Rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu coeficienți nedeterminați. Ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDU-2) cu coeficienți constanți(PC)

Un LDDE de ordinul 2 cu coeficienți constanți $p$ și $q$ are forma $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, unde $f\left(x \right)$ este o funcție continuă.

În ceea ce privește LNDU 2 cu PC, următoarele două afirmații sunt adevărate.

Să presupunem că o funcție $U$ este o soluție parțială arbitrară a unei ecuații diferențiale neomogene. Să presupunem, de asemenea, că o funcție $Y$ este soluția generală (GS) a ecuației diferențiale liniare omogene corespunzătoare (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Atunci GS a LHDE-2 este egal cu suma datelor private indicate și solutii generale, adică $y=U+Y$.

Dacă partea dreaptă a unui LMDE de ordinul 2 este o sumă de funcții, adică $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, atunci mai întâi putem găsi PD-urile $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ care corespund. la fiecare dintre funcțiile $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ și după aceea scrie CR LNDU-2 sub forma $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Soluție LPDE de ordinul 2 cu PC

Este evident că tipul unuia sau altul PD $U$ al unui LNDU-2 dat depinde de forma specifică a părții sale din dreapta $f\left(x\right)$. Cele mai simple cazuri de căutare a PD LNDU-2 sunt formulate sub forma următoarelor patru reguli.

Regula #1.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, adică se numește polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, unde $Q_(n) \left(x\right)$ este un alt polinom de același grad ca $P_(n) \left(x\right)$ și $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare care sunt egale cu zero. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați (UK).

Regula nr. 2.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $n$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, unde $Q_(n ) \ left(x\right)$ este un alt polinom de același grad cu $P_(n) \left(x\right)$, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare , egal cu $\alpha $. Coeficienții polinomului $Q_(n) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Regula nr. 3.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, unde $a$, $b$ și $\beta$ sunt numere cunoscute. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, unde $A$ și $B$ sunt coeficienți necunoscuți, iar $r$ este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice a LODE-2 corespunzătoare, egal cu $i\cdot \beta $. Coeficienții $A$ și $B$ se găsesc folosind metoda nedistructivă.

Regula nr. 4.

Partea dreaptă a LNDU-2 are forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, unde $P_(n) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $ n$, iar $P_(m) \left(x\right)$ este un polinom de gradul $m$. Apoi PD-ul său $U$ este căutat sub forma $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, unde $Q_(s) \left(x\right)$ și $ R_(s) \left(x\right)$ sunt polinoame de grad $s$, numărul $s$ este maximul a două numere $n$ și $m$ și $r$ este numărul de rădăcini a ecuației caracteristice LODE-2 corespunzătoare, egală cu $\alpha +i\cdot \beta $. Coeficienții polinoamelor $Q_(s) \left(x\right)$ și $R_(s) \left(x\right)$ se găsesc prin metoda NC.

Metoda NK constă în aplicarea următoarei reguli. Pentru a găsi coeficienții necunoscuți ai polinomului care fac parte din soluția parțială a ecuației diferențiale neomogene LNDU-2, este necesar:

înlocuiți PD $U$ scris în vedere generală, în partea stângă a LNDU-2;
în partea stângă a LNDU-2, efectuați simplificări și grupați termeni cu aceleași puteri $x$;
în identitatea rezultată, echivalează coeficienții termenilor cu aceleași puteri $x$ ale părților stângă și dreaptă;
rezolva sistemul rezultat ecuații liniare raportat la coeficienți necunoscuți.

Exemplul 1

Sarcină: găsiți SAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Găsiți și PD , îndeplinind condițiile inițiale $y=6$ pentru $x=0$ și $y"=1$ pentru $x=0$.

Notăm LOD-2 corespunzător: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Ecuația caracteristică: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Aceste rădăcini sunt valide și distincte. Astfel, OR-ul LODE-2 corespunzător are forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Partea dreaptă a acestui LNDU-2 are forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Este necesar să se ia în considerare coeficientul exponentului $\alpha =3$. Acest coeficient nu coincide cu niciuna dintre rădăcinile ecuației caracteristice. Prin urmare, PD-ul acestui LNDU-2 are forma $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vom căuta coeficienții $A$, $B$ folosind metoda NC.

