Integrarea funcțiilor de putere. Integrale complexe

Pe aceasta pagina veti gasi:

1. De fapt, tabelul de antiderivate - poate fi descărcat în format PDF și tipărit;

2. Video despre cum se utilizează acest tabel;

3. O grămadă de exemple de calculare a antiderivatei din diverse manuale și teste.

În videoclipul în sine, vom analiza multe probleme în care trebuie să calculați antiderivate ale funcțiilor, adesea destul de complexe, dar cel mai important, nu sunt funcții de putere. Toate funcțiile rezumate în tabelul propus mai sus trebuie cunoscute pe de rost, ca și derivatele. Fără ele, studiul suplimentar al integralelor și aplicarea lor pentru a rezolva probleme practice este imposibil.

Astăzi continuăm să studiem antiderivate și să trecem la puțin mai mult subiect complex. Dacă în ultima dată am considerat antiderivate numai din funcții de putereși structuri puțin mai complexe, astăzi ne vom uita la trigonometrie și multe altele.

După cum am spus în ultima lecție, antiderivatele, spre deosebire de derivatele, nu sunt niciodată rezolvate „direct” folosind reguli standard. Mai mult, vestea proastă este că, spre deosebire de derivat, este posibil ca antiderivatul să nu fie luat în considerare deloc. Dacă scriem o funcție complet aleatoare și încercăm să-i găsim derivata, atunci cu o probabilitate foarte mare vom reuși, dar antiderivata nu va fi aproape niciodată calculată în acest caz. Dar există o veste bună: există o clasă destul de mare de funcții numite funcții elementare, ale căror antiderivate sunt foarte ușor de calculat. Și toate celelalte structuri mai complexe care sunt date la tot felul de teste, teste independente și examene, de fapt, sunt alcătuite din aceste funcții elementare prin adunare, scădere și alte acțiuni simple. Prototipurile unor astfel de funcții au fost mult timp calculate și rezumate în mese speciale. Aceste funcții și tabele sunt cu care vom lucra astăzi.

Dar vom începe, ca întotdeauna, cu o repetare: să ne amintim ce este un antiderivat, de ce există infinit de multe dintre ele și cum să le determinăm aspectul general. Pentru a face acest lucru, am luat în calcul două probleme simple.

Rezolvarea de exemple ușoare

Exemplul #1

Să observăm imediat că $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ și, în general, prezența lui $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ne sugerează imediat că ceea ce căutăm antiderivat al funcției legate de trigonometrie. Și, într-adevăr, dacă ne uităm la tabel, vom descoperi că $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nu este altceva decât $\text(arctg)x$. Deci hai sa o scriem:

Pentru a găsi, trebuie să scrieți următoarele:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplul nr. 2

Și aici despre care vorbim despre funcțiile trigonometrice. Dacă ne uităm la tabel, atunci, într-adevăr, iată ce se întâmplă:

Trebuie să găsim, dintre întregul set de antiderivate, pe cel care trece prin punctul indicat:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Să o scriem în sfârșit:

Este atât de simplu. Singura problemă este că, pentru a calcula antiderivate ale funcțiilor simple, trebuie să înveți un tabel cu antiderivate. Cu toate acestea, după ce am studiat tabelul de derivate pentru dvs., cred că aceasta nu va fi o problemă.

Rezolvarea problemelor care conțin o funcție exponențială

Pentru început, să scriem următoarele formule:

\[((e)^(x))\la ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Să vedem cum funcționează toate acestea în practică.

Exemplul #1

Dacă ne uităm la conținutul parantezelor, vom observa că în tabelul cu antiderivate nu există o astfel de expresie pentru ca $((e)^(x))$ să fie într-un pătrat, deci acest pătrat trebuie extins. Pentru a face acest lucru, folosim formulele de înmulțire abreviate:

Să găsim antiderivată pentru fiecare dintre termeni:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e))) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\la \frac(((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Acum să colectăm toți termenii într-o singură expresie și să obținem antiderivata generală:

Exemplul nr. 2

De data aceasta gradul este mai mare, așa că formula de înmulțire prescurtată va fi destul de complexă. Deci, să deschidem parantezele:

Acum să încercăm să luăm antiderivatul formulei noastre din această construcție:

După cum puteți vedea, la primitivi functie exponentiala nu este nimic complicat sau supranatural. Toate sunt calculate prin tabele, dar elevii atenți vor observa probabil că antiderivata $((e)^(2x))$ este mult mai aproape de simplu $((e)^(x))$ decât de $((a). )^(x ))$. Deci, poate că există o regulă mai specială care permite, cunoscând antiderivatul $((e)^(x))$, să găsească $((e)^(2x))$? Da, o astfel de regulă există. Și, în plus, este o parte integrantă a lucrului cu tabelul de antiderivate. Îl vom analiza acum folosind aceleași expresii cu care tocmai am lucrat ca exemplu.

Reguli de lucru cu tabelul de antiderivate

Să scriem din nou funcția noastră:

În cazul precedent, am folosit următoarea formulă pentru a rezolva:

\[((a)^(x))\la \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Dar acum să o facem puțin diferit: să ne amintim pe ce bază $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. După cum am spus deja, deoarece derivata $((e)^(x))$ nu este altceva decât $((e)^(x))$, prin urmare, antiderivata sa va fi egală cu același $((e) ^ (x))$. Dar problema este că avem $((e)^(2x))$ și $((e)^(-2x))$. Acum să încercăm să găsim derivata lui $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Să rescriem construcția noastră din nou:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Aceasta înseamnă că atunci când găsim antiderivată $((e)^(2x))$ obținem următoarele:

\[((e)^(2x))\la \frac(((e)^(2x)))(2)\]

După cum puteți vedea, am obținut același rezultat ca înainte, dar nu am folosit formula pentru a găsi $((a)^(x))$. Acum poate părea stupid: de ce să complici calculele când există o formulă standard? Cu toate acestea, în expresii ceva mai complexe veți constata că această tehnică este foarte eficientă, adică. folosind derivate pentru a găsi antiderivate.

