1 Construcție suplimentară care duce la teorema liniei mediane a triunghiului, a trapezului și a proprietăților de similaritate ale triunghiurilor.
Și ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Corolarul 1.
Corolarul 2.
Din aceasta este clar că 
1 Toate triunghiurile dreptunghiulare cu același unghi ascuțit sunt similare. O privire asupra funcțiilor trigonometrice.
Triunghiurile cu laturile hașurate și nehașurate sunt similare prin aceea că cele două unghiuri ale lor sunt egale. Prin urmare unde
Aceasta înseamnă că aceste relații depind doar de unghi ascuțit triunghi dreptunghic și, în esență, îl definesc. Acesta este unul dintre motivele apariției funcții trigonometrice:
Adesea, scrierea funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în triunghiuri dreptunghice similare este mai clară decât scrierea relațiilor de similitudine!
2 Un exemplu de construcție suplimentară este o înălțime coborâtă până la ipotenuză. Derivarea teoremei lui Pitagora pe baza asemănării triunghiurilor.
Să coborâm înălțimea CH până la ipotenuza AB. Avem trei triunghiuri similare ABC, AHC și CHB. Să scriem expresii pentru funcțiile trigonometrice:
Din aceasta este clar că . Însumând, obținem teorema lui Pitagora, deoarece:
Pentru o altă demonstrație a teoremei lui Pitagora, vezi comentariul la problema 4.
3 Un exemplu important de construcție suplimentară este construcția unui unghi egal cu unul dintre unghiurile unui triunghi.
Din vârful unghiului drept trasăm un segment de dreaptă care formează un unghi cu cateta CA egal cu unghiul CAB al triunghiului dreptunghic dat ABC. Ca rezultat, obținem un triunghi isoscel ACM cu unghiuri de bază. Dar și celălalt triunghi rezultat din această construcție va fi isoscel, deoarece fiecare dintre unghiurile sale de la bază este egal (prin proprietatea unghiurilor unui triunghi dreptunghic și prin construcție - unghiul a fost „scăzut” din unghiul drept). Datorită faptului că triunghiurile BMC și AMC sunt isoscele cu latura comună MC, avem egalitatea MB=MA=MC, adică. M.C. mediana trasată la ipotenuza unui triunghi dreptunghic iar ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Corolarul 1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este centrul cercului circumscris acestui triunghi, deoarece se dovedește că punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de vârfurile triunghiului dreptunghic.
Corolarul 2. Linia de mijloc a unui triunghi dreptunghic, care leagă mijlocul ipotenuzei și mijlocul catetei, este paralel cu catetul opus și este egal cu jumătatea acestuia.
În triunghiurile isoscele BMC și AMC, să coborâm înălțimile MH și MG până la baze. Din moment ce în triunghi isoscel, înălțimea coborâtă până la bază este și mediana (și bisectoarea), atunci MH și MG sunt liniile unui triunghi dreptunghic care leagă mijlocul ipotenuzei cu punctele medii ale catetelor. Prin construcție, ele se dovedesc a fi paralele cu picioarele opuse și egale cu jumătățile lor, deoarece triunghiurile sunt egale MHC și MGC sunt egale (și MHCG este un dreptunghi). Acest rezultat stă la baza demonstrației teoremei pe linia mediană a unui triunghi arbitrar și, în continuare, a liniei mediane a unui trapez și a proprietății de proporționalitate a segmentelor tăiate de drepte paralele pe două drepte care le intersectează.
Sarcini
Folosind proprietăți de similaritate -1
Utilizarea proprietăților de bază - 2
Folosind formația suplimentară 3-4
1 2 3 4
Înălțimea căzută de la vârful unui unghi drept al unui triunghi dreptunghic este egală cu rădăcina pătrată a lungimii segmentelor în care împarte ipotenuza.
Soluția pare evidentă dacă cunoașteți derivarea teoremei lui Pitagora din asemănarea triunghiurilor:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
de unde \(h^2=c_1c_2\).
Aflați locul punctelor (GMT) de intersecție a medianelor tuturor triunghiurilor dreptunghice posibile a căror ipotenuză AB este fixă.
Punctul de intersecție al medianelor oricărui triunghi separă o treime din mediană, numărând din punctul de intersecție cu latura corespunzătoare. ÎN triunghi dreptunghic Mediana trasată dintr-un unghi drept este egală cu jumătate din ipotenuză. Prin urmare, GMT-ul dorit este un cerc de rază egal cu 1/6 din lungimea ipotenuzei, cu un centru în mijlocul acestei ipotenuze (fixe).