Găsim prima derivată a Republicii Cehe:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Găsim a doua derivată a Republicii Cehe:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Înlocuim funcțiile $U""$, $U"$ și $U$ în loc de $y""$, $y"$ și $y$ în NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Mai mult, deoarece exponentul $e^(3\cdot x) $ este inclus ca factor în toate componentele, atunci acesta poate fi omis.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Efectuăm acțiunile din partea stângă a egalității rezultate:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Folosim metoda NDT. Obținem un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Soluția acestui sistem este: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pentru problema noastră arată astfel: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

SAU $y=Y+U$ pentru problema noastră arată astfel: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ stânga(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Pentru a găsi un PD care îndeplinește condițiile inițiale date, găsim derivata $y"$ a OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Inlocuim in $y$ si $y"$ conditiile initiale $y=6$ pentru $x=0$ si $y"=1$ pentru $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Am primit un sistem de ecuații:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Să rezolvăm. Găsim $C_(1) $ folosind formula lui Cramer, iar $C_(2) $ determinăm din prima ecuație:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Astfel, PD-ul acestei ecuații diferențiale are forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Linear omogen ecuatii diferentiale de ordinul doi cu coeficienți constanți au forma

unde p și q sunt numere reale. Să ne uităm la exemple despre cum sunt rezolvate ecuații diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale omogene liniare de ordinul doi depinde de rădăcinile ecuației caracteristice. Ecuația caracteristică este ecuația k²+pk+q=0.

1) Dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere reale diferite:

atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma

2) Dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere reale egale

(de exemplu, cu un discriminant egal cu zero), atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi este

3) Dacă rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere complexe

(de exemplu, cu un discriminant egal cu un număr negativ), atunci soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi se scrie sub forma

Exemple de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

Găsiți soluții generale ale ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul doi:

Alcătuim ecuația caracteristică: k²-7k+12=0. Discriminantul său este D=b²-4ac=1>0, deci rădăcinile sunt numere reale diferite.

Prin urmare, soluția generală a acestui DE ordinul 2 omogen este

Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:

Rădăcinile sunt reale și distincte. Prin urmare, avem o soluție generală pentru această ecuație diferențială omogenă:

În acest caz, ecuația caracteristică

Rădăcinile sunt diferite și valide. Prin urmare, soluția generală a unei ecuații diferențiale omogene de ordinul 2 este aici

Ecuație caracteristică

Deoarece rădăcinile sunt reale și egale, pentru această ecuație diferențială scriem soluția generală ca

Ecuația caracteristică este aici

Din moment ce discriminantul este număr negativ, rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere complexe.

Soluția generală a acestei ecuații diferențiale omogene de ordinul doi are forma

Ecuație caracteristică

De aici găsim soluția generală a acestei diferențe. ecuatii:

Exemple pentru autotest.

Unde pŞi q- sunt numere reale arbitrare, iar funcția f(x)- continuu pe intervalul de integrare X.

Să exprimăm o teoremă care arată forma în care este necesar să găsim soluția generală este o ecuație diferențială liniară neomogenă.

Teorema.

Soluție generală asupra intervalului X ecuație diferențială liniară neomogenă: cu cele continue pe intervalul de integrare X coeficienţi şi functie continua f(x) egală cu suma soluției generale y 0 adecvat ecuație diferențială liniară neomogenăși orice soluție particulară a ecuației neomogene inițiale, adică .

Deci, soluția generală LNDU Ordinul 2 cu coeficienți constanți este suma soluției generale a ecuației diferențiale liniare omogenă corespunzătoare de ordinul 2 cu coeficienți constanți și o soluție particulară: .

Calcul y 0 Ecuațiile diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți sunt descrise în articol, acum vom lua în considerare metoda de găsire.