Ca o încălzire, să găsim antiderivata lui $((e)^(2x))$ într-un mod similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

La calcul, construcția noastră se va scrie după cum urmează:

\[((e)^(-2x))\la -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\la -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Am obținut exact același rezultat, dar am luat o cale diferită. Această cale, care acum ni se pare puțin mai complicată, este cea care în viitor se va dovedi mai eficientă pentru calcularea unor antiderivate mai complexe și utilizarea tabelelor.

Fiţi atenți! Acesta este un punct foarte important: antiderivatele, ca și derivatele, pot fi considerate un set în diverse moduri. Cu toate acestea, dacă toate calculele și calculele sunt egale, atunci răspunsul va fi același. Tocmai am văzut acest lucru în exemplul $((e)^(-2x))$ - pe de o parte, am calculat această antiderivată „direct”, folosind definiția și calculând-o folosind transformări, pe de altă parte, ne-am amintit că $ ((e)^(-2x))$ poate fi reprezentat ca $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ și numai atunci am folosit antiderivată pentru funcția $( (a)^(x))$. Cu toate acestea, după toate transformările, rezultatul a fost același, așa cum era de așteptat.

Și acum că înțelegem toate acestea, este timpul să trecem la ceva mai semnificativ. Acum vom analiza două construcții simple, dar tehnica care va fi folosită atunci când le rezolvăm este un instrument mai puternic și mai util decât simpla „alergare” între antiderivatele vecine din tabel.

Rezolvarea problemelor: găsirea antiderivatei unei funcții

Exemplul #1

Să împărțim suma care se află în numărători în trei fracții separate:

Aceasta este o tranziție destul de naturală și de înțeles - majoritatea studenților nu au probleme cu ea. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

Acum să ne amintim această formulă:

În cazul nostru vom obține următoarele:

Pentru a scăpa de toate aceste fracții cu trei etaje, vă sugerez să faceți următoarele:

Exemplul nr. 2

Spre deosebire de fracția anterioară, numitorul nu este un produs, ci o sumă. În acest caz, nu ne mai putem împărți fracția în suma mai multor fracții simple, dar trebuie să încercăm cumva să ne asigurăm că numărătorul conține aproximativ aceeași expresie ca și numitorul. În acest caz, este destul de simplu să o faci:

Această notație, care în limbajul matematic se numește „adăugarea unui zero”, ne va permite să împărțim din nou fracția în două bucăți:

Acum să găsim ceea ce căutăm:

Astea sunt toate calculele. În ciuda complexității aparent mai mari decât în problema anterioară, cantitatea de calcule s-a dovedit a fi și mai mică.

Nuanțe ale soluției

Și aici se află principala dificultate a lucrului cu antiderivate tabulare, acest lucru este vizibil în special în a doua sarcină. Cert este că pentru a selecta unele elemente care sunt ușor de calculat prin tabel, trebuie să știm exact ce căutăm și tocmai în căutarea acestor elemente constă întregul calcul al antiderivatelor.

Cu alte cuvinte, nu este suficient doar să memorezi tabelul de antiderivate - trebuie să poți vedea ceva care nu există încă, ci ce a însemnat autorul și compilatorul acestei probleme. De aceea mulți matematicieni, profesori și profesori susțin constant: „Ce înseamnă luarea de antiderivate sau integrare - este doar un instrument sau este o artă adevărată?” De fapt, după părerea mea personală, integrarea nu este deloc o artă - nu este nimic sublim în ea, este doar practică și mai multă practică. Și ca să exersăm, să rezolvăm trei exemple mai serioase.

Ne antrenăm în integrare în practică

Sarcina nr. 1

Să scriem următoarele formule:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\la \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\la \text(arctg)x\]

Să scriem următoarele:

Problema nr. 2

Să-l rescriem după cum urmează:

Antiderivatul total va fi egal cu:

Problema nr. 3

Dificultatea acestei sarcini este că, spre deosebire de funcțiile anterioare de mai sus, nu există deloc variabilă $x$, adică. nu ne este clar ce să adunăm sau să scădem pentru a obține măcar ceva asemănător cu ceea ce este mai jos. Cu toate acestea, de fapt, această expresie este considerată chiar mai simplă decât oricare dintre expresiile anterioare, deoarece această funcție poate fi rescrisă după cum urmează:

Vă puteți întreba acum: de ce sunt aceste funcții egale? Să verificăm:

Să-l rescriem din nou:

Să ne transformăm puțin expresia:

Și când le explic toate astea studenților mei, aproape întotdeauna apare aceeași problemă: cu prima funcție totul este mai mult sau mai puțin clar, cu a doua poți să-ți dai seama și cu noroc sau practică, dar ce fel de conștiință alternativă ai trebuie să aveți pentru a rezolva al treilea exemplu? De fapt, nu te speria. Tehnica pe care am folosit-o la calcularea ultimei antiderivate se numește „descompunerea unei funcții în cea mai simplă ei”, iar aceasta este o tehnică foarte serioasă, iar acesteia i se va dedica o lecție video separată.

Între timp, îmi propun să revenim la ceea ce tocmai am studiat, și anume la funcțiile exponențiale și să complicăm oarecum problemele cu conținutul lor.

Probleme mai complexe pentru rezolvarea funcțiilor exponențiale antiderivate

Sarcina nr. 1

Să notăm următoarele:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Pentru a găsi antiderivata acestei expresii, utilizați pur și simplu formula standard - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

În cazul nostru, antiderivatul va fi astfel:

Desigur, în comparație cu designul pe care tocmai l-am rezolvat, acesta pare mai simplu.

Problema nr. 2

Din nou, este ușor de observat că această funcție poate fi împărțită cu ușurință în doi termeni separați - două fracții separate. Să rescriem:

Rămâne să găsim antiderivatul fiecăruia dintre acești termeni folosind formula descrisă mai sus:

În ciuda complexității aparente mai mari a funcțiilor exponențiale în comparație cu funcțiile de putere, volumul total de calcule și calcule s-a dovedit a fi mult mai simplu.

Desigur, pentru elevii cunoscători, ceea ce tocmai am discutat (mai ales pe fundalul a ceea ce am discutat înainte) poate părea expresii elementare. Cu toate acestea, atunci când am ales aceste două probleme pentru lecția video de astăzi, nu mi-am propus să vă spun o altă tehnică complexă și sofisticată - tot ce am vrut să vă arăt este că nu trebuie să vă fie teamă să folosiți tehnici standard de algebră pentru a transforma funcțiile originale. .

