Ce este un unghi?

Un unghi este o figură formată din două raze care emană dintr-un punct (Fig. 160).
Se formează raze colţ, se numesc laturile unghiului, iar punctul din care ies este varful unghiului.
În figura 160, laturile unghiului sunt razele OA și OB, iar vârful său este punctul O. Acest unghi este desemnat astfel: AOB.

Când scrieți un unghi, scrieți o literă în mijloc pentru a indica vârful acestuia. Un unghi poate fi de asemenea notat cu o literă - numele vârfului său.

De exemplu, în loc de „unghi AOB” se scrie mai scurt: „unghi O”.

În loc de cuvântul „unghi” este scris semnul.

De exemplu, AOB, O.

În figura 161, punctele C și D se află în interiorul unghiului AOB, punctele X și Y se află în afara acestui unghi și puncte M și N - pe laturile unghiului.

Ca toate formele geometrice, unghiurile sunt comparate folosind suprapunerea.

Dacă un unghi poate fi suprapus peste altul astfel încât să coincidă, atunci aceste unghiuri sunt egale.

De exemplu, în Figura 162 ABC = MNK.

Din vârful unghiului SOK (Fig. 163) se trasează o rază OR. El împarte unghiul SOK în două unghiuri - COP și ROCK. Fiecare dintre aceste unghiuri este mai mic decât unghiul SOC.

Scrie: COP< COK и POK < COK.

Unghi drept și drept

Două complementare între ele grindă formează un unghi drept. Laturile acestui unghi formează împreună o linie dreaptă pe care se află vârful unghiului desfășurat (Fig. 164).

Acele ore și minute ale ceasului formează un unghi invers la ora 6 (Fig. 165).

Îndoiți o foaie de hârtie în jumătate de două ori și apoi desfaceți-o (Fig. 166).

Liniile de pliere formează 4 unghiuri egale. Fiecare dintre aceste unghiuri este egal cu jumătate de unghi invers. Astfel de unghiuri se numesc unghiuri drepte.

Un unghi drept este jumătate de unghi rotit.

Triunghi de desen

Pentru a construi un unghi drept, folosiți un desen triunghi(Fig. 167). Pentru a construi un unghi drept, una dintre laturile căruia este raza OL, trebuie să:

a) poziționați triunghiul desenat astfel încât vârful unghiului său drept să coincidă cu punctul O, iar una dintre laturi să urmeze raza OA;

b) trageți raza OB de-a lungul celei de-a doua laturi a triunghiului.

Ca rezultat, obținem un unghi drept AOB.

Întrebări la subiect

1. Ce este un unghi?
2.Ce unghi se numește rotit?
3.Ce unghiuri se numesc egale?
4. Ce unghi se numește unghi drept?
5.Cum construiești un unghi drept folosind un triunghi desenat?

Tu și cu mine știm deja că orice unghi împarte planul în două părți. Dar, dacă un unghi are ambele laturi situate pe aceeași linie dreaptă, atunci un astfel de unghi se numește desfășurat. Adică, într-un unghi rotit, o parte a acestuia este o continuare a celeilalte părți a unghiului.

Acum să ne uităm la figură, care arată exact unghiul desfășurat O.

Dacă luăm și desenăm o rază din vârful unghiului desfășurat, atunci acesta va împărți acest unghi desfășurat în încă două unghiuri, care vor avea o latură comună, iar celelalte două unghiuri vor forma o linie dreaptă. Adică dintr-un colț desfăcut am obținut două alăturate.

Dacă luăm un unghi drept și desenăm o bisectoare, atunci această bisectoare va împărți unghiul drept în două unghiuri drepte.

Și, dacă tragem o rază arbitrară din vârful unghiului desfășurat, care nu este o bisectoare, atunci o astfel de rază va împărți unghiul desfășurat în două unghiuri, dintre care unul va fi acut și celălalt obtuz.

Proprietățile unui unghi rotit

Un unghi drept are următoarele proprietăți:

În primul rând, laturile unui unghi drept sunt antiparalele și formează o linie dreaptă;
în al doilea rând, unghiul rotit este de 180°;
în al treilea rând, doi unghi adiacent formați un unghi rotit;
în al patrulea rând, unghiul desfășurat este jumătate de unghi complet;
în al cincilea rând, unghiul complet va fi egal cu suma a două unghiuri desfășurate;
al șaselea, jumătate dintr-un unghi rotit este un unghi drept.

Măsurarea unghiurilor

Pentru a măsura orice unghi, în aceste scopuri se folosește cel mai adesea un raportor, a cărui unitate de măsură este egală cu un grad. Când măsurați unghiuri, ar trebui să vă amintiți că orice unghi are propria măsură specifică a gradului și, în mod natural, această măsură este mai mare decât zero. Și unghiul desfășurat, după cum știm deja, este egal cu 180 de grade.

Adică, dacă tu și cu mine luăm orice plan al unui cerc și îl împărțim cu raze la 360 părţi egale, atunci 1/360 dintr-un cerc dat va fi un grad unghiular. După cum știți deja, un grad este indicat de o anumită pictogramă, care arată astfel: „°”.

Acum știm și că un grad 1° = 1/360 dintr-un cerc. Dacă unghiul este egal cu planul cercului și are 360 ​​de grade, atunci un astfel de unghi este complet.

Acum vom lua și împărțim planul cercului folosind două raze situate pe aceeași linie dreaptă în două părți egale. Apoi, în acest caz, planul semicercului va fi jumătate din unghiul complet, adică 360: 2 = 180°. Am obținut un unghi care este egal cu semiplanul unui cerc și are 180°. Acesta este unghiul rotit.

Sarcina practică

1613. Numiți unghiurile prezentate în figura 168. Notați denumirile lor.

1614. Desenați patru raze: OA, OB, OS și OD. Notează numele celor șase unghiuri ale căror laturi sunt aceste raze. În câte părți se împart aceste raze? avion?

1615. Indicați care puncte din figura 169 se află în interiorul unghiului KOM. Care puncte se află în afara acestui unghi? Ce puncte sunt pe partea OK și care sunt pe partea OM?

1616. Desenați unghiul MOD și trageți raza OT în interiorul lui. Denumiți și etichetați unghiurile în care această rază împarte unghiul MOD.

1617. Minutele s-au întors la unghiul AOB în 10 minute, la unghiul BOC în următoarele 10 minute și la unghiul COD în alte 15 minute. Comparați unghiurile AOB și BOS, BOS și COD, AOS și AOB, AOS și COD (Fig. 170).

1618. Folosind un triunghi desenat, desenați 4 unghiuri drepte în poziții diferite.

1619. Folosind un triunghi desenat, găsiți unghiuri drepte în figura 171. Notează-le desemnările.

1620. Identificați unghiurile drepte în clasă.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Ce procent din 400 este numărul 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Găsiți numărul lipsă:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Desenați un pătrat a cărui latură este egală cu lungimea a 10 celule în caiet. Fie acest pătrat să reprezinte un câmp. Secara ocupă 12% din câmp, ovăz 8%, grâu 64%, iar restul câmpului este ocupat de hrișcă. Arată în figură partea de câmp ocupată de fiecare cultură. Ce procent din câmp este hrișcă?

1632. Pentru an universitar Petya a folosit 40% din caietele achiziționate la începutul anului și mai are 30 de caiete. Câte caiete au fost achiziționate pentru Petya la începutul anului școlar?

1633. Bronzul este un aliaj de staniu și cupru. Ce procent din aliaj este cuprul într-o bucată de bronz formată din 6 kg de staniu și 34 kg de cupru?

1634. Farul din Alexandria, construit în antichitate, care a fost numit una dintre cele șapte minuni ale lumii, este de 1,7 ori mai înalt decât turnurile Kremlinului din Moscova, dar cu 119 m mai jos decât clădirea Universității din Moscova fiecare dintre aceste structuri dacă turnurile Kremlinului din Moscova sunt cu 49 m mai jos farul Alexandriei.

1635. Folosiți un microcalculator pentru a găsi:

a) 4,5% din 168; c) 28,3% din 569,8;
b) 147,6% din 2500; d) 0,09% din 456.800.

1636. Rezolvați problema:

1) Suprafața grădinii este de 6,4 a. În prima zi a fost săpat 30% din grădină, iar în a doua zi, 35% din grădină a fost săpat. Câte ari au mai rămas de săpat?

2) Serezha a avut 4,8 ore de timp liber. A petrecut 35% din acest timp citind o carte și 40% uitându-se la programe TV. Cât timp mai are?

1637. Urmați acești pași:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. Desenați colțul BAC și marcați câte un punct în interiorul colțului, în afara colțului și pe părțile laterale ale colțului.

1639. Care dintre cele 172 de puncte marcate în figură se află în interiorul unghiului AMK. Care punct se află în interiorul unghiului AMB>, dar în afara unghiului AMK.

1640. Folosind un triunghi desenat, găsiți unghiurile drepte în figura 173.

1641. Construiți un pătrat cu latura de 43 mm. Calculați perimetrul și aria acestuia.

1642. Găsiți sensul expresiei:

a) 14,791: a + 160,961: b, dacă a = 100, b = 10;
b) 361,62c + 1848: d, dacă c = 100, d =100.

1643. Un muncitor trebuia să producă 450 de piese. A făcut 60% din piese în prima zi, iar restul în a doua. Cate piese ai facut? lucrător in a doua zi?

1644. Biblioteca avea 8.000 de cărți. Un an mai târziu, numărul lor a crescut cu 2000 de cărți. Cu ce ​​procent a crescut numărul de cărți din bibliotecă?

1645. Camioanele au parcurs 24% din traseul prevăzut în prima zi, 46% din traseu în a doua zi, iar restul de 450 km în a treia. Câți kilometri au parcurs aceste camioane?

1646. Aflați câte sunt:

a) 1% dintr-o tonă; c) 5% din 7 tone;
b) 1% dintr-un litru; d) 6% din 80 km.

1647. Masa unui vițel de morsă este de 9 ori mai mică decât masa unei morse adulte. Care este masa unei morse adulte dacă, împreună cu vițelul, masa lor este de 0,9 tone?

1648. În timpul manevrelor, comandantul a lăsat 0,3 din toți soldații săi pentru a păzi trecerea, iar restul i-a împărțit în 2 detașamente pentru apărarea a două înălțimi. Primul detașament avea de 6 ori mai mulți soldați decât al doilea. Câți soldați erau în primul detașament dacă erau 200 de soldați în total?

N.Da. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematică clasa a 5-a, Manual pentru instituțiile de învățământ general

Să începem prin a defini ce este un unghi. În primul rând, este În al doilea rând, este format din două raze, care se numesc laturile unghiului. În al treilea rând, acestea din urmă apar dintr-un punct, care se numește vârful unghiului. Pe baza acestor caracteristici, putem crea o definiție: un unghi este o figură geometrică care constă din două raze (laturi) care ies dintr-un punct (vârf).

Ele sunt clasificate după valoarea gradului, după locație unul față de celălalt și relativ la cerc. Să începem cu tipurile de unghiuri în funcție de mărimea lor.

Există mai multe varietăți ale acestora. Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare tip.

Există doar patru tipuri principale de unghiuri - drepte, obtuze, acute și drepte.

Direct

Arata cam asa:

Gradul său este întotdeauna de 90 o, cu alte cuvinte, un unghi drept este un unghi de 90 de grade. Numai patrulatere precum pătratul și dreptunghiul le au.

Bont

Arata cam asa:

Măsura gradului este întotdeauna mai mare de 90 o, dar mai mică de 180 o. Poate fi găsit în patrulatere, cum ar fi un romb, un paralelogram arbitrar și în poligoane.

Picant

Arata cam asa:

Gradul de măsurare a unui unghi ascuțit este întotdeauna mai mic de 90°. Se găsește în toate patrulaterele cu excepția pătratului și a oricărui paralelogram.

Extins

Unghiul desfășurat arată astfel:

Nu apare în poligoane, dar nu este mai puțin important decât toate celelalte. Un unghi drept este o figură geometrică a cărei grad este întotdeauna 180º. Puteți construi pe el desenând una sau mai multe raze din partea de sus în orice direcție.

Există câteva alte tipuri minore de unghiuri. Nu se studiază în școli, dar este necesar să se cunoască măcar despre existența lor. Există doar cinci tipuri secundare de unghiuri:

1. Zero

Arata cam asa:

Numele unghiului în sine indică deja dimensiunea acestuia. Zona sa internă este de 0°, iar părțile laterale se află una peste alta, așa cum se arată în figură.

2. Oblic

Un unghi oblic poate fi un unghi drept, un unghi obtuz, un unghi ascuțit sau un unghi drept. Condiția sa principală este ca să nu fie egal cu 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Convex

Unghiurile convexe sunt zero, drepte, obtuze, ascuțite și drepte. După cum ați înțeles deja, gradul de măsură a unui unghi convex este de la 0 o la 180 o.

4. Neconvex

Unghiurile cu măsuri de grade de la 181° la 359° inclusiv sunt neconvexe.

5. Plin

Un unghi complet este de 360 ​​de grade.

Acestea sunt toate tipurile de unghiuri în funcție de mărimea lor. Acum să ne uităm la tipurile lor în funcție de locația lor pe plan unul față de celălalt.

1. Adițional

Sunt două unghiuri ascuțite, formând o linie dreaptă, adică suma lor este de 90 o.

2. Adiacent

Unghiurile adiacente se formează dacă o rază trece prin unghiul desfășurat, sau mai degrabă prin vârful său, în orice direcție. Suma lor este de 180 o.

3. Verticală

Unghiurile verticale se formează atunci când două drepte se intersectează. Măsurile gradului lor sunt egale.

Acum să trecem la tipurile de unghiuri situate în raport cu cerc. Sunt doar două dintre ele: centrală și inscripționată.

1. Centrală

Un unghi central este un unghi cu vârful său în centrul cercului. Măsura gradului său este egală cu măsura gradului arcului mai mic subîntins de laturi.

2. Înscris

Un unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi îl intersectează. Gradul său este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină.

Asta e pentru unghiuri. Acum știți că, pe lângă cele mai cunoscute - acute, obtuze, drepte și desfășurate - există multe alte tipuri de ele în geometrie.

Măsura unghiulară

Unghiul b se măsoară în grade (grade, minute, secunde), în rotații - raportul dintre lungimea arcului s și circumferința L, în radiani - raportul dintre lungimea arcului s și raza r; Din punct de vedere istoric, măsura gradată a unghiurilor a fost folosită și în zilele noastre, aproape niciodată.

1 revoluție = 2π radiani = 360° = 400 grade.

În terminologia maritimă, unghiurile sunt desemnate prin loturod.

Tipuri de unghiuri

Unghiuri adiacente - acute (a) și obtuz (b). Unghi drept (c)

În plus, se consideră unghiul dintre curbele netede în punctul de tangență: prin definiție, valoarea acestuia este egală cu unghiul dintre tangentele la curbe.

Fundația Wikimedia.

2010.

Vedeți ce este un „unghi complet” în alte dicționare: Un unghi egal cu două unghiuri drepte. *Dezvoltarea suprafeței este o figură obținută într-un plan prin combinarea punctelor unei suprafețe date cu acest plan în așa fel încât lungimile liniilor să rămână neschimbate. Dezvoltarea unei curbe, vezi Involuție...

colţ Dicţionar enciclopedic mare - ▲ diferență de direcție (în spațiu) unghi, lungimea de rotație dintr-un sens în altul; diferența de direcție; Parte viraj complet

(# înclinare. formă #). înclinaţie. înclinat. abatere. se sustrage (drumul deviază la dreapta).... ... Colţ - Unghiuri: 1 vedere generală ; 2 adiacente; 3 adiacente; 4 verticale; 5 extins; 6 drepte, ascuțite și obtuze; 7 între curbe; 8 între o linie dreaptă și un plan; 9 între linii care se intersectează (care nu se află în același plan). UNGHI, geometric......

Dicţionar Enciclopedic Ilustrat Figura geometrică , constând din două raze diferite care emană dintr-un punct. Razele sunt numite partidele U., si lorînceput general vârful U. Fie [ BA),[ BC) laturile unghiului, B vârful acestuia, planul definit de laturile U. Figura împarte planul... ...

Enciclopedie matematică Un unghi egal cu două unghiuri drepte. * * * UNGHI DEZVOLTAT UNGHI DEZVOLTAT, un unghi egal cu două unghiuri drepte...

Dicţionar enciclopedic O ramură a matematicii care se ocupă cu studiul proprietăților diferitelor figuri (puncte, drepte, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunile și dimensiunile acestora. poziție relativă . Pentru ușurința predării, geometria este împărțită în planimetrie și stereometrie. ÎN… …

Enciclopedia lui Collier 1) Închis linie întreruptă vârful U. Fie [ BA),[ BC) laturile unghiului, B vârful acestuia, planul definit de laturile U. Figura împarte planul... ...

, și anume: dacă puncte diferite, dintre care trei succesive nu se află pe aceeași linie, atunci se numește colecția de segmente. poligon (vezi fig. 1). M. poate fi spațial sau plat (sub... ...- ▲ la un unghi maxim, unghi oblic transversal. peste în unghi drept. . unghi drept de abatere maximă; un unghi egal cu cel alăturat; sfert de tură. perpendicular. perpendiculară în unghi drept. perpendicular...... Dicționar ideologic al limbii ruse

grad- a, m 1) O unitate de măsură pentru un unghi plan, egală cu 1/90 dintr-un unghi drept sau, respectiv, cu 1/360 dintr-un cerc. Un unghi de 90 de grade se numește unghi drept. Unghiul de rotire este de 180 de grade. 2) O unitate de măsură pentru un interval de temperatură având... ... Dicționar popular al limbii ruse

Teorema Schwarz-Christoffel este o teoremă importantă în teoria funcțiilor unei variabile complexe, numită după matematicienii germani Karl Schwartz și Alvin Christoffel. Foarte importantă din punct de vedere practic este problema conformării... ... Wikipedia

Acest articol va discuta una dintre formele geometrice de bază - un unghi. După introducere generalăÎn acest concept, ne vom concentra pe un tip separat al unei astfel de figuri. Unghiul drept este un concept important în geometrie, care va fi subiectul principal al acestui articol.

Introducere în unghiul geometric

În geometrie există o serie de obiecte care formează baza oricărei științe. Unghiul se referă la ele și este definit folosind conceptul de rază, așa că să începem cu el.

De asemenea, înainte de a începe să determinați unghiul în sine, trebuie să vă amintiți mai multe obiecte la fel de importante în geometrie - acesta este un punct, o linie dreaptă pe un plan și planul în sine. O linie dreaptă este cea mai simplă figură geometrică care nu are nici început, nici sfârșit. Un plan este o suprafață care are două dimensiuni. Ei bine, o rază (sau semilinie) în geometrie este o parte a unei linii care are un început, dar fără sfârșit.

Folosind aceste concepte, putem afirma că un unghi este o figură geometrică care se află în întregime într-un anumit plan și este formată din două raze divergente cu o origine comună. Astfel de raze se numesc laturile unui unghi, iar începutul comun al laturilor este vârful acestuia.

Tipuri de unghiuri și geometrie

Știm că unghiurile pot fi complet diferite. Prin urmare, puțin mai jos va fi o mică clasificare care vă va ajuta să înțelegeți mai bine tipurile de unghiuri și principalele lor caracteristici. Deci, există mai multe tipuri de unghiuri în geometrie:

1. Unghi drept. Se caracterizează printr-o valoare de 90 de grade, ceea ce înseamnă că laturile sale sunt întotdeauna perpendiculare între ele.
2. Unghi ascuțit. Aceste unghiuri includ toți reprezentanții lor care au o dimensiune mai mică de 90 de grade.
3. Unghi obtuz. Aici pot exista toate unghiurile de la 90 la 180 de grade.
4. Colț desfăcut. Are o dimensiune de strict 180 de grade și în exterior laturile sale formează o linie dreaptă.

Conceptul de unghi drept

Acum să ne uităm la unghiul rotit mai detaliat. Acesta este cazul când ambele părți se află pe aceeași linie dreaptă, ceea ce poate fi văzut clar în figură puțin mai jos. Aceasta înseamnă că putem spune cu încredere că într-un unghi invers, una dintre laturile sale este în esență o continuare a celeilalte.

Merită să ne amintim faptul că un astfel de unghi poate fi întotdeauna împărțit folosind o rază care iese din vârful său. Ca rezultat, obținem două unghiuri, care în geometrie sunt numite adiacente.

De asemenea, unghiul desfășurat are mai multe caracteristici. Pentru a vorbi despre primul dintre ele, trebuie să vă amintiți conceptul de „bisectoare unghiulară”. Amintiți-vă că aceasta este o rază care împarte orice unghi exact în jumătate. În ceea ce privește unghiul desfășurat, bisectoarea acestuia îl împarte astfel încât să se formeze două unghiuri drepte de 90 de grade. Acesta este foarte ușor de calculat matematic: 180˚ (gradul unghiului de rotire): 2 = 90˚.

Dacă împărțim un unghi rotit cu o rază complet arbitrară, atunci ca rezultat obținem întotdeauna două unghiuri, dintre care unul va fi acut și celălalt obtuz.

Proprietățile colțurilor rotite

Va fi convenabil să luăm în considerare acest unghi reunind toate proprietățile sale principale, ceea ce am făcut în această listă:

1. Laturile unghiului rotit sunt antiparalele și formează o linie dreaptă.
2. Unghiul de rotire este întotdeauna 180˚.
3. Două unghiuri adiacente împreună formează întotdeauna un unghi drept.
4. Un unghi complet, care este de 360˚, este format din două desfășurate și este egal cu suma lor.
5. Jumătate dintr-un unghi drept este un unghi drept.

Deci, cunoscând toate aceste caracteristici ale acestui tip de unghiuri, le putem folosi pentru a rezolva o serie de probleme geometrice.

Probleme cu unghiurile rotite

Pentru a vedea dacă ați înțeles conceptul de unghi drept, încercați să răspundeți la următoarele câteva întrebări.

1. Care este mărimea unui unghi drept dacă laturile lui formează o linie verticală?
2. Vor fi două unghiuri adiacente dacă primul are 72˚ și celălalt are 118˚?
3. Dacă un unghi complet este format din două unghiuri inverse, atunci câte unghiuri drepte are?
4. Un unghi drept este împărțit de o rază în două unghiuri, astfel încât gradele lor să fie în raport de 1:4. Calculați unghiurile rezultate.

Solutii si raspunsuri:

1. Indiferent cum este situat unghiul rotit, acesta este întotdeauna, prin definiție, egal cu 180˚.
2. Unghiurile adiacente au o latură în comun. Prin urmare, pentru a calcula dimensiunea unghiului pe care îl formează împreună, trebuie doar să adăugați valoarea lor măsuri de grad. Aceasta înseamnă 72 +118 = 190. Dar, prin definiție, un unghi inversat este 180˚, ceea ce înseamnă că două unghiuri date nu pot fi adiacente.
3. Un unghi drept conține două unghiuri drepte. Și din moment ce cel complet are două desfășurate, înseamnă că vor fi 4 linii drepte.
4. Dacă numim unghiurile dorite a și b, atunci fie x coeficientul de proporționalitate pentru ele, ceea ce înseamnă că a=x și, în consecință, b=4x. Unghiul de rotire în grade este de 180˚. Și în funcție de proprietățile sale că măsura gradului unui unghi este întotdeauna egală cu suma gradelor unghiurilor în care este împărțit de orice rază arbitrară care trece între laturile sale, putem concluziona că x + 4x = 180˚ , ceea ce înseamnă 5x = 180˚ . De aici găsim: x = a = 36˚ și b = 4x = 144˚. Răspuns: 36˚ și 144˚.

Dacă ați reușit să răspundeți la toate aceste întrebări fără solicitări și fără să aruncați o privire la răspunsuri, atunci sunteți gata să treceți la următoarea lecție de geometrie.