Sunt unii metode pentru determinarea unei anumite soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul 2 cu coeficienți constanți. Aceste metode sunt definite ținând cont de tipul funcției f(x), care se află în partea dreaptă a ecuației. Să le numim și în articolele următoare vom lua în considerare soluții pentru fiecare LPDE de ordinul doi cu coeficienți constanți:

2. Dacă funcţia f(x) este reprezentată de produsul unui polinom de grad nși expozanți , ceea ce înseamnă că o anumită soluție a unei ecuații diferențiale lineare neomogene de ordinul doi se găsește ca ,

Unde Qn(x) este un polinom n- gradul al-lea,

r- numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice care egalează .

Coeficienți polinomi Qn(x) poate fi determinată din egalitate.

3. Dacă funcţia f(x) arată astfel: unde A 1Şi B 1 se dovedesc a fi numere, ceea ce înseamnă că o anumită soluție a unei ecuații diferențiale liniare nedefinite este reprezentată ca,

Unde OŞi ÎN sunt coeficienți nedeterminați,

r- este numărul de perechi complexe conjugate de rădăcini ale ecuației caracteristice care sunt egale cu . Coeficienți polinomi OŞi ÎN sunt determinate pe bază de egalitate.

4. Dacă , atunci ,

Unde r este numărul de perechi complexe conjugate de rădăcini ale ecuației caracteristice, care sunt egale cu ,

Pn(x),Qk(x), Lm(x)Şi Nm(x) sunt polinoame de grad n, k, mŞi m respectiv, m = max(n, k).

Găsiți coeficienții polinoamelor Lm(x)Şi Nm(x) poți folosi egalitatea.

5. Pentru toate celelalte tipuri de funcții f(x) Se utilizează următoarea procedură:

Primul pas este de a determina soluția generală a ecuației liniare omogene necesare ca y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, Unde y 1Şi y 2 sunt soluții parțiale liniar independente ale unei ecuații diferențiale liniare omogene și C 1Şi C 2 sunt constante arbitrare;
Apoi variam constantele arbitrare, adică acceptăm ca soluție generală a ecuației diferențiale neomogene liniare inițiale. y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
iar ultimul pas este determinarea derivatelor funcțiilor C 1 (x)Şi C 2 (x) din sistemul de ecuații:

si functii C 1 (x)Şi C2(x) determinată în urma integrării ulterioare.

Ecuație neomogenă cu coeficienți constanți

poate fi rezolvată folosind metoda coeficienților nedeterminați și metoda variației constantelor arbitrare.

Metoda coeficientului incert

eu . Deoarece ecuația (11) este neomogenă, soluția ei generală va consta din suma ecuațiilor generale omogene și neomogene particulare, i.e.

Compunem ecuația omogenă corespunzătoare

Ecuația sa caracteristică

structura sistemului fundamental de soluții depinde de tipul rădăcinilor ecuației caracteristice (13).

Sunt 3 cazuri.

O). Toate rădăcinile ecuației caracteristice (13) sunt diferite și reale. Să le notăm
. Sistem fundamental de soluții:

iar soluția generală are forma:

b). Toate rădăcinile ecuației caracteristice (13) sunt diferite, dar printre ele există unele complexe. Lasă
- rădăcina complexă a ecuației (13). Apoi
- este și rădăcina acestei ecuații. Aceste rădăcini corespund la două soluții parțiale liniar independente:

Dacă
Şi
atunci soluțiile particulare vor avea forma

Prin scrierea soluțiilor parțiale liniar independente corespunzătoare altor perechi conjugate rădăcini complexeși toate rădăcinile reale și formând o combinație liniară a acestor soluții cu coeficienți constanți arbitrari, obținem o soluție generală a ecuației (12).

V). Printre rădăcinile ecuației caracteristice există multipli. Lasă k 1 real r- rădăcină multiplă. Apoi îi corespund r

Dacă
- multiplicitatea rădăcinilor complexe ale ecuației (13). r, atunci ele corespund 2 r soluții parțiale liniar independente de forma:

Scriind soluții parțiale liniar independente de tipul indicat, corespunzătoare tuturor rădăcinilor reale simple și multiple, precum și perechilor conjugate de rădăcini simple și multiple complexe, obținem un sistem fundamental de soluții.

II . Pe baza formei părții din dreapta a ecuației (11), este selectată o soluție particulară a ecuației neomogene.