Folosind o tehnică „secretă”.

În concluzie, aș dori să mă uit la o altă tehnică interesantă, care, pe de o parte, depășește ceea ce am discutat în principal astăzi, dar, pe de altă parte, este, în primul rând, deloc complicată, adică. chiar și studenții începători îl pot stăpâni și, în al doilea rând, se găsește destul de des pe tot felul de teste și teste. munca independenta, adică cunoașterea acestuia va fi foarte utilă pe lângă cunoașterea tabelului de antiderivate.

Sarcina nr. 1

Evident, avem ceva foarte asemănător cu o funcție de putere. Ce ar trebui să facem în acest caz? Să ne gândim: $x-5$ nu este atât de diferit de $x$ - tocmai au adăugat $-5$. Hai sa o scriem asa:

\[((x)^(4))\la \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Să încercăm să găsim derivata lui $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Din aceasta rezultă:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ dreapta))^(\prime ))\]

Nu există o astfel de valoare în tabel, așa că acum am derivat această formulă noi înșine folosind formula antiderivată standard pentru o funcție de putere. Să scriem răspunsul astfel:

Problema nr. 2

Mulți studenți care se uită la prima soluție ar putea crede că totul este foarte simplu: doar înlocuiți $x$ în funcția de putere cu o expresie liniară și totul va cădea la loc. Din păcate, totul nu este atât de simplu, iar acum vom vedea asta.

Prin analogie cu prima expresie, scriem următoarele:

\[((x)^(9))\la \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Revenind la derivata noastră, putem scrie:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Urmează imediat:

Nuanțe ale soluției

Vă rugăm să rețineți: dacă nimic nu s-a schimbat în mod esențial data trecută, atunci în al doilea caz, în loc de $-10$, a apărut $-30$. Care este diferența dintre $-10$ și $-30$? Evident, cu un factor de -3$. Intrebare: de unde a venit? Privind cu atenție, puteți vedea că a fost luată ca urmare a calculării derivatei functie complexa— coeficientul care s-a situat la $x$ apare în antiderivată de mai jos. Aceasta este o regulă foarte importantă, pe care inițial nu am plănuit să o discut deloc în lecția video de astăzi, dar fără ea prezentarea antiderivatelor tabulare ar fi incompletă.

Deci hai să o facem din nou. Să fie funcția noastră principală de putere:

\[((x)^(n))\la \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Acum, în loc de $x$, să înlocuim expresia $kx+b$. Ce se va întâmpla atunci? Trebuie să găsim următoarele:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\la \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \dreapta)\cdot k)\]

Pe ce bază susținem acest lucru? Foarte simplu. Să găsim derivata construcției scrise mai sus:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Aceasta este aceeași expresie care a existat inițial. Astfel, această formulă este, de asemenea, corectă și poate fi folosită pentru a completa tabelul de antiderivate sau este mai bine să memorați pur și simplu întregul tabel.

Concluzii din „secretul: tehnica:

Ambele funcții pe care tocmai le-am analizat pot fi, de fapt, reduse la antiderivatele indicate în tabel prin extinderea gradelor, dar dacă putem face față mai mult sau mai puțin cumva gradului al patrulea, atunci nici măcar nu aș lua în considerare gradul al nouălea. a îndrăznit să dezvăluie.
Dacă ar fi să extindem gradele, am ajunge cu un astfel de volum de calcule, încât o sarcină simplă ne-ar lua un timp nepotrivit de mare.
De aceea, astfel de probleme, care conțin expresii liniare, nu trebuie rezolvate „în cap”. De îndată ce dați peste un antiderivat care diferă de cel din tabel doar prin prezența expresiei $kx+b$ în interior, amintiți-vă imediat formula scrisă mai sus, înlocuiți-o în antiderivatul dvs. de tabel și totul va ieși mult. mai rapid si mai usor.

Desigur, datorită complexității și seriozității acestei tehnici, vom reveni asupra ei de multe ori în lecțiile video viitoare, dar asta este tot pentru astăzi. Sper că această lecție îi va ajuta cu adevărat pe acei studenți care doresc să înțeleagă antiderivatele și integrarea.

Bună din nou, prieteni!

După cum am promis, cu această lecție vom începe să explorăm întinderile nesfârșite ale lumii poetice a integralelor și vom începe să rezolvăm o mare varietate de exemple (uneori foarte frumoase). :)

Pentru a naviga cu competență în toată diversitatea integrală și pentru a nu ne pierde, avem nevoie doar de patru lucruri:

1) Tabelul integralelor. Toate detaliile despre ea - . Exact așa să lucrezi cu ea.

2) Proprietăți de liniaritate ale integralei nedefinite (integrala sumei/diferenței și produsul unei constante).

3) Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere.

Da, da, nu fi surprins! Fără capacitatea de a număra derivatele, nu există absolut nimic de câștigat din integrare. De acord, nu are sens, de exemplu, să înveți împărțirea fără să știi să înmulți. :) Și foarte curând vei vedea că fără abilități de diferențiere perfectionate nu poți calcula o singură integrală care să depășească cele tabulare elementare.

4) Metode de integrare.

Sunt foarte, foarte mulți dintre ei. Pentru o anumită clasă de funcții - propriile dvs. Dar, printre toată diversitatea lor bogată, se remarcă trei cele de bază:

– ,

– .

Fiecare dintre ele va fi discutat în lecții separate.

Și acum, în sfârșit, să trecem la rezolvarea exemplelor mult așteptate. Pentru a nu sări de la secțiune la secțiune, voi duplica încă o dată întregul set de domn, ceea ce va fi util pentru munca noastră ulterioară. Lăsați toate instrumentele să fie la îndemână.)

În primul rând, asta tabelul integralelor:

În plus, vom avea nevoie de proprietățile de bază ale integralei nedefinite (proprietăți de liniaritate):

Ei bine, echipamentul necesar a fost pregătit. E timpul să pleci! :)

Aplicarea directă a tabelului

Acest paragraf va lua în considerare cele mai simple și mai inofensive exemple. Algoritmul de aici este teribil de simplu:

1) Priviți tabelul și căutați formula(ele) necesară(e);

2) Aplicați proprietăți de liniaritate (unde este necesar);

3) Efectuăm transformarea folosind formule tabulare și adăugăm o constantă la sfârșit CU (nu uita!) ;

4) Notează răspunsul.

