ = ± 3.

Exemplul 3

Date inițiale: specificate spatiu tridimensionalîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z și punctele A (1, 2, 3) și B - 7, - 2, 4 aflate în el.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Înlocuind valorile reale, obținem: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Raspuns: | A B | = 9

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Rezolvarea problemelor de matematică pentru elevi este adesea însoțită de multe dificultăți. Ajutarea elevului să facă față acestor dificultăți, precum și învățarea acestuia să-și aplice cunoștințele teoretice existente atunci când rezolvă probleme specifice în toate secțiunile cursului la disciplina „Matematică” este scopul principal al site-ului nostru.

Când încep să rezolve probleme pe această temă, elevii ar trebui să fie capabili să construiască un punct pe un plan folosind coordonatele acestuia, precum și să găsească coordonatele unui punct dat.

Calculul distanței dintre două puncte A(x A; y A) și B(x B; y B) luate pe un plan se realizează folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), unde d este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe plan.

Dacă unul dintre capetele segmentului coincide cu originea coordonatelor, iar celălalt are coordonatele M(x M; y M), atunci formula de calcul a d va lua forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calculul distanței dintre două puncte pe baza coordonatelor date ale acestor puncte

Exemplul 1.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele A(2; -5) și B(-4; 3) pe planul de coordonate (Fig. 1).

Soluţie.

Enunţul problemei afirmă: x A = 2; x B = -4; y A = -5 și y B = 3. Aflați d.

Aplicând formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obținem:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calculul coordonatelor unui punct care este echidistant de trei puncte date

Exemplul 2.

Aflați coordonatele punctului O 1, care este echidistant de trei puncte A(7; -1) și B(-2; 2) și C(-1; -5).

Soluţie.

Din formularea condiţiilor problemei rezultă că O 1 A = O 1 B = O 1 C. Fie punctul dorit O 1 să aibă coordonate (a; b). Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Să creăm un sistem de două ecuații:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

După ce punem la pătrat părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor, scriem:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificând, să scriem

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

După ce am rezolvat sistemul, obținem: a = 2; b = -1.

Punctul O 1 (2; -1) este echidistant de cele trei puncte specificate în condiția care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Acest punct este centrul unui cerc care trece prin trei puncte date (Fig. 2).

3. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la o distanță dată de un punct dat

Exemplul 3.

Distanța de la punctul B(-5; 6) la punctul A situat pe axa Ox este 10. Găsiți punctul A.

Soluţie.

Din formularea condițiilor problemei rezultă că ordonata punctului A este egală cu zero și AB = 10.

Notând abscisa punctului A cu a, scriem A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obținem ecuația √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificand-o, avem

a 2 + 10a – 39 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații sunt a 1 = -13; și 2 = 3.

Obținem două puncte A 1 (-13; 0) și A 2 (3; 0).

Examinare:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambele puncte obținute sunt potrivite în funcție de condițiile problemei (Fig. 3).

4. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la aceeași distanță de două puncte date

Exemplul 4.

Găsiți un punct pe axa Oy care se află la aceeași distanță de punctele A (6, 12) și B (-8, 10).

Soluţie.

Fie coordonatele punctului cerut de condițiile problemei, situat pe axa Oy, O 1 (0; b) (în punctul situat pe axa Oy, abscisa este zero). Din condiția că O 1 A = O 1 B.

Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Avem ecuația √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) sau 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

După simplificare obținem: b – 4 = 0, b = 4.

Punctul O 1 (0; 4) cerut de condițiile problemei (Fig. 4).

5. Calculul coordonatelor unui punct care este situat la aceeași distanță de axele de coordonate și de un punct dat

Exemplul 5.

Găsiți punctul M situat pe planul de coordonate la aceeași distanță de axele de coordonate și de punctul A(-2; 1).

Soluţie.

Punctul M necesar, ca și punctul A(-2; 1), este situat în al doilea unghi de coordonate, deoarece este echidistant de punctele A, P 1 și P 2 (Fig. 5). Distanțele punctului M față de axele de coordonate sunt aceleași, prin urmare, coordonatele sale vor fi (-a; a), unde a > 0.

Din condiţiile problemei rezultă că MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

aceste. |-a| = a.

Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

MA = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Să facem o ecuație:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

După pătrare și simplificare avem: a 2 – 6a + 5 = 0. Rezolvați ecuația, găsiți a 1 = 1; și 2 = 5.

Obţinem două puncte M 1 (-1; 1) şi M 2 (-5; 5) care îndeplinesc condiţiile problemei.

6. Calculul coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță specificată față de axa absciselor (ordonate) și de la punctul dat

Exemplul 6.

Găsiți un punct M astfel încât distanța sa de la axa ordonatelor și de la punctul A(8; 6) să fie egală cu 5.

Soluţie.

Din conditiile problemei rezulta ca MA = 5 si abscisa punctului M este egala cu 5. Fie ordonata punctului M egala cu b, apoi M(5; b) (Fig. 6).

Conform formulei d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) avem:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Să facem o ecuație:

√(((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificând-o, obținem: b 2 – 12b + 20 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt b 1 = 2; b 2 = 10. În consecință, există două puncte care îndeplinesc condițiile problemei: M 1 (5; 2) și M 2 (5; 10).

Se știe că mulți studenți, atunci când rezolvă probleme în mod independent, au nevoie de consultări constante asupra tehnicilor și metodelor de rezolvare a acestora. Adesea, un elev nu poate găsi o modalitate de a rezolva o problemă fără ajutorul unui profesor. Studentul poate primi sfaturile necesare pentru rezolvarea problemelor pe site-ul nostru.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să găsești distanța dintre două puncte dintr-un avion?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Fiecare punct A al planului este caracterizat de coordonatele sale (x, y). Ele coincid cu coordonatele vectorului 0A, care iese din punctul 0 - originea coordonatelor.

Fie A și B puncte arbitrare ale planului cu coordonatele (x 1 y 1) și respectiv (x 2, y 2).

Atunci vectorul AB are în mod evident coordonate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se știe că pătratul lungimii unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor acestuia. Prin urmare, distanța d dintre punctele A și B, sau, care este aceeași, lungimea vectorului AB, este determinată din condiția

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Formula rezultată vă permite să găsiți distanța dintre oricare două puncte din plan, dacă numai coordonatele acestor puncte sunt cunoscute

De fiecare dată când vorbim despre coordonatele unui anumit punct din plan, ne referim la un sistem de coordonate bine definit x0y. În general, sistemul de coordonate dintr-un plan poate fi ales în diferite moduri. Deci, în loc de sistemul de coordonate x0y, putem lua în considerare sistemul de coordonate xִy, care se obține ca urmare a rotirii vechilor axe de coordonate în jurul punct de plecare 0 în sens invers acelor de ceasornic săgeți pe colț α .

Dacă un punct al planului din sistemul de coordonate x0y avea coordonate (x, y), atunci în sistem nou coordonatele xִy va avea coordonate diferite (x, y).

Ca exemplu, luați în considerare punctul M, situat pe axa 0x și separat de punctul 0 la o distanță de 1.

Evident, în sistemul de coordonate x0y acest punct are coordonate (cos α ,păcat α ), iar în sistemul de coordonate xִy coordonatele sunt (1,0).

Coordonatele oricăror două puncte din planul A și B depind de modul în care este specificat sistemul de coordonate în acest plan. Dar distanța dintre aceste puncte nu depinde de metoda de specificare a sistemului de coordonate .

Alte materiale