Pot exista cazuri.

1).
, Unde P(x) – polinom din x grade n.

O). Dacă numărul 0 nu este o rădăcină a ecuației caracteristice (13), atunci o soluție particulară a ecuației neomogene (11) poate fi găsită sub forma
, Unde Q(x) – polinom din x acelasi grad n, ca P(x) în formă generală (adică cu coeficienți nedeterminați).

De exemplu,

b). Dacă 0 -rădăcina ecuaţiei caracteristice a multiplicităţii r, Asta

2).
.

O). Dacă numărul α nu este o rădăcină a ecuației caracteristice (13), atunci

3) unde
- polinoame de grad m Şi nîn consecință (unul dintre polinoame poate fi identic egal cu zero);

a) dacă
nu este o rădăcină a ecuației (13), atunci

Unde
- polinoame de grad
.

b) dacă
este rădăcina ecuației caracteristice a multiplicității r, Asta

4) unde
- funcţii de tipul considerat 1), 2), 3). Dacă
sunt soluții particulare care corespund funcțiilor
, Asta

Problema 12. găsiți o soluție generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Aceasta este o ecuație diferențială neomogenă de ordinul 3 care nu conține funcția dorită y. Această ecuație poate fi rezolvată în cel puțin încă două moduri: metoda variației constantelor arbitrare și metoda coeficienților nedeterminați pentru a determina o anumită soluție la o ecuație liniară neomogenă cu coeficienți constanți.

Să luăm în considerare a doua metodă.

Să compunem ecuația omogenă corespunzătoare

Ecuație caracteristică
are rădăcini:
(cazul Ia). Soluții parțiale ale unei ecuații omogene:

În consecință, în general omogen
.

Acum luați în considerare partea dreaptă a ecuației inițiale:
- polinom de gradul II (cazul II1). Pe baza formei sale, vom compune o soluție particulară a ecuației neomogene:
.

Factor x apare pe baza faptului că x=0 este rădăcina ecuației caracteristice. Găsind
și înlocuind ceea ce am găsit în ecuația originală, obținem

Comparând coeficienții la aceleași grade, obținem sistemul

din care O=1/3, B=1, C=1/2 . Înlocuind aceste valori în forma generală a soluției particulare, obținem

Considerând că soluția generală a unei ecuații neomogene este suma unei ecuații omogene generale și a uneia neomogene particulare, avem

Problema 13. găsiți o soluție generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Să găsim soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare. Ecuație caracteristică
are rădăcini: (cazul Ia). De aceea
.

Pe baza formei laturii drepte, vom formula o formă generală a unei soluții particulare a ecuației neomogene, ținând cont că =2 este rădăcina ecuației caracteristice (cazul II2b):
.

Diferențiând ultimele 3 ori și înlocuind în ecuația originală, aflăm că O=1, B=0 . Atunci o anumită soluție a ecuației inițiale va fi funcția
.

Prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale inițiale

Problema 14. găsiți o soluție generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Să găsim soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare:

Ecuație caracteristică
are rădăcină dublă k=2 (Iв). De aceea
.

Pe baza formei părții din dreapta, este ușor să se formuleze în formă generală o soluție particulară a ecuației inițiale: , deoarece 2-6 i nu este o rădăcină a ecuației caracteristice (II3a). Pentru această funcție o caută y / Şi y // și substituiți-o în ecuația dată nouă. Astfel, se determină că B=0 Şi O=-1/36 .

Apoi,
este o soluție particulară a ecuației noastre neomogene, iar soluția dorită are forma:

Problema 15. Găsiți o soluție generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Deoarece rădăcinile ecuației caracteristice, atunci este soluția generală a ecuației omogene. Vom căuta o soluție specială pentru ecuația neomogenă în formă

Funcția este compusă după forma laturii drepte, ținând cont de faptul că x=0 este rădăcina ecuației caracteristice și 10 i- Nu.

Înlocuind această funcție în ecuația originală, aflăm că

Apoi, soluția generală a ecuației diferențiale va fi o funcție.

Fundamentele rezolvării ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordinul doi (LNDE-2) cu coeficienți constanți (PC)