Deci, hai să mergem.)

Exemplul 1

Nu există o astfel de funcție în tabelul nostru. Dar există o integrală a funcției de putere în vedere generală(al doilea grup). În cazul nostru n=5. Deci înlocuim cinci în loc de n și calculăm cu atenție rezultatul:

Gata. :)

Desigur, acest exemplu este complet primitiv. Doar pentru cunoștință.) Dar capacitatea de a integra puteri facilitează calcularea integralelor oricăror polinoame și alte construcții de putere.

Exemplul 2

Sub integrală este suma. Oh bine. Avem proprietăți de liniaritate pentru acest caz. :) Ne împărțim integrala în trei separate, scoatem toate constantele din semnele integralelor și le numărăm pe fiecare conform tabelului (grupul 1-2):

Vă rugăm să rețineți: constantă CU apare exact în momentul în care TOATE semnele integrale dispar! Bineînțeles, după aceea trebuie să o porți constant cu tine. Ce să fac...

Desigur, de obicei nu este necesar să descrieți atât de detaliat. Acest lucru este pur în scopuri de înțelegere. Pentru a înțelege ideea.)

De exemplu, foarte curând, fără să te gândești prea mult, vei da mental un răspuns unor monștri precum:

Polinoamele sunt cele mai libere funcții din integrale.) Și în difuze, fizică, rezistența materialelor și alte discipline serioase, va trebui să integrezi constant polinoamele. Obișnuiește-te.)

Următorul exemplu va fi puțin mai rece.

Exemplul 3

Sper că toată lumea înțelege că integrandu-ul nostru poate fi scris așa:

Funcția integrand este separată, iar factorul dx (pictogramă diferențială)- separat.

Comentariu:în acest multiplicator de lecție dx în proces de integrare la revedere nu participă în niciun fel și deocamdată „uităm” mental de el. :) Lucrăm doar cu funcția integrand. Dar să nu uităm de el. Foarte curând, literalmente în următoarea lecție dedicată, ne vom aminti despre asta. Și vom simți în forță importanța și puterea acestei icoane!)

Între timp, privirea noastră este atrasă de funcția integrand

Nu seamănă prea mult cu o funcție de putere, dar asta este. :) Dacă ne amintim proprietățile școlare ale rădăcinilor și puterilor, atunci este foarte posibil să ne transformăm funcția:

Și x la putere minus două treimi este deja o funcție tabelară! A doua grupă n=-2/3. Iar constanta 1/2 nu este o piedică pentru noi. O luăm afară, dincolo de semnul integral și calculăm direct folosind formula:

În acest exemplu, am fost ajutați de proprietățile elementare ale gradelor. Și acest lucru ar trebui făcut în majoritatea cazurilor când există rădăcini sau fracții singuratice sub integrală. Prin urmare un cuplu sfaturi practice la integrarea construcțiilor de putere:

Înlocuim fracțiile cu puteri cu exponenți negativi;

Înlocuim rădăcinile cu puteri cu exponenți fracționari.

Dar, în răspunsul final, trecerea de la puteri înapoi la fracții și rădăcini este o chestiune de gust. Personal, trec înapoi - este mai plăcut din punct de vedere estetic, sau așa ceva.

Și, vă rog, numărați cu atenție toate fracțiile! Monitorizăm cu atenție semnele și ce merge unde - ce este în numărător și care este numitorul.

Ce? V-ați săturat deja de funcțiile de putere plictisitoare? BINE! Să luăm taurul de coarne!

Exemplul 4

Dacă acum aducem totul sub integrală la numitor comun, atunci puteți rămâne blocat în acest exemplu serios și pentru o lungă perioadă de timp.) Dar, aruncând o privire mai atentă la integrand, veți observa că diferența noastră constă în două funcții tabelare. Deci, să nu ne pervertim, ci să ne descompunăm integrala în două:

Prima integrală este o funcție de putere obișnuită, (grupa a doua, n = -1): 1/x = x -1 .

Formula noastră tradițională pentru antiderivatul unei funcții de putere

Nu merge aici, dar pentru noi n = -1 există o alternativă demnă - o formulă cu un logaritm natural. Aceasta:

Apoi, conform acestei formule, prima fracție va fi integrată astfel:

Și a doua fracție este de asemenea, o funcție de masă! Ai aflat? Da! Acest şaptelea formula cu logaritm „înalt”:

Constanta „a” din această formulă este egală cu două: a=2.

Notă importantă: Vă rugăm să rețineți constantaCU cu integrare intermediară I nicăieri Nu o atribui! De ce? Pentru că ea va merge la răspunsul final exemplu întreg. Este suficient.) Strict vorbind, constanta trebuie scrisă după fiecare integrare individuală - fie ea intermediară sau finală: asta cere integrala nedefinită...)

De exemplu, după prima integrare ar trebui să scriu:

După a doua integrare:

Dar trucul este că suma/diferența constantelor arbitrare este de asemenea, unele constante!În cazul nostru, pentru răspunsul final avem nevoie de prima integrală scădea doilea. Atunci o putem face diferenţă două constante intermediare:

C1-C2

Și avem tot dreptul să înlocuim această diferență în constante o constantă!Și pur și simplu redesemnați-l cu litera „C” care ne este familiară. Ca aceasta:

C1-C2 = C

Deci atribuim aceeași constantă CU la rezultatul final și obținem răspunsul:

Da, da, sunt fracții! Logaritmii cu mai multe etaje atunci când sunt integrați sunt cel mai comun lucru. Ne obișnuim și noi.)

Amintiți-vă:

În timpul integrării intermediare a mai multor termeni, constanta CU După fiecare dintre ele nu trebuie să scrieți. Este suficient să îl includeți în răspunsul final al întregului exemplu. La final.

Următorul exemplu este, de asemenea, cu o fracție. Pentru încălzire.)

Exemplul 5

Masa, desigur, nu are o asemenea funcție. Dar există asemănătoare funcţie:

Acesta este chiar ultimul al optulea formula. Cu arctangent. :)

Aceasta:

Și Dumnezeu însuși ne-a poruncit să ne adaptăm integrala la această formulă! Dar există o problemă: în formula tabelară înainte x 2 Nu există coeficient, dar avem nouă. Încă nu putem folosi formula direct. Dar în cazul nostru problema este complet rezolvabilă. Să scoatem mai întâi acest nou dintre paranteze, apoi să-l scoatem în afara fracțiunii noastre.)

Și noua fracție este funcția de tabel de care avem deja nevoie, numărul 8! Aici și 2 =4/9. Sau a=2/3.

Toate. Luăm 1/9 din semnul integral și folosim a opta formulă:

Iată răspunsul. Acest exemplu, cu coeficientul în față x 2, am ales-o așa intenționat. Pentru a clarifica ce trebuie făcut în astfel de cazuri. :) Dacă înainte x 2 nu există coeficient, atunci astfel de fracții vor fi și ele integrate în minte.

De exemplu:

Aici a 2 = 5, deci „a” în sine va fi „rădăcină a cinci”. În general, înțelegi.)

Acum să ne modificăm ușor funcția: vom scrie numitorul sub rădăcină.) Acum vom lua această integrală:

Exemplul 6

Numitorul are acum o rădăcină. Desigur, formula corespunzătoare pentru integrare s-a schimbat și ea, da.) Din nou intrăm în tabel și căutăm cea potrivită. Avem rădăcini în formulele grupelor a 5-a și a 6-a. Dar în al șaselea grup există doar o diferență sub rădăcini. Și avem suma. Deci, lucrăm la a cincea formulă, cu un logaritm „lung”:

Număr O avem cinci. Înlocuiți în formulă și obțineți:

Și asta-i tot. Acesta este răspunsul. Da, da, atât de simplu!)

Dacă apar îndoieli, puteți (și ar trebui) să verificați întotdeauna rezultatul prin diferențiere inversă. Să verificăm? Ce se întâmplă dacă este un fel de prostie?

Să diferențiem (nu acordăm atenție modulului și îl tratăm ca paranteze obișnuite):

Totul este corect. :)

Apropo, dacă în integrand sub rădăcină schimbați semnul de la plus în minus, atunci formula de integrare va rămâne aceeași. Nu întâmplător există în tabelul de sub rădăcină plus/minus. :)

De exemplu:

Important!În caz de minus, on primul locul de sub rădăcină ar trebui să fie exact x 2, și mai departe doilea – număr. Dacă opusul este adevărat sub rădăcină, atunci formula tabelară corespunzătoare va fi mai restrânsă altul!

Exemplul 7

Sub rădăcină din nou minus, dar x 2 cu cei cinci ne-am schimbat locul. Este similar, dar nu același lucru... Pentru acest caz, tabelul nostru are și o formulă.) Formula numărul șase, nu am lucrat încă cu ea:

Dar acum - cu grijă. În exemplul anterior, am folosit cinci ca număr O . Aici cinci va acționa ca număr un 2!

Prin urmare, pentru a aplica corect formula, nu uitați să extrageți rădăcina celor cinci:

Și acum exemplul este rezolvat într-o singură acțiune. :)

Doar așa! Doar termenii de sub rădăcină au fost schimbați, iar rezultatul integrării s-a schimbat semnificativ! Logaritm și arcsinus... Deci, vă rog nu confunda aceste două formule! Deși funcțiile integrand sunt foarte asemănătoare...

Bonus:

În formulele tabelare 7-8 există coeficienți înaintea logaritmului și arctangentei 1/(2a)Şi 1/a respectiv. Și într-o situație alarmantă de luptă, când notează aceste formule, chiar și tocilarii experimentați de studiile lor se încurcă adesea, unde este simplu 1/a, și unde 1/(2a). Iată un truc simplu de reținut.

În formula nr. 7

Numitorul integrandului conține diferența de pătrate x 2 – a 2. Care, după formula școlară înfricoșată, se descompune ca (x-a)(x+a). Pe două multiplicator Cuvânt cheie – două. Și acestea două la integrare, parantezele merg la logaritm: cu un minus în sus, cu un plus - în jos.) Și coeficientul din fața logaritmului este tot 1/( 2 O).

Dar în formula nr. 8

Numitorul fracției conține suma de pătrate. Dar suma pătratelor x 2 + a 2 nu pot fi descompuse în factori mai simpli. Prin urmare, orice s-ar spune, numitorul va rămâne așa unul factor. Și coeficientul din fața arctangentei va fi de asemenea 1/a.

Acum să integrăm ceva trigonometrie pentru o schimbare.)

Exemplul 8

Exemplul este simplu. Atât de simplu încât oamenii, fără măcar să se uite la masă, scriu imediat cu bucurie răspunsul și... am ajuns. :)

Să urmăm semnele! Aceasta este cea mai frecventă greșeală la integrarea sinusurilor/cosinusurilor. A nu se confunda cu derivatele!

Da, (păcat x)" = cos xŞi (cos x)’ = - păcat x.

Dar!

Deoarece oamenii își amintesc de obicei derivatele cel puțin, pentru a nu se confunda în semne, tehnica de amintire a integralelor este foarte simplă:

Integrala sinus/cosinus = minus derivată a aceluiaşi sinus/cosinus.

De exemplu, știm de la școală că derivata unui sinus este egală cu un cosinus:

(păcat x)" = cos x.

Atunci pentru integrală din acelasi sinus va fi adevarat:

Asta-i tot.) La fel este și cu cosinusul.

Să reparăm acum exemplul nostru:

Transformări elementare preliminare ale integrandului

Până în acest punct au existat cele mai simple exemple. Pentru a înțelege cum funcționează tabelul și pentru a nu face greșeli în alegerea unei formule.)

Desigur, am făcut niște transformări simple - am scos factorii și i-am împărțit în termeni. Dar răspunsul încă stătea la suprafață într-un fel sau altul.) Cu toate acestea... Dacă calculul integralelor s-ar limita doar la aplicarea directă a tabelului, atunci ar exista o mulțime de gratuități și viața ar deveni plictisitoare.)

Acum să ne uităm la exemple mai solide. Genul în care nimic nu pare să fie decis direct. Dar merită să ne amintim doar câteva formule sau transformări ale școlii elementare, iar drumul către răspuns devine simplu și clar. :)

Aplicarea formulelor de trigonometrie

Să continuăm să ne distrăm cu trigonometria.

Exemplul 9

Nu există o astfel de funcție în tabel chiar și aproape. Dar în trigonometrie scolara există o identitate atât de puțin cunoscută:

Acum exprimăm din ea tangenta pătrată de care avem nevoie și o introducem sub integrală:

De ce s-a făcut asta? Și apoi, după o astfel de transformare, integrala noastră se va reduce la două tabelare și va fi luată în considerare!

Vedea:

Acum să analizăm acțiunile noastre. La prima vedere, totul pare a fi mai simplu ca niciodată. Dar să ne gândim la asta. Dacă ne-am confrunta cu o sarcină diferenţiaţi aceeași funcție, atunci am face-o exactștia exact ce să facă – aplica formula derivata unei functii complexe:

Asta e tot. Tehnologie simplă și fără probleme. Mereu funcționează și este garantat că va duce la succes.

Dar integrala? Dar aici a trebuit să scotocim prin trigonometrie, să dezgropăm o formulă obscure în speranța că ne va ajuta cumva să ieșim și să reducem integrala la una tabelară. Și nu este un fapt că ne-ar ajuta, nu este deloc un fapt... De aceea integrarea este un proces mai creativ decât diferențierea. Artă, aș spune chiar. :) Și asta nu este cel mai bun exemplu complex. Sau vor fi mai multe!

Exemplul 10

Ce inspiră? Tabelul integralelor este încă neputincios, da. Dar dacă te uiți din nou în vistieria noastră formule trigonometrice, atunci puteți dezgropa un foarte, foarte util Formula cosinusului cu unghi dublu:

Deci aplicăm această formulă funcției noastre integrand. În rolul „alfa” avem x/2.

Primim:

Efectul este uimitor, nu-i așa?

Aceste două exemple arată clar că pre-transformarea unei funcții înainte de integrare Este complet acceptabil și uneori ușurează enorm viața! Iar în integrare această procedură (transformarea integrandului) este un ordin de mărime mai justificat decât în diferențiere. Vei vedea totul mai târziu.)

Să ne uităm la câteva transformări tipice.

Formule de înmulțire prescurtată, paranteze de deschidere, aducând altele asemănătoare și metoda împărțirii termen cu termen.

Transformările obișnuite ale școlii banale. Dar uneori ei sunt singurii care economisesc, da.)

Exemplul 11

Dacă am calcula derivata, atunci nu ar fi nicio problemă: formula pentru derivata unui produs și - mergeți mai departe. Dar formula standard pentru integrală nu există din lucrare. Și singura cale de ieșire de aici este să deschidem toate parantezele astfel încât sub integrală să obținem un polinom. Și vom integra cumva polinomul.) Dar vom deschide și parantezele cu înțelepciune: formulele de înmulțire abreviate sunt lucruri puternice!

(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1

Acum numărăm:

Și asta-i tot.)

Exemplul 12

Din nou, formula standard pentru integrala unei fractii nu există. Totuși, numitorul integrandului conține singuratic x. Acest lucru schimbă radical situația.) Să împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, reducând fracția noastră teribilă la o sumă inofensivă de funcții de putere tabulate:

Nu voi comenta în mod specific procedura de integrare a diplomelor: nu mai sunt mici.)

Să integrăm suma funcțiilor de putere. Conform semnului.)

Asta e tot.) Apropo, dacă numitorul nu ar fi X, dar, să zicem, x+1, ca aceasta:

Acest truc cu împărțirea termen cu termen nu ar fi funcționat atât de ușor. Este tocmai din cauza prezenței unei rădăcini la numărător și a unei unități la numitor. Ar trebui să scap de rădăcină. Dar astfel de integrale sunt mult mai complicate. Despre ei - în alte lecții.

Vedea! Trebuie doar să modificați ușor funcția – abordarea integrării acesteia se schimbă imediat. Uneori în mod dramatic!) Nu există o schemă standard clară. Fiecare funcție are propria sa abordare. Uneori chiar unic.)

În unele cazuri, conversiile în fracții sunt și mai complicate.

Exemplul 13

Și aici, cum puteți reduce integrala la un set de tabelare? Aici puteți eschiva în mod inteligent adunând și scăzând expresia x 2în numărătorul fracției urmat de împărțirea termen cu termen. Un truc foarte inteligent în integrale! Urmărește cursul de master! :)

Și acum, dacă înlocuim fracția inițială cu diferența a două fracții, atunci integrala noastră se împarte în două tabelare - funcția de putere care ne este deja familiară și arctangente (formula 8):

Ei bine, ce putem spune? Wow!

Acest truc de a adăuga/scădea termeni în numărător este foarte popular în integrarea fracțiilor raționale. Foarte! Recomand să luați notă.

Exemplul 14

Aceeași tehnologie reglementează și aici. Trebuie doar să adăugați/scădeți unul pentru a extrage expresia din numitor de la numărător:

În general, fracțiile raționale (cu polinoame în numărător și numitor) sunt un subiect separat, foarte larg. Ideea este că fracțiile raționale sunt una dintre puținele clase de funcții pentru care o metodă universală de integrare există. Metoda de descompunere în fracții simple, cuplată cu . Dar această metodă necesită foarte multă muncă și este de obicei folosită ca artilerie grea. Ii vor fi dedicate mai mult de o lectie. Între timp, ne antrenăm și ne perfecționăm la funcții simple.

Să rezumam lecția de astăzi.

Astăzi ne-am uitat în detaliu la modul exact de utilizare a tabelului, cu toate nuanțele, am analizat multe exemple (și nu cele mai banale) și ne-am familiarizat cu cele mai simple tehnici de reducere a integralelor la cele tabulare. Și așa vom face acum Întotdeauna. Indiferent ce funcție teribilă este sub integrală, cu ajutorul unei largi varietăți de transformări ne vom asigura că, mai devreme sau mai târziu, integrala noastră, într-un fel sau altul, se reduce la un set de tabelare.

Câteva sfaturi practice.

1) Dacă integrala este o fracție, al cărei numărător este suma puterilor (rădăcinile), iar numitorul este singuratic x putere, atunci folosim împărțirea termen cu termen a numărătorului la numitor. Înlocuiți rădăcinile cu puteri de c indicatori fracționari și se lucrează după formulele 1-2.

2) În construcțiile trigonometrice, în primul rând încercăm formulele de bază ale trigonometriei - unghi dublu/triplu,

S-ar putea să fii foarte norocos. Sau poate nu...

3) Acolo unde este necesar (în special în polinoame și fracții), folosimformule de multiplicare prescurtate:

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2

(a-b)(a+b) = a 2 -b 2

4) Atunci când integrăm fracții cu polinoame, încercăm să izolăm artificial expresia(ele) la numitorul din numărător. De foarte multe ori fracția este simplificată și integrala este redusă la o combinație de cele tabelare.

Ei bine, prieteni? Văd că încep să-ți placă integralele. :) Apoi vom ajunge mai bine la rezolvarea exemplelor singuri.) Materialul de astăzi este suficient pentru a le face față cu succes.

Ce? Nu stiu? Da! Nu am trecut încă prin asta.) Dar nu este nevoie să le integrăm direct aici. Și să vă ajute cursul școlii!)

Răspunsuri (în dezordine):

Pentru cele mai bune rezultate Recomand cu tărie să achiziționați o colecție de probleme bazată pe G.N. Mathan. Berman. Chestii cool!

Asta e tot ce am pentru azi. Noroc!

Integrale complexe

Acest articol încheie subiectul integralelor nedefinite și include integrale pe care le consider destul de complexe. Lecția a fost creată la solicitările repetate ale vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de integrare de bază. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde poți stăpâni subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnici și metode de integrare care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

Mai întâi vom lua în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv înlocuire variabilăŞi integrare pe părți. Adică, într-un exemplu, două tehnici sunt combinate simultan. Și chiar mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu interesante și originale metoda de reducere a integralei la sine. Destul de multe integrale sunt rezolvate astfel.

Al treilea număr al programului va fi integrale din fracții complexe, care au trecut peste casa de casă în articolele anterioare.

În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală consumatoare de timp.

(2) În funcția integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală imediat puneți funcția sub semnul diferențial.

(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că într-un logaritm puteți folosi paranteze mai degrabă decât un modul, deoarece .

(5) Efectuăm o înlocuire inversă, exprimând „te” din înlocuirea directă:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în timpul soluției a trebuit să folosim chiar mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și destul de multă experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, aici sunt trei exemple pentru decizie independentă:

Exemplul 2

Găsi integrală nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, astfel încât soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2. Exemplele 3-4 au aceleași răspunsuri; Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales exemple de același tip? Deseori găsite în rolul lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când sub funcțiile arctangente, sinus, cosinus, exponențial și alte funcții există o rădăcină a funcţie liniară, trebuie să utilizați mai multe metode deodată. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coboare ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care poate fi luată cu ușurință. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Prin reducerea integralei la sine

O metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Sub rădăcină este un binom pătratic, iar încercarea de a integra acest exemplu poate da ceainicului o bătaie de cap ore în șir. O astfel de integrală este luată în părți și redusă la sine. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala luată în considerare Literă latină si sa incepem sa rezolvam:

Să integrăm pe părți:

(1) Pregătiți funcția integrand pentru împărțirea termen cu termen.

(2) Împărțim termenul funcției integrand cu termen. Poate că nu este clar pentru toată lumea, dar o voi descrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luați ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum să ne uităm la începutul soluției:

Si pana la final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala a fost redusă la sine!

Să echivalăm începutul și sfârșitul:

Deplasați-vă în partea stângă cu o schimbare de semn:

Și le mutăm pe cele două în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este rigoarea aici:

Nota: Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:

Astfel:

Constanta poate fi redesemnată prin . De ce poate fi redenumit? Pentru că încă o acceptă orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar cu renotare constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici permit o astfel de libertate doar pentru a nu vă încurca cu lucruri inutile și pentru a concentra atenția tocmai asupra metodei de integrare în sine.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției. Va fi o diferență cu răspunsul din exemplul anterior!

Dacă sub rădăcină pătrată situat trinom pătratic, atunci soluția în orice caz se rezumă la două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala . Tot ce trebuie să faci este mai întâi selectați un pătrat complet:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care face „fără consecințe”:
, rezultând integrala . Ceva familiar, nu?

Sau acest exemplu, cu un binom pătratic:
Selectați un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem integrala, care se rezolvă și folosind algoritmul deja discutat.

Să ne uităm la două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
– integrală a exponenţialului înmulţit cu sinus;
– integrală a exponenţialului înmulţit cu cosinus.

În integralele enumerate pe părți va trebui să integrați de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponențialul înmulțit cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca urmare a dublei integrări pe părți, integrala a fost redusă la sine. Echivalăm începutul și sfârșitul soluției:

O mutam în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala:

Gata. În același timp, este indicat să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul dintre paranteze, iar între paranteze așezați sinusul și cosinusul într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului, sau mai precis, la integrarea pe părți:

Am desemnat exponentul ca. Se pune întrebarea: este exponentul care trebuie notat întotdeauna cu? Nu neapărat. De fapt, în integrala considerată fundamental nu contează, ce înțelegem prin , am fi putut merge în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponențialul se transformă în sine (atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării), sinusul și cosinusul se transformă reciproc unul în celălalt (din nou, atât în timpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică putem desemna și o funcție trigonometrică. Dar, în exemplul luat în considerare, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu folosind a doua metodă, răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Înainte de a vă decide, gândiți-vă ce este mai avantajos în acest caz să desemnați ca , o funcție exponențială sau o funcție trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor această lecție Este destul de ușor de verificat prin diferențiere!

Exemplele luate în considerare nu au fost cele mai complexe. În practică, integralele sunt mai frecvente acolo unde constanta este atât în exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni se vor încurca într-o astfel de integrală, iar eu deseori mă confund. Faptul este că există o mare probabilitate de apariție a fracțiilor în soluție și este foarte ușor să pierzi ceva prin nepăsare. În plus, există o mare probabilitate de eroare în semne, rețineți că exponentul are semnul minus, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, rezultatul este adesea cam așa:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să înțelegi corect fracțiile:

Integrarea fracțiilor complexe

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar că dintr-un motiv sau altul exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătratic plus un „apendice” sub forma unui „X” în afara rădăcinii. O integrală de acest tip poate fi rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Să ne uităm la viața după înlocuire:

(1) După înlocuire, reducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Numătorul și numitorul se reduc cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, se decide metoda de extracție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală are drept scop îndreptarea rezultatului: sub rădăcină aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici se adaugă o constantă la singurul „X”, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți în plus este să exprimați „x” de la înlocuirea care se efectuează:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Uneori, într-o astfel de integrală poate exista un binom pătratic sub rădăcină, acest lucru nu schimbă metoda de soluție, va fi și mai simplu. Simțiți diferența:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Soluții scurteși răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost discutată la clasă Integrale ale funcțiilor iraționale.

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la putere

(polinom la numitor)

Un tip mai rar de integrală, dar întâlnită totuși în exemple practice.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit corect). Această integrală este, de asemenea, una dintre cele care pot fi destul de frustrante dacă nu știi cum să rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată în părți:

Pentru o integrală a formei ( – număr natural) retras recurent formula de reducere:
, Unde – integrală de un grad mai mic.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Dacă sub gradul este indivizibil trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin izolarea pătratului perfect, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se folosește metoda coeficienți incerti, iar integrandul este extins într-o sumă de fracții. Dar în practica mea există un astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am ratat acest caz în articol Integrale ale funcțiilor fracționale-raționale, îl voi omite acum. Dacă încă întâlniți o astfel de integrală, uitați-vă la manual - totul este simplu acolo. Nu cred că este indicat să includem materiale (chiar simple), probabilitatea de întâlnire care tinde spre zero.

Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe

Adjectivul „complicat” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în grade înalte. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare folosite, tangenta și cotangenta sunt aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, ceea ce înseamnă că metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus ne-am uitat substituție trigonometrică universală pentru a rezolva un anumit tip de integrale din funcții trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că utilizarea sa duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Să luăm în considerare un alt exemplu canonic, integrala unuia împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Aici puteți utiliza substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi soluția completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Folosim formula trigonometrică pentru sinusul unui unghi dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: Împărțim la numitor și înmulțim cu .
(3) De către formula cunoscuta la numitor transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(5) Luați integrala.

Pereche exemple simple pentru soluție independentă:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Notă: primul pas ar trebui să fie utilizarea formulei de reducere și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
etc.

Care este ideea metodei? Ideea este de a folosi transformări și formule trigonometrice pentru a organiza doar tangente și derivata tangentă în integrand. Adică vorbim despre înlocuirea: . În exemplele 17-19 am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât ne-am descurcat cu o acțiune echivalentă - subsumând funcția sub semnul diferențial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, De exemplu:

pentru integrală – un număr întreg negativ PAR.

! Nota : dacă integrandul conține DOAR un sinus sau DOAR un cosinus, atunci integrala este luată și pentru un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Să ne uităm la câteva sarcini mai semnificative bazate pe această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma puterilor sinusului și cosinusului: 2 – 6 = –4 este un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata ei:

(1) Să transformăm numitorul.
(2) Folosind formula binecunoscută, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar este totuși mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Stai acolo, rundele campionatului sunt pe cale să înceapă =)

Adesea, integrandul conține un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care duce imediat la un gând deja familiar:

Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost deja discutat mai sus.

Câteva exemple creative pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, desigur, puteți reduce puterile sinusului și cosinusului și puteți utiliza o substituție trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este efectuată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Integrale principale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integralele enumerate sunt baza, baza fundamentelor. Aceste formule trebuie cu siguranță reținute. Când calculați integrale mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați să adăugați o constantă arbitrară C la răspunsul dvs. atunci când integrați!

Integrala unei constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integrarea unei funcții de putere

De fapt, a fost posibil să ne limităm doar la formulele (5) și (7), dar restul integralelor din acest grup apar atât de des încât merită să le acordăm puțină atenție.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale ale funcțiilor exponențiale și ale funcțiilor hiperbolice

Desigur, formula (8) (poate cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca un caz special al formulei (9). Formulele (10) și (11) pentru integralele sinusului hiperbolic și cosinus hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să ne amintim pur și simplu aceste relații.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrale de bază ale funcțiilor trigonometrice

O greșeală pe care elevii o fac adesea este aceea că confundă semnele în formulele (12) și (13). Amintindu-ne că derivata sinusului este egală cu cosinusul, din anumite motive, mulți oameni cred că integrala lui funcții sinx egal cu cosx. Acest lucru nu este adevărat! Integrala sinusului este egală cu „minus cosinus”, dar integrala cosx este egală cu „doar sinusul”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale care reduc la funcții trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la arctangente, este în mod natural un caz special al formulei (17) pentru a=1. În mod similar, (18) este un caz special al lui (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrale mai complexe

De asemenea, este indicat să vă amintiți aceste formule. De asemenea, sunt folosite destul de des, iar producția lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln |

x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integrala sumei a două funcții este egală cu suma integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integrala diferenței a două funcții este egală cu diferența integralelor corespunzătoare: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) Constanta poate fi scoasă din semnul integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27) Este ușor de observat că proprietatea (26) este pur și simplu o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integrala unei funcții complexe, dacă

funcție internă este liniară: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28) Aici F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x). Vă rugăm să rețineți: această formulă funcționează numai atunci când funcția interioară este Ax + B.

Important: nu există

formula universala

pentru integrala produsului a două funcții, precum și pentru integrala unei fracții:

∫ f (x) g (x) d x = ?

(30)

Aceasta nu înseamnă, desigur, că o fracțiune sau un produs nu poate fi integrat. Doar că de fiecare dată când vezi o integrală ca (30), va trebui să inventezi o modalitate de a „lupta” cu ea. În unele cazuri, integrarea pe părți vă va ajuta, în altele va trebui să faceți o schimbare de variabilă, iar uneori chiar formulele de algebră sau trigonometrie „școală” vă pot ajuta.

Un exemplu simplu de calcul al integralei nedefinite

Exemplul 1. Aflați integrala: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Să folosim formulele (25) și (26) (integrala sumei sau diferenței de funcții este egală cu suma sau diferența integralelor corespunzătoare. Se obține: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testați-vă prin diferențiere: luați derivata funcției rezultate și asigurați-vă că este egală cu integrandul original.