Linia mediană a unui trapez, și în special proprietățile sale, sunt foarte des folosite în geometrie pentru a rezolva probleme și a demonstra anumite teoreme.
este un patrulater cu doar 2 laturi paralele între ele. Laturile paralele se numesc baze (în Figura 1 - ADŞi B.C.), celelalte două sunt laterale (în figură ABŞi CD).
Linia mediană a trapezului este un segment care leagă punctele medii ale laturilor sale (în Figura 1 - KL).
Proprietățile liniei mediane a unui trapez
Demonstrarea teoremei liniei mediane a trapezului
Dovedi că linia mediană a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor sale și este paralelă cu aceste baze.
Dat un trapez ABCD cu linia mediană KL. Pentru a demonstra proprietățile luate în considerare, este necesar să se tragă o linie dreaptă prin puncte BŞi L. În figura 2, aceasta este o linie dreaptă BQ. Și, de asemenea, continuă fundația AD până la intersecția cu linia BQ.
Luați în considerare triunghiurile rezultate L.B.C.Şi LQD:
- Prin definiția liniei mediane KL punct L este punctul de mijloc al segmentului CD. Rezultă că segmentele C.L.Şi LD sunt egali.
- ∠BLC = ∠QLD, deoarece aceste unghiuri sunt verticale.
- ∠BCL = ∠LDQ, deoarece aceste unghiuri se află transversal pe drepte paralele ADŞi B.C. si secante CD.
Din aceste 3 egalităţi rezultă că triunghiurile considerate anterior L.B.C.Şi LQD egal pe o latură și două unghiuri adiacente (vezi Fig. 3). Prin urmare, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ si cel mai important - BL=LQ => KL, care este linia mediană a trapezului ABCD, este, de asemenea, linia mediană a triunghiului ABQ. După proprietatea liniei mediane a unui triunghi ABQ primim.
\[(\Large(\text(Similaritatea triunghiurilor)))\]
Definiții
Două triunghiuri se numesc similare dacă unghiurile lor sunt egale, iar laturile unui triunghi sunt proporționale cu laturile similare ale celuilalt.
(laturile se numesc similare dacă se află opuse unghiurilor egale).
Coeficientul de similitudine al triunghiurilor (asemănătoare) este un număr egal cu raportul laturilor similare ale acestor triunghiuri.
Definiţie
Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor tuturor laturilor sale.
Teorema
Raportul dintre perimetrele a două triunghiuri similare este egal cu coeficientul de asemănare.
Dovada
Luați în considerare triunghiurile \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) cu laturile \(a,b,c\) și respectiv \(a_1, b_1, c_1\) (vezi figura de mai sus).
Apoi \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)
Teorema
Raportul ariilor a două triunghiuri similare este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.
Dovada
Fie triunghiurile \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) să fie similare și \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Să notăm cu literele \(S\) și respectiv \(S_1\) ariile acestor triunghiuri.
Deoarece \(\angle A = \angle A_1\) , atunci \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(prin teorema raportului dintre ariile triunghiurilor cu unghiuri egale).
Deoarece \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Asta \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), ceea ce trebuia dovedit.
\[(\Large(\text(Semne ale asemănării triunghiurilor)))\]
Teorema (primul semn al asemănării triunghiurilor)
Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt similare.
Dovada
Fie \(ABC\) și \(A_1B_1C_1\) să fie triunghiuri astfel încât \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Apoi, prin teorema privind suma unghiurilor unui triunghi \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), adică unghiurile triunghiului \(ABC\) sunt, respectiv, egale cu unghiurile triunghiului \(A_1B_1C_1\) .
Deoarece \(\angle A = \angle A_1\) și \(\angle B = \angle B_1\), atunci \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)Şi \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).
Din aceste egalităţi rezultă că \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).
În mod similar, este dovedit că \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(folosind egalități \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).
Ca urmare, laturile triunghiului \(ABC\) sunt proporționale cu laturile similare ale triunghiului \(A_1B_1C_1\), ceea ce trebuia demonstrat.
Teoremă (al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor)
Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi și unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt similare.
Dovada
Luați în considerare două triunghiuri \(ABC\) și \(A"B"C"\) astfel încât \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Să demonstrăm că triunghiurile \(ABC\) și \(A"B"C"\) sunt similare. Luând în considerare primul semn de asemănare al triunghiurilor, este suficient să arătăm că \(\angle B = \angle B"\) .
Considerăm un triunghi \(ABC""\) cu \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Triunghiurile \(ABC""\) și \(A"B"C"\) sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiurilor, apoi \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).
Pe de altă parte, după condiție \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Din ultimele două egalități rezultă că \(AC = AC""\) .
Triunghiurile \(ABC\) și \(ABC""\) sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele, prin urmare, \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).
Teoremă (al treilea semn al asemănării triunghiurilor)
Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt similare.
Dovada
Fie laturile triunghiurilor \(ABC\) și \(A"B"C"\) să fie proporționale: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Să demonstrăm că triunghiurile \(ABC\) și \(A"B"C"\) sunt similare.
Pentru a face acest lucru, ținând cont de al doilea criteriu pentru asemănarea triunghiurilor, este suficient să demonstrăm că \(\angle BAC = \angle A"\) .
Considerăm un triunghi \(ABC""\) cu \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .
Triunghiurile \(ABC""\) și \(A"B"C"\) sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiurilor, prin urmare, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).
Din ultimul lanț de egalități și condiții \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) rezultă că \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .
Triunghiurile \(ABC\) și \(ABC""\) sunt egale pe trei laturi, prin urmare, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).
\[(\Large(\text(Teorema lui Thales)))\]
Teorema
Dacă marcați segmente egale pe o parte a unghiului și trasați linii drepte paralele prin capete, atunci aceste linii drepte vor tăia și segmente egale pe cealaltă parte.
Dovada
Să demonstrăm mai întâi lema: Dacă în \(\triunghiul OBB_1\) este trasată o linie dreaptă \(a\paralel BB_1\) prin mijlocul \(A\) laturii \(OB\), atunci aceasta va intersecta și latura \(OB_1\) în mijlocul.
Prin punctul \(B_1\) desenăm \(l\parallel OB\) . Fie \(l\cap a=K\) . Atunci \(ABB_1K\) este un paralelogram, prin urmare \(B_1K=AB=OA\) și \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\unghi AA_1O=\unghi KA_1B_1\) ca pe verticală. Deci, conform celui de-al doilea semn \(\triunghi OAA_1=\triunghi B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Lema este dovedită.
Să trecem la demonstrarea teoremei. Fie \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) și trebuie să demonstrăm că \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .
Astfel, conform acestei leme \(OA_1=A_1B_1\) . Să demonstrăm că \(A_1B_1=B_1C_1\) . Să tragem o dreaptă \(d\parallel OC\) prin punctul \(B_1\), și fie \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Atunci \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) sunt paralelograme, prin urmare, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Astfel, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) ca pe verticală \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) zăcând ca cruci și, deci, după al doilea semn \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).
teorema lui Thales
Liniile paralele decupează segmentele proporționale de pe laturile unui unghi.
Dovada
Fie drepte paralele \(p\paralel q\paralel r\paralel s\) a împărțit una dintre linii în segmente \(a, b, c, d\) . Apoi a doua linie dreaptă ar trebui împărțită în segmente \(ka, kb, kc, kd\), respectiv, unde \(k\) este un anumit număr, același coeficient de proporționalitate al segmentelor.
Să tragem prin punctul \(A_1\) o dreaptă \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) este un paralelogram, prin urmare, \(AB=A_1B_2\) ). Apoi \(\triunghi OAA_1 \sim \triunghi A_1B_1B_2\) la două colţuri. Prin urmare, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).
În mod similar, trasăm o linie dreaptă prin \(B_1\) \(q\paralel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) etc.
\[(\Large(\text(linia mijlocie a triunghiului)))\]
Definiţie
Linia mediană a unui triunghi este un segment care leagă punctele medii ale oricăror două laturi ale triunghiului.
Teorema
Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia.
Dovada
1) Paralelismul liniei de mijloc la bază rezultă din cele dovedite mai sus leme.
2) Să demonstrăm că \(MN=\dfrac12 AC\) .
Prin punctul \(N\) trasăm o dreaptă paralelă cu \(AB\) . Fie ca această dreaptă să intersecteze latura \(AC\) în punctul \(K\) . Atunci \(AMNK\) este un paralelogram ( \(AM\paralel NK, MN\parallel AK\) conform punctului anterior). Deci, \(MN=AK\) .
Deoarece \(NK\parallel AB\) și \(N\) sunt punctul de mijloc al lui \(BC\), apoi, după teorema lui Thales, \(K\) este punctul de mijloc al lui \(AC\) . Prin urmare, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .
Consecinţă
Linia de mijloc a triunghiului taie din el un triunghi similar celui dat cu coeficientul \(\frac12\) .
Linia de mijloc figuri în planimetrie - un segment care leagă punctele mijlocii a două laturi ale unei figuri date. Conceptul este folosit pentru următoarele figuri: triunghi, patrulater, trapez.
YouTube enciclopedic
1 / 3
✪ Clasa a VIII-a, lecția 25, Linia de mijloc a unui triunghi
✪ geometrie LINIA DE MEDIU A UNUI TRIUNGHI Atanasyan clasa a VIII-a
✪ Linia de mijloc a triunghiului | Geometrie 7-9 clasa #62 | Lecție de informații
Subtitrări
Linia de mijloc a triunghiului
Proprietăți
- linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu baza și egală cu jumătatea acesteia.
- când toate cele trei linii de mijloc se intersectează, se formează 4 triunghi egal, asemănătoare (chiar omotetică) cu cea originală cu coeficient de 1/2.
- linia de mijloc taie un triunghi care este similar cu acesta, iar aria sa este egală cu un sfert din aria triunghiului original.
- Cele trei linii de mijloc ale triunghiului îl împart în 4 triunghiuri egale (identice), similare cu triunghiul original. Toate cele 4 astfel de triunghiuri identice se numesc triunghiuri mediale. Cel central dintre aceste 4 triunghiuri identice se numește triunghi complementar.
Semne
- dacă un segment este paralel cu una dintre laturile triunghiului și conectează punctul de mijloc al unei laturi a triunghiului de un punct situat pe cealaltă parte a triunghiului, atunci este o linie mediană.
Linia mediană a unui patrulater
Linia mediană a unui patrulater- un segment care leagă punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater.
Proprietăți
Prima linie leagă 2 laturi opuse. Al doilea leagă celelalte 2 părți opuse. Al treilea conectează centrele a două diagonale (nu în toate patrulaterele diagonalele sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție).
- Dacă într-un patrulater convex linia de mijloc formează unghiuri egale cu diagonalele patrulaterului, atunci diagonalele sunt egale.
- Lungimea liniei mediane a unui patrulater este mai mică de jumătate din suma celorlalte două laturi sau egală cu aceasta dacă aceste laturi sunt paralele și numai în acest caz.
- Punctele de mijloc ale laturilor unui patrulater arbitrar sunt vârfurile unui paralelogram. Aria sa este egală cu jumătate din aria patrulaterului, iar centrul său se află în punctul de intersecție al liniilor de mijloc. Acest paralelogram se numește paralelogramul lui Varignon;
- Ultimul punct înseamnă următoarele: Într-un patrulater convex poți desena patru linii mediane de al doilea fel. Linii mediane de al doilea fel- patru segmente în interiorul unui patrulater care trec prin punctele medii ale acestuia laturile adiacente paralel cu diagonalele. Patru linii mediane de al doilea fel a unui patrulater convex, tăiați-l în patru triunghiuri și un patrulater central. Acest patrulater central este un paralelogram Varignon.
- Punctul de intersecție al liniilor mediane ale unui patrulater este punctul lor de mijloc comun și bisectează segmentul care leagă punctele de mijloc ale diagonalelor. Mai mult, ea este
Vă întrebați cum puteți calcula și găsi linia mediană a unui triunghi. Atunci să trecem la treabă.
Găsirea lungimii liniei mediane a unui triunghi este destul de simplă. Deoarece un triunghi are trei laturi, există în consecință trei unghiuri și este posibil ca atunci când construiți trei linii de mijloc.
Ce este un triunghi?
Trei laturi (echilateral, isoscel)
Trei unghiuri (acute, obtuz, triunghiuri dreptunghiulare, respectiv)
Care este linia mediană a unui triunghi
Acesta este un segment. Un segment de linie conectează mijlocul a două laturi ale unui triunghi. Orice triunghi are trei linii de mijloc.
Proprietatea 1: Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu latura triunghiului și egală cu jumătatea acestuia. Prin urmare, pentru a determina linia mediană a unui triunghi, este suficient să cunoaștem lungimea celei de-a treia laturi.
Exemplu: da triunghiul ABC, se știe că latura mijlocie KN este paralelă cu AC. Lungimea AC = 8 cm, AB = 4 cm, BC = 4 cm Prin urmare, pentru a găsi linia mediană a triunghiului, AC/2 este suficientă pentru a obține linia mediană a triunghiului. Răspuns: 4 cm linie mediană într-un triunghi dat conform parametrilor existenți.
Proprietatea 2: Dacă sunt trasate trei linii de mijloc într-un triunghi, atunci se formează patru triunghiuri similare egale. Coeficientul este ½.
Proprietatea 3: Linia mediană triunghi echilateralîmparte triunghiul într-un trapez și un triunghi.
Un exemplu de rezolvare a unei probleme: Dacă desenăm un triunghi, vom vedea că în vârful triunghiului se află o figură cu trei colțuri. În partea de jos a patrulaterului este o figură cu doi laturi opuse, care sunt paralele între